Bài giảng Toán cao cấp: Bài 5 - PGS. TS. Bùi Minh Trí

Bài giảng Toán cao cấp - Bài 5: Phương trình vi phân giới thiệu với các bạn các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân nói chung và một số vấn đề cơ bản như biểu diễn nghiệm, phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một, cấp hai đặc biệt.

BÀI À PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PGS TS Bùi Minh Trí v2.3013103225 NỘI DUNG Bài giới thiệu với bạn khái niệm phương trình vi phân nói chung số vấn đề biểu diễn nghiệm, phương p g p pháp p g giải ộ số loại p phương g trình vi phân cấp một, cấp hai đặc biệt v2.3013103225 MỤC TIÊU • Nắm khái niệm phương trình vi phân; • Làm tập phương trình vi phân phân v2.3013103225 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Định nghĩa: • Phươ Phương trình t ì h vii phân hâ phương hươ trình t ì h xuất ất hiệ biến biế số, hàm số cần tìm đạo hàm cấp hàm số • Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm hàm số cần tìm xuất phương trình v2.3013103225 1.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Phương trình vi phân cấp cho dạng sau đây: • Dạng tổng quát: F(x, y, y ')  • Dạng giải đạo hàm: y '  dyy  f(x, f(x y) dx • Dạng đối xứng: M(x, y)dx  N(x, y)dy  Ta thấy dễ dàng chuyển đổi hai dạng phương trình vi phân: Dạng đối xứng giải đạo hàm hàm v2.3013103225 1.1.1 NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG • Định nghĩa: Họ hàm số y  (x, C) gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp với số C, hàm số  ( x , C ) tương ứng nghiệm phương trình Mỗi nghiệm nhận từ nghiệm tổng ổ quát gán cho C giá trị xác định gọi nghiệm riêng phương trình • Định nghĩa: Nghiệm tổng quát phương trình vi phân viết dạng hàm ẩn (x, y, C)  gọi tích p phân tổng g q quát p phương g trình Mỗi tích phân ứng với giá trị xác định C gọi tích phân riêng phương trình v2.3013103225 1.1.1 NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG (tiếp theo) Ví dụ : x2 • Phương trình y' = x có nghiệm tổng quát là: y  C 2 x 1 g ệ y ộ nghiệm g ệ riêng g p phương g Nghiệm trình ứng với C  • Phương trình y dy  xdx  có tích phân tổng quát y3 x2  C Với C = ta có tích phân riêng 2y  3x 6 v2.3013103225 1.1.2 BÀI TỐN CAUCHY Xét phương trình vi phân cấp cho dạng: dy  y '  f(x, y) dx (5.1) • Bài tốn tìm nghiệm g ệ riêng g p phương g trình ((5.1)) thoả y(x )  y mãn điều kiện: (5.2) gọi toán Cauchy Điều kiện (5.2) gọi điều kiện ban đầu • Ta thừa nhận định lý sau tính tồn nghiệm toán Cauchy Cauchy v2.3013103225 1.1.3 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ Phương trình phân ly biến số có dạng: f(x)dx = g(y)dy Lấy tích phân hai vế ta được:  f(x)dx   g(y)dy  F(x)  G(y)  C F(x) nguyên hàm f(x), G(y) nguyên hàm g(y) (1-y)dx y)dx • Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau: (1+x)dy = (1 • Nhận xét: y = x = -1 hai nghiệm phương trình Khi y  1, x  1 , ta biến đổi tương đương: dy dx (1  x)dy  (1  y)dx    y 1 x 1 Lấy tích phân hai vế ta có:  ln y   ln C  ln x   (x  1)(y  1)  C Rõ ràng x = -1, y = tích phân riêng ứng với C= Vậy tích phân tổng quát phương trình ban đầu (x+1).(y (x+1) (y-1) 1) = C C v2.3013103225 1.1.4 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT(PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP) y Phương trình phương trình có dạng: y '  f   (5.3) x • Đặt y = ux t u(x) ( ) hàm hà số ố ủ x Ta T có: ó y '  xu ' u  f(u)  x • Nếu f(u)  u , ta có biến số du  f(u)  u dx du dx , phương trình phân ly  f(u)  u x y • Nếu f(u)  u phương trình (5.3) có dạng y '  nghiệm tổng x y = Cx ụ Giải p phương g trình vi p phân (x  y)ydx  x dy • Ví dụ: dy (x  y)y y y 2 y '  u' x  u  u  u Đặt ;    dx x x2 x2 y Đặt  u, y  xu;  du  dx   ln Cx  x  ln Cx x x u y u2 v2.3013103225 10 2.2 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CẤP HẠ CẤP ĐƯỢC (tiếp theo) Phương g trình khuyết y x: yy" = f(x, ( , yy')) • Đặt z = y', đó: dy d2 y dz dz dy dz  y '  z;;    z d dx d dy d dx d dy d d dx dx • Phương trình cho trở thành zz' = f(y, z), phương trình cấp hàm z = z(y) Ví dụ: Giải phương trình y'2 + 2yy" = dz dz • Đặt y' = z, suy ra: y ''(x)   y '(x)  zz '(y) dx dy • Phương trình cho trở thành: z2 + 2yzz' = • Nếu z   y '  suy y = C nghiệm phương trình   • Nếu z  0, z2  2yzz '   yz2 '   yz2  C1 C  y'  z    y v2.3013103225 y y3 dy  dx    x  C2 C1 C1 23 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình dạng: y '' p(x)y ' q(x)y  f(x) (5.7) • Trong p(x), q(x), f(x) hàm số cho trước • Nếu f(x)  0, (5.7) gọi phương trình • Nế Nếu f(x)  0, (5.7) (5 7) đ gọii phương h t ì h khơng trình khơ th ầ hất • Tương g tự ựp phương g trình vi p phân tuyến y tính cấp p một, ộ , ta nêu cấu trúc nghiệm phương trình khơng mối liên hệ với nghiệm phương trình tương ứng Ta giả sử f(x), p(x), q(x) hàm liên tục 24 v2.3013103225 3.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT y '' p(x)y ' q(x)y  (5.8) • Định nghĩa: Hai hàm số y1(x) y2(x) gọi phụ thuộc tuyến tính tập D tồn số không đồng thời cho: k1 y1 (x)  k y (x)  0, x  a,b  • Ngược lại đồng thức xảy k1 = k2 = ), y2((x)) độc ộ lập ập tuyến y tính tập ập D ta nói y1((x), • Định lý: Nếu y1(x), y2(x) hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (5.8) (5 8) nghiệm tổng qt phương trình là: y = C1y1(x) + C2y2(x) C1, C2 số 25 v2.3013103225 3.2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT y '' p(x)y ' q(x)y  f(x) (5.9) • Tươ Tương tự hư ới phương hươ t ì h vii phân trình hâ cấp ấ ột tuyến t ế tính tí h khơng nhất, ta có định lý sau cấu trúc nghiệm phương trình khơng • Định lý: Nghiệm tổng qt y(x) phương trình khơng (5.9) tổng nghiệm tổng quát y(x) phương trình (5.9) cộng với nghiệm riêng y*(x) phương trình khơng (5.9) 26 v2.3013103225 PHƯƠNG PHÁP BIẾN THIÊN HẰNG SỐ • Trong g trường g hợp ợp không g dễ dàng g nhẩm nghiệm g ệ riêng g phương trình khơng (5.8), ta sử dụng phương pháp biến thiên số để tìm nghiệm riêng • Giả sử y  C1 y1  C2 y 2là nghiệm tổng ổ quát phương trình (5.8), ta tìm nghiệm riêng (5.7) dạng: y* = C1(x)y1 + C2(x)y2 (x)  y (x)C2 '(x) (x)   y1 (x)C1 '(x) C1(x), C2(x) thoả mãn hệ phương trình:   y1 '(x)C2 '(x)  y '(x)C '(x)  f(x) • Vậy ậy ta g giải p phương g trình tuyến y tính khơng g theo ba bước sau *  Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát y  C1 (x)y1  C2 (x)y phương trình tuyến tính nhất   v2.3013103225 Bước 2: Tìm nghiệm riêng y* phương trình khơng (5.7) Ta nhẩm nghiệm trường hợp đơn giản, giản tìm nghiệm phương pháp biến thiên số Bước Kết luận nghiệm y  C1 y1  C2 y 27 cos x • Bước 1: Giải phương trình y" y +y=0 0, suy ra: Ví dụ: Giải phương trình y '' y  (**) y  C1 cos x  C2 sin x (cách giải phương trình hệ số trình bày phần sau) • Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình (**) dạng: y *  C1 (x) cos x  C2 (x) sin x C1x), x) C2(x) nghiệm hệ: cos xC1 '(x)  sin xC2 '(x)     C1 '(x)   tg x;C2 '(x)  (x)  cos xC2 '(x) (x)   sin xC1 '(x) cos x  Ta tìm được: C1 (x)   tg xdx  ln cos x  C1   C2 (x)  x  C2 C1 , C2 hai số Để có nghiệm riêng, ta chọn: C1  C2  • Vậy nghiệm tổng qt phương trình cho là: 28 y  C1 cos x  C2 sin x  cos x ln cos x  x sin x v2.3013103225 4.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG Xét phương trình y" + py' + qy = (5.10) Trong q, p số thực • Định nghĩa: Phương trình đặc trưng phương trình (5.10) là:   p  q  (5.11) • T Tuỳỳ theo th giá iá trị t ị nghiệm hiệ ủ phương hươ t ì h đặc trình đặ trưng tư (5 11) mà (5.11) ta t có ó cơng thức nghiệm tổng qt (5.10) Giả sử phương trình có hai nghiệm 1 ,   Nếu ế 1   hai nghiệm ệ thực phân â biệt ệ thìì nghiệm ệ tổng ổ quát:   y  C1e 1x  C2 e 2 x Nếu 1    nghiệm g ệ tổng gq quát y  e 1x (C1  C2 x)) x Nếu hai nghiệm phức 1,2    i y  e (C1 cos x  C2 sin x) 29 v2.3013103225 4.1 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) Ví dụ : Giải phương trình vi phân: • y '' 2y ' 3y  Phương trình đặc trưng   2      1,   Do nghiệm tổng quát phương trình là: y  C1e  x  C2 e3x • y '' 2y   Phương trình đặc trưng   2    1,2  1  2i Do nghiệm tổng quát phương trình cho là: y  e  x (C1 sin 2x  C2 cos 2x) 30 v2.3013103225 4.2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG y '' py ' qy  f(x) • Ta biết p phương gp pháp p biến thiên g số để tìm nghiệm g ệ riêng g phương trình khơng y* Tuy nhiên số dạng cụ thể vế phải f(x), ta có cách lựa chọn dạng đặc biệt g ệ riêng g y* nghiệm • Phương trình đặc trưng tương ứng   p  q  (5.15) • Nếu f(x)  e xPn (x) mà Pn(x) đa thức bậc n,  số số  Mà  không nghiệm (5.11) ta tìm nghiệm dạng: y *  e x Qn (x)  Mà  nghiệm đơn (5.11) ta tìm nghiệm dạng: y *  xe x Qn (x)  Mà  nghiệm kép (5.11) ta tìm nghiệm dạng: y *  x e x Qn (x) Qn(x) đa thức bậc n v2.3013103225 31 4.2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) Nếu f  x  =e x Pn  x  cos x + Qm  x  sin x  ,  số, Pn(x), Qm(x) đa thức với bậc tương ứng n, m, max(n, m) = • Mà   i khác nghiệm phức a  ib (5.15) ta tìm nghiệm dạng y * =e x R  x  cos x +S  x  sin x  n  n  • Mà   i nghiệm phức a  ib (5.15) ta tìm nghiệm dạng y * = xe x R n  x  cos x +Sn  x  sin x    32 v2.3013103225 4.2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân: a y '' y  (2x  1)e2x • Phương trình đặc trưng    có hai nghiệm 1,2  1, nên nghiệm tổng ổ quát phương trình tương ứng là: y  C e x  C e  x Ở vế phải   khơng nghiệm phương trình đặc trưng, trưng nên ta tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng y *  (Ax  B)e x • Thay vào phương trình, trình ta thu được: 4Axe2x  (4A  4B)e2x  (Ax  B)e2x  (2x  1)e2x  A  ;B   5 5  2x  2x nên y *     e2x y  C1e x  C2 e  x     e2x  9  9 v2.3013103225 33 4.2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) b y '' 2y ' 3y  xe  x • • • Phương trình đặc trưng   2   có hai nghiệm 1  1;   nên nghiệm tổng quát phương trình tương ứng là: y  C1e  x  C2 e3x Ở vế phải   1 nghiệm đơn phương trình đặc trưng, ta tìm nghiệm g ệ riêng g p phương g trình khơng g dạng: g y *  xe  x (Ax  B) Thay vào phương trình cho, ta thu được: y '' 2y ' 3y  xe  x  A  ,B  2 x x  x 3x e x nên y *  e  x y  C1e  C2 e  8 34 v2.3013103225 4.2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) • Nếu f(x)  e x Pm (x) cos x  Pn (x) sin x  , đa thức bậc m n,  số • Nếu   i khơng nghiệm phương trình (5.15), ta tìm nghiệm riêng dạng: y *  e x Ql (x) cos x  R l (x) sin x  l = max(m, n) • Nếu   i nghiệm phương trình (5.15) ta tìm nghiệm riêng dạng: y *  xe x  Ql (x) cos x  R l (x) sin x  l = max(m, n) Q1(x) đa thức bậc l 35 v2.3013103225 4.2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG (tiếp theo) Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân y" + y = xcosx • Phương trình tương ứng y" + y = Phương trình đặc trưng    có hai nghiệm   i , nên nghiệm tổng quát phương trình là: y  C1 cos x  C2 sin x • Ta tìm ì nghiệm ệ riêng ê ủ phương trình ì khơng ầ ấ y" + y = xcosx dạng: y *  x (Ax  B) cos x  (Cx  D) sin x  Thay vào phương trình ta được: A  D  0,B  C  suy ra: x y *   cos x  x sin x  • Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: y  C1 cos x  C2 sin x  v2.3013103225 x cos x  x sin x   36 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI T o Trong chúng hú t nghiên ta hiê cứu ứ vấn ấ đề là: • Phương trình vi phân • Nghiệm, nghiệm riêng, tích phân bản, tích phân riêng phương trình vi phân (cấp cấp hai) • Mối quan hệ nghiệm phương trình nghiệm g ệ p phương g trình khơng g • Phương pháp giải số loại phương trình vi phân cấp cấp hai Bài trình bày khái niệm phương trình vi phân: Định nghĩa phương trình vi phân, cấp, nghiệm riêng, nghiệm tổng quát, quát đường cong tích phân phương trình vi phân, phân phương pháp giải số phương trình vi phân cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp Học viên cần hiểu rõ khái niệm nhận phương trình học giải phương trình đó, đó, hiểu ý nghĩa hình học ý nghĩa thực tiễn v2.3013103225 37 ... v2.30131032 25 1.1.2 BÀI TOÁN CAUCHY Xét phương trình vi phân cấp cho dạng: dy  y '  f(x, y) dx (5. 1) • Bài tốn tìm nghiệm g ệ riêng g p phương g trình ( (5. 1)) thoả y(x )  y mãn điều kiện: (5. 2) gọi toán. .. phương trình (5. 8) (5 8) nghiệm tổng qt phương trình là: y = C1y1(x) + C2y2(x) C1, C2 số 25 v2.30131032 25 3.2 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT y '' p(x)y ' q(x)y  f(x) (5. 9) • Tươ Tương... Nghiệm tổng qt y(x) phương trình khơng (5. 9) tổng nghiệm tổng quát y(x) phương trình (5. 9) cộng với nghiệm riêng y*(x) phương trình khơng (5. 9) 26 v2.30131032 25 PHƯƠNG PHÁP BIẾN THIÊN HẰNG SỐ • Trong