Bài giảng Toán cao cấp: Bài 5 - PGS. TS. Bùi Minh Trí - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN. PGS.[r]

À

BÀI 5

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PGS TS Bùi Minh Trí

v2.3013103225

NỘI DUNG

Bài giới thiệu với bạn khái niệm Bài giới thiệu với bạn khái niệm phương trình vi phân nói chung số vấn đề biểu diễn nghiệm, phương pháp giải số loại phương trình vi

p g p p g ộ p g

MỤC TIÊU

• Nắm khái niệm phương trình vi phân;

• Làm tập phương trình vi phân • Làm tập phương trình vi phân

v2.3013103225

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Định nghĩa:

Phươ t ì h i hâ hươ t ì h ất hiệ biế

• Phương trình vi phân phương trình xuất biến số, hàm số cần tìm đạo hàm cấp hàm số

• Cấp phương trình vi phân cấp cao

1.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Phương trình vi phân cấp cho dạng sau đây:

• Dạng tổng quát:

• Dạng giải đạo hàm:

F(x, y, y ') 0 dy

y ' f(x y) • Dạng giải đạo hàm:

• Dạng đối xứng:

y

y f(x, y) dx

 

M(x, y)dx N(x, y)dy 0 

Ta thấy dễ dàng chuyển đổi hai dạng phương trình vi phân: Dạng đối xứng giải đạo hàm

và giải đạo hàm

v2.3013103225

1.1.1 NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG

• Định nghĩa: Họ hàm số y  (x,C)được gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp với số C, hàm số tương ứng nghiệm phương trình Mỗi nghiệm nhận

ổ



( x , C ) 

từ nghiệm tổng quát gán cho C giá trị xác

định gọi nghiệm riêng phương trình • Định nghĩa: Nghiệm tổng qt phương trình

1.1.1 NGHIỆM TỔNG QUÁT VÀ NGHIỆM RIÊNG TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT VÀ TÍCH PHÂN RIÊNG (tiếp theo)

Ví dụ :

2 • Phương trình y' = x có nghiệm tổng quát là:

Nghiệm nghiệm riêng phương x y C   x y  

g ệ ộ g ệ g p g

trình ứng với y C 

• Phương trình y dy xdx 02   có tích phân tổng qt

Với C = ta có tích phân riêng

3

y x

C  

3

2

v2.3013103225

1.1.2 BÀI TOÁN CAUCHY

Xét phương trình vi phân cấp cho dạng:

(5.1) • Bài tốn tìm nghiệm riêng phương trình (5.1) thoả

dy

y ' f(x, y) dx  

g ệ g p g ( )

mãn điều kiện: (5.2)

được gọi toán Cauchy Điều kiện (5.2) gọi

điều kiện ban đầu

0

y(x ) y

điều kiện ban đầu

• Ta thừa nhận định lý sau tính tồn nghiệm toán Cauchy

1.1.3 PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ

Phương trình phân ly biến số có dạng: f(x)dx = g(y)dy

Lấy tích phân hai vế ta được: f(x)dx  g(y)dy  F(x) G(y) C  F(x) nguyên hàm f(x), G(y) nguyên hàm g(y)

• Ví dVí dụụ: Gi: Giảải phi phươương trình vi phân sau: (1+x)dy = (1-y)dxng trình vi phân sau: (1+x)dy (1 y)dx • Nhận xét: y = x = -1 hai nghiệm phương trình

Khi y 1, x  1, ta biến đổi tương đương:

Lấy tích phân hai vế ta có:

dy dx (1 x)dy (1 y)dx

y x

     

 

Rõ ràng x = -1, y = tích phân riêng ứng với C= Vậy tích phân tổng qt phương trình ban đầu (x+1) (y-1) = C

ln y ln C ln x (x 1)(y 1) C

        

v2.3013103225

1.1.4 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT(PHƯƠNG TRÌNH

ĐẲNG CẤP)

Phương trình phương trình có dạng: (5.3)

Đặt t ( ) hà ố ủ T ó

y y ' f

x

     

• Đặt y = ux u(x) hàm số x Ta có: du

y ' xu' u f(u) x f(u) u dx

     

• Nếu , ta có , phương trình phân ly biến số

f(u) u du dx

f(u) u  x

y

• Nếu phương trình (5.3) có dạng nghiệm tổng y = Cx

• Ví dụ: Giải phương trình vi phân 

f(u) u y ' y

x



2 (x y)ydx x dy 