Chun đề BDHSG THPT Chun Nguyễn Quang Diêu 1 Chuyên đề: ĐA THỨC Huỳnh Chí Hào – THPT Chun NQD CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC Đa thức : (Đa thức một biến) 1. Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n ∈ ) là biểu thức có dạng n n 1 n n 1 1 0 f(x) a x a x a x a − − = + + + + với n a 0 ≠ Các số 0 1 n a ,a , ,a gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức f(x) Ví dụ: 3 2 f(x) 2x 9x 12x 4 = − + − là đa thức bậc ba 2. Đa thức đồng nhất: a) Đa thức đồng nhất: Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trò với bất cứ giá trò nào của biến số • Nếu f(x) và g(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu : f(x) g(x) ≡ [ ] [ ] f(x) g(x) x :f(x) g(x) ≡ ⇔ ∀ ∈ = b) Đa thức đồng nhất không: Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trò nào của biến số • Nếu f(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu : f(x) 0 ≡ ≡ ⇔ ∀ ∈ = f(x) 0 x :f(x) 0 Hệ quả: n n 1 n n 1 n n 1 1 0 0 a 0 a 0 . f(x) a x a x a x a 0 . . a 0 − − − = = = + + + + ≡ ⇔ = Ví dụ 1: Tìm các hệ số a, b để đa thức 4 3 2 f(x) x 2x ax 2x b = + + + + là bình phương của một đa thức Bài giải: Giả sử ( ) 2 4 3 2 2 x 2x ax 2x b x mx n + + + + = + + với mọi x 4 3 2 4 2 2 2 3 2 x 2x ax 2x b x m x n 2mx 2nx 2mnx ⇒ + + + + = + + + + + với mọi x ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2m 2 x m 2n a x 2mn 2 x n b 0 ⇒ − + + − + − + − = với mọi x Áp dụng định lý về đa thức đồng nhất khơng ta được: Chun đề BDHSG THPT Chun Nguyễn Quang Diêu 2 2 2 2m 2 0 m 2n a 0 2mn 2 0 n b 0 − = + − = − = − = Giải hệ ta được: m 1 n 1 a 3 b 1 = = = = . Vậy khi a 3; b 1 = = thì ( ) 2 4 3 2 2 x 2x 3x 2x 1 x x 1 + + + + = + + Ví dụ 2: Bài 1: Tìm các số , α β sao cho ( ) ( ) 3 1 1 x x x α β − + = + + − Bài 2: Tìm các số , , α β γ sao cho ( ) ( ) 2 2 2 10 3 1 6 1 3x x x x α β λ + + = + + + + Bài 3: Tìm các số , , α β γ sao cho ( ) ( ) 2 2 3 8 5 2 1 1x x x x α β λ − + = − + − + Bài 4: Tìm các số , , α β γ sao cho ( ) ( ) 2 2 2 11 21 4 4 4 4x x x x α β λ − + = − + − + Bài 5: Tìm các số A, B, C sao cho 2 3 2 2 5 3 1 2 2 x x A B C x x x x x x − − = + + − + + − Bài 6: Tìm các số A, B, C sao cho ( ) 2 3 2 3 3 3 1 2 3 2 1 x x A B C x x x x x + + = + + − + − + − 3. Nghiệm của đa thức: • Nếu khi x = a đa thức f(x) có giá trò bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của f(x) [ ] [ ] đn a là một nghiệm của f(x) f(a) 0 ⇔ = 4. Phép chia đa thức: Đònh lý: Cho hai đa thức f(x) và g(x) khác không. Tồn tại duy nhất đa thức q(x) và r(x) sao cho f(x) g(x).q(x) r(x) = + Trong đó r(x) 0 hoặc r(x) 0 và bậc của r(x) nho û hơn bậc của g(x) = ≠ Đa thức g(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia f(x) cho g(x) Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức 3 2 f(x) 2x 9x 12x 4 = − + − cho đa thức x 1 − Ví dụ 2: Cho đa thức 4 3 2 f(x) x 3x bx ax b = − + + + và 2 g(x) x 1 = − Tìm a và b để f(x) chia hết cho g(x). Bài giải: Vì f(x) g(x) nên ta có thể giả sử rằng ( ) 2 f(x) x 1 .q(x) = − (1) với mọi x Thay x 1 = vào hai vế của (1) ta được: f(1) 1 3 b a b 0 a 2b 2 (2) = − + + + = ⇒ + = Chun đề BDHSG THPT Chun Nguyễn Quang Diêu 3 Thay x 1 = − vào hai vế của (1) ta được: f( 1) 1 3 b a b 0 a 2b 4 (3) − = + + − + = ⇒ − + = − Từ (2) và (3) ta suy ra được 1 a 3;b 2 = = − 5. Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783) Đònh lý BEZOUT: Đònh lý: Trong phép chia f(x) cho (x - a) thì số dư là R = f(a) Chứng minh: Chia đa thức f(x) cho (x - a), giả sử được thương là g(x) và dư là hằng số R. Ta có: ( ) f(x) x a g(x) R = − + với mọi x Do đó với x = a thì f(a) 0.g(a) R R f(a) = + ⇒ = (đpcm) Hệ quả: [ ] f(x) chia hết cho (x a) f(a) 0 − ⇔ = Hệ quả: Đa thức f(x) có nghiệm là a khi và chỉ khi f(x) (x-a) [ ] [ ] f(a) = 0 f(x) = (x a).g(x), trong đó g(x ) là một đa thức ⇔ − 6. Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837) Để tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa thức n n 1 n n 1 1 0 f(x) a x a x a x a − − = + + + + cho (x - a) ta có thể dùng sơ đồ HOOCNE sau đây n a n 1 a − n 2 a − 1 a a 0 a n b n 1 b − n 2 b − 1 b 0 b Trong đó: n n n 1 n n 1 n 2 n 2 n 2 0 1 0 b a b a.b a b a.b a . . . b a.b a − − − − − = = + = + = + Khi đó: − − − • = − + • = + + + • = n 1 n 2 n n 1 1 0 f(x) (x a).g(x) r Thương là : g(x) b x b x b Dư là : r b Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia đa thức 3 2 f(x) 2x 9x 12x 4 = − + − cho đa thức x 1 − Ví dụ 2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức 4 2 f(x) 2x 3x 4x 5 = − + − cho đa thức x 1 + 7. Phân tích đa thức ra thừa số Định lý: Giả sử đa thức n n 1 n n 1 1 0 n f(x) a x a x a x a (a 0) − − = + + + + ≠ có n nghiệm là 1 2 n x , x , , x thì ( ) ( ) ( ) n 1 2 n f(x) a x x x x x x = − − − Ví dụ: Phân tích đa thức 3 2 f(x) x 9x 11x 21 = + + − thành nhân tử Chuyên đề BDHSG THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu 4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC Bài 1: Giải các phương trình 1) 4 3 2 2 6 5 3 2 0 x x x x − + − + = 2) 4 3 2 2 3 16 3 2 0 x x x x + − + + = 3) 4 3 2 4 3 2 6 0 x x x x − + + − = 4) 5 4 2 9 13 22 8 0 2 x x x x − + − + = 5) 5 4 3 2 11 25 14 0 x x x x x − − − + − = Bài 2: Giải phương trình 2 3 2 11 21 3 4 4 0 x x x − + − − = Bài 3: Giải phương trình 2 3 2 1 1 3 1 x x x x − + = − − + + − Bài 4: Giải phương trình ( ) 2 2 10 3 1 6 1 3 x x x x + + = + + Hết . Chuyên đề: ĐA THỨC Huỳnh Chí Hào – THPT Chun NQD CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC Đa thức : (Đa thức một biến) 1. Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n ∈ ) là biểu thức có dạng . với n a 0 ≠ Các số 0 1 n a ,a , ,a gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức f(x) Ví dụ: 3 2 f(x) 2x 9x 12x 4 = − + − là đa thức bậc ba 2. Đa thức đồng nhất: a) Đa thức đồng nhất:. phép chia đa thức 3 2 f(x) 2x 9x 12x 4 = − + − cho đa thức x 1 − Ví dụ 2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức 4 2 f(x) 2x 3x 4x 5 = − + − cho đa thức x 1 + 7. Phân tích đa thức ra