Sử dụng phương pháp nhân tử lagrange để giải quyết một số bài toán cực trị

NHÂN TỬ LAGRANGE GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ - ÔN THI THPT QUỐC GIA Admin Blog Toán học – Kinh nghiệm học toán Trong ngành tối ưu hóa, phương pháp nhân tử Lagrange (đặt theo tên nhà toán học Joseph Louis Lagrange) phương pháp để tìm cực tiểu cực đại địa phương hàm số chịu điều kiện giới hạn Phương pháp học chương trình toán cao cấp bậc đại học Trên Internet có vài viết nói phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nhiên tương đối nhiều bạn chưa biết đến phương pháp Do viết đưa ứng dụng khác việc chứng minh bất đẳng thức công cụ hữu hiệu giải nhanh số toán cực trị đề thi thử THPT Quốc Gia đồng thời giúp ích cho số bạn yếu bất đẳng thức tham khảo! I GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE Khi gặp toán mà gặp điều kiện hàm f  x, y  với điều kiện ràng buộc g  x, y   Để tìm cực trị hàm có điều kiện ràng buộc ta thiết lập hàm Lagrange: Z x ,y ,   f  x, y   .g  x, y  Trong  số chưa xác định, gọi nhân tử Lagrange Z x '  x, y,    fx '  x, y   g x '  x, y    Điều kiện cần cực trị hệ phương trình sau: Z y '  x, y,    fy '  x, y   g y '  x, y    Z  '  x, y,    g  x, y   Khi giải hệ phương trình ta số  x , y ,   nghiệm hệ điểm dừng Khi ta so sánh f  x0 , y  với f  x1 , y  -  x , y  số khác thỏa mãn điều kiện g  x, y   mà thông thường giá trị biên – để kiểm tra xem điểm dừng cực đại hay cực tiểu Để hiểu rõ ta vào ví dụ minh họa II CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA Gọi M,n giá trị lớn M nhỏ biểu thức P  x  2y  3z Khi có giá trị là: n 27 81 27 81 A B C D 7 14 14 Bài 1: Cho x,y,z không âm thỏa mãn x  y  z  Hướng dẫn Đầu tiên ta thiết lập hàm Lagrange phần giới thiệu nói Ta có: 1  Z  x, y, z   x  2y  3z    x  y  z   9  Page 2x     4y      2  Điểm cực trị nghiệm hệ 9z      x, y, z,     ; ; ;   81 81 27 81   x  y  z   14 Khi thay vào biểu thức ban đầu ta P  6561 Tiếp theo nói ta so sánh giá trị với giá trị đặc biệt khác cụ thể giá trị biên Các giá trị biên x  0, y  0, z  0,  x, y    0,  ,  y, z    0,  ,  z, x    0,  Hàm Lagrange lúc là: 1  Z  x, y,   x  2y    x  y   9    x  27 2x       Điểm cực trị nghiệm hệ phương trình  4y      y  27   x  y    z  27 Khi giá trị P  243  11  46  32  Tương tự xét với trường hợp lại ta P   ; ; ; ;  243 243   81 81 243 14  min P  m  6561 M 81   Chọn ý A So sánh tất ta  Vậy m max P  M   81 Nhận xét: Các bạn nhận thấy với cách làm ta không cần phải tư nhiều việc sử dụng đánh giá bất đẳng thức AM – GM hay Cauchy – Schwarz mà việc lập hệ bấm máy CALC giá trị đặc biệt từ suy đáp án, ảo diệu đơn giản phải không Nhưng nhiên toán lấy khó tẹo điểm cực trị đạt biên – dễ nhận thấy điều cách để ý giả thiết không âm – thấy thông thường đề thi thử THPT Quốc gia mức chủ yếu giải hệ cực trị kết nên, nhiên biết trước điều  ta làm cẩn thận cho ăn  Để thấy rõ sức mạnh phương pháp ta tìm hiểu tiếp ví dụ sau  Trường hợp 1: z   x  y  Bài : Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn x  y   z    Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y  z  6x  2y  2z  11 A 3  10 Đề thi thử THPT Quốc gia 2016/2017 THPT Thăng Long – Hà Nội B  C  D 3  11 Phân tích Với toán ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức Page Thiết lập hàm Lagrange ta được:  Z  x, y, z   x  y  z  6x  2y  2z  11   x  y   z     Khi điểm cực trị nghiệm hệ phương trình: 3  x  y 2x   2x   x  y 2y   2y     2z     2z    z    2 x  y   z  2  x  y   z  1     10 10 x  3y x  ; y  ;z    10 10  z    9 10 3 10  2 x  y   z     x  10 ; y  10 ; z  Sử dụng máy tính cầm tay ta dễ thấy điểm cực tiểu 0, 1622776602  3  10 Vậy chọn đáp án A Nhận xét Ở nói theo kinh nghiệm đề thi thử không mức cực trị đạt biên mà cần giải hệ cực trị kết quả, nhiên để đánh giá biên khó biến nên ta coi cực trị đạt nghiệm hệ điểm rơi Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z   Tổng giá trị nhỏ lớn z là: z A B C 13 Đề thi thử THTT lần D Hướng dẫn Đặt z  a  bi  a, b    Biến đổi giả thiết ta z   z   a  b  1  4a b2   a  b2  Đặt  a , b2    x, y  x, y   ta chuyển toán tìm min, max T  x  y với x,y thỏa mãn điều kiện x  y  2xy  7x  11y   Thiết lập hàm Lagrange ta được: Z  x, y   x  y    x  y  2xy  7x  11y   1    2x  2y    Khi điểm cực trị nghiệm hệ phương trình  Không khó để 1    2y  2x  11  nhận hệ vô nghiệm Vậy chắn điểm rơi toán đạt biên  11  13 y   11  13 11  13   Cho x     T ;  2  11  13   y    7 x   T    ;    Cho y        7   x   Page  11  13 min T  Đến dễ dàng tìm  max T  11  13  Vậy z  max z  11  13 11  13   13  Chọn ý C 2 Bài 4: Trong nghiệm  x, y  thỏa mãn bất phương trình log x2  y2  2x  y   Tìm giá trị lớn biểu thức T  2x  y 9 A B C D Giải  x  2y   2  2x  y  x  2y Bất phương trình tương đương: log x2  y2  2x  y     2  x  2y   0  2x  y  x  2y    x  2y  Trường hợp 1:  Ta dễ thấy 2x  y  x  2y  2 0  2x  y  x  2y x  2y  Trường hợp 2:  Ta có đánh giá sau: 2 2x  y  x  2y 2 x  2y  2x  y  x  2x    2y  2    2y   8 2 2      x  1   2y    2  Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta lại có: 2      9  2x  y   x    y 2         x     2y      2  2      1 Vậy giá trị lớn P Đẳng thức xảy  x, y    2;   2 Nhận xét Ở toán ta sử dụng Lagrange để giải trường hợp Do chắn đẳng thức xảy nên ta cố định 2x  y  x  2y Thiết lập hàm lagrange Do ta cần tìm cực trị nên cho 2x  y  x  2y để tìm cho dễ Hàm ta sau: f  x, y   2x  y    2x  y  x  2y  Điểm cực trị nghiệm hệ phương trình sau: Page    x  4y 1x 2x  y  x  2y  x     y      f 'x     2x     1  4y f '     4y   y   y   y 2x  y  x  2y    Thay điểm cực trị vào biểu thức đầu dễ thấy Vậy giá trị lớn biểu thức Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Cạnh SA vuông góc với đáy SA  y Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM  x Biết x  y  a Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM A a 3 B a C a Chuyên Hưng Yên – Lần a3 D Hướng dẫn Độ dài đoạn MD  a  x Diện tích tứ giác AMCB là: 1 S  S ABCD  S MCD  a  a  a  x    a  ax  2 Khi thể tích khối chóp S.ABCM là: 1 V  SA.S AMCB  y  a  ax  Đến ta gặp khó khăn đánh giá biểu thức Nếu dùng AM – GM ta phải cân hệ số, dùng Lagrange chuyện đơn giản nhiều! Thiết lập hàm Lagrange – Coi a  const - ta có: Z  x, y   a y  axy    x  y  a  Khi điểm cực trị hàm số nghiệm hệ phương trình: S y A B x M C a  ay  2x  y a  x x  2 2  y  x  ax 2x  a  ax    2   y    a  ax  2y    x 2 x  y  a  y  x  ax 2   y  a 2 x  y  a x  y  a  Vậy Vmax a3   Chọn ý D Page D Bài : Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1  5i  5, z   3i  z   6i Giá trị nhỏ biểu thức T  z1  z B A D C Hướng dẫn Đây toán hay giải phương pháp hình học hóa, ta tiếp cận theo hướng sử dụng nhân tử Lagrange! Đặt z1  a  bi, z  c  di  a, b, c,d    a   b  2  25 a   b    25 Theo giả thiết ta có   2 2  c     d     c     d   8c  6d  35 Đến ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a  c   b  d Thiết lập hàm Lagrange ta có:   Z  a, b, c,d   a  b  c  d  2ac  2bd   a   b    25    8c  6d  35  Điểm cực trị nghiệm hệ phương trình: 2a  2c  2a   2b  2d   2b  10    cb  5c  5a  ad 3c  3a  4d  4b  2c  2a  8    2d  2b  6  2  a   b    25 a   b  2  25  8c  6d  35  8c  6d  35  a  4 a  35  6d  c    b  2  b  8      26 35  6d b  35  6d  40a  8ad       c   c  26 5 a   b    25     11  11 105  24a  50d  32b  d   d   10  10  Thay vào biểu thức ban đầu dễ thấy z  z   Chọn ý B Bài 7: Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   7i  Gọi m,M giá trị nhỏ lớn z   i Tính P  m  M A P  13  73 Đề thi minh họa THPT Quốc Gia 2017 lần – Bộ GD&ĐT  73  73 B P  C P   73 D P  2 Hướng dẫn Thứ có điểm yếu cả, phương pháp không ngoại lệ Bài toán điển hình cho thấy nhược điểm nhân tử Lagrange áp dụng cho vài vài toán cực trị đạt biên, để hiểu rõ ta tiến hành bắt tay vào làm nó! Gọi z  a  bi  a, b    Theo giả thiết ta có: Page  a     b  1 2  a  4   b   2 6 2   a     b  1  72  12 a  4   b    a  b  2ab  6a  6b    *  Ta có: z   i   a     b  1 2  a  4   b    a  b  2a  2b  Thiết lập hàm Lagrange ta có: Z  a, b   a  b2  2a  2b     a  b  2ab  6a  6b   Điểm cực trị nghiệm hệ phương trình: 2a     2a  2b    a  b  b  a     1  b 2b     2b  2a       a 2   a  b  2ab  6a  6b   a  b  2ab  6a  6b      a  b a  a  b  6a  6b       a   b   b  a  b  2ab  6a  6b   a  b  2ab  6a  6b    Đến ta tìm cực trị toán, cực trị chắn đạt biên, tìm giá trị biên nào? Nếu bạn tinh ý nhận phương trình  *  có nghiệm kép a  b  điều chứng tỏ  a     b  1 2 a  4   b    6 Để chứng minh điều ta có nhiều cách tọa độ hóa đánh giá đại số bất đẳng thức, viết sử dụng bất đẳng thức Mincowsky Ta có: a  2 2   b  1  a  4 2  b  7  a    a   b    b 6 a   a b    b  2  a    Dấu bất đẳng thức xảy  a    a    1  b   a  b    b  1  b    Đến tìm giá trị biên biến a  2  b  Cho  ngược lại Vậy ta tính giá trị biểu thức cần tìm giá trị a   b  ta tìm max z   i  73 Vậy từ chọn đáp án B Tóm lại việc sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange cho toán không hay, phát ta  a     b  1  a  4   b    ta việc rút điểm rơi đạo hàm tìm min, max nhanh nhiều không thời gian để lập hệ giải Do việc nắm chút kiến thức mở rộng bất đẳng thức điều nên làm để linh hoạt việc giải toán khó! Page LỜI KẾT: Hy vọng qua viết người phần hiểu nội dung phương pháp mà muốn nhắc tới viết để áp dụng giải số toán hay Bài viết bỏ số thời gian chuẩn bị tránh khỏi thiếu xót, mong bạn bỏ qua Mọi ý kiến thắc mắc vui lòng gửi fanpage – Blog Toán học – Kinh nghiệm học toán Rất cảm ơn người quan tâm tới viết! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phương pháp nhân tử Lagrange - Method of Lagrange Multipliers – Trần Trung Kiên, VMF [2] Lagrange Multipliers [3] A Salih - Department of Aerospace Engineering Indian Institute of Space Science and Technology, Thiruvananthapuram – September 2013 - Method of Lagrange Multipliers [4] S Jamshidi - Multivariate Calculus; Fall 2013 - Lagrange Multipliers [5] Tiếp cận phương pháp vận dụng trắc nghiệm toán thực tế - Trần Công Diêu [6] Nâng cao kỹ giải toán trắc nghiệm 100% dạng Mũ – Logarit, Số phức Page ... 2 Hướng dẫn Thứ có điểm yếu cả, phương pháp không ngoại lệ Bài toán điển hình cho thấy nhược điểm nhân tử Lagrange áp dụng cho vài vài toán cực trị đạt biên, để hiểu rõ ta tiến hành bắt tay vào... thức điều nên làm để linh hoạt việc giải toán khó! Page LỜI KẾT: Hy vọng qua viết người phần hiểu nội dung phương pháp mà muốn nhắc tới viết để áp dụng giải số toán hay Bài viết bỏ số thời gian chuẩn... giá trị biên biến a  2  b  Cho  ngược lại Vậy ta tính giá trị biểu thức cần tìm giá trị a   b  ta tìm max z   i  73 Vậy từ chọn đáp án B Tóm lại việc sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange