Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích giải quyết bài toán thể tích khối đa diện

Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH Nguyễn Ngọc Dũng - Học viên cao học ĐHSP HCM Ngày 29 tháng năm 2018 Tóm tắt lý thuyết Kỹ thuật chuyển đỉnh (đáy không đổi) A Song song đáy cũ Vcũ = Vmới đáy P B Cắt đáy B cũ Vcũ Giao cũ IA = = Vmới IB Giao A P I đáy Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) Sđáy cũ Vcũ = Vmới Sđáy ! a) Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số b) Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác P S S OM N AP Q x M OM ON = · OP OQ O N Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Q y Page of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 I https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác S M Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 P SM SN SP VS.M N P = · · VS.ABC SA SB SC C A N B Cơng thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần linh hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng ! B Một trường hợp đặc biệt S Nếu (A1 B1 C1 D1 ) (ABCD) SB1 SC1 SD1 SA1 = = = = k SA SB SC SD A1 VS.A1 B1 C1 D1 = k3 VS.ABCD D1 B1 C1 A B Kết trường hợp đáy n − giác C D Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác A Gọi V thể tích khối lăng trụ, V(4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V(5) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: • V(4) = • V(5) = V B C A 2V B C V 2V ; VA B ABC = 3 Bốn đỉnh lấy phải tạo thành tứ diện Ví dụ VA B BC = ! Page of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích B https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác A Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần AM CN BP lăng trụ Giả sử = m, = n, = p Khi đó: AA CC BP B M C V1 P m m+n+p ·V V2 = p V2 A B AM CN Khi M ≡ A , N ≡ C = 1, = AA CC ! C Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V thể tích khối hộp, V(4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: • V(4) đường chéo V = mặt song song A D C A V • V(4) (trường hợp lại) = B D Bốn đỉnh lấy phải tạo thành tứ diện V V Ví dụ VA C BD = ; VA C D D = ! B B C Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) A B Q DM =x DD BP =y BB    D ⇒ V2 =   x+y ·V C y A M x V2 D II P B N C Một số dạng toán Dạng 1: Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác: Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 n N https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích S M P VS.M N P SM SN SP = · · VS.ABC SA SB SC C Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 A N B Sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật chuyển đáy (trình bày phần lý thuyết) để đưa khối chóp cho khối chóp khác đơn giản Chú ý tỉ số đặc biệt hình, sử dụng định lý hình sơ cấp để tính tỉ số (Ta-lét, tam giác đồng dạng, phương tích, ) Tỉ số diện tích hai tam giác: P S S OM N AP Q = x M OM ON · OP OQ O N Q y Một số ví dụ Ví dụ (THPTQG 2017) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC E điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (M N E) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối tích V Tính V√ √ đa3 diện, khối√đa3diện chứa đỉnh A √ 2a 11 2a 13 2a3 2a3 A V = B V = C V = D V = 216 216 216 18 Lời giải Page of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 A M Q D E P N C √ Dễ dàng tính VABCD = 2a3 12 √ Bài tập trắc nghiệm Câu (THPT Ngô Sỹ Liên, Bắc Giang, HKII - 2017) Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD √ tam giác vuông C, với BC = a, CD = a Hai mặt phẳng (ABD) (ABC) vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết AB = a, M, N thuộc cạnh AC, AD cho AM = 2M C, AN = N D Tính chóp A.BM N √ thể tích V khối3 √ √ √ 2a3 a a3 a3 A V = B V = C V = D V = 18 Câu (THPT Vĩnh Lộc, Thanh Hóa, lần 2) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a D thuộc cạnh SB DB = a Mặt phẳng (α) qua AD song song với BC cắt SC E Tính tỉ số thể tích khối tứ diện SADE thể tích khối chóp S.ABC 1 A B C D 9 Câu (THPT Quốc Học, Quy Nhơn, lần 2, 2017) Cho khối tứ diện ABCD tích V điểm E cạnh AB cho AE = 3EB Tính thể tích V khối tứ diện EBCD theo V V V V V A V = B V = C V = D V = Câu (THPT Lê Q Đơn, TP HCM, 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân, AB = AC = a, SC vng góc với mặt phẳng (ABC) SC = a Mặt phẳng qua C, vng√góc với SB cắt SA, √ SB E, F Tính thể tích khối chóp S.CEF 3 a a a3 a3 B C D A 12 36 36 12 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 2a3 0976071956 Dùng kỹ thuật chuyển đáy, ta thấy VA.BCD = VA.CDE , VA.BCE = 2VABCD = √ BM BN BE VB.M N E 2a = · · = ⇒ VB.M N E = Ta có VB.ACE BA BC BE 24 ED EP EQ 2 VE.DP Q = · · = ⇒ VE.DP Q = VE.BM N Ta có VE.BN M EB EN EM √ √ 7 2a 11 2a3 ⇒ VDP Q.BN M = VE.BM N = ⇒ V = VABCD − VDP Q.BN M = 216 216 Chọn đáp án B Câu (THPT Phú Xuyên A - Hà Nội - 2017) B Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), SA = a, ∆ABC vng cân, AB = BC = a, B trung điểm SB, C chân đường cao hạ từ A ∆SAC Tính thể tích khối chóp S.AB C a3 a3 a3 a3 B C D A 12 36 27 Câu (THPT Phú Xuyên A - Hà Nội - 2017) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vng cân B, AC = 2a, SA vng góc với đáy, SA = a, I thuộc cạnh SB cho SI = SB Tính thể tích khối chóp S.ACI a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Câu (THPT Phan Bội Châu - Gia Lai - 2017) Cho khối chóp S.ABC tích V Gọi M , N , K trung điểm AB, BC, CA Tính thể tích khối chóp S.M N K V V V V A B C D Câu (THPT Chuyên ĐH Vinh - lần - 2017) Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a √ SC ⊥ (ABC) Đáy ABC tam giác vng cân B có AB = a Mặt phẳng (α) qua C vng góc với SA cắt SA, SB D, E Tính thể tích khối chóp S.CDE 2a3 2a3 a3 4a3 B C D A 9 Câu (THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - lần - 2017) Cho khối tứ diện ABCD Gọi M, N, E, F, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA, AC, BD Gọi V1 , V2 tương V1 ứng thể tích khối ABCD, M N EF P Q Tìm t = V2 A t = B t = C t = D t = Câu 10 (THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - lần - 2017) Cho khối chóp S.ABC ÷ = BSC ÷ = CSA ÷ = 30◦ Mặt phẳng (α) qua A cắt hai cạnh có SA = SB = SC = a (a > 0) ASB VS.AB C SB, SC B , C cho chu vi tam giác AB C nhỏ Tính tỉ số t = VS.ABC √ √ √ A t = B t = − C t = − D t = 2 − Câu 11 (THPT Hòa Bình - TPHCM - 2017) Cho tứ diện ABCD tích V G trọng tâm tam giác BCD, M trung điểm CD Thể tích khối chóp AGM C V V V V A B C D 18 Câu 12 (Sở Đồng Nai - HK2 - 2017) Cho hình tứ diện EF GH có EF vng góc với EG, EG vng góc với EH, EH vng góc với EF ; biết EF = 6a, EG = 8a, EH = 12a, với a > 0, a ∈ R Gọi I, J tương ứng trung điểm hai cạnh F G, F H Tính khoảng cách d từ điểm F đến mặt phẳng √ (EIJ) theo a √ √ √ 12 29a 29a 24 29a 29a B d = C d = D d = A d = 29 29 29 29 Câu 13 (THPT Quốc học - Quy Nhơn - lần - 2017) Cho khối chóp S.ABC Gọi G trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng (α) qua AG song song với BC cắt SB, SC I, J Tính tỉ số thể tích hai khối tứ diện SAIJ S.ABC 2 A B C D 9 27 Câu 14 (Sở Tuyên Quang - 2017) Cho khối chóp S.ABC, ba cạnh SA, SB, SC 1 lấy ba điểm A , B , C cho SA = SA, SB = SB, SC = SC Gọi V V 3 V thể tích khối chóp S.ABC S.A B C Tính tỉ số V Page of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 1 1 B C D 27 Câu 15 (THPT Chuyên Lê Thánh Tơng - Quảng Nam - 2017) Cho hình chóp S.ABC Gọi M trung điểm cạnh SA N điểm cạnh SC cho SN = 3N C Tính tỉ số k thể tích khối chóp ABM N thể tích khối chóp S.ABC 3 B k = C k = D k = A k = Câu 16 (Đề tham khảo Bộ GD-ĐT - 2017) Cho khối tứ diện tích V Gọi V thể tích khối đa điện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ điện cho, tính V tỉ số V V V V V A = B = C = D = V V V V Câu 17 (THPT Hùng Vương, Phú Thọ - 2017) Cho khối chóp tam giác S.ABC tích V Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB, N điểm nằm AC cho AN = 2N C V1 Gọi V1 thể tích khối chóp S.AM N Tính tỉ số V V1 V1 V1 V1 A = B = C = D = V V V V Câu 18 (Sở Cần Thơ, mã đề 324 - 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính thể tích V khối chóp M.ABC, với M trung điểm SB √ √ √ √ 3a 3a 3a 3a A V = B V = C V = D V = 12 Câu 19 (THPT Mỹ Đức A, Hà Nội - 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC √ thỏa AB = 2a, BC = 4a, AC = 5a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M , N hình chiếu vng góc A SB, SC Tính thể√tích V khối chóp S.AM √ N 2a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 Câu 20 (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần - 2017) Cho hình chóp S.ABC có AB = a Gọi M , N trung điểm SB, SC Biết mặt phẳng (AM N ) vng góc với mặt phẳng (SBC) Tính √ diện tích tam giác 2AM √ N √ √ a a 10 a2 a2 10 A B C D 16 16 Câu 21 (Sở GD ĐT Hải Dương) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, √ ÷ = 60◦ , BC = a, SA = a Gọi M trung điểm SB cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB Tính thể tích V khối tứ diện M ABC a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = Câu 22 (Sở GD ĐT Phú Thọ, lần 1) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với đáy (ABC) Gọi M , N trung điểm SA, SB P hình√chiếu vng góc A √ lên SC Tính thể tích V √của khối chóp S.M N P √ 3 3 3 3 A a B a C a D a 30 15 10 ÷ = CSB ÷= Câu 23 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm I) Cho hình chóp tam giác S.ABC có ASB ÷ = 90◦ , SA = SB = 1, SC = Gọi M điểm cạnh SC cho SM = SC Khi 60◦ , ASC đó, thể tích khối chóp S.ABM A Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích √ √ √ √ 2 B V = C V = D V = A V = 36 36 12 Câu 24 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm V) Cho hình chóp S.ABC tích V Gọi H, K trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AHK theo V 1 1 A VS.AHK = V B VS.AHK = V C VS.AHK = V D VS.AHK = V 12 Câu 25 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm VI) Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, SB = 5, SC = # » # » # » ÷ = BSC ÷ = 45◦ , CSA ÷ = 60◦ Các điểm M, N, P thỏa mãn đẳng thức AB 6; ASB = 4AM ; BC = # » # » # » 4BN ; CA √ = 4CP Tính thể tích khối chóp S.M N P √ 35 245 35 128 B C D A 32 Câu 26 (THPT Đông Anh, Hà Nội) Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vng góc đôi OA = a, OB = 4a, OC = 3a Gọi M , N trung điểm hai cạnh AC, BC Thể tích V khối tứ diện OCM N tính theo a a3 3a3 a3 2a3 B V = C V = D V = A V = 4 Câu 27 (THPT Ngô Sĩ Liên, Bắc Giang (HKII), 2017) Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD √ tam giác vuông C với BC = a, CD = a Hai mặt phẳng (ABD) (ABC) vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết AB = a M, N thuộc cạnh AC, AD cho AM = 2M√C, AN = N D Thể tích √khối chóp A.BM N √ √ 2a3 a3 a3 a3 A B C D 18 Câu 28 (THPT Yên Viên, Hà Nội (HKII), 2017) Cho hình chóp √ S.ABC có M, N a trung điểm SB, SC Biết thể tích khối chóp S.AM N Tính thể tích V khối chóp S.ABC √ √ √ √ a3 a3 3 B V = 2a C V = A V = a D V = 2 Câu 29 (Sở GD ĐT Gia Lai) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M, N P trọng tâm tam giác ABC, ABD √ 3và ACD Tính thể tích √ V3 khối chóp A.M √N P √ ba 2a 2a 2a 2a3 A V = B V = C V = D V = 72 1296 144 162 Câu 30 (Sở GD ĐT Hải Dương) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, √ ÷ = 60◦ , BC = a, SA = a Gọi M trung điểm SB cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB Tính thể tích V khối tứ diện M ABC a3 a3 a3 a3 B V = C V = D V = A V = Câu 31 (Sở GD ĐT Phú Thọ, lần 1) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với đáy (ABC) Gọi M , N trung điểm SA, SB P hình√chiếu vng góc A √ lên SC Tính thể tích V √của khối chóp S.M N P √ 3 3 3 3 A a B a C a D a 30 15 10 ÷ = CSB ÷= Câu 32 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm I) Cho hình chóp tam giác S.ABC có ASB ÷ = 90◦ , SA = SB = 1, SC = Gọi M điểm cạnh SC cho SM = SC Khi 60◦ , ASC đó, thể tích √ khối chóp S.ABM √ √ √ 2 A V = B V = C V = D V = 36 36 12 Page of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Câu 33 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm V) Cho hình chóp S.ABC tích V Gọi H, K trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AHK theo V 1 1 B VS.AHK = V C VS.AHK = V D VS.AHK = V A VS.AHK = V 12 Câu 34 (THPT Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi - 2017) Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vng góc đôi OA = a, OB = 2a, OC = 3a Gọi M, N trung điểm hai cạnh AC, BC Thể tích khối tứ diện OCM N theo a 2a3 a3 3a3 B a3 C D A 4 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Câu 35 (THTT, lần - 2017) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối chóp S.ABI √ √ √ √ a3 11 a3 11 a3 11 a3 11 A V = B V = C V = D V = 12 24 Câu 36 (THPT Mỹ Đức A, Hà Nội - 2017) Cho hình chóp S.ABC tích V Gọi M, N, P # » # » trung điểm cạnh AB, BC, CA Các điểm G, H, K thỏa mãn 5SG = SM , # » # » # » # » 6SH = SN , 7SK = SP Tính thể tích V khối chóp S.GHK V V V V A V = B V = C V = D V = 96 240 480 840 ĐÁP ÁN C 11 C 21 D B 12 C 22 A 13 23 31 D C C A 14 24 32 C B B C 15 25 33 C A B B 16 26 34 D A B D 17 27 35 C A C B 18 28 36 C C A D A 19 A 29 D 10 B 20 B 30 D Dạng 2: Tỉ số thể tích khối chóp tứ giác ✟ Bước Phân chia lắp ghép khối chóp tứ giác cho thành nhiều khối chóp tam giác ✟ Bước Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật chuyển đáy để tính thể tích khối chóp tam giác ✟ Bước Kết luận tính chất thể tích khối chóp tứ giác ban đầu ! Chú ý trường hợp đặc biệt sau: S Nếu (A1 B1 C1 D1 ) (ABCD) SA1 SB1 SC1 SD1 = = = =k SA SB SC SD A1 VS.A1 B1 C1 D1 = k3 VS.ABCD D1 B1 C1 A B Kết trường hợp đáy n − giác C D Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page of 23 https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Một số ví dụ Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ví dụ (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224 - 2017) Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng (P ) chứa AM song song với BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 thể tích khối đa V1 diện có chứa đỉnh S V2 thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD Tính V2 V1 V1 V1 V1 = B = C = D = A V2 V2 V2 V2 Lời giải S M Q G B C K O A D Gọi O = BD ∩ AC, G = SO ∩ AM Khi G trọng tâm ∆SAC Qua G kẻ đường thẳng song song BD cắt SB, SD Q K Khi (P ) ≡ (AKM Q) SG SK SQ G trọng tâm ∆SAC nên: = = = SO SD SB VS.AKM Q VS.KAM VS.AQM SK SA SM SA SQ SM = + = · · + · · = Ta có VS.ABCD VS.DAC VS.ABC SD SA SC SA SB SC ⇒ VS.AKM Q = VS.ABCD = V1 ⇒ V2 = VS.ABCD 3 V1 = Vậy V2 Chọn đáp án B Ví dụ Cho khối chóp tứ giác A.ABCD Mặt phẳng chứa AB qua C nằm SC chia khối SC chóp thành hai phần tích Tỉ số SC √ 5−1 A B C D Lời giải Page 10 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 S D A D C O B C Chọn đáp án A Bài tập trắc nghiệm Câu (Sở GD ĐT Bắc Giang - 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA = Điểm M cạnh SA cho mặt phẳng (M BC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Tính diện √ tích S tam giác√M AC √ √ 5−5 5− 5 A S = B S = C S = D S = 2 Câu (Sở GD ĐT Bình Thuận) Cho khối chóp S.ABCD tích V đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA, N điểm nằm cạnh SB cho SN = 2N B Mặt phẳng (α) di động qua điểm M , N cắt cạnh SC, SD hai điểm phân biệt K, Q Tính giá trị lớn thể tích khối chóp S.M N KQ theo V V V 3V 2V A B C D Câu (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2,2017) Một viên đá có hình dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cắt khối đá mặt phẳng song song với đáy khối chóp để chia khối đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện khối đá bị cưa mặt phẳng nói (Giả thiết tổng thể tích hai khối đá sau thể tích khối đá ban đầu) a2 a2 a2 2a2 √ A √ B √ C D 3 4 Câu (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2, 2017) Cho hình chóp S.ABCD tích V , có đáy ABCD hình bình hành Gọi N trung điểm SC Một mặt phẳng qua AN cắt cạnh SB, SD M, P Gọi V thể tích khối chóp S.AM N P Tính giá trị nhỏ V T = V A B C D 3 Câu (THPT Quốc Học, Quy Nhơn, lần 2, 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, SA = a Mặt phẳng (P ) qua A Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 11 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Dễ thấy VS.ABCD = 2VS.ABC = 2VS.ACD (∗) Theo đề thì: VS.ABC D = VS.ABCD VS.ABC + VS.AC D = ⇒ VS.ABCD VS.AC D VS.ABC + = (do (∗)) ⇒ 2VS.ABC 2VS.ACD SC SC SD ⇒ · + · · = SC SC SD 2 SC SC + = (do C D CD) ⇒ SC √ SC SC 5−1 ⇒ = SC Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích vng góc với SC cắt SB, SC, SD B , C , D Tính thể tích V khối đa diện ABCDD C B 5a3 5a3 5a3 5a3 A V = B V = C V = D V = 18 12 Câu (THPT Lê Quý Đôn, Vũng Tàu, 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = a Gọi M , N trung điểm AD, DC Góc mặt phẳng (SBM ) mặt phẳng (ABC) 45◦ Tính thể tích khối chóp S.ABN M 25a3 25a3 25a3 25a3 B C D A 16 18 24 Câu (Sở GD ĐT Bình Thuận) Cho khối chóp S.ABCD tích V đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA, N điểm nằm cạnh SB cho SN = 2N B Mặt phẳng (α) di động qua điểm M , N cắt cạnh SC, SD hai điểm phân biệt K, Q Tính giá trị lớn thể tích khối chóp S.M N KQ theo V V V 3V 2V A B C D Câu (Sở Hà Tĩnh - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi với O giao điểm AC BD Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD SDA V1 Gọi V1 , V2 thể tích khối chóp S.ABCD O.M N P Q Tính tỉ số V2 27 27 A B C D Câu (THPT Phú Xuyên A - Hà Nội - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB =√a, AD = 3a, SA ⊥ ABCD, góc SB (ABCD) 60◦ , M thuộc a SA cho AM = , (BCM ) ∩ SD = N Tính thể tích khối chóp S.BCM N √ √ √ √ 5a3 10a3 a3 a3 A B C D 9 27 Câu 10 (THPT Anh Sơn - Nghệ An - lần - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh bên, cạnh đáy a Gọi M , N , O trung điểm SC, SD, AC Tính tỉ VS.OM N số thể tích VS.ABCD 1 1 B C D A 12 16 Câu 11 (Sở Hà Nam - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Lấy điểm I đoạn √ SB cho IB = 2IS Tính √ khoảng cách h từ điểm √ I đến mặt phẳng (SCD) √ a 21 a 21 2a 21 a 21 A h = B h = C h = D h = 21 21 14 Câu 12 (THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang - lần - 2017) Cho hình chóp S.ABCD tích 18, đáy ABCD hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD cho SM = 2M D Mặt phẳng (ABM ) cắt SC N Tính thể tích khối chóp S.ABN M A B 10 C 12 D Câu 13 (THPT Quốc học - Quy Nhơn - lần - 2017) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A , B , C , D theo thứ tự trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.A B C D S.ABCD 1 1 B C D A 16 Page 12 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Câu 14 (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017) Cho khối chóp S.ABCD tích 3a3 Gọi G trọng tâm tam giác SAB Thể tích khối chóp G.ABCD D V = a3 A V = a3 B V = 2a3 C V = a3 3 Câu 15 (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA ⊥ (ABC) Biết AB = a, SA = 2a, mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC H K Tính thể tích V hình chóp S.AHK 8a3 3a3 4a3 8a3 B V = C V = D V = A V = 15 45 15 45 Câu 16 (THPT Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội - 2017) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, mặt bên tạo với đáy góc 60◦ Mặt phẳng (P ) chứa AB qua trọng tâm G tam giác SAC (P ) cắt SC, SD M N Tính theo a thể tích khối chóp S.ABM N √ √ √ √ 2a3 a3 5a3 4a3 A B C D 3 Câu 17 (THPT Thường Tín - Hà Nội - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M trung điểm SC Mặt phẳng (P ) chứa AM song song với BD chia khối chóp thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh S V2 thể tích phần lại V1 Tính tỉ số V2 2 1 A B C D 3 Câu 18 (Sở Vũng Tàu - 2017) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi N trung điểm SB, M điểm đối xứng với B qua A Mặt phẳng (M N C) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần V1 tích V1 , V2 với V1 < V2 Tính tỉ số k = V2 5 5 A k = B k = C k = D k = 11 13 Câu 19 (THPT Đông Hà, Quảng Trị, lần - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh SA vng góc với mặt đáy, góc SC mặt đáy 60◦ Gọi I trung√ điểm đoạn thẳng SB Tính theo a khoảng cách √ từ điểm S đến mặt phẳng (ADI) √ √ a 42 a A B a C D a 7 Câu 20 (THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích V khối tứ diện CM N P √ √ √ √ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 72 54 96 48 Câu 21 (THPT Nguyễn Huệ, Huế, lần - 2017) Cho hình chóp S.ABCD có SA = a, góc mặt bên mặt đáy 60◦ Gọi M trung điểm SA, mặt phẳng (P ) qua CM song song với √ BD cắt SB, SD lần lượt√tại E, F Tính thể tích √ khối chóp S.CEM F √ a3 15 4a3 15 4a3 15 a3 15 A B C D 75 225 225 75 Câu 22 (Sở GD ĐT Thừa Thiên Huế, mã đề 485) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a Mặt bên hình chóp tạo với đáy góc 60◦ Mặt phẳng (P ) chứa AB qua trọng tâm G tam giác SAC cắt SC, SD M , N Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABM N Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 13 of 23 https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 √ √ √ 3 3 a C V = a A V = 3a B V = Phương pháp tỉ số thể tích √ 3 D V = a Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Câu 23 (THPT Vĩnh Lộc, Thanh Hóa, lần 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối chóp G.ABCD 1 3 A a3 B a C a D a3 12 17 Câu 24 (THPT Triệu Sơn 2, Thanh Hố, lần 3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Gọi E trung điểm cạnh CD Biết a3 thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBE) theo a √ √ a a 2a a B C D A 3 3 Câu 25 (THPT Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, lần 3,2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi M trung điểm SB, P điểm thuộc cạnh SD cho SP = 2DP Mặt phẳng (AM P ) cắt cạnh SC N Tính thể tích khối đa diện ABCDM N P theo V 23 19 A VABCDM N P = V B VABCDM N P = V 30 30 C VABCDM N P = V D VABCDM N P = V 30 Câu 26 (THPT Chuyên Hưng Yên, lần 3,2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AD = 2AB = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi √ M, N trung điểm a SB, SD Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AM N ) Tính thể tích V khối chóp S.ABCD theo √ a √ 4a3 a3 2a3 B V = 4a C V = D V = A V = 3 Câu 27 (Sở GD ĐT Thừa Thiên Huế,2017) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a Mặt bên hình chóp tạo với đáy góc 60◦ Mặt phẳng (P ) chứa AB qua trọng tâm G tam giác SAC cắt SC, SD M , N Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABM N √ √ √ √ 3 3 3 3 A V = 3a B V = a C V = a D V = a 2 ĐÁP ÁN A 11 A B D B A D B C A 12 B 13 C 14 A 15 B 16 B 17 D 18 A 19 A 21 C 22 C 23 D 24 D 25 A 26 C 27 C 10 D 20 C Dạng 3: Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác A Công thức tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác Page 14 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 A Gọi V thể tích khối lăng trụ, V(4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V(5) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: • V(4) = • V(5) = V B C A B C 2V V Ví dụ VA B BC = ; VA B ABC = 3 ! Bốn đỉnh lấy phải tạo thành tứ diện B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác A Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần M AM CN BP lăng trụ Giả sử = m, = n, = p Khi AA CC BP đó: m m+n+p ·V V2 = V2 A AM CN ! Khi M ≡ A , N ≡ C = 1, = AA CC B C V1 P p B n N C Một số ví dụ Ví dụ (THPT Quốc Oai, Hà Nội (HKII) - 2017) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C có tất cạnh a Một mặt phẳng qua A B trọng tâm G tam giác ABC, cắt AC BC E F Tính thể tích V của√khối A B ABF E √ √ √ a3 2a3 a3 5a3 A V = B V = C V = D V = 27 27 18 54 Lời giải Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 15 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 2V https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích √ 3a3 A Chia khối đa diện A B ABF E thành hai khối chóp A ABF E A BB F S CEF CE CF Ta có = · = ⇒ SAEF B = S ABC ⇒ S CAB CA CB 9 √ 5 VABC.A B C 3a3 = VA ABF E = VA ABC = · V(4) = · 9 108 Ta có VA BB F = VA.BB F (chuyển đỉnh song song) S BAF BF BA Mà = · = A S BAC BC BA 1 Suy VA BB F = VA.BB F = VB BAF = · VB BAC · · V(4) · 3 √ VABC.A B C 3a · = 3 36 √ √ √ 3a3 3a 2a3 Vậy VA B ABF E = + = 108 36 27 Chọn đáp án B C Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Ta có VABC.A B C = B C E G F B Bài tập trắc nghiệm Câu (THPT Yên Viên, Hà Nội (HKII), 2017) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C tích V1 Gọi E trung điểm A C , F giao điểm AE A C Biết khối chóp V2 F.A B C tích V2 Tính tỉ số V1 V2 V2 V2 V2 A = B = C = D = V1 V1 V1 V1 Câu (Sở GD ĐT Cần Thơ, 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C M điểm tùy ý thuộc cạnh bên BB Gọi V, V thể tích khối lăng trụ ABC.A B C khối V chóp M.AA C C Tính tỉ số k = V A k = B k = C k = D k = 6 Câu (Sở Hà Nam - 2017) Cho lăng trụ ABC.A B C tích 18 Gọi M , N trung điểm AA BB Tính thể tích V khối đa diện CN M A B C A 12 B C D 15 Câu (THPT Gia Lộc - Hải Dương - lần - 2017) Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy √ ABC tam giác Mặt phẳng (A BC) có diện tích Gọi M, N trung điểm BB CC Tính thể tích khối tứ diện A AM N √ √ √ √ A B C 3 D Câu (THPT Thanh Chương - Nghệ An - lần - 2017) Cho lăng trụ ABC.A B C tích V Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp G.A BC theo V V V V V A B C D 12 Câu (Sở Quảng Bình - 2017) Cho hình lăng trụ ABC.A B C tích V Gọi G trọng tâm tam giác ABC, thể tích khối chóp G.A B C V V A B 3V C 2V D Page 16 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Câu 12 (THPT Trần Phú, Vĩnh Phúc, thi tháng 5, 2017) Cho hình lăng trụ ABC.A B C ÷ = 60◦ có AA = a, góc cạnh bên mặt đáy 60◦ Tam giác ABC vng C góc ABC Hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích V khối tứ diện A ABC theo a 9a3 3a3 27a3 81a3 A V = B V = C V = D V = 208 208 208 208 Câu 13 (Sở GD ĐT Long An, 2017) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C tích 36 cm3 Gọi M, N trung điểm AA , BB Tính thể tích V khối tứ diện AC M N B cm3 C cm3 D 12 cm3 A cm3 Câu 14 (THPT Lê Quý Đôn, Vũng Tàu, 2017) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C có AB =√ a, AA = 2a Lấy M √ trung điểm CC Tính √ thể tích khối tứ diện3M.ABC √ a3 a3 a3 a A B C D 12 Câu 15 (THPT Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi - 2017) Cho khối lăng trụ ABC.A B C √ có đáy ABC tam giác vng B, AB = BC = 2a, AA = a Tính thể tích V khối chóp A.BCC B theo√a √ √ √ 4a3 2a3 3 A V = B V = a C V = D V = 2a3 3 Câu 16 (THPT Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội - lần - 2017) Cho lăng trụ đứng ABC.A B√C có cạnh a.√Tính thể tích khối tứ diện √ AB A C √ 3 a a a a3 B C D A 12 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 17 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Câu (Sở Cao Bằng - lần - 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có cạnh đáy √ Tính khoảng cách d từ điểm A√đến mặt phẳng (A BC) 1, cạnh bên AA = √ √ √ 15 15 A d = B d = C d = D d = 5 Câu (Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, lần - 2017) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C tích V◦ Gọi P điểm đường thẳng AA Tính thể tích khối chóp tứ giác P.BCC B theo V◦ V◦ V◦ V◦ 2V◦ B C D A 3 Câu (Sở Yên Bái - 2017) Cho khối lăng trụ ABC.A B C tích V , thể tích khối chóp C ABC 1 A 2V B V C V D V Câu 10 (Chuyên Đại học Vinh, lần - 2017) Cho hình lặng trụ tam giác ABC.A B C có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh AB B C Mặt phẳng (A M N )√cắt cạnh BC P Tính √ 3thể tích khối đa diện √ M BP.A B N √ 3a3 3a 3a3 3a3 A B C D 32 32 68 96 Câu 11 (THPT Triệu Sơn 2, Thanh Hoá, lần 3) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C Gọi M, N điểm thuộc cạnh bên AA , CC cho M A = M A N C = 4N C Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trong bốn khối tứ diện GA B C , BB M N, ABB C A BCN, khối tứ diện tích nhỏ nhất? A Khối A BCN B Khối GA B C C Khối ABB C D Khối BB M N Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Câu 17 (THPT Ngơ Sĩ Liên - Bắc Giang - lần - 2017) Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu H A lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC Góc giữa√mặt phẳng (A ABB ) và√mặt đáy 60◦ Tính √ thể tích khối tứ diện ABCA √ 3a3 a3 3a3 a3 B C D A 8 16 16 Câu 18 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C √ ÷ = 120◦ Gọi K, I trung điểm cạnh có AB = a, AC = 2a, AA = 2a BAC CC , BB Tính thể tích V khối tứ√diện IA BK √ a3 a3 a3 a3 B V = C V = D V = A V = 6 Câu 19 (Sở GD ĐT Phú Thọ, lần 1) Cho khối lăng trụ ABC.A B C tích V Gọi I, K trung điểm AA , BB Tính thể tích khối đa diện ABCIKC theo V V 2V 4V 3V B C D A 3 Câu 20 (Sở GD ĐT Phú Yên) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C tích V Tính thể tích V1 khối tứ diện A ABC theo V A V1 = V B V1 = V C V1 = V D V1 = V 3 Câu 21 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm VII) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C tích Tính thể tích V khối chóp A ABC 1 C V = D V = A V = B V = Câu 22 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C √ ÷ = 120◦ Gọi K, I trung điểm cạnh có AB = a, AC = 2a, AA = 2a BAC CC , BB Tính thể tích V khối tứ√diện IA BK √ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 6 Câu 23 (Sở GD ĐT Phú Thọ, lần 1) Cho khối lăng trụ ABC.A B C tích V Gọi I, K trung điểm AA , BB Tính thể tích khối đa diện ABCIKC theo V 3V V 2V 4V A B C D 3 Câu 24 (Sở GD ĐT Phú Yên) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C tích V Tính thể tích V1 khối tứ diện A ABC theo V 1 A V1 = V B V1 = V C V1 = V D V1 = V 3 Câu 25 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm VII) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C tích Tính thể tích V khối chóp A ABC 1 A V = B V = C V = D V = Câu 26 (THPT Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - lần - 2017) Cho khối lăng trụ ABC.A √ B C có đáy tam giác cạnh a, chiều cao h Biết thể tích khối tứ diện ABC A 3 a Tính chiều cao h theo a A h = 2a B h = 3a C h = 4a D h = a ĐÁP ÁN D 11 A A 12 A Page 18 of 23 A 13 B 21 C B 14 D 22 A D 15 A 23 C A 16 A 24 D C 17 C 25 C A 18 A 26 A C 19 C Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 10 D 20 D 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Dạng 4: Tỉ số thể tích khối hộp A Cơng thức tỉ số thể tích khối hộp Gọi V thể tích khối hộp, V(4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: • V(4) đường chéo V = mặt song song A B D C A B D Bốn đỉnh lấy phải tạo thành tứ diện C V V Ví dụ VA C BD = ; VA C D D = B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) A B Q ! DM =x DD BP =y BB      D ⇒ V2 = x+y ·V C y A M x V2 D P B N C Một số ví dụ Ví dụ (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224 - 2017) Cho khối lập phương ABCD.A B C D Gọi M , N trung điểm AB AD, mặt phẳng (C M N ) chia khối lập phương thành khối đa diện, đặt V1 thể tích khối đa V1 diện tích nhỏ V2 thể tích khối đa diện tích lớn Tính V2 V1 V1 13 V1 V1 25 A = B = C = D = V2 V2 23 V2 V2 47 Lời giải Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 19 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 V • V(4) (trường hợp lại) = https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích A D B C Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 P Q N A M K D O H B C Đặt AB = a Kéo dài M N cắt BC, DC H, K Gọi Q = C H ∩ B B, P = C K ∩ D D 3a3 a3 25a3 47a3 Thể tích đa diện nhỏ: V1 = VC HCK − 2VQ.M HB = −2· = ⇒ V2 = · 72 72 72 25 V1 = · Vậy V2 47 Chọn đáp án D Bài tập trắc nghiệm Câu (THPT Tiên Hưng, Thái Bình) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính thể tích V khối tứ diện ACD √ B √ 3 a a3 a3 A V = a B V = C V = D V = 3 4 Câu (Sở GD ĐT Đồng Tháp) Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D Tỉ số thể tích khối tứ diện A ABC khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D 1 1 B C D A Câu (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224) Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi # » # » M điểm đường chéo CA cho M C = −3M A Tính tỉ số thể tích V1 khối chóp M.ABCD thể tích V2 khối lập phương V1 V1 V1 V1 A = B = C = D = V2 V2 V2 V2 Câu (THPT Chuyên Lào Cai, lần 2,2017) Cho khối hộp ABCD.A B C D Gọi M thuộc cạnh AB cho M B = 2M A Mặt phẳng (M B D ) chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 13 A B C D 12 17 41 17 Câu (THPT Chuyên Thái Bình, lần 5, 2017) Cho hình hộp ABCD.A B C D tích V1 V Gọi V1 thể tích tứ diện ACB D Tính tỉ số V A B C D 3 5 Page 20 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Câu (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224) Cho khối lập phương ABCD.A B C D Gọi M , N trung điểm AB AD, mặt phẳng (C M N ) chia khối lập phương thành khối đa diện, đặt V1 thể tích khối đa diện tích nhỏ V2 thể tích khối đa diện V1 tích lớn Tính V2 13 25 V1 V1 V1 V1 = = = = A B C D V2 V2 23 V2 V2 47 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Câu (THPT Quốc Học, Quy Nhơn, lần 2, 2017) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D tích G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp GABC 1 1 B V = C V = D V = A V = 18 12 Câu (Sở GD ĐT Đồng Tháp) Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D Tỉ số thể tích khối tứ diện A ABC khối hộp chữ nhật ABCD.A B C D 1 1 B C D A Câu (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224) Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi # » # » M điểm đường chéo CA cho M C = −3M A Tính tỉ số thể tích V1 khối chóp M.ABCD thể tích V2 khối lập phương V1 V1 V1 V1 A = B = C = D = V2 V2 V2 V2 Câu 10 (THPT Gia Lộc - Hải Dương - lần - 2017) Cho hình lập phương ABCD.A B C D Gọi I trung điểm BB , mặt phẳng (DIC ) chia khối lập phương thành phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn B C D A 17 12 Câu 11 (Sở Hải Phòng - 2017) Người ta cần cắt khối lập phương thành hai khối B C đa diện mặt phẳng qua A (như hình vẽ) cho phần thể tích khối đa diện chứa điểm B M nửa thể tích khối đa diện lại Tính tỉ số A D CN k= N CC P B C A k = B k = 3 C k = D k = A D Câu 12 (THPT Trần Phú - Hà Nội - 2017) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a = cm Tính thể tích tứ diện ABB D A 18 cm2 B 36 cm2 C cm2 D 12 cm2 Câu 13 (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - lần - 2017) Cho hình hộp VM.A B C ABCD.A B C D , mặt phẳng (ABCD) lấy điểm M Khi tỉ số VABCD.A B C D 1 A B C D Câu 14 (THTT, lần - 2017) Với đỉnh hình lập phương, xét tứ diện xác định đỉnh trung điểm ba cạnh xuất phát từ đỉnh Khi ta cắt bỏ khối tứ diện tỉ số thể tích phần lại so với khối lập phương 39 A B C D 50 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Page 21 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Phương pháp tỉ số thể tích Câu 15 (THPT Đồng Quan, Hà Nội - 2017) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a, tâm O Tính thể tích V khối tứ diện A.A B O theo a √ a3 a3 a3 a3 B V = C V = D V = A V = 12 Câu 16 (THPT Mỹ Đức A, Hà Nội - 2017) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh Trên tia AA , AB, AD lấy điểm M, N, P khác A cho AM = m, AN = n, AP = p (M N P ) qua đỉnh C Tính thể tích nhỏ V khối tứ diện A.M N P 27 27 B V = C V = D V = A V = Câu 17 (Tạp chí THTT, lần - 2017) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D tích G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp G.ABC 1 1 A V = B V = C V = D V = 12 18 Câu 18 (THPT Thị xã Quảng Trị, lần 2, 2017) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D tích V Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tính, theo V , thể tích khối chóp G.ABC V V V V A B C D 12 18 Câu 19 (THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam, lần 3, 2017) Cho hình hộp ABCD.A B C D , gọi O giao điểm AC BD Tính tỉ số thể tích khối chóp O.A B C khối hộp ABCD.A B C D 1 1 A B C D Câu 20 (THPT Tiên Hưng, Thái Bình) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính thể tích V khối tứ diện ACD √ B √ a3 a3 a3 A V = a B V = C V = D V = 3 4 Câu 21 (THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội, lần 3) Cho √ hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D a2 13 có AB = a, AD = 2a Diện tích tam giác A DC Tính thể tích khối chóp A BCC B√ 8a3 13 A B 2a3 C 3a3 D 6a3 39 Câu 22 (Sở GD ĐT Bình Phước) Gọi V thể tích hình lập phương ABCD.A B C D V1 thể tích tứ diện A ABD Hệ thức sau đúng? A V = 6V1 B V = 4V1 C V = 3V1 D V = 2V1 Câu 23 (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Gọi M trung điểm A B , N trung điểm BC Tính thể tích V khối tứ diện ADM N a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 Câu 24 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm VII) Cho khối lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính thể tích khối chóp tứ giác √ D.ABC D √ 3 a a a3 a3 A B C D Câu 25 (Sở GD ĐT Đà Nẵng, mã đề 224) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Gọi M trung điểm A B , N trung điểm BC Tính thể tích V khối tứ diện ADM N a3 a3 a3 a3 B V = C V = D V = A V = 12 Page 22 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Câu 26 (Sở GD ĐT TP HCM, Cụm VII) Cho khối lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Tính thể tích khối chóp tứ giác √ D.ABC D √ 3 a a3 a3 a B C D A Câu 27 (THPT Phan Bội Châu - Đắk Lắk - lần - 2017) Tính thể tích khối hộp ABCD.A B C D biết khối chóp A.BB D D tích cm3 A 15 cm3 B 10 cm3 C 40 cm3 D 25 cm3 ĐÁP ÁN B D C A A B D D 12 B 13 C 14 C 15 B 16 D 17 D 18 D 19 C 21 B 22 A 23 C 24 A 25 C 26 A 27 A Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 10 C 20 A Page 23 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 A 11 B ... 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268 Dạng 4: Tỉ số thể tích khối hộp A Cơng thức tỉ số thể tích khối hộp Gọi V thể tích khối hộp, V(4) thể tích khối. .. Cho khối lập phương ABCD.A B C D Gọi M , N trung điểm AB AD, mặt phẳng (C M N ) chia khối lập phương thành khối đa diện, đặt V1 thể tích khối đa diện tích nhỏ V2 thể tích khối đa diện V1 tích. .. 10 D 20 C Dạng 3: Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác A Công thức tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác Page 14 of 23 Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG - 0976071956 Phương pháp tỉ số thể tích https://www.facebook.com/ngocdung.nguyen.14268