Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích của các khối đa diện

MỤC LỤC Trang Lời giới thiệu…………………………………………………………………… 2.Tên sáng kiến…………………………………………………………………… 3.Tác giả sáng kiến……………………………………………………………… 4.Chủ đầu tư tạo sáng kiến…………………………………………………… Lĩnh vực áp dụng sáng kiến…………………………………………………… Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu………………………………………… Mô tả chất sáng kiến ………………………………………………… NỘI DUNG 5 A CƠNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH …………… …………………………… Bài tốn B MỘT SỐ DẠNG TỐN SỬ DỤNG CƠNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng tốn 1: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện Dạng tốn 2: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính thể tích 5 11 khối đa diện Dạng toán 3: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích tốn Min, Max 18 hình học khơng gian C MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN…………………………… 24 Những thông tin cần bảo mật…………………………………………… 29 Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……………………………… 29 10 Đánh giá lợi ích thu được…………………………………………………… 29 11 Danh sách tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử…………………… 29 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Toán học mơn học địi hỏi tư lơgic chặt chẽ Học sinh thường học mơn Tốn nói chung vất vả thấy khó, đặc biệt mơn Hình học khơng gian lại khó khăn Tuy nhiên từ năm học 2016 – 2017 đến Bộ Giáo Dục Đào Tạo thực đổi thi cử, mơn Tốn với mơn khác chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Học sinh khơng phải trình bày toán theo kiểu tự luận mà cần cho đáp án xác nhất, nhanh Nhưng phần lớn học sinh gặp câu “Hình” trắc nghiệm khoanh bừa đáp án, mà ta lại thấy đề thi câu Hình học khơng gian lại xuất nhiều Nếu khoanh bừa đáp án theo kiểu “Hên-xui” học sinh thường khơng n tâm có phần nhiều lo lắng Trong đề thi minh họa Bộ Giáo Dục Đào Tạo đề thi thức Bộ Giáo Dục ln có tốn “Dễ, trung bình, khó” tính tỉ số thể tích, tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ khối đa diện đặc biệt khó tốn lại liên quan đến tốn Min-Max hình học khơng gian Những tốn thường gây cho học sinh lúng túng nhiều em học sinh thường bỏ qua tốn “Hình” Đây vấn đề thực tế để học tốt vốn khơng đơn giản học sinh có tư hình học yếu, đặc biệt tư cụ thể hoá, trừu tượng hoá Việc dạy học vấn đề chương trình tốn lớp vốn gặp nhiều khó khăn nhiều nguyên nhân, có nguyên nhân tâm lý gặp hình thấy khó sách giáo khoa thiếu nhiều tập phần trắc nghiệm để rèn luyện phần Do học vấn đề tính tỉ số thể tích, tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ khối đa diện chương hình học 12 học sinh gặp nhiều khó khăn Đa số em học sinh thường có cảm giác nhìn vào tốn khơng muốn đọc dài cịn khó Có em mà học chút học vấn đề nhìn chung em thường vận dụng cơng thức cách máy móc chưa có phân tích, thiếu tư lơgic trực quan nên em hay bị nhầm lẫn, khơng giải được, đặc biệt tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” thể tích tính Càng khó khăn cho học sinh có kỹ tính tốn hình cịn yếu kỹ “Nhìn hình vẽ khơng gian” cịn hạn chế, mơ hồ Trong sách giáo khoa tập vấn đề cịn ít, lượng tập hạn chế sơ sài Trên diễn đàn tài liệu nhiều vơ kể gây hoang mang cho học sinh khơng biết nên tham khảo tài liệu hay bỏ tài liệu nào, chưa kể tài liệu viết lan man, nhiều toán chí cịn đánh đố học sinh Nhận thức vấn đề nên tơi viết đề tài “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” nhằm giúp cho em học sinh lớp 12 có tài liệu tham khảo đọng Trong đề tài lượng tập xếp theo thứ tự từ dễ đến khó đầy đủ dạng mà đề thi THPT QG thường đề cập tới Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ tính tỉ số thể tích, tính thể tích làm tốn min, max liên quan đến khối đa diện Học sinh thấy việc sử dụng phương pháp tỉ số thể tích vào làm tốn trắc nghiệm số nhanh xác, học sinh cảm thấy hứng thú, thiết thực học tốt hình học khơng gian, em khơng cịn cảm giác không làm nữa, mà giải tốn nhanh gọn Tên sáng kiến “Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện” Tác giả sáng kiến - Họ tên: Tô Ngọc Dũng - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân – Huyện Vĩnh Tường – Tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0976378504 - Email: dung.thpt.nvx@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến - Họ tên: Tô Ngọc Dũng Lĩnh vực áp dụng sáng kiến - Nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trường THPT Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Từ tháng 09 năm 2019 đến tháng 02 năm 2020 Mô tả chất sáng kiến: - Để giúp em học sinh tính tốn nhanh tập trắc nghiệm hình học tính tỉ số thể tích khối đa diện, tính thể tích khối đa diện em học sinh giỏi làm số toán min-max khối đa diện hình khơng gian NỘI DUNG A CƠNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Bài tốn: Cho hình chóp tam giác S ABC Trên ba đường thẳng SA, SB , SC lấy ba điểm A′, B′, C′ khác với S Gọi V V ′ thể tích V SA SB SC = khối chóp S ABC S A′B′C′ Khi ta ln có: B MỘT SỐ DẠNG TỐN SỬ DỤNG CƠNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng tốn 1: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích khối đa diện Phương pháp: - Sử dụng cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác - Sử dụng định lí, tính chất hình học biết Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P trung điểm SA, SB SC Khi tỉ số thể tích khối chóp S MNP khối chóp S ABC A Lời giải Chọn B Ta có: V S MNP SM SN SP = = VS.ABC SA SB SC Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N trung điểm SA , SB Tính tỉ số VS ABC V A S.MNC Lời giải V S ABC Ta có V S MNC Ví dụ 1.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân C cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có SA=AB Mặt phẳng (α) qua A vng góc với SB cắt SB B’ cắt SC C’ (B’ C’ khác S) Tìm tỉ số thể tích hai phần khối chóp cắt (α)? Lời giải: Ta đặt: CB = CA = a; AB =SA = a ; SB = 2a; SC = a V S.AB'C' = C SA SB' SC' SB' SC' = VS.ABC SA SB SC SB SC Dễ dàng chứng minh tam giác AC’B’ vuông C’ Nên ta có: V SA SB' SC' S.AB'C' = V SA SB SC S.ABC V =1 S.AB'C' S.ABC Ví dụ 1.4 Cho hình chóp S.ABCD Gọi G trọng tâm ∆SBC, mp(α ) qua G song song (ABC) cắt SA, SB, SC A’, B’, C’, chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Lời giải: S C' A' G B' C A B Dễ dàng điểm A’, B’, C’ nằm cạnh SA, SB, SC nên ta tính tỉ số V SA ' B ' C ' V ABC V Ta có: SA'B'C ' V SABC Ví dụ 1.5 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích Gọi O giao điểm AC BD I giao điểm SO B’D’ Khi AI cắt SC C’ Ta có: V S.AB'C' = SB' SC' SC' = V V S.ABC SC' SD' SC' S.AC'D' = = V SB SC SC S.ACD Suy ra: +V V S.AB'C' S.AC'D' Kẻ OO’//AC’ (O’∈SC) Ta có SC’ = C’O’ = O’C Do đó: V S.A'B'C'D' Suy ra: V Ví dụ 1.6 Cho khối chóp tứ giác SABCD, mặt phẳng (α ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Lời giải: S N M A D H C B Kẻ MN // CD (N ∈SD) ⇒ Hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mp(ABM) V Ta có: SANB V SADB Mặt khác có: =V Mà: V SABMN Ví dụ 1.7 Cho hình chóp S.ABC lấy M N cạnh SA SB SM SN = , = Mặt phẳng (α) qua MN song song với SC chia khối MA NB chóp thành hai phần, tìm tỉ số thể tích hai phần Lời giải: cho Kéo dài MN cắt AB I, kẻ MD song song SC (D∈AC); E =DI∩CB Khi tứ giác MNED thiết diện khối chóp cắt (α) Lời giải : S A N M C B Gọi J giao =S S ∆ABJ ∆ACJ SM Đặt: x = SB V S.AMG Ta có: V S.ABJ Tương tự: V S V SA = V Từ (1) (2) ⇒ x + y = 3xy SM SA SB SC Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có: x+y≥2 Từ (*) ta có: 3xy ≥ V V1 V xy = ≤ xy Vậy giá trị lớn Ví dụ 3.4 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình bình hành Các điểm ′ A ′ ,C ′ ′ ′ thỏa mãn SA = cắt cạnh SB , SD AC S.ABCD k là: 21 A 15 Lời giải: Ta có V S A′ C ′B ′ VS ACB Và V S.A′C′D′ = = SA′ SC ′ SB ′ = SA SC SB SB′ (1) 15 SB SA′ SC′ SD′ SD′ (2) = VS ACD SA SC SD 15 SD Mà VS ACB = VS ACD (do hai hình chóp S ACB , S ACD có chung chiều cao h = d(S , ( ABCD)) hai tam giác ACB, ACD có diện tích nhau) Do VS ACB = VS ACD = 2VS ABCD Cộng (1) (2) theo vế ta được: Từ giả thiết, ta có k * Tương tự: 22 Suy k = k≥ { }= Vậy k Ví dụ 3.5 Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng (α) qua trung điểm I đoạn thẳng AG cắt cạnh AB, AC, AD điểm (khác A) Gọi hA, hB, hC, hD khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt phẳng (α) Tìm giá trị nhỏ biểu h B2 + h C2 thức: P = hA2 Gọi B’, C’, D’ giao điểm mặt phẳng (α) với cạnh AB, AC, AD C' B G Ta có: VAGBC = VAGCD = VAGDB = VABCD.(*) Vì: V AB' C ' D ' V AB'C'D' V = ABCD V =V AIB'C' 3V AGBC AIB' C ' + V +V AIC'D' 3V AGCD AIC ' D ' + V +V (*) nên: AID ' B' AID'B' 3V AGDB  AB'.AC'.AD' = AI.AB'.AC' + AI.AC'.AD' + AI.AD'.AB' AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB D C AB Mà AB' AC' AD'AI BB' h CC' h DD' h Suy ra: h B h C hD + + = ⇔ h B + h C + h D = 3hA h A h A hA Ta có: (h B + h C + h D )2 ≤  Mặt khác ta có: = B , = C , = D ( h 2B + h C2 + h 2D ) (h B − h C )2 + ( h C − h D )2 + ( h D − h B )2 ≥ (luôn đúng) Kết hợp với (**) ta được: (3h A ) ≤ ( h 2B + h C2 + h2D ) hay: h + h + h2 D = Vậy giá trị nhỏ biểu thức: P = B C h2A (**) h + h + h2 B C D ≥3 23 + C MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN Câu Cho khối tứ diện ABCD tích V điểm E cạnh AB cho AE = 3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V A Câu AC ′ BB′ Tính tỉ số VABCMN V ABC.A′B′C′ A Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tích Gọi M , N điểm cạnh SB SD cho Tìm giá trị k để thể tích khối chóp S AMN A k = Câu Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 Câu Cho hình chóp S ABC tích V biết M , N , P thuộc cạnh SA, SB, SC cho SM = MA, SN = NB, SC = 3SP Gọi V ′ thể tích A V′= Câu Cho khối chóp S ABC tích 5a3 Trên cạnh SB, SC lấy điểm M N cho SM 3MB , Tính SN 4NC (tham khảo hình vẽ) thể tích V khối chóp A.MNCB A V Câu Cho hình chóp S ABC cạnh SA, SB , SC lấy điểm M , N , P cho Hỏi thể tích khối đa diện MNPABC ? A 24 a3 Câu Cho hình chóp S ABC, cạnh bên SA, SB , SC theo thứ tự lấy điểm A' , B ' , C' tính giá trị k A k = Câu Cho khối chóp S ABCD, điểm M , N , P, Q trung điểm S ABCD A 16 Câu 10 Cho khối tứ diện tích V Gọi V ' thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện cho Tính tỷ số = V' V A Câu V' 11 ASB = BSC = CSA = 60 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a, b, c A 12abc Câu 12 Cho SA = SB = SC = 2a , thẳng SD mặt phẳng (MBC ) Gọi V ,V1 S ABCD S BCNM , Tỷ số A Câu 13 Cho khối chóp S ABC Gọi 3SM =MB, chóp M ABN S ABC A Câu 14 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích Gọi M , N hai điểm nằm hai cạnh AA' BB ' cho M trung điểm AA' BN = BB ' Đường thẳng CM cắt đường thẳng C ' A' P đường thẳng CN cắt đường thẳng C ' B' Q Thể tích khối đa diện A ' MPB ' NQ 25 A Câu 15 Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy 1, chiều cao Xét đa diện lồi H có đỉnh trung điểm tất cạnh hình chóp (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích H A Câu 16 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói a2 A Câu 17 Cho hình chóp S ABC tích V Gọi P, Q trung điểm SB, SC G trọng tâm tam giác G APQ theo V A.V = Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA = a phẳng ( AB ' D ') A.V= Câu 19 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng (BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần tích V1 , V2 , V1 thể tích phần chứa đỉnh A Tính tỉ số A V2 V Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh SB , SC Tính thể tích khối chóp S AMND biết khối chóp S ABCD tích a3 a3 A Câu 21 Cho điểm M nằm cạnh SA, điểm N nằm cạnh SB khối chóp tam giác S ABC cho song song với SC chia khối chóp thành phần Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa A, V thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V1 A V Câu 22 Cho khối chóp S ABC tích V , M điểm cạnh SB Thiết diện qua M song song với hai đường thẳng SA , BC chia khối chóp S ABC thành hai phần Gọi V Tính tỷ số A Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SA ⊥ ( ABCD) Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD) D lấy điểm S′ thỏa mãn S ' D = tích phần chung hai khối chóp S ABCD S ABCD Gọi V2 chóp S ABCD Tỉ số A Câu 24 18 Cho tứ diện S ABC có G trọ AG cắt cạnh SB , SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số A Câu 25 ′ ′ A D cho MD = x thể tích khối lập phương cho gấp ba lần thể tích khối đa diện MNA′.C ′BB′ A x = Câu 25 Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC), tam giác ABC vuông B Biết SA = a , AB = b , BC = c Gọi B ', C ' tương ứng hình chiếu vng góc A SB , SC Gọi V , V ' tương ứng thể tích khối chóp S ABC , S AB ' C ' Khi ta có: V' A V a + b2 V' C a2 = = V ( a + b )( a + b 2 2 Câu 27 Cho khối chóp S ABCD tích V Gọi M , N , P , Q trọng tâm mặt bên (SAB), (SBC ), (SCD), (SDA) Tính thể tích khối chóp S MNPQ theo V = A V SMNPQ Câu 28 Cho hình chóp S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = 2SM , SN = 2NB , (α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu (H1 ) (H2 ) khối đa diện có chia khối chóp S ABC mặt phẳng (α ) , (H1 ) thể tích (H1 ) (H2 A Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có SA = x , BC = y , AB = AC = SB = SC =1 Thể tích khối chóp S ABC lớn tổng x + y bằng: A Câu 30 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình bình hành Các điểm A ,C cắt cạnh SB , SD ′ ′ thỏa mãn SA B biểu diễn dạng A 19 28 Các thông tin cần bảo mật (nếu có): Khơng Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Với học sinh: Học sinh lớp 12 THPT Nguyễn Viết Xuân - Với giáo viên: Giáo viên cần nắm đối tượng học sinh để có phương pháp dạy học hữu hiệu - Người giáo viên cần phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, ln ln khơng ngừng tìm tịi, tham khảo tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại xây dựng thêm tốn có hình ảnh trực quan phát triển lực cho học sinh 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu - Qua trình giảng dạy thời gian vừa rồi, tài liệu “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” giúp học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp tốn tính tỉ số thể tích, tính thể tích khối đa diện cao làm tốn min-max hình học khơng gian giải sử dụng phương pháp tỉ số thể tích - Sau thời gian áp dụng đề tài giảng dạy tơi thấy số lượng giỏi, khá, có tăng lên số lượng trung bình cịn Nhưng tôi, điều quan trọng giúp em thấy bớt khó khăn việc học tập mơn tốn, tạo niềm vui hưng phấn bước vào tiết học - Bản thân giáo viên viết đề tài tự trau dồi cho chun mơn có kĩ phân tích tổng hợp tốt - Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu hữu ích cho học sinh học tập cho giáo viên khác trau dồi thêm kinh nghiệm, làm tài liệu tham khảo 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: Số TT Vĩnh Tườn 2n Thủ tr Chính qu Phạm Thị Hịa 30 Tơ Ngọc Dũng ... tỉ số thể tích giải tốn tính thể tích khối đa diện Phương pháp: - Nhiều tính trực tiếp thể tích khối đa diện cần tính khó, nhiên ta sử dụng cơng thức tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác để đưa... THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” giúp học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp tốn tính tỉ số thể tích, tính thể tích khối đa diện cao làm tốn min-max hình học không gian giải sử dụng phương pháp. .. ′ thể tích V SA SB SC = khối chóp S ABC S A′B′C′ Khi ta ln có: B MỘT SỐ DẠNG TỐN SỬ DỤNG CƠNG THỨC TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng tốn 1: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích giải tốn tính tỉ số thể tích