Sáng kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh khai thác cácc bài toán"

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau.Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc đối với nộidung mới, để củ

Tạo hứng thú học môn Toán qua việc khai thác lời giải một số bài toán

MỞ ĐẦU

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh, có thể xemviệc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập ở trường phổthông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúphọc sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toánhọc vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mụcđích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tậptoán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau.Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc đối với nộidung mới, để củng cố hoặc kiểm tra… Chính vì vậy, việc dạy giải một bài tập cụ thểkhông chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiềumặt đã nêu

Đối với bản thân tôi, trong quá trình giảng dạy môn toán, tôi thấy rằng: mỗi bài tậptoán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng mộtcách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau

 Chức năng dạy học: bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những trithức, kĩ năng kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

 Chức năng giáo dục: bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vậtbiện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người lao độngmới

 Chức năng phát triển: bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặcbiệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duykhoa học

 Chức năng kiểm tra: bài tập nhằm đánh giá mức độ, hiệu quả dạy và học, đánhgiá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Một tiết học sẽ trở nên sinh động hấp dẫn hơn, tạo hứng thú học tập bộ môn cho họcsinh, nếu người thầy nhận thức được vị trí và chức năng của bài tập toán học

Từ những suy nghĩ ấy, nay tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này đểgiúp cho việc giảng dạy môn toán có hiệu quả hơn và cũng như góp phần tạo ra sự hứngthú học tập cho học sinh khi các em nhận thấy rằng: Toán học không những không khôkhan mà trái lại toán học luôn có một vẻ đẹp quyến rũ, đầy màu sắc lung linh huyền ảo

B PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này được trình bày thành hai phần chính:

 Phần I: Cơ sở lí thuyết.

 Phần II: Ứng dụng xây dựng và giải một số bài toán.

Đồng Xoài, ngày 10 tháng 5 năm 2008

Người viết:

Đỗ Mạnh Toàn

NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

 Trong môn Toán ở trường THPT, có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không cóthuật toán để giải Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn học sinhcách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đây là cơ hội tốt để giáo viên trang bị chohọc sinh một số tri thức phương pháp giải toán- phương pháp toán học hóa- nhằmrèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học

 Biết đề ra cho học sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợpvới trình độ, đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạtbảng gợi ý của Pôlya, là thể hiện kinh nghiệm và năng lực của người giáo viêntrong quá trình dạy học giải bài tập Không có một thuật toán tổng quát nào đểgiải mọi bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học, giải một số bài toán cụthể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuậttrong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán

 Phương pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo 4 bước:

 Tìm hiểu nội dung của bài toán

 Xây dựng chương trình giải

 Thực hiện chương trình giải

 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

a Thực hiện nội dung bài toán

 Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán

đó Vì thế người giáo viên cần chú ý gợi động cơ, khơi gợi trí tò mò, hứng thúcủa học sinh và giúp các em hiểu bài toán phải giải Phải tìm hiểu bài toán mộtcách tổng thể để bước đầu hiểu toàn bộ bài toán, tránh vội vàng đi ngay vào cácchi tiết

 Tiếp theo phải phân tích bài toán: Cái gì đã cho? Cái gì chưa biết? Có mối liên hệnào giữa cái phải tìm và cái đã cho?

Ví dụ 1: Biết tana b   5vàtana b   3, hãy tính tan 2 , tan 2a b

 Hãy chú ý xem xét bài toán, chưa nên vội vàng khai triển tan a b  , tan a b  

(dù vẫn đi đến kết quả nhưng dài và phức tạp) Ta đã biết tan a b  và tan a b  

để tính tan 2 , tan 2a b ta sẽ thực hiện như sau:

tan( ) tan( ) 4

2 ( ) ( tan 2 tan[( ) ( )]

1 tan( ).tan( ) 7 tan( ) tan( ) 1

Tạo hứng thú học môn Toán qua việc khai thác lời giải một số bài toán

x x y y M

b Xây dựng chương trình giải

 Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giảnhơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan đếnnhững khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó nhữngkiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vàikhả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét một bài toán tương tự hoặc bài toán kháiquát hóa của bài toán đã cho

Ví dụ 1: Chứng minh rằng ba cạnh a, b, c của một tam giác bất kì thỏa mãn bất

đẳng thức: a2 b2 c2  2(ab bc ca  )

 Bài toán đề cập mối quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác Hãy huy động những định

lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:

 Tương tự:

2 2

 Cộng từng vế và ước lược ta có điều phải chứng minh

 Hãy tiếp tục thử với (2): nếu nhân 2 vế của (2) với a ta được: a2 ab ac

Tương tự ta có: b2 ab bc c , 2 ac bc Cộng 3 bất đẳng thức trên ta lại đi tới điều phải chứng minh bằng cách khác

 Trong quá trình giải toán, có khi ta phải biến đổi bài toán, thay thế điều phảichứng minh hay cái phải tìm bằng cái tương đương, phát biểu bài toán dưới dạngkhác

Ta cần liên hệ bài toán nào?

 Ở đây ta chú ý bài toán: “ Cho a, b, c > 0 CMR:  

2 2

 Để chứng minh (1), ta viết lại:

c Thực hiện chương trình giải

 Để ta được một chương trình, tìm được ý của cách giải không phải là dễ Muốnđạt được kết quả, đòi hỏi phải có nhiều điều kiện: những kiến thức có sẵn, nhữngthói quen suy nghĩ, sự tập trung và cả sự may mắn nữa Thực hiện chương trìnhthì dễ dàng hơn nhiều, ở đây đòi hỏi chủ yếu là sự kiên nhẫn

 Chương trình chỉ vạch ra những nét tổng quát Chúng ta phải đảm bảo cho nhữngchi tiết phù hợp với những nét tổng quát đó Do đó phải kiên nhẫn khảo sát từngchi tiết một, cho tới khi tất cả đều rõ ràng không còn có những chỗ mơ hồ có thểche giấu một sự sai lầm

 Để thực hiện tốt chương trình giải, ta cần thực hiện một cách chi tiết những phéptính đại số hay hình học đã làm sơ bộ trước đây Kiểm tra lại một bước bằngnhững suy luận lôgic hay bằng trực giác, nếu có thể được bằng cả 2 cách Nếu bàitoán quá phức tạp thì có thể chia thành những bước lớn và những bước nhỏ.Trước hết xét những bước lớn rồi tiếp đến những bước nhỏ Làm như vậy chúng

ta đã có trong tay một cách giải trong đó mỗi bước có được chắc chắn là đúng

d Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

 Ngay cả những học sinh giỏi sau khi đã tìm thấy lời giải và trình bày sáng sủa líluận của mình cũng đều có xu hướng gấp sách lại và làm việc khác Làm như vậy

là họ đã bỏ mất một giai đoạn quan trọng và bổ ích cho việc học hỏi Nhìn lạicách giải tìm ra, khảo sát và phân tích lại kết quả và con đường đã đi, họ có thểcủng cố những kiến thức của họ và phát triển khả năng giải các bài toán Mộtngười thầy giỏi phải hiểu và làm cho học sinh hiểu rằng: không có một bài toánnào là hoàn toàn kết thúc Bao giờ cũng còn lại một cái gì để suy nghĩ Có đầy đủkiên nhẫn và chịu khó suy nghĩ sâu sắc, ta có thể hoàn thiện cách giải, và trongmọi trường hợp bao giờ cũng hiểu được cách giải sâu sắc hơn Khi học sinh đãthực hiện chương trình, học sinh đã biết lời giải, thử lại mỗi bước lập luận và họ

có nhiều lí do chính đáng để tin rằng cách giải của mình đúng Dẫu sao thì vẫn cóthể có lầm lẫn, nhất là trong trường hợp lí luận dài và quanh co Do đó việc thửlại là cần thiết Đặc biệt là nếu như có 1 phương tiện nhanh chóng và trực quan

để thử xem kết quả hay sự lập luận có đúng không thì không được bỏ qua Mộttrong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của người thầy là không được làmcho học sinh có ấn tượng là những bài toán ít học thì không có quan hệ gì vớinhau cả Chúng ta có thể tìm thấy sự liên hệ của bài toán này với bài toán kháckhi chúng ta nhìn lại cách giải bài toán đó Học sinh sẽ thấy việc nhìn lại cách

Tạo hứng thú học môn Toán qua việc khai thác lời giải một số bài toán

giải bài toán như vậy thực sự là bổ ích nếu như họ đã cố gắng một cách chân thực

để tìm ra lời giải bài toán đó và nếu như họ có ý thức là làm việc có kết quả Khi

đó học sinh muốn thấy được là sự cố gắng đó có thể mang lại cho họ một cái gìkhác và cần phải làm gì để lần sau cũng thu được kết quả tốt như vậy

Ví dụ: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C nhọn Chứng minh rằng:

tan 2 A tan 2B tan 2C 9  *

Giải:

tan A tan B tan C 3 t anA.tan tanB C 1

 Áp dụng BĐT Cô si ta có: t anA tan  B tanC 3 t anA.tan tan 3 B C  3 ,

từ (2) và (3) suy ra: tan 2 A tan 2B tan 2C 3 27 9 3  , dấu đẳng thức xảy ra

khi và chỉ khi A = B = C

 Nếu học sinh chỉ hài lòng với kết quả này và dừng ở đây thì thật đáng tiếc vì khinghiên cứu lời giải bài toán này ta có thể khái quát hóa bài toán và xây dựng các

bài tập tương tự khác: “ Cho tam giác ABC nhọn và n N * Chứng minh rằng:

tann A tann B tann C 3 3n ”

 Từ bài toán trên ta có thể đưa ra các bài toán khác tương tự như sau:

“ Chứng minh rằng trong tam giác ABC nhọn ta luôn có:

 tanA tanB tanC 3 3.

 tan 3 A tan 3B tan 3C 9 3.

tan A tan B tan C 27.

 tan 5 A tan 5B tan 5C 27 3.

 tan 6 A tan 6B tan 6C 81

 tan 2008 A tan 2008B tan 2008C 3 1005.

 Quá trình dạy học giải bài tập toán nhằm nâng cao hiệu quả dạy học nói chung vàdạy môn toán nói riêng, chúng ta có thể tóm tắt qua bản gợi ý của Polya Ngườigiáo viên cần suy nghĩ, vận dụng linh hoạt bảng này để có thể xác định nhữngcâu hỏi, những việc làm đúng lúc, đúng chỗ và phù hợp với trình độ nhận thứccủa học sinh, mang lại hiệu quả và đạt mục đích của việc học giải bài tập toán

1) Hiểu rõ bài toán

 Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? có thể thỏa mãn được điều kiện hay không? Điều kiện

có đủ để xác định được ẩn hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâuthuẫn?

 Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơikhác?

 Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể dùng không?

 Xét kỹ cái chưa biết ( ẩn ), và thử lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có

ẩn tương tự

 Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có một lần giải rồi, có thể sử dụng nókhông? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương pháp? Cócần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới giải được nó không?

 Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Quay về cácđịnh nghĩa

 Nếu chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy giải một bài khác có liên quan Bạn

có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không? Một bài toán tổng quáthơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một bài toántương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điềukiện, bỏ qua phần kia Khi đó ẩn được xác định ở một chừng mực nào đó, nó biếnđổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Bạn

có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được ẩn không? Cóthể thay đổi ẩn hay các dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết sao cho các ẩn mới vàcác dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

 Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa?

Đã để ý tới mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

3) Thực hiện chương trình giải

 Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng

là mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

4) Trở lại cách giải ( nghiên cứu cách giải đã tìm ra ).

 Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bàitoán không?

 Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay kết quả trực tiếpkhông?

 Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào kháckhông?

B MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG

I KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC.

Tạo hứng thú học môn Toán qua việc khai thác lời giải một số bài toán

Bài toán 1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

3 sin sin sin sin sin sin sin sin sin

sin sin sin

 Khai thác bài toán: ta nhận thấy sin , sin , sin 0

 vì thế nếu đặtsin , sin , sin , , 0

a b c  a b c khi đó có thể khái quát hóa bài toán (1)

thành bài toán tổng quát hơn như sau: “ Cho a, b, c là các số thực dương

Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c 1 3 abc3”.(5)

Chứng minh:

VT 5   1 a b c    ab bc ca  abc, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các

số không âm ta có:   3 3 2 3 3  3 3

VT   abc abc  abc   abc

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

 Từ bài toán (5) ta có thể xây dựng được các bài toán tương tự khác như sau:

1) Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 27

cosA cosB cosC

 Tương tự, áp dụng BĐT (5) và sin sin sin 3 3

8

A B C  ta sẽ chứng minh xong bài toán 2

 Kết hợp bài toán 1 và 2 ta có bài toán 3

 Ở bài toán 4 ta áp dụng trực tiếp BĐT (5) ta tìm được MinP 4 3 đạt được khi a =

b = c = 1

 Để giải bài toán 5, ngoài việc sử dụng kết quả (5) ta chú ý:

2 3

1 tan tan tan tan tan tan 3 tan tan tan

 khi đó ta tìm được MinP  1 33 đạt được khi tam giác ABC đều

 Lời bình : Chúng ta thấy rằng xuất phát từ một bài toán ban đầu, nếu sau khi cho

học sinh giải xong bài toán đó và dừng lại thì vô tình chúng ta đã bỏ qua cơ hội củng cố kiến thức, rèn luyện tư duy cho cả người dạy và người học, nhưng thay

vì dừng lại cả thầy và trò cùng nhau tìm cách khai thác bài toán thì không những

có thể đưa ra các bài toán tổng quát, tương tự mà còn giúp cho học sinh phát triển khả năng suy luận, tư duy logic, tạo cảm giác tự tin, hứng thú học tập môn toán đối với học sinh.

Bài toán 2 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

Tạo hứng thú học môn Toán qua việc khai thác lời giải một số bài toán

ra khi và chỉ khi a = b = c

 Khai thác bài toán:

 Về cách giải: Có thể giải bài toán này theo cách khác hay không?

   Để chứng minh (4) ta chứng minh bài

a b c ab bc ca  ( theo BĐT Cô si ) nên: 2 2 2

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

 Trong bài toán 2.3 ta có thể phát biểu lại bài toán ở dạng khác:

x a y c z c

Bình luận: Bằng cách tìm tòi và phát hiện như vậy học sinh sẽ tự tìm ra cho mình các

bài toán khác,biết cách quy lạ về quen, giúp các em cảm thấy tự tin, thích thú học toán và cao hơn nữa là giúp các em rèn luyện, phát triển tư duy và tạo hứng thú trong học tập.

Bài toán 3 Cho x, y, z là các số thực không đồng thời bằng 0.

Tạo hứng thú học môn Toán qua việc khai thác lời giải một số bài toán

CMR: 2 2 2

2 cos 2 cos 2 cos (1)

x y z  xy C yz A zx B

Giải:

+ Nếu khai thác bài toán theo cách chứng minh, thì ta cần xét xem có thể định

hướng theo những cách nào?

Cách 1: ( Dùng phương pháp biến đổi tương đương )

 Ta có:

1 (sin cos ) (sin cos ) 2 cos( ) 2 cos 2 cos 0

sin cos sin cos 2 (cos cos sin sin )

 Dấu đẳng thức xảy ra  sin : sin : sinA B C x y z: :

Cách 2: (Dùng phương pháp tam thức bậc hai)

 Ta viết lại:

 1  x2  2 ( cosx y C z cos )B y2 z2  2 cosyz A 0 (2)

 Ta coi vế trái của (2) là một tam thức bậc hai theo x, để chứng minh (2) đúng ta chứng minh   0

 Dấu “ = ” xảy ra  sin : sin : sinA B C x y z: :

Cách 3: ( Dùng phương pháp tam thức bậc hai )

 Gọi I là một điểm bất kì trong miền tam giác ABC Đặt các vectơ:

2 cos( ; ) 2 cos( , ) 2 cos , 0

2 cos 2 cos 2 cos

 Dấu bằng xảy ra  sin : sin : sinA B Cx y z: :

 Từ bài toán ta có thể hướng dẫn học sinh cách khai thác để xây dựng các bài toán.

3.1 Khi x = y = z = 1 ta có:cos cos cos 3

2

A B C

3.2 Khi xyz > 0 ta có:  1 cos cos cos (2)

 Dấu đẳng thức xảy ra x y z: :  sin : sin : sinA B C

3.3 Từ bất đẳng thức (2) nếu cho: x = 3, y = 4, z = 5, ta được bài toán: “ Nhận dạng

tam giác ABC biết: cos cos cos 5

 Dấu bằng xảy ra  sin : sin : sinA B C 3: 4 : 5hay ABC vuông tại C

3.4 Tương tự: chọn x = y = 1, z  3, ta có bài toán:

“ Tìm 3 góc tam giác ABC biết: cos cos cos 5

Cách 1: ( Dùng phương pháp biến đổi tương đương )

 Ta biến đổi như sau:

( sin 2 2 sin 2 sin 2 sin 2 )

( cos 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 ) 0

( sin 2 sin 2 ) ( cos 2 cos 2 ) 0

 Dấu đẳng thức xảy ra  x y z: :  sin 2 : sin 2 : sin 2A B C

Cách 2: ( Dùng tam thức bậc hai )

 Ta có:  1  x2 2 ( cos 2x y C z cos 2 )B y2z2 2 cos 2yz A 0 (*)

 Coi vế trái của bất đẳng thức (*) là (1) tam thức bậc hai, ta tính:

2

' ( cos 2 cos 2 ) ( 2 cos 2 )

.sin 2 sin 2 2 cos 2 cos 2 2 cos(2 2 ) ( sin 2 sin 2 ) 0

 Vậy bất đẳng thức (*) luôn đúng với x y z, ,

 Dấu đẳng thức xảy ra  x y z: :  sin 2 : sin 2 : sin 2A B C

Tạo hứng thú học môn Toán qua việc khai thác lời giải một số bài toán

2 cos( , ) 2 cos( , ) 2 cos( , ) 0

2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 0

 Dấu bằng xảy ra  x y z: :  sin 2 : sin 2 : sin 2A B C

 Chúng ta đã chứng minh bất đẳng thức (1) đúng, khai thác bài toán ta sẽ xây dựng được các bài toán khác:

4.1 Cho x, y, z = 1, ta được:cos 2 cos 2 cos 2 3

2

4.2 Khi xyz 0, chia 2 vế cho xyz 0, ta có:

z , ta được bài toán:

“ Cho x y z R, ,  và xyz 0 CMR: .cos 2 cos 2 cos 2

4.3 Ứng dụng bất đẳng thức (1), ta có thể xây dựng các bài toán:

a) Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Q 3.cos 2A 2.cos 2B 2 3 cos 2C

b) Cho tam giác ABC Tìm các góc của tam giác ABC để biểu thức sau:

Q 3(cos 2A cos 2 ) cos 2C  B đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn :

a) Theo (1) ta có:

2 2

x y z

 Từ các bài toán trên chúng ta nhận thấy rằng: nếu sau mỗi bài tập ta hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán thì sẽ giúp học sinh hiểu rõ bản chất vấn

đề, tạo điều kiện để các em phát triển tư duy, hứng thú trong học tập.

Bài toán 5 Ta xét bài toán sau:

“ Cho a, b ,c là 3 cạnh tam giác CMR: (a b c b c a c a b  )(   )(   ) abc (1)”

2 2

8

abc

p a p b p c    ”.

5.2 Có thể mở rộng bài toán 5 thành bài toán khác:

a) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC, biết chu vi tam giác ABC bằng 3 CMR:

 Trường hợp 1: Trong 3 số có 1 số âm thì bất đẳng thức (6) luôn đúng.

 Trường hợp 2: Cả 3 số cùng không âm, áp dụng bất đẳng thức Côsi như cách

làm đối với bất đẳng thức (1), ta có điều phải chứng minh

 Dấu bằng xảy ra  a b c 