Khai thác và phát triển một số bài toán hình học

Việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó. Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần khai thác các bài tập trong sách giáo khoa giúp học sinh hiểu sâu kiến thức, có kỹ năng giải bài tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học và việc làm này đặc biệt quan trọng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ngay trong giờ học. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài viết.

Khai thác phát triển số tốn hình học MỤC LỤC: PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1.Cơ sở lý luận: 2.2 Thực trạng vấn đề: 2.3.Các biện pháp thực để giải vấn đề 2.4.Hiệu SKKN 17 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 18 3.1.Kết luận : 18 3.2 Kiến nghị: 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 Khai thác phát triển số tốn hình học PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình mơn tốn trường THCS ta thấy tập toán nhiều đa dạng “ Giải toán nghệ thuật thực hành, giống bơi lội, trượt tuyết, hay chơi đàn, học nghệ thuật đó, cần bắt chước theo mẫu mực đắn thường xuyên thực hành.Khơng có chìa khố thần kỳ để mở cửa ngõ, khơng có hịn đá thần kỳ để biến kim loại thành vàng ” ( Đề - Các Leibnitz ) Tìm lời giải hay tốn tức khai thác đặc điểm riêng tốn Điều làm cho học sinh “có thể biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi” ( Polia-1975 ) Giải tập tốn q trình suy luận, nhằm khám phá quan hệ logic cho (giả thiết) với phải tìm (kết luận) Nhưng quy tắc suy luận phương pháp chứng minh chưa dạy tường minh Do học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tập Phương pháp chung tìm lời giải tốn : Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Bước 2: Xây dựng chương trình giải Bước 3: Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải Trong bước cơng việc thực là: Nghiên cứu toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Đó khai thác tập toán Thực tiễn dạy học cho thấy để có kỹ giải tập phải qua q trình luyện tập Tuy giải nhiều tập có kỹ Việc luyện tập có hiệu biết khéo léo khai thác từ tập sang loại tập tương tự, nhằm vận dụng tính chất Trong trình giảng dạy giáo viên cần khai thác tập sách giáo khoa giúp học sinh hiểu sâu kiến thức, có kỹ giải tập, nhằm nâng cao chất lượng dạy học việc làm đặc biệt quan trọng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi học.Vì tơi rút kinh nghiệm “ Khai thác phát triển số tốn hình học’’ Khai thác phát triển số tốn hình học PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1.Cơ sở lý luận: Qua nghiên cứu thực tế giảng dạy trường THCS, năm qua nghiên cứu rút số kinh nghiệm việc khai thác tập toán để xây dựng hệ thống tập bồi dưỡng học sinh giỏi là: 1.Chuyển điều chưa biết thành tốn 2.Thay đổi hình thức phát triển tốn 3.Tìm tốn liên quan 4.Mở rộng tập khác 2.2 Thực trạng vấn đề: Học sinh trường THCS ngại học mơn tốn cho mơn học khó hình học địi hỏi học sinh tổng hợp kiến thức, có kỹ trình bày logic, chặt chẽ, học học khố lớp khó giải tốn nâng cao, khơng đủ kiến thức tham gia thi học sinh giỏi mơn tốn Các em học sinh việc học toàn diện mơn học cịn tham gia hoạt động xã hội thời gian học thêm, chưa say mê với môn học, khơng thấy điều kỳ diệu tốn học, đòi hỏi giáo viên giảng dạy phải nghiên cứu tìm tịi, sáng tạo xây dựng chun đề bám sát chường trình, theo chuẩn kiến thức, kỹ năng, phát huy tính tích cực học sinh 2.3.Các biện pháp thực để giải vấn đề Trong sách giáo khoa, sách tập có nhiều tập vận dụng kiến thức lý thuyết hay giải tập cần khai thác theo nhiều khía cạnh khác cách giải khác nhau, thay đổi kiện toán ta số toán khác tương tự liên quan từ tốn ban đầu ta gọi tốn “chìa khố” ta giải nhiều tập khác , củng cố nhiều kiến thức, rút ngắn thời gian học tập, học sinh luyện tập nhiều, thấy tính logic tốn học say mê học toán Sau số tập minh hoạ Từ tốn tiếng mà hình vẽ in trang đầu số sách nâng cao lớp 8, là: Khai thác phát triển số tốn hình học Bài tốn A: Cho hình vng ABCD Đặt hình vng A/B/C/D / bên hình vng cho tâm trùng Chứng minh : trung điểm AA/ ; BB/; CC/; DD/ đỉnh hình vng khác Lời giải: Cách 1:  A O A =  B O B ( c.g.c ) / /  AA = BB Tương tự  AA/ = BB/ =CC/ = DD/ /   A O M =  B O M =  C O P =  D OQ / / / / / OM = ON = OP = OQ  tứ giác MNPQ hình bình hành  O trung điểm MP NQ  MP = NQ  MNPQ hình chữ nhật  C O P  = DOQ  = 900 POQ =   AOM = BON   COP  = DOQ tứ giác MNPQ hình vng Cách 2: Nối B/C ; C/D; D/A; A/B, gọi E, F, G, H trung điểm cạnh B/C ; C/D; D/A; A/B EP // B/ C/ EP = GM// A/ D/ GM =  B/ C/, FQ // C/D / EQ = A/ D/, C/D/ HN // A/B/ HN= EP = FQ = GM = HN A/B/ Khai thác phát triển số tốn hình học  NE// BC NE = BC, QG// AD QG = AD, PF // CD PF = CD MH// AB MH = AB  NE = PF = QG = MH  N E P =  PFQ =  Q G M =  M H N ( c.g.c)  = 90 MN = NP = PQ = QM MQP  MNPQ hình vng Cách 3: Thực phép quay tâm O góc quay 900 chiều kim đồng hồ OA / / / / / / / / / /  OB ; OA  OB  AA  BB ;BB  CC ; CC  DD ; DD  AA  M  N ; N  P ; P  Q ; Q  M  MNPQ hình vng  *Từ nhận xét: AM BN CP DQ AM = = = Đặt =k (k0) DQ AM BN CP Chứng minh : MNPQ hình vng Khi k = tốn 1a toán A *Nếu khai thác toán theo cách giải thứ phép quay ta có tốn sau: Bài toán 2a: Cho đa giác A1A2…An đạt bên đa giác đa giác A1/ A2/ … An/ cho tâm đa giác trùng Gọi A1/ / A2/ / … An/ / trung điểm A1 A1/ , A2 A2/ , …, An An/ Chứng minh rằng: A1/ / A2/ / … An/ / đa giác *Thêm vào tốn 2a yếu tố tỷ lệ ta có toán sau: Bài toán 3a: Cho đa giác A1A2…An đạt bên đa giác đa giác A1/ A2/ … An/ cho tâm đa giác trùng Gọi A1/ / A2/ / … An/ / điểm nằm đoạn A1 A1/ , A2 A2/ , …, An An/ cho A1 A1/ A2 A2/ A3 A3/ A4 A4/ = Chứng minh rằng: A1/ / A2/ / … An/ / đa giác   // // // // A1 A1 A2 A2 A3 A3 A4 A4 Khai thác phát triển số tốn hình học Khi k = tốn toán 2a * Nếu khai thác theo cách giải 1,2 khơng cần đến tâm O ta có tốn sau Bài tốn 4a: Đặt hình bình hành A/B/C/D / hình bình hành ABCD cho đỉnh hình bình hành A/B/C/D/ nằm hình bình hành ABCD Chứng minh : trung điểm AA/ ; BB/; CC/; DD/ đỉnh hình bình hành Tổng qt ta có tốn sau: Bài tốn 5a: Cho hình bình hành ABCD, đặt hình bình hành A/B/C/D/ cho đỉnh nằm hình bình hành ABCD Gọi M, N, P, Q điểm nằm AA/ BB/ CC / DD / đoạn AA ; BB ; CC ; DD cho = = = =k( DQ AM BN CP / / / / k > 0) Chứng minh : MNPQ hình bình hành *Khi k = tốn 5a tốn 4ª Khai thác từ tốn hình học lớp quen thuộc sau: Bài toán B: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA = MB + MC Lời giải : Trên tia CM lấy điểm N cho MN = MB  NC = MB + MC =C =M  = 600 ( B  = 600  = 600 )  M M BMN  BN = BM Ta có: BC = BA      600  CBM  = MBC  ABM   ABC  CBM   ABM =  CBN ( c.g.c)  AM = NC = MB + MC Nhận xét từ tốn B ta có tốn sau: Bài tốn 1b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC Chứng minh: MA  MB + MC Giữ nguyên đề bài, thay đổi câu hỏi ta có tốn sau Bài tốn 2b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); điểm M thuộc cung nhỏ BC Khai thác phát triển số tốn hình học Chứng minh: 1   MD MB MC Lời giải: MD MC   MD MA = MB MC MB MA MB  MC 1     MD MB.MC MD MB MC M DB  M CA   Từ tốn ta giải toán sau Bài toán 3b Cho tam giác ABC dựng tam giác cạnh tam giác tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ Chứng minh rằng: đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy I Lời giải: Gọi I giao đường tròn (ACB/) đường tròn (ABC/)    = 1200 AIB = 1200  BIC AIC = 1200 ,  I  (BCA/) hay đường trịn đồng quy Từ tốn 3b ta dễ dàng chứng minh toán sau:  Khai thác phát triển số tốn hình học * Bài tốn 4b: Cho tam giác ABC dựng tam giác cạnh tam giác tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ , đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy I Chứng minh rằng: đường thẳng AA/ ; BB/; CC/ đồng quy Bài toán 5b: Cho tam giác ABC dựng tam giác cạnh tam giác tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/, đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy I Chứng minh rằng: IA + IB + IC = / ( IA + IB/ +IC/ ) Bài toán 6b: Cho tam giác ABC dựng tam giác cạnh tam giác tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/, đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy I Chứng minh rằng: 1 1 1 = ( ) A1, B1 , C1 giáo     IA IB IC IA1 IB1 IC1 với cạnh tam giác Khai thác phát triển số tốn hình học Bài tốn 7b: Cho tam giác ABC dựng tam giác cạnh tam giác tam giác ACB/, tam giác ABC/ tam giác BCA/ , đường tròn (ACB/); (ABC/); (BCA/) đồng quy I Chứng minh rằng: IA + IB + IC nhỏ với I thuộc tam giác ABC Bài toán 8b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2 Với a cạnh tam giác Bài toán 9b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Tìm m để MA + MB + MC lớn Bài toán 10b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O).Điểm M thuộc cung BC Tìm m để MA2 + MB2 + MC2 lớn Bài toán 11b: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Điểm M thuộc cung BC Chứng minh rằng: MA4 + MB4+ MC4 = 2a4 Với a cạnh tam giác Khai thác phát triển số tốn hình học Bài tốn C:   900 Trên Ox lấy điểm A cố định cho Cho xOy OA = a Điểm B di động Oy Vẽ góc xOy hình vuông ABCD a) Tính khoảng cách từ D đến Ox b) Tìm tập hợp (qũy tích) điểm D B di động Oy Hướng dẫn: a) Kẻ DH AHD Ox vuông   H Cã t¹i H y   900 nªn  A1  D  A2   A1  900 suy C   A2  D D C' D'  A A3  900  BAO A3  900 Suy   BAO  A 2 B   BAO  Hay D O A XÐt DHA vµ AOB Cã: H = O = 900 , H×nh   BAO  D DA = AB (cạnh hình vuông) Vậy DHA = AOB = (T/h Bằng đặc biệt thứ tam giác vuông) VËy: DH = OA = a b) Theo trªn chøng minh DH = a (const) 10 H x Khai thác phát triển số tốn hình học Khi B di động Oy D di động theo nh-ng cách Ox khoảng DH = a Vậy quỹ tích D thuộc đ-ờng thẳng song song với Ox cách Ox khoảng a Giới hạn: Khi B O H A D D' D' điểm thuộc đ-ờng thẳng song song với Ox cách Ox khoảng a, A cố định suy D' cố định Kết luận: Khi B di động Oy quỹ tích D tia D'z // Ox, D' cách A mét kho¶ng b»ng a Khai thác 1: Tõ lêi giải ta thấy hình vuông OAD'C' nhỏ tập hình vuông ABCD B di động Oy Và đ-ơng nhiên tập hình vuông diện tích hình vuông OAD'C' có giá trị nhỏ Từ suy xét ta có toán Bài toán 1c: 900 lấy A thuéc tia Ox cho OA = a Mét Cho xOy điểm B di động Oy Vẽ góc xOy hình vuông ABCD Xác định vị trí điểm D ®Ĩ SABCD lµ nhá nhÊt 11 Khai thác phát triển số tốn hình học Chøng minh y ThËt vËy SABCD = AB2 C OAB Trong  AOB  900  cã AB > OA D D' C' Do A cố định, B di I AB OA = a động nên I' SABCD a2 Do SABCD B = a2 O nhá nhÊt Êy B  O A H x Hình Khai thác 2: Từ kết ta suy hình vuông OAD'C' cố định cạnh a Thế OD' cố định nên trung điểm I' cố định Vấn đề đặt là: Nếu B chuyển động Oy D chuyển động tia D'D Khi ®ã trung ®iĨm I cđa OD chun động đ-ờng ta có toán Bài toán 2c: 900 Lấy A Ox cho OA = a, mét Cho gãc xOy vẽ hình vuông điểm B di động Oy Trong góc xOy ABCD Gọi I trung điểm OD Tìm tập hợp (qũy tích) điểm I Hướng dẫn: (Hình 2) Theo kết D' giới hạn D D' cố định Gọi I' trung ®iĨm OD'  I' cè ®Þnh Trong OD'D cã I'I đ-ờng trung bình I'I // D'D Nên quỹ tích I khoảng = tia I'I // Ox cách Ox a 12 mét Khai thác phát triển số tốn hình học Khai th¸c 3: Suy xét: (hình 3) y Qua C kẻ đ-ờng thẳng // Ox cắt Oy Q cắt DH P Q C P D Theo chứng minh đ-ợc AOB = DHA hun gãc OA = DH = a ta ®· (C¹nh nhän) I B OB = AH O Nh-ng CQ // Ox  CQB = 1v A H y x H×nh  CP = OA PD = OB VËy OA + AH = DH + PD = CP + CQ = BQ + OB hay OH = HP = PQ = QO Mµ QOA = 1v Nên tứ giác OHPQ l hỡnh vuụng Ta có toán Bài toán 3c: , tia Ox lấy A cho OA = a, Cho góc xOy hình vuông Oy điểm B di động Dựng góc xOy ABCD; qua C kẻ đ-ờng thẳng // Ox, qua d kẻ đ-ờng thẳng // Oy Hai đ-ờng thẳng cắt P lần l-ợt cắt Oy Q, cắt Ox H a) Chứng minh t giỏc OHPQ hình vuông b) Gọi I trung điểm AC, chứng minh O, I, P thẳng hàng Từ suy xét dễ dàng suy điều chứng minh 13 Khai thác phát triển số tốn hình học Khai th¸c 4: Suy xÐt tiÕp ta thÊy Ta cã thể chuyển h-ớng toán d-ới dạng khác Nếu ta coi hình vuông OHPQ cố định cạnh = a Trên cạnh HO, OB, PQ, PH lần l-ợt lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = DH TiÕp tơc: NÕu cho A di ®éng OH ch-a thoả mÃn ABCD hình vuông chu vi y Q C P D AOB có giá trị thay đổi nh- Cụ thể có quan hệ với a cạnh hình vuông OHPQ I B O A H x H×nh ThËt dễ chứng minh đ-ợc AOB = DHA = CPD = BQC Từ t giỏc ABCD hình vu«ng AOB lu«n cã: AB < OA + OB Nh-ng OB = AH  AB < OA + AH = OH = a Do A, B chuyển động thoả mÃn ABCD hình vuông Nên A H, B  O  AB = OH = a Do ®ã: OA + OB + AB  OH + OH = 2a VËy CAOB  2a (CAOB : chu vi AOB) (Chu vi AOB có giá trị lớn 2a) Ta có toán Bài toán 4c: 14 Khai thác phát triển số toỏn hỡnh hc Cho hình vuông OHPQ cạnh a Trên cạnh HO, OQ, QP, PH lần l-ợt lấy A, B, C, D cho OA = QB = PC = HD a) Chøng minh: Tứ giác ABCD lµ hình vuông b) Khi A chuyển động OH thoả mÃn ABCD hình vuông (A O, A  H) Chøng minh CAOB < 2a Tõ suy xét ta dễ chứng minh đ-ợc điều Khai thác 5: Tiếp tục không dừng lại ta suy xét tiếp Ta lu«n cã OB + OA = OH = a không đổi (vẫn nội dung tập 4) Nh- OA + OB = a (const) Suy OA.OB lín OA = OB (Tổng số d-ơng không ®ỉi tÝch cđa chóng lín nhÊt hai sè ®ã nhau) Để ý thấy rằng: OA OB = 2SAOB (SAOB diện tích AOB) Mà hình vuông OHPQ có SOHPQ = a2 (SOHPQ lµ diƯn tÝch tứ giác OHPQ) Hay SABCD = a2 - SAOB Vµ SOHPQ = SABCD + 4SAOB NÕu SAOB lín nhÊt th× SABCD nhá SAOB nhỏ SABCD lớn Mà SAOB lín nhÊt OA.OB lín nhÊt v× lý ln OA.OB lớn OA = OB Từ  OA = OB = OH = a Hay A trung điểm OH, B trung điểm OQ ? Ta có toán Bài toán 5c: Cho hình vuông OHPQ cạnh a Trên OH, OQ, QP, PH lần l-ợt lấy A, B, 15 Khai thác phát triển số tốn hình học C, D cho OA = QB = PC = HD a) Chứng minh ABCD hình vuông C Q b) A chuyển động OH P (vẫn thoả mÃn ABCD hình vuông) D Xác định vị trí A để SABCD nhỏ I Tìm giá trị B Hướng dẫn: a) Dễ chứng minh đ-ợc: O AOB = DHA (c.g.c)  H×nh A AB H = AD T-¬ng tù CB = CD = AB VËy tứ giỏc ABCD hình thoi A1 D    900 A2  D mà Tõ (1) (2)  (1) suy  A2  A3 900 (2) ABCD hình vuông b) Ta có SOHPQ = a2 Theo kết AOB = BQC = CPD = DHA (c.g.c)  SABCD = a2 - SAOB = a2 - 2.OA.OB Do OA + OB = OA + AH (v× OB = AH) OA + AH = OH = a Không đổi nªn tÝch OA.OB lín nhÊt OA = OB = a2 a a = 2 NghÜa lµ OA.OB  VËy SABCD  a2 - Do ®ã SABCD = OB = a2 a a2 = a2 - a2 = a2 giá trị nhỏ đó: OA = OH 16 Khai thác phát triển số tốn hình hc Chứng tỏ A trung điểm OH 2.4.Hiu SKKN Áp dụng kinh nghiệm dạy học vào việc giảng dạy mơn tốn THCS đạt số kết học sinh u thích mơn học, chất lượng mơn nâng cao, em có đủ tự tin tham gia đội tuyển học sinh khiếu mơn tốn 17 Khai thác phát triển số tốn hình học PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 3.1.Kết luận : Trên số tập từ SGK , SBT hình học lớp 8, lớp khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau, dạy cho học sinh học công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Lúc đầu em thấy mơn tốn hình q khó, khơng biết cách trình bày cảm thấy ngại học mơn tốn hình , sau áp dụng kinh nghiệm đa số học sinh hiểu thích học mơn tốn em thấy tự tin hơn, tự giải tốn khó, đồng thời phần trình bày em logic , chặt chẽ Ở trường phổ thơng , dạy tốn dạy hoạt động tốn học học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Trong dạy học toán, tập toán học sử dụng với dụng ý khác nhau, dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố kiểm tra Ở thời điểm cụ thể đó, tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng chức khác chức hướng tới việc thực mục đích dạy học Giải tốn vấn đề quan tâm nghiên cứu khai thác từ tốn để tạo nhiều tập làm phong phú thêm vốn kiến thức rèn khả suy luận hợp lý logic , khả qyuan sát dự đốn, phát triển trí tưởng tượng, bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt, độc lập sáng tạo, hình thành thói quyen tự học, say mê với mơn học Trong toán luyện tập cần khai thác tập luyện tập nhiều kiến thức khắc sâu Với cách làm áp dụng cho nhiều tập chương trình tốn THCS Thực chuyên đề làm tốt công tác tự bồi dưỡng giúp cho giáo viên nâng cao trình độ chun mơn, nâng cao chất lượng giáo dục, góp phần tích cực cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Trên kinh nghiệm nhỏ tơi khơng có điều kiện trình bày hết tất tập tơi xin trình bày1 tập hình học lớp tập hình học lớp làm ví dụ minh hoạ cho chuyên đề mình, mong muốn trao đổi với ý tưởng tiếp tục nghiên cứu nhiều chuyên đề 18 Khai thác phát triển số tốn hình học 3.2 Kiến nghị: Phòng giáo dục đào tạo tiếp tục trì việc làm SKKN để cán giáo viên rèn luyện, học hỏi, trao đổi kinh nghiệm nâng cao chất lượng giáo dục, phổ biến rộng rãi sáng kiến, kinh nghiệm hay, sát thực tiễn cho tất cán giáo viên học tập 19 Khai thác phát triển số tốn hình học TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi học sinh giỏi năm Sách giáo khoa toán lớp Sách tập toán lớp Sách nâng cao phát triển toán tập tập lớp 7,8,9 Tác giả Vũ Hữu Bình chủ biên Bài tập Nâng cao số chuyên đề Toán Tác giả Bùi Văn Tuyên chủ biên Tài liệu chuyên toán THCS Toán 7,8,9 Tác giả Vũ Hữu Bình chủ biên Tốn tuổi thơ THCS – Nhà xuất giáo dục Việt Nam 20 Khai thác phát triển số tốn hình học SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN Mà SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Mơn: Tốn Cấp học: THCS Tài liệu kèm theo: Đĩa CD NĂM HỌC: 2015 – 2016 21 ... Việt Nam 20 Khai thác phát triển số toán hình học SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN THANH XUÂN Mà SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Mơn: Tốn Cấp học: THCS Tài... = OH 16 Khai thác phát triển số tốn hình học Chøng tá A lµ trung ®iĨm cđa OH 2.4.Hiệu SKKN Áp dụng kinh nghiệm dạy học vào việc giảng dạy mơn tốn THCS đạt số kết học sinh u thích mơn học, chất... tham gia đội tuyển học sinh khiếu mơn tốn 17 Khai thác phát triển số tốn hình học PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 3.1.Kết luận : Trên số tập từ SGK , SBT hình học lớp 8, lớp khai thác theo nhiều khía