MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

http://ebook.here.vn Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí B/C/ là các tam giác ñều cạnh a.. Viết phương trình mặt phẳng P qua giao tuyến của α và mặt phẳng xOy và P tạo vớ

Trang 1

MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

( CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT )

Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0

° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2

° (P) cắt (S) theo một ñường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

⇒ các tam giác ABC, A/

B/C/ là các tam giác ñều

H

F

D

Trang 2

http://ebook.here.vn Thư viện ðề thi trắc nghiệm | Luyện thi ðH miễn phí

B/C/ là các tam giác ñều cạnh a

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

ñôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

1 Tìm ñiểm M thuộc (∆) ñể thể tích tứ diện MABC bằng 3

2 Tìm ñiểm N thuộc (∆) ñể thể tích tam giác ABN nhỏ nhất

a z

y

Trang 3

Câu 2: (1,0 ñiểm)

Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a SA = SB = SC, khoảng cách từ

S ñến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a ñể hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau

° [AB; AC] ( 3; 6; 6)uuur uuur = − − = −3(1; 2; 2)− = −3.nr, với n (1; 2; 2)r = −

° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ nr: (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0

° SABC 1 [AB; AC] 1 ( 3)2 ( 6)2 62 9.

Trang 4

° ∆SAB= ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB IC= ⇒ ∆IBC cân tại I

° Gọi H là tâm của ∆ABC

và M là trung ñiểm của BC

° Dựng hệ trục tọa ñộ Axyz, với Ax, Ay, Az

ñôi một vuông góc A(0; 0; 0),

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SBuuur uur nên có pháp vectơ nr1

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2

S z

A

z

H B

M y C

Trang 5

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔cos(n ; n ) 0r1 r2 =

và ñi qua ñiểm A(0; 1; -1)

° AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)uur= − uur r = −

Trang 6

° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

° Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

ñôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung ñiểm của AC

° MN là ñường trung bình của ∆ABC

a 3

a 3 y C N

O M a

x B

Trang 7

Câu 1:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x – y + z – 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của (α) và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa ñộ một tứ diện có thể tích bằng 36125

Trang 8

3ax 2IM

° Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

3

° Dựng hệ trục tọa ñộ Axyz, với Ax, Ay, Az

ñôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SBuuur uur nên có pháp vectơ nr1

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2

° Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o

2 o

x

y C

B

A

E

F G M

Trang 9

° Theo giả thiết: d(A; α) = d(A; ∆)

° Gọi M là trung ñiểm của BF ⇒ EM // AF

(SA; AF) (EM; AF) SEM

F M B E K

Trang 10

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF

° Áp dụng ñịnh lý hàm Côsin vào ∆SEM có:

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:

F y C

Trang 11

° Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a 0.r + − =

° Vì AF // EM⇒ AF //(SEM)⇒d(SE; AF) d(A; SEM)=

° Vậy, d(SE; AF) a 3

GIẢI Câu 1:

° Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi ñó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0

° ðường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình:

Trang 12

Do ñó ∆SAC vuông tại A có AM là

trung tuyến nên MA 1SC.

5

° Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az ñôi một vuông góc và

2a aA(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0

B K A

z S 2a

M

C y

a 5 H

B

A K

x a 5

Trang 13

° Diện tích ∆MAB: SMAB 1[MA; MB] 1.a 22 a 22 .

ty

t2x ; (d2) :

=

−+

012z3yx4

03yx

Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có ñường kính là ñoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

GIẢI

Câu 1:

Cách 1:

° Gọi H là trung ñiểm của BC

° Do S.ABC ñều và ∆ABC ñều nên

chân ñường cao ñỉnh S trùng với

giao ñiểm ba ñường cao là trực tâm O

của ∆ABC và có ∆SBC cân tại S

suy ra: BC SH, BC AH,⊥ ⊥ nên SHA = ϕ

ϕ

Trang 14

nên chân ñường cao ñỉnh S trùng

với tâm O ñường tròn (ABC)

° Gọi M là trung ñiểm của BC Ta có:

(d1) ñi qua ñiểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương ur1 =(2; 1; 0)

(d2) ñi qua ñiểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương ur2 =(3; 3; 0)−

° AB (3; 0; 4)uuur= −

C

ϕ

M B x

A

z

S

Trang 15

° AB.[u ; u ] 36 0uuur r1 r2 = ≠ ⇒ AB, u , uuuur r1 r2 không ñồng phẳng

° Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau

° (d2) có phương trình tham số:

/ /

1y2

3x:)d(

;3

1z4

3y2

=

−

=+

Viết phương trình ñường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q),

Trang 16

Trang 17

° Gọi H là hình chiếu của B/

t4y

tx

6't3y

'tx

Gọi K là hình chiếu vuông góc của ñiểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của ñường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)

B M

N

D / z

a

a y

x

Trang 18

117

° Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB)⊥ ∩ = ⊂ ⇒SH (ABC)⊥

° Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc α và ∆ABC ñều, nên suy ra H là trung ñiểm AB

S

H

P

C A

B

N

ϕ

Trang 19

° Dựng hệ trục tọa ñộ Hxyz, với Hx, Hy, Hz

1 Lập phương trình chính tắc của ñường thẳng (∆3) ñối xứng với (∆2) qua (∆1)

2 Xét mặt phẳng (α) : x + y + z + 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu của (∆2) theo phương (∆1) lên mặt phẳng (α)

3 Tìm ñiểm M trên mặt phẳng (α) ñể MM MMuuuur1 +uuuur2 ñạt giá trị nhỏ nhất biết M1(3; 1; 1) và

M2(7; 3; 9)

Câu 2:

Cho lăng trụ ñứng ABC.A'B'C' có ñáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc

o

BAC 120= , cạnh bên BB' = a Gọi I là trung ñiểm CC' Chứng minh ∆AB'I vuông tại

A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

x

H

a 2

a 3 2

y

Trang 20

° Gọi H là hình chiếu của A trên (∆1)

° Ta có: ( ) ( ) ( )α ∩ β = ∆ là hình chiếu của (∆/2 2) lên (α) theo phương (∆1)

3 Gọi I là trung ñiểm M M1 2⇒ I(5; 2; 5)

° Ta có: MMuuuur1+MMuuuur2 = 2MIuuur

⇒ uuuur +uuuur nhỏ nhất ⇔ 2MIuuur nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu của I trên (α)

° Phương trình ñường thẳng (∆) qua I

α

M2

urαM1

I (∆∆∆)

Trang 21

° Gọi H là trung ñiểm BC⇒ AH BC.⊥

° ∆ABH là nửa tam giác ñều cạnh AB = a ⇒ AH a

° Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/

I), theo công thức chiếu, ta có:

° Gọi H là trung ñiểm BC ⇒ AH BC⊥

° ∆ABH là nửa tam giác ñều cạnh AB = a

aAH

2

a

B

C A

H

I

y z

Trang 22

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ nr1=(0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương AB , AIuuur/ uur, nên có pháp vectơ:

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	366,12 KB