Tính thể tích khối chóp S.ABC biết ABC là tam giác vuông cân tại A, SC = 2a 5, hình chiếu vuông góc của S trên ABC là trung điểm của AB, góc giữa SC và ABC là 600.. Cho hình chóp S.ABCD [r]
(1)MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài tập Tính thể tích khối chóp S.ABC biết ABC là tam giác vuông B, SA⊥(ABC), SA = AB = BC = a Bài tập Tính thể tích khối chóp S.ABC biết ABC là tam giác cạnh a, SA⊥(ABC), SB = 2a Bài tập Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Chứng minh BD0 ⊥(AB C) Tính thể tích khối tứ diện A0 BC D biết điện tích toàn phần ABCD.A0 B C D0 là 24 Bài tập Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c, thể tích VABCD = abc Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Gọi α, β, γ là góc tạo mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) với mặt phẳng (BCD) Chứng minh cos2 α + cos2 β + cos2 γ = Bài tập Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b, CA = CB = x, DA = DB = y, góc (ABC) và (ABD) là ϕ Tính cos ϕ Bài tập Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = x, CD = y Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và vuông góc với mặt đáy Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ SC tới đường thẳng AB, BD Tính góc tạo SC với đường thẳng AB, BD Bài tập Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh a Trên các đoạn thẳng DC, BB lấy các điểm M , N cho DM = x, BN = y với ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ a Tính góc hai đường thẳng AC và M N Xác định x, y để AC ⊥M N Bài tập Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0 B C D0 có AA0 = a, AB = b, AD = c Trong mặt \ cắt đoạn DC M Gọi N là điểm thuộc phẳng (ABCD), đường phân giác góc nhọn DAC 0 đoạn BB cho BN = x, ≤ x ≤ a Tìm x để AC ⊥M N Bài tập 10 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh AB⊥CD và AC + BD2 = AD2 + BC Bài tập 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với mặt đáy a Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình chóp Xác định điểm I cách điểm A, B, C, D, S b Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B , C , D0 Chứng minh B D0 //BD, AB ⊥SB c Điểm M di động trên đoạn thẳng BC Giả sử K là hình chiếu vuông góc S trên M D Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm K M di động d Đặt BM = x Tính độ dài đoạn SK theo a và x Tìm giá trị nhỏ SK √ Bài tập 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm SA, SB, CD Chứng minh M N ⊥SP và tính theo a thể tích khối tứ diện AM N P √Bài tập 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính góc hai mặt phẳng (SCB), (SCD) Xác định điểm I cách điểm A, B, C, D, S Bài tập 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SA = AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SC, BD Nguyễn Văn Xá - GV Trường THPT Yên Phong số - Bắc Ninh; email: xa.nguyenvan@gmail.com (2) Bài tập 15 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABI và góc hai đường thẳng SA, BC Tìm điểm K cách điểm S, A, B, C Bài tập 16 Cho √ hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA⊥(ABC), AB = a, SA = 3a, BC = a Gọi I là trung điểm SC, gọi J và K là hình chiếu vuông góc I trên SA, SB Tính thể tích khối đa diện ABCJKI Bài tập 17 √ Tính thể tích √ khối chóp S.ABC biết ABC là tam giác vuông B, SA⊥(ABC), AB = a, AC = a 3, SA = a Tìm điểm K cách điểm S, A, B, C Bài tập 18 Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB, (SAB)⊥(ABCD), góc SC và (ABCD) là 450 Bài tập 19 Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SBC là tam giác cạnh a, SA⊥(ABC), [ = 1200 BAC Bài tập 20 Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), góc (SBD) và (ABCD) là 600 Tìm điểm I cách các điểm A, B, C, D, S Bài tập 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = 3a, BC = 4a, [ = 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ O tới (SAB) SA = SB = SC = SD, SAO Bài tập 22 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân B, SA⊥(ABC), AB = a, góc (SBC) và (ABC) là 300 , M là trung điểm SC Tính thể tích khối chóp S.ABM Bài tập 23 Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết ABCD là hình thang vuông A và D, AD = CD = a, AB = 3a, SA⊥(ABCD), góc SC và (ABCD) là 450 Bài tập 24 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có ABC là tam giác vuông B, BA = BC = a, góc A0 B và (ABC) là 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B C √ Bài tập 25 Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết ABCD là hình chữ nhật, BC = a, AB = a 2, [ = 600 SA⊥(ABCD), SCA √ Bài tập 26 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân A, AB = a 2, SA = SB = SC, góc SA và (ABC) là 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài tập 27 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có AB = a, góc A0 B và (ABC) là 600 Gọi −−→ −−→ −→ −−→ M, N là các điểm thỏa mãn AM = x.AC, C N = y.C B Tính độ dài đoạn M N và thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B C Bài tập 28 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a, AD = AC = BD = BC = 3a Xác định vị trí tâm O và tính bán kính r mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng AB, CD Bài tập 29 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 có cạnh 1 Gọi M là trung điểm AA0 Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng AC và M B Tính thể tích khối đa diện có đỉnh là tâm các mặt hình lập phương ABCD.A0 B C D0 Bài tập 30 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông B, SA⊥(ABC), BC = a, √ [ = 600 , M là trung điểm SB Tính thể tích khối tứ diện M ABC và góc hai SA = a 3, ACB mặt phẳng (SAB), (SBC) Bài tập 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), góc SD và (SAB) là 300 Tính thể tích phần không gian nằm phía ngoài hình chóp S.ABCD nằm phía mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó Bài tập 32 Cho hình lập phương ABCD.A0 B C D0 cạnh a, có M là tâm hình vuông A0 B C D0 Tính thể tích khối tứ diện A0 M BD (3) Bài tập 33 Tính tích khối chóp tam giác trường hợp sau Cạnh đáy là a và cạnh bên là b Cạnh đáy là a và góc cạnh bên với mặt đáy là α Cạnh đáy là a và góc mặt bên với mặt đáy là β Cạnh bên là b và góc cạnh bên với mặt đáy là α Cạnh bên là a và góc mặt bên với mặt đáy là β Bài tập 34 Tính tích khối chóp tứ giác trường hợp sau Cạnh đáy là a và cạnh bên là b Cạnh đáy là a và góc cạnh bên với mặt đáy là α Cạnh đáy là a và góc mặt bên với mặt đáy là β Cạnh bên là b và góc cạnh bên với mặt đáy là α Cạnh bên là a và góc mặt bên với mặt đáy là β Bài tập 35 Tính tích khối chóp n − giác trường hợp sau (n ∈ Z, n ≥ 3) Cạnh đáy là a và cạnh bên là b Cạnh đáy là a và góc cạnh bên với mặt đáy là α Cạnh đáy là a và góc mặt bên với mặt đáy là β Cạnh bên là b và góc cạnh bên với mặt đáy là α Cạnh bên là a và góc mặt bên với mặt đáy là β Bài tập 36 Cho tam giác ABC vuông C Trên đường thẳng qua A và vuông góc với (ABC) lấy điểm D (khác A) Chứng minh các mặt tứ diện ABCD là tam giác vuông Bài√tập 37 Tính thể tích khối nón tròn xoay biết khoảng cách từ tâm đáy tới đường sinh và thiết diện qua trục là tam giác √ Bài tập 38 Tính thể tích khối chóp S.ABC biết ABC là tam giác vuông cân A, SC = 2a 5, hình chiếu vuông góc S trên (ABC) là trung điểm AB, góc SC và (ABC) là 600 Bài tập 39 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), SC tạo với (ABCD) góc 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B tới (SCD) Bài tập 40 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD√có cạnh đáy a Gọi G là trọng tâm tam giác a SAC và khoảng cách từ G tới mặt bên SCD Tính khoảng cách từ tâm O đáy đến mặt bên SCD và thể tích khối chóp S.ABCD √ a Bài tập 41 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối nón tròn xoay (Γ) có đỉnh S và đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC Bài tập 42 Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), AB⊥BC, SA = AB = a, BC = 2a Gọi M, N −−→ −→ là hình chiếu vuông góc A trên SB, SC Gọi K là điểm thỏa mãn 5SK = 2SA Tính diện tích tam giác AM N và thể tích khối đa diện KM N ABC √ Bài tập 43 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có cạnh đáy là 2a, cạnh bên là a Gọi D, E là trung điểm AB, A0 B Tính độ dài thể tích khối đa diện ABA0 B C Tính khoảng cách AB và (CEB ) Tính khoảng cách ED và BC Bài tập 44 Tính thể tích khối tứ diện ABCD trường hợp sau Có các cạnh AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c \ = ADC \ = BDC \ = 600 Có DA = a, DB = b, DC = c và ADB (4) √ Bài tập 45 Cho hình chóp S.ABC có AB⊥BC, SA⊥(ABC), SA = AB = a, BC = a 3, mặt phẳng qua A vuông góc với SC H và cắt SB K Tính thể tích khối chóp S.AHK √ Bài tập 46 Cho tứ diện ABCD có CD = 2a và tất các cạnh còn lại a Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng AB, CD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD \ = BAC [ = 900 , AB = BC = a, Bài tập 47 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD SA = AD = 2a, SA⊥(ABCD) Gọi M, N là trung điểm SA, SD Chứng minh BCN M là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCN M Bài tập 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = AD = 2a, CD = a, góc (SBC) và (ABCD) là 600 , I là trung điểm AD, hai mặt phẳng (SBI), (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài tập 49 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có BB = a, góc BB và (ABC) là 600 , [ = 600 , hình chiếu vuông góc B trên (ABC) trùng với trọng tam giác ABC vuông C, BAC tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A0 ABC Bài tập 50 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0 B C có ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA0 = 2a, A0 C = 3a, M là trung điểm A0 C , I = AM ∩ A0 C Tính thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A tới (IBC) Bài tập 51 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần√lượt là trung điểm AB, AD Gọi H là giao điểm CN và DM Biết SH⊥(ABCD), SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDN M và khoảng cách hai đường thẳng DM , SC Bài tập 52 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0 B C có AB = a, góc (A0 BC) và (ABC) là 600 , G là trọng tâm ∆A0 BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B C và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC [ Bài tập 53 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông B, √ AC = 2a, ACB = 30 , hình chiếu vuông góc S trên (ABC) là trung điểm H AC, SH = a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C tới (SAB) Bài tập 54 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD), góc SC và (ABCD) là 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính góc và khoảng cách các đường thẳng SB, AC Bài tập 55 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AC = 2a, hình chiếu vuông góc A0 trên (ABC)là trung điểm AC, góc A0 B và (ABC) là 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B C Tính góc và khoảng cách các đường thẳng A0 B, B C Bài tập 56 Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cạnh a, SBC là tam giác đều, (SBC)⊥(ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC Tính góc và khoảng cách SA và BC Bài tập 57 Cho hình lăng trụ ABC.A0 B C có ABC là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A0 trên (ABC) là trung điểm AB, góc A0 C và (A0 B C ) là 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0 B C và khoảng cách từ B đến (ACC A0 ) 3a Bài tập 58 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu vuông góc S trên (ABCD) là trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBD) \ = 1200 , Bài tập 59 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, SA⊥(ABCD), BAD \ M là trung điểm BC, SM A = 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) [ = 300 , SBC là tam giác Bài tập 60 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, ABC cạnh a tâm G, (SBC)⊥(ABC), A là hình chiếu vuông góc G trên SA, B và C là trung điểm SB, SC Tính thể tích khối đa diện A0 B C ABC và khoảng cách từ C đến (SBA) (5)