Sử dụng phép quay vị tự, quay vecto giải bài toán hình học phẳng

S dng phộp quay,phộp v t quay,phộp quay vộc t gii mt s bi toỏn hỡnh hc phng -Phn M U 1.Lý chn ti: Bi toỏn hỡnh hc phng l bi toỏn nm cu trỳc bt buc ca cỏc thi hc sinh gii Trong chng trỡnh dy v hc toỏn ph thụng , phộp bin hỡnh v cỏc phộp di hỡnh mt phng thng c la chn gii nhiu cỏc dng toỏn khỏc Hin , ni dung phộp bin hỡnh mt phng c a vo chng trỡnh hỡnh hc lp 11 ,nhng cỏc ti liu tham kho v phộp bin hỡnh khụng nờu rừ phng phỏp ng dng gii cỏc bi toỏn v hỡnh hc phng mt cỏch cú h thng Trong chuyờn ny, tụi trung khai khỏc s dng phộp quay,phộp v t quay v phộp quay vộc t gii mt s bi toỏn hỡnh hc phng theo cỏc dng toỏn c th nhm giỳp hc sinh cú thờm mt cụng c ,mt phng phỏp s dng phộp bin hỡnh vo vic gii quyt mt s dng toỏn v hỡnh hc phng Mc ớch nghiờn cu: Chuyờn nhm h thng kin thc phộp quay,phộp v t quay,phộp quay vộc t , trỡnh by cỏc ng dng ca cỏc phộp bin hỡnh ny vo vic gii quyt mt s dng bi toỏn hỡnh hc phng Chuyờn khụng cú tớnh cht lit kờ m mc ớch mun tỡm hiu sõu hn v phộp quay v cú s so sỏnh v nhng u im ca vic s dng phộp quay,phộp v t quay,phộp quay vộc t ỏp dng vo tng bi toỏn c th cho hp lý Chng hn, i vi phộp quay cú tõm, vic ỏp dng thng phc tớnh l thuc vo tõm quay, cho nờn ụi phi s dng hai hoc ba phộp quay ng thi Trong phộp quay vộc t, cỏc yu t c dch chuyn d dng, vỡ th vic s dng cng tin li hn, hay l gii quyt mt s bi toỏn bng phộp quay khụng c thỡ phi s dng kt hp gia phộp quay v phộp v t Chuyờn ny l ti liu tham kho cho cỏc ng nghip cụng tỏc bi dng hc sinh gii quc gia v giỳp hc sinh cú kin thc nn tng v cú thờm mt nh hng cho cỏc dng bi toỏn v hỡnh hc phng Phn NI DUNG S dng Phộp quay,Phộp v t quay,Phộp quay vộc t , gii mt s bi toỏn hỡnh hc phng A ng dng ca phộp quay vo gii quyt mt s bi toỏn hỡnh hc phng I.Phộp quay : 1.1 nh ngha: Cho im O v gúc lng giỏc Phộp bin hỡnh bin mi im O thnh chớnh nú, bin mi im M OM = OM ' khỏc O thnh M cho c gi l phộp quay tõm O gúc Kớ hiu: Q( O , ) OM , OM ' = ( ) im O c gi l tõm quay cũn l gúc quay ca phộp quay ú Ta kớ hiu M ' = Q( O , ) ( M ) ngha l M l nh ca M qua phộp quay tõm O gúc quay * Lu ý: chiu dng ca phộp quay l chiu ngc chiu kim ng h (chiu dng ca ng trũn lng giỏc) 1.2 Tớnhcht: Tớnh cht 1: Phộp quay bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ Tớnh cht 2:Phộp quay bin ng thng thnh ng thng ,on thng thnh on thng bng nú,bin tam giỏc thnh tam giỏc bng nú, bin ng trũn thnh ng trũn cú cựng bỏn kớnh 1.3.Mt s kt quuuquan dng vo gii cỏc bi hỡnh hc phng ur utrng uur uuỏp u r uuur Kt qu 1; Q( O , ) : AB CD ( AB, CD) = (mod ), (AB, CD) = (mod ) Kt qu 2:Nu cú hai on thng AB v CD bng v AB khụng song song vi CD Khi uuur uuur ú tn ti nht mt phộp quay bin AB thnh CD Tõm O ca phộp quay l giao im hai uuur uuur ng trung trc ca AC v BD, gúc quay bng gúc gia hai vộc t AB v CD 2.1.ng dng phộp quay vo cỏc bi toỏn chng minh tớnh cht hỡnh hc : Bi 1:Cho lc giỏc li ABCDEF ni tip ng trũn tõm O cú cỏc cnh AB, CD, EF bng bỏn kớnh ng trũn ú Gi M, N, P ln lt l trung im ca cỏc cnh BC, DE, AF Chng minh rng: Tam giỏc MNP l tam giỏc u Li gii: Phõn tớch: chng minh rMNP l tam giỏc u, ta s ch phộp quay Q(P, 60 ) bin N M Q( P , 600 ) Tht vy: B A F E Ly I, K l trung im EF v BE PI / /AE (PI,KI) = 600 KI / /BF PI = KI Ta cú Fa E Q(O,600 ) : D a C Suy IN = KM = FD Ta cú: (1) ( IN ,KM) = 60 Xột Q( P , 600 ) : I K N N' Q( P , 600 ) (2) T (1) v (2) suy KN ' = KM M N Suy ra: Q( P , 600 ) : I K M N : IN KN ' ( IN , KN ' ) = 60 Lỳc ú: ( IN ,KN ') = 60 IN = KN ' Q(O, 60 ): FD EC suy rMPN u Bi Hỡnh vuụng ABCD ni tip hỡnh bỡnh hnh MNPQ (A Mn, B NP, C PQ, D QM) Gi M' l chõn ng vuụng gúc h t M xung AD, NN' AB, PP' BC, QQ' CD Chng minh M'N'P'Q' l hỡnh vuụng Gi AC ct BD ti O.Thỡ O cng l tõm ca hỡnh bỡnh hnh MNPQ Xột Q 0, 90o : A a B; M a M ( ) uuuu r uuuur AM BM AM BM BM AN Q 0, 90o : D a A; Q a Q1 ( ) uuur uuuu r DQ AQ1 DQ AQ1 m DQ//NB AQ1 NB => BM1 ct AQ1 ti H l trc tõm tam giỏc ANB v H l to nh chung ca MQ v MA R(0, 90 o) => H l to nh ca M Q( 0, 90 ) Mt khỏc H NN' o uuur uuur Nờn Q( 0, 90 ) : M a H DA AB o MDA HAB m MM' DA, HN' AB ,suy Q( 0, 90o ) : M ' a N ' Tng t , Q( 0, 90 ) : N' a P'; Q( 0, 90 ) P' a Q'; Q( 0, 90 ) Q' a M' Nờn M'N'P'Q' l hỡnh vuụng o o o Bi 3.Tam giỏc ABC cú AC > AB, trờn AC ly N cho NC = AB, trờn tia BA ly M cho MB = AC ã ã , MN ct trung trc BC ti K Chng minh: BKC + BAC = 180O Li gii: uuur uuur Do AB = NC => Xột Q( O, ) AB NC => O l giao ca trung trc AN v BC => O, K, H thng hng vi H l trung im BC v A, B, C ,O ng viờn uuur uuur + Do MB = AC => Xột Q( O, ) : MB AC => O' l giao im trung trc ca AM v BC V A, B, C cú ng viờn Do ú O O ' v O l tõm (AMN ) Ta cú BM = AC, AB = NC => AM = AN , ã AO MN v AO l phõn giỏc ca gúc MAN 1ã 1ã ã = BOC = KOC Vỡ vy ãANM = BAC 2 ã ã => KNA = KOC O, N, K, C ng viờn ã ã ã ã ã ã ã => HKC = KOC + OCK = KNA + ONM = ANO = OAN ã ã ã ã ã ã => BKC = MAN BKC + BAC = MAN + BAC = 180o Bi 4: Cho tam giỏc ABC Trờn AB, BC, CA v phớa ngoi tam giỏc ta dng tam giỏc cõn ABC 1, BCA1, ã C = 90O , CB ã A = 120O Tớnh cỏc gúc A1B1C1 CAB1 tha ãAC1 B = 150O , BA 1 Li gii: Xột Q( C1 , 150o ) : B a A Q B , 120o : A a C (1 ) => Q = Q( O1 , 120o ) Q( C1 , 150o ) l phộp quay -90o tõm M bin B a C V M c xỏc nh nh sau: Q( C ;75O ) : C1 B1 a C1M Q( B ;60O ) : B1C1 a B1M Mt khỏc Q( A , -90 ) : B a C , suy Q( A1 , -90o ) Q( M, -90o ) ,suy M A1 o = 75o , B = 60o , => A1B1C1 cú cỏc gúc C A1 = 45o 1 3.1 ng dng phộp quay vo cỏc bi toỏn chng minh thng hng ng quy Bi Cho t giỏc ABCD t/m BC=AD v BC khụng song song vi AD E, F ln lt thuc DAv BC cho BF = DE ,EF ln lt ct AC, BD ti R v Q; AC ct BD ti P Vi E, F thay i Chng minh (PRQ) i qua im c nh khỏc P Li gii: Do DA = BC xột phộp quay Q(O, ) : uuur uuur DA BC => O l giao ca trung trc AD v trung trc BC => O c nh Do DE = BF, E thuc AD, F thuc BC uuur uuur Q(O, ) : DA BC tc Q(O, ) : D a B; A a C Nờn Q(O, ) : Ea F Theo tớnh cht (*) DEQO, ORFC ni tip K OH, OI, OT, , OK ln lt vuụng gúc AD, BD, EF, AC, BC Theo nh lý v ng thng simson ta cú: H, T, I thng hng; T, J, K thng hng (ng thng simson ca XEOF) Vỡ vy I, J, K thng hng => O, Q, P, R ni tip (simson o) => (PQR) i qua O c nh khỏc P Tớnh cht (*) Xột Q(O) : uuur uuur AB CD Gi AB ct CD ti E; AC ct BD ti F Thỡ cỏc t giỏc AECO, BEDO, ABFO, OFCD ni tip v O thuc trung trc ca AC v BD uuur uuur (Tớnh cht * ỳng trng hp phộp v t quay tõm O bin AB CD Bi Cho tam giỏc ABC c nh D, E thay i trờn tia AB, AC cho BE = CD,BE ct CD ti P ã Chng minh phõn giỏc DPE i qua im c nh Li gii: Do BE = CD => Xột phộp quay Q(O, ) uuur uuu r DC BE Theo tớnh cht (*) => O thuc trung trc ca BD v CE v BPOD, CPOE ni tip ã ã ã ã => DPO = DBO , OPE = OCE ã ã ã ã BPD = BOD , CPE = COE ã ã ã ã m BPD = CPE BOD = COE ã ã Li cú BDO cõn O, COE cõn O DBO = OCE ã ã ã Vỡ vy DPO => PO l phõn giỏc DPE = OPE ã K BM//AC, M PO ãAEB = EBM ã ã ã ã M PCEO ni tip ãAEB = CEP = COP = CPO , li cú BPO BPM OPC (c.g.c) PB PM PB PO = = PO PC PM PC ã ã ã => CM//AB ú ACMB l hỡnh bỡnh hnh,Suy M c BPOMPC (c.g c) PCM = POB = BDP nh , t ú suy PO i qua M c nh ã ã ã Bi Cho tam giỏc ADC Bờn ngoi tam giỏc ly B v E tha BAC = CAD = DAE , ãABC = ãACD = ãADE Gi M l trung im DC Chng minh AM, EC, BD ng quy Li gii: ã ã ã t BAC = CAD = DAE = Xột Q( A, ) : Ba C Ca D Da E BCD CDE BCD : CDE Gi giao im ca CE v BD l N => Cỏc t giỏc AEDN, ABCN ni tip ã ã ã ã NAD = DEN = DEC = BCD => DC l tip tuyn (AEDN) ,tng t cú DC l tip tuyn (ABCN) AM ct CD = M' DM '2 =M'A M'N, CM '2 = M'A M'N DM '2 = CM '2 => DM'=CM' => M' l trung im DC => M' M Do ú AM, BD, CE ng quy Bi Cho lc giỏc u ABCDEF im M, N ln lt thuc AC, AE tha Tỡm k B, M, N thng hng Li gii: Do lc giỏc ABCDEF u => AC=AE; AEC u M AM NE = nờn MC = NA; AM = NE MC NA Do MA = NE Xột phộp quay tõm O, Q(0, ) : E a A, N a M => O thuc trung trc ca AE v MN V A, M, O, N ng viờn Do A, M, O, N ng viờn ã ã ã ã => OAC = MNO = NMO = EAO ã => AO l phõn giỏc EAC 10 AM NE = =k MC NA ã Xột ACE u cú O thuc trung trc AE, AO l phõn giỏc EAC => O l tõm AEC hay O l tõm lc giỏc u ABCDEF ã M1M1N thng hng ãABM + ãANM + NAB = 180o (M AN AB ) ãABM + ãANM = 90o ãABM + ãAOM = 90o ã ã Do B v O i xng qua AC ãABM = ãAOM ãAOM = 45o MOC = 75o OMC = 75o Suy tam giỏc MOC cõn ti M t OC = OA = R AC = 3R; MC = OC = R Nờn k = AM AC MC 3R R = = = MC MC R Bi 9.Trong mt phng cho tam giỏc: ABC,ADE tha AD AB, AE AC, AD=AB, AE=AC v hai tam giỏc ny ngoi Chng minh rng ng thng cha trung truyn ca tam giỏc ny cng l chõn ng cao h t A xung tam giỏc Li gii: Gi M l trung im ca BC, AH DE Gi F l im i xng vi C qua A ã FAE = 90o v AE = AF 11 Xột Q 0, 90o : E a F ( ) Da B ADE ABF ED = FB r uuur uuu ED FB ED FB Mt khỏc ta cú AM l ng trung bỡnh FBC => AM//FB Do ú AM ED m AH ED => A,M, H thng hng *)Khi gii quyt mt s bi toỏn bng phộp quay khụng c thỡ phi s dng kt hp gia phộp quay v phộp v t ,sau õy ta xột mt s bi hỡnh phng s dng tớch ca hai phộp bin hỡnh ny B ng dng ca phộp v t quay vo gii quyt mt s bi toỏn hỡnh hc phng II PHẫP V T QUAY 2.1 nh ngha: Tớch ca mt phộp v t v mt phộp quay vi cựng mt tõm gi l phộp v t quay Kớ hiu : Z(O , , k ) = Q(0, ) oV0k (V0k oQ(0, ) ) 2.2 Tớnh cht: Tớnh cht Phộp v t quay bo ton s thng hng ca im v th t ca chỳng trờn ng thng cha im ú H qu 1: Phộp v t quay bin mt ng thng thnh mt ng thng, binmt tia thnh mt tia, bin mt on thng thnh mt on thng cú di gpkln di ca on thng ban u H qu 2: Phộp v t quay bin mt tam giỏc thnh mt tam giỏc ng dng vi nú, bin mt gúc thnh mt gúc bng nú, bin mt ng trũn thnh mt ng trũn, ú tõm bin thnh tõm cũn bỏn kớnh cú di gp k ln bỏn kớnhng trũn ban u 3.2.ng dng phộp v t quay vo cỏc bi toỏn hỡnh hc phng Bi Cho rABC, I l trung im ca BC Dng phớa ngoi cỏc tam giỏc u rMAB v rNAC cú tõm ln lt l O1 v O2 Chng minh rng: IMO2 v INO1 ng dng Li gii: 12 M A I J Tam giỏc BIJ l tam giỏc u Q ( B ,600 ) : Xột phộp v t quay: Z(C , 30o, ): A a O2 Ja I Suy ra: Z(C , 30o, Z( I , 90o, 60o ) oQB ): : M a O2 Ia I M O2 Suy IMO2 vuụng ti I v Tng t xột phộp ng dng IO2 = (1) IM Z( I , 90o, ) : N O1 IO1 = (2) IN T (1) v (2) suy IMO2 v INO1 ng dng Suy INO1 vuụng ti I v Bi Tam giỏc ABC trc tõm H, trung trc AH ct AB, AC ti D v E, O l tõm ngoi tip tam giỏc ã ABC Chng minh: OA l phõn giỏc EOD Li gii: Xột phộp v t quay tõm A: D a H 13 ã ã Ta cú BAH m ADH cõn D, AOC cõn O = OAC Nờn phộp bin hỡnh trờn D a H ,O a C Gi s DO ct CH ti F theo tớnh cht(*) ã Ta cú AFOC ni tip => DOA = ãACH ã ã ã Tng t ta cú EOA (pcm) = EOA = ãABH M ãACH = ãABH (cựng ph àA )=> DOA Bi Cho hai ng trũn (O 1) v (O2) ct ti A, B Cỏt tuyn thay i qua A ct (O 1), (O2) ti D v C, tip tuyn (O1) ti D ct tip tuyn (O 2) ti C P Chng minh ng trung trc d ca BP tip xỳc ng trũn c nh Li gii ã ã ã ã Cú PDB + PCB = 180o DAB + 180o CAB = 180o => P, D, B, C ng viờn Ta cú (BC, BP) = (BA, BD); (PB, PC) = (DA, DB) ;(BC, BA) = (BP, BD) Xột phộp t v quay tõm B: C a P, A a D (O2) -> (BCPD)=> O2 a F l tõm (BCPD) Cng xột phộp v t quay tõm B: P a D, C a A 14 (BCPD) -> (O1) F a O1 Do O1F l trung trc BD, O2F l trung trc AC 1 Suy : (FO1, FO2) = (FO1, FB) + (FB, FO2) = ( FD, FB ) + ( FB, FC ) = (PD,PB)+(PB,PC) 2 =(CD,CB)+(DB,DC)=-(BD,BC)=-(BO1,BO2) (mod ) => F, O1, O2, B ng viờn M F l tõm (PCBD) => F thuc trung trc PB m O2F l trung trc BC => (d,FO2) = (BC,BP) = (BF,BO2) (Do phộp v t quay tõm B: C a P, O2 a F ) => d l tip tuyn ca (O1O2B) tip im l F, suy iu phi chng minh Bi 4.(IMO 2007).Cho im A, B, C, D, E cho ABCD l hỡnh bỡnh hnh v BCED l t giỏc ni tip Cho l mt ng thng qua A ct cnh BC v ng thng BD tng ng ti F v G Gi s Chng minh rng l phõn giỏc gúc Li gii Xột phộp v t quay S bin on BC thnh on DG Do FB CD = nờn S bin F thnh C Suy S bin FC CA trung im ca on FC thnh trung im ca CG Theo mnh tng t vi mnh 3, tõm O ca S phi ng thi thuc ng trũn ni tip cỏc tam giỏc CBD v CIJ nờn O trựng vi E Suy tam giỏc EBD ng dng vi tam giỏc EIJnờn tam giỏc EBD cõn ti E v bi toỏn c gii quyt Bi 5(TST 2013) Cho t giỏc ABCD cú cỏc cnh i khụng song song ni tip ng trũn (O;R) Gi E l giao im hai ng chộo, phõn giỏc gúc AEB ct cỏc ng thng AB,BC,CD,DA ln lt ti M,N,P,Q.Chng minh rng cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AQM, BMN , CNP, DPQ cựng i qua mt im K 15 Li gii : B Cho hai on thng AB v CD cho ABCD khụng l hỡnh thang Khi ú cú mt phộp v t quay tõm Kbin AB thnh CD Nu P l giao im ca AB v CD, Q l giao im ca AD v BC thỡ cỏc t giỏc APDK, BCPK, ABQK, CDQK ni tip Tr li bi toỏn Gi V l giao im ca AB v CD, U l giao im ca AD v BC a) Xột phộp v t quay bin AB thnh DC Gi K l tõm ca phộp v t quay ú, ta cú K thuc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc BCV, ADV, ABU,CDU (1) MB AM = nờn phộp v t quay trờn cng bin AM thnh DP PC DP v MB thnh PC.T ú ta cng cúK thuc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AMQ,DPQ, MBP,CPN(2 ) Mt khỏc M thuc AB, P thuc AC v T (1) v (2) ta cú cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AQM, BMN, CNP,DPQ cựng i qua mt im K **)i vi phộp quay cú tõm,phộp v t quay vic ỏp dng thng phc tớnh l thuc vo tõm quay, cho nờn ụi phi s dng hai hoc ba phộp quay ng thi Trong phộp quay vộc t, cỏc yu t c dch chuyn d dng, vỡ th vic s dng cng tin li hn,sau õy chỳng ta xột mt s ng dng ca phộp quay vộc t vo bi toỏn hỡnh hc phng 16 C.ng dng ca phộp quay vộc t vo gii quyt mt s bi toỏn hỡnh hc phng III.PHẫP QUAY VECT 3.1 nh ngha: f: E F (E, F l hp cỏc vect mt phng) U U' f l phộp quay vec t gúc Kớ hiu l Q 3.2 Tớnh cht: 1, + k = Q Q 2, thỡ ( u , u ') = 3, 4, Q (u + v ) =Q (u )+Q ( v ) Q ( k u ) = k Q ( u ) 4.2.ng dng phộp quay vộc t vo cỏc bi toỏn hỡnh hc phng Bi 1:Cho rABC tựy ý Dng v phớa ngoi ca nú cỏc tam giỏc u ABD v ACF Dng hỡnh bỡnh hnh ADEF.Chng minh rng: rBCE l tam giỏc u Phõn tớch: chng minh rBCE l tam giỏc u 17 Q 60 : EB EC Tht vy Q 60 FA a FC : DB a DA FA + DB FC + DA ED + DB FC + EF EB EC Vy r BCE u Bi 2:Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, {P} = AC BD M, N th t l trung im ca PD,BC Chng minh rng: Hai mnh sau tng ng 1) AMN vuụng cõn ti M 2) ABCD l hỡnh vuụng Gii: t AD = v AB = w MN = x MA = y x = MN = MD + DC + CN = y = AM = ( v + w) (3 v + w) v = ( x + y) w = (3 x y ) 1) Nu AMN vuụng cõn ti M 18 Q : y x Xột: v w ABCD l hỡnh vuụng 2) Nu tam giỏc ABCD l hỡnh vuụng Q :v w w v Khi ú: x y Vy tam giỏc AMN vuụng cõn ti M Bi 3: Cho t giỏc li ABCD Dng v phớa ngoi ca nú cỏc hỡnh vuụng vi cỏc cnh tng ng bng cỏc cnh ca t giỏc ó cho Chng minh rng tõm ca bn hỡnh vuụng trờn l nh ca mt t giỏc cú hai ng chộo bng v vuụng gúc vi Gii: Gi tõm hỡnh vuụng dng trờn cỏc cnh AB, BC, CD, DA tng ng l O1 , O2 , O3 , O4 Nh vy cỏc tam giỏc O1 AB, O2 BC , O3 CD, O4 DA l tam giỏc vuụng cõn Gi M, N, I, J tng ng l trung im cỏc cnh AB, BC, CD, DA Ta chng t O1O3 O2 O4 O1O3 = O2 O4 Thc hin phộp quay vec t vi gúc quay 90 ta cú: 19 Q 90 (O2O4 ) = O1O3 O2O4 = O2 N + NJ + JO4 O2 N + ( BA + CD ) + JO4 = O2 N + BM + CI + JO4 90 Q : O2 N a BN CI a IO3 BM a O M JO a JD Vy: O2O4 a BN + O1M + IO3 + JD = MI + O1M + IO3 = O1O3 Bi 4: Cho t giỏc li ABCD cú AC = BD Dng v phớa ngoi t giỏc ABCD cỏc tam giỏc u vi cỏc cnh th t bng AB, BC, CD, DA Gi O1 , O2 , O3 , O4 l tõm cỏc tam giỏc ú Chng minh rng: O1O3 O2 O4 Phõn tớch: O1O3 O2 O4 Q 900 : O1O3 a K1 O2O4? Gii: Gi M, N, I, J ln lt l trung im ca AD, DC, CB, BA Vy IJ MN 20 IJ suy IJ = k.MN MN Ta cú tam giỏc O1 AB, O2 BC , O3 CD, O4 DA l tam giỏc cõn vi gúc ỏy bng 30 AB CD O1 A = O1 B = O3 C = O3 D = 3 ; BC DA O2 B = O2 C = O4 D = O4 A = 3 t k = Mt khỏc ta cú O1O3 = O1 I + IJ + JO3 Q 900 AB : O1 I IJ k MN JO3 Suy ra: Q DC 90 ( AB + DC ) (O1O3 ) = + k MN + = + k MN 2 3 = AB MN + k MN = ( DC + 1) MN + 1) MN ,suy O1O3 MN Bi 5: Cho tam giỏc ABC Dng v phớa ngoi ca nú cỏc tam giỏc BCP, CAQ, ABR, cho: 90 Vy: Q (O1O3 ) = ( Gúc (PBC) = Gúc (CAQ) = 45o , Gúc (BCP) = Gúc (QCA) = 30o Gúc (ABR) = Gúc (BAR) = 15o Chng minh rng: Tam giỏc QRP vuụng cõn ti R C Dng v phớa ngoi tam giỏc ABC tam giỏc ABC1 u 30 Q BP AQ AR BR = = = >0 t k = BC AC AC1 BC1 A Thc hin phộp quay vec t vi gúc quay 45o 45 o 45o 45o Thy cỏc tam giỏc BPC, AQC, ARC1, BRC1 ng dng vi 45 P 30o Gii: B 15o 45 o 45o R o 30o 30 C1 Q ( RP ) = Q ( RB + BP ) 21 = Q 45 ( RB ) + Q 45 ( BP ) = k C1 B + k BC = k (C1 B + BC ) = k C1C Thc hin tip phộp quay vec t vi gúc quay 45o ta cú: o o o o o Q 45 (Q 45 ( RP )) = Q 45 (k C1C ) = Q 45 (k C1 A) + Q 45 ( AC ) o o = Q 45 (k C1 A) + Q 45 (k AC ) = RA + AQ = RQ Nh vy Q 90 ( RP ) = RQ hay RP = RQ Do ú tam giỏc QRP vuụng cõn ti R *Nhn xột: i vi phộp quay cú tõm, vic ỏp dng thng phc tớnh l thuc vo tõm quay, cho nờn ụi phi s dng hai hoc ba phộp quay ng thi Trong phộp quay vộc t, cỏc yu t c dch chuyn d dng, vỡ th vic s dng cng tin li hn.Qua cỏc vớ d trờn ta thy phn no tớnh u vit ca phộp quay vộc t, c bit l nhng bi toỏn phc Bi lm thờm: Dng v phớa ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABC1 v ACB1 cho gúc (ABC1) = gúc (CAB1) = 30o, gúc (BAC1) = gúc (ACB1)= 60o im M thuc cnh BC cho MB = 3MC Hóy tớnh cỏc gúc ca tam giỏc NB1C1 Cho gúc vuụng xOy, hai im A v B chy tng ng trờn Ox v Oy cho OA + OB = a khụng i Gi D l nh th t ca hỡnh ch nht OACB Chng minh rng :ng thng i qua C v vuụng gúc vi AB i qua mt im c nh Trờn cỏc cnh ca tam giỏc, dng v phớa ngoi cỏc hỡnh vuụng vi tõm P, Q, R Trờn cỏc cnh ca tam giỏc PQR v phớa trong, dng cỏc hỡnh vuụng Chng minh rng tõm cỏc hỡnh vuụng ú l trung im cỏc cnh ca tam giỏc ABC trờn cỏc cnh ca tam giỏc ABC dng v phớa ngo cỏc tam giỏc u ACB1, BCA1 v dng v phớa tam giỏc u ABC1 vi tõm M Chng ming rng tam giỏc A1B1M cõn vi gúc (A1MB1)=120o Cho tam giỏc ABC tựy ý Dng v phớa ngoi nú cỏc tam giỏc ABC 1, BCA1, CAB1 cho: Gúc (ABC1) = Gúc (ACB1) = + + = n ,Gúc (BAC1) = Gúc (CAB1) = ,Gúc (A1BC) = Gúc (A1CB) = Hóy tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC 22 Phn KT LUN Trờn õy, tụi ó trỡnh by s dng phộp quay,phộp v t quay,phộp quay vộc t , gii mt s bi toỏn hỡnh hc phng, cỏc bi toỏn c chn khỏ a dng v phong phỳ Qua ú giỳp hc sinh tip cn v hỡnh thnh phng phỏp gii quyt mt lp cỏc bi toỏn cựng loi , c bit l giỳp cỏc em cú phng phỏp s dng cỏc phộp bin kt hp phộp bin hỡnh vo vic gii quyt mt s dng toỏn hỡnh hc phng Tụi vit chuyờn nhm mc ớch cựng trao i vi cỏc Thy Cụ dy b mụn toỏn v vic s dng phộp quay,phộp v t quay,phộp quay vộc t vic gii quyt mt s bi toỏn hỡnh hc phng t ú rỳt c tớnh u vit ca tng phng phỏp Vỡ kin thc v thi gian cũn nhiu hn ch nờn chc rng chuyờn cú thiu sút, tụi chõn thnh mong mun v ún nhn s trao i, gúp ý ca Quý Thy Cụ chuyờn ngy cng hon thin v sõu sc hn na Tụi xin chõn thnh cm n! Tài liệu tham khảo Phộp bin hỡnh mt phng ca tỏc gi Thanh Sn 2.Cỏc phộp bin hỡnh mt phng ca Nguyn Mng Hy 3.Tp toỏn hc tui tr 23 toán hình học phẳng V.VPRXOLOV Chuyờn phộp bin hỡnh ca trng hố Tham kho bi ging ca mt s ng nghip 24 [...]... qua mt im K **)i vi phộp quay cú tõm,phộp v t quay vic ỏp dng thng phc tp do tớnh l thuc vo tõm quay, cho nờn ụi khi phi s dng hai hoc ba phộp quay ng thi Trong phộp quay vộc t, cỏc yu t c dch chuyn d dng, vỡ th vic s dng cng tin li hn,sau õy chỳng ta xột mt s ng dng ca phộp quay vộc t vo bi toỏn hỡnh hc phng 16 C.ng dng ca phộp quay vộc t vo gii quyt mt s bi toỏn hỡnh hc phng III.PHẫP QUAY VECT 3.1 nh... 90 ( RP ) = RQ hay RP = RQ Do ú tam giỏc QRP vuụng cõn ti R *Nhn xột: i vi phộp quay cú tõm, vic ỏp dng thng phc tp do tớnh l thuc vo tõm quay, cho nờn ụi khi phi s dng hai hoc ba phộp quay ng thi Trong phộp quay vộc t, cỏc yu t c dch chuyn d dng, vỡ th vic s dng cng tin li hn.Qua cỏc vớ d trờn ta thy phn no tớnh u vit ca phộp quay vộc t, c bit l trong nhng bi toỏn phc tp Bi tp lm thờm: 1 Dng v phớa... quay, phộp v t quay, phộp quay vộc t , gii mt s bi toỏn hỡnh hc phng, cỏc bi toỏn c chn khỏ a dng v phong phỳ Qua ú giỳp hc sinh tip cn v hỡnh thnh phng phỏp gii quyt mt lp cỏc bi toỏn cựng loi , c bit l giỳp cỏc em cú phng phỏp s dng cỏc phộp bin kt hp phộp bin hỡnh vo vic gii quyt mt s dng toỏn trong hỡnh hc phng Tụi vit chuyờn nhm mc ớch cựng trao i vi cỏc Thy Cụ dy b mụn toỏn v vic s dng phộp quay, phộp... 30 Q BP AQ AR BR = = = >0 t k = BC AC AC1 BC1 A Thc hin phộp quay vec t vi gúc quay 45o 45 o 45o 45o Thy cỏc tam giỏc BPC, AQC, ARC1, BRC1 ng dng vi nhau 45 P 30o Gii: B 15o 45 o 45o R o 30o 30 C1 Q ( RP ) = Q ( RB + BP ) 21 = Q 45 ( RB ) + Q 45 ( BP ) = k C1 B + k BC = k (C1 B + BC ) = k C1C Thc hin tip phộp quay vec t vi gúc quay 45o ta cú: o o o o o Q 45 (Q 45 ( RP )) = Q 45... dng ca phộp v t quay vo gii quyt mt s bi toỏn hỡnh hc phng II PHẫP V T QUAY 2.1 nh ngha: Tớch ca mt phộp v t v mt phộp quay vi cựng mt tõm gi l phộp v t quay Kớ hiu : Z(O , , k ) = Q(0, ) oV0k (V0k oQ(0, ) ) 2.2 Tớnh cht: Tớnh cht 1 Phộp v t quay bo ton s thng hng ca 3 im v th t ca chỳng trờn ng thng cha 3 im ú H qu 1: Phộp v t quay bin mt ng thng thnh mt ng thng, binmt tia thnh mt tia, bin mt on thng... i xng vi C qua A ã FAE = 90o v AE = AF 11 Xột Q 0, 90o : E a F ( ) Da B ADE ABF ED = FB r uuur uuu ED FB ED FB Mt khỏc ta cú AM l ng trung bỡnh FBC => AM//FB Do ú AM ED m AH ED => A,M, H thng hng *)Khi gii quyt mt s bi toỏn bng phộp quay khụng c thỡ phi s dng kt hp gia phộp quay v phộp v t ,sau õy ta xột mt s bi tp hỡnh phng s dng tớch ca hai phộp bin hỡnh ny B ng dng ca phộp v t quay vo... O4 Thc hin phộp quay vec t vi gúc quay 90 0 ta cú: 19 0 Q 90 (O2O4 ) = O1O3 O2O4 = O2 N + NJ + JO4 1 O2 N + ( BA + CD ) + JO4 = O2 N + BM + CI + JO4 2 90 Q : O2 N a BN CI a IO3 BM a O 1 M JO 4 a JD Vy: O2O4 a BN + O1M + IO3 + JD = MI + O1M + IO3 = O1O3 Bi 4: Cho t giỏc li ABCD cú AC = BD Dng v phớa ngoi t giỏc ABCD cỏc tam giỏc u vi cỏc cnh th t... gii: Xột phộp v t quay tõm A: D a H 13 ã ã Ta cú BAH m ADH cõn D, AOC cõn O = OAC Nờn phộp bin hỡnh trờn D a H ,O a C Gi s DO ct CH ti F theo tớnh cht(*) ã Ta cú AFOC ni tip => DOA = ãACH ã ã ã Tng t ta cú EOA (pcm) = EOA = ãABH M ãACH = ãABH (cựng ph àA )=> DOA Bi 3 Cho hai ng trũn (O 1) v (O2) ct nhau ti A, B Cỏt tuyn thay i qua A ct (O 1), (O2) ti D v C, tip tuyn (O1) ti D ct tip tuyn (O 2) ti C... BD tng ng ti F v G Gi s Chng minh rng l phõn giỏc gúc Li gii Xột phộp v t quay S bin on BC thnh on DG Do FB CD = nờn S bin F thnh C Suy ra S bin FC CA trung im ca on FC thnh trung im ca CG Theo mnh tng t vi mnh 3, tõm O ca S phi ng thi thuc ng trũn ni tip cỏc tam giỏc CBD v CIJ nờn O trựng vi E Suy ra tam giỏc EBD ng dng vi tam giỏc EIJnờn tam giỏc EBD cõn ti E v bi toỏn c gii quyt Bi 5(TST 2013)... v vuụng gúc vi AB i qua mt im c nh 3 Trờn cỏc cnh ca tam giỏc, dng v phớa ngoi cỏc hỡnh vuụng vi tõm P, Q, R Trờn cỏc cnh ca tam giỏc PQR v phớa trong, dng cỏc hỡnh vuụng Chng minh rng tõm cỏc hỡnh vuụng ú l trung im cỏc cnh ca tam giỏc ABC 4 trờn cỏc cnh ca tam giỏc ABC dng v phớa ngo cỏc tam giỏc u ACB1, BCA1 v dng v phớa trong tam giỏc u ABC1 vi tõm M Chng ming rng tam giỏc A1B1M cõn vi gúc (A1MB1)=120o