Sử dụng phép quay vị tự, quay vecto giải bài toán hình học phẳng

Sử dụng phép quay,phép vị tự quay,phép quay véc tơ giải một số bài toán hình học phẳng quay,phép vị tự quay và phép quay véc tơ để giải một số bài toán hình học phẳng theo các dạng toán

Sử dụng phép quay,phép vị tự quay,phép quay véc tơ

giải một số bài toán hình học phẳng

quay,phép vị tự quay và phép quay véc tơ để giải một số bài toán hình học phẳng theo các dạng toán cụ thể nhằm giúp học sinh có thêm một công cụ ,một phương pháp sử dụng phép biến hình vào việc giải quyết một số dạng toán về hình học phẳng.

2 Mục đích nghiên cứu:

Chuyên đề nhằm hệ thống kiến thức phép quay,phép vị tự quay,phép quay véc tơ , trình bày các ứng dụng của các phép biến hình này vào việc giải quyết một số dạng bài toán trong hình học phẳng Chuyên đề không có tính chất liệt kê mà mục đích muốn tìm hiểu sâu hơn về phép quay và có sự so sánh về những ưu điểm của việc sử dụng phép quay,phép vị tự

quay,phép quay véc tơ áp dụng vào từng bài toán cụ thể cho hợp lý Chẳng hạn, đối với phép quay có tâm, việc áp dụng thường phức tạp do tính lệ thuộc vào tâm quay, cho nên đôi khi

phải sử dụng hai hoặc ba phép quay đồng thời Trong phép quay véc tơ, các yếu tố được dịch chuyển dễ dàng, vì thế việc sử dụng cũng tiện lợi hơn, hay là khi giải quyết một số bài toán bằng phép quay không được thì phải sử dụng kết hơp giữa phép quay và phép vị tự Chuyên

đề này là tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia và giúp học sinh có kiến thức nền tảng và có thêm một định hướng cho các dạng bài toán

về hình học phẳng.

Phần 2 NỘI DUNG

Sử dụng Phép quay,Phép vị tự quay,Phép quay véc tơ ,

giải một số bài toán hình học phẳng A

.Ứng dụng của phép quay vào giải quyết một số bài toán hình học phẳng

 được gọi là phép quay tâm O góc α Kí hiệu: Q(O,α).

Điểm O được gọi là tâm quay còn α là góc quay của phép quay đó

Ta kí hiệu M'=Q(O,α)( )M nghĩa là M’ là ảnh của M qua phép quay tâm O góc quay α

* Lưu ý: chiều dương của phép quay là chiều ngược chiều kim đồng hồ (chiều dương của đường trònlượng giác)

1.2 Tínhchất:

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Tính chất 2:Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng ,đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,biếntam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

1.3.Một số kết quả quan trọng áp dụng vào giải các bài tập hình học phẳng

Kết quả 1; Q( , )Oα :uuurAB→CDuuur (uuur uuurAB CD, )=α(mod 2 ), (AB,CD)π =α(mod )π

Kết quả 2:Nếu có hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau và AB không song song với CD Khi

đó tồn tại duy nhất một phép quay biến uuurAB

2.1.Ứng dụng phép quay vào các bài toán chứng minh tính chất hình học :

Bài 1:Cho lục giác lồi ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O có các cạnh AB, CD, EF bằng bán kính

đường tròn đó Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, DE, AF

Chứng minh rằng: Tam giác MNP là tam giác đều

Lời giải:

Phân tích: Để chứng minh rMNP là tam giác đều, ta sẽ chỉ ra phép quay Q(P, 0

60 ) biến N  M

Thật vậy: Q(P,600) B  A

K I



 ⇒ Q(P,600) : →  →

K I





suy ra rMPN đều

Bài 2 Hình vuông ABCD nội tiếp hình bình hành MNPQ (A∈Mn, B∈NP, C∈PQ, D∈QM) Gọi M' làchân đường vuông góc hạ từ M xuống AD, NN'⊥AB, PP'⊥BC, QQ'⊥CD Chứng minh M'N'P'Q' là hìnhvuông.

=> BM1 cắt AQ1 tại H là trực tâm tam giác ANB và H là tạo ảnh chung của MQ và MA trong R(0, 90o)

=> H là tạo ảnh của M trong Q(0, 90o) Mặt khác H ∈ NN'

Nên Q(0, 90o) : M a H ⇒DAuuur→uuurAB

⇒ ∆ → ∆ mà MM'⊥DA, HN'⊥AB ,suy ra Q(0, 90o): ' '

⇒ a

Tương tự , Q(0, 90o) : N' a P'; Q(0, 90o) P' a Q'; Q(0, 90o)Q' a M' Nên M'N'P'Q' là hình vuông

Bài 3.Tam giác ABC có AC > AB, trên AC lấy N sao cho NC = AB, trên tia BA lấy M sao cho MB = AC

, MN cắt trung trực BC tại K Chứng minh: ·BKC BAC+· =180O

Lời giải:

Do AB = NC => Xét Q(O, α). ABuuur→NCuuur

=> O là giao của trung trực AN và BC

=> O, K, H thẳng hàng với H là trung điểm BC và A, B, C ,O đồng viên

+ Do MB = AC => Xét Q(O, α): MBuuur→uuurAC

=> O' là giao điểm trung trực của AM và BC

Và A, B, C có đồng viên Do đó O O≡ ' và O là tâm (∆AMN)

Ta có BM = AC, AB = NC => AM = AN ,

AO⊥MN và AO là phân giác của góc ·MAN

Vì vậy · 1· 1· ·

ANM = BAC= BOC=KOC

=> ·KNA KOC=· ⇒O, N, K, C đồng viên

=> ·HKC KOC OCK=· +· =KNA ONM· +· = ·ANO OAN=·

=> ·BKC MAN=· ⇒·BKC BAC MAN BAC+· =· +· =180o

Bài 4: Cho tam giác ABC Trên AB, BC, CA về phía ngoài tam giác ta dựng tam giác cân ABC1, BCA1, CAB1 thỏa mãn · 1 150 ,O · 1 90 ,O · 1 120O

AC B= BA C= CB A= Tính các góc ∆A1B1C1

Lời giải:

Xét Q(C , 150 1 o): Ba A

Q (B1 , 120o) : Aa C

=> Q = Q(O1 , 120o) (.QC , 150 1 o) là phép quay -90o tâm M biến Ba C

Và M được xác định như sau:

A ≡ Q (M, -90o) ,suy ra M≡A1

=> ∆A1B1C1 có các góc µ1 75 ,o µ1 60 ,o µ1 45o

3.1 Ứng dụng phép quay vào các bài toán chứng minh thằng hàng đồng quy

Bài 5 Cho tứ giác ABCD t/m BC=AD và BC không song song với AD E, F lần lượt thuộc DAvà BC sao

cho BF = DE ,EF lần lượt cắt AC, BD tại R và Q; AC cắt BD tại P Với E, F thay đổi Chứng minh

(∆PRQ)đi qua điểm cố định khác P

Lời giải:

Do DA = BC xét phép quay Q(O, )α : DAuuur→BCuuur

=> O là giao của trung trực AD và trung trực BC

Theo tính chất (*) DEQO, ORFC nội tiếp

Kẻ OH, OI, OT, Ọ, OK lần lượt vuông góc AD, BD, EF, AC, BC

Theo định lý về đường thẳng simson ta có: H, T, I thẳng hàng; T, J, K thẳng hàng(đường thẳng simson của XEOF)

Vì vậy I, J, K thẳng hàng

=> O, Q, P, R nội tiếp (simson đảo)

=> (∆PQR)đi qua O cố định khác P

Tính chất (*)

Xét Q(O): ABuuur→CDuuur

Gọi AB cắt CD tại E; AC cắt BD tại F

Thì các tứ giác AECO, BEDO, ABFO, OFCD nội tiếp và O thuộc trung trực của AC và BD

(Tính chất * vẫn đúng trong trường hợp phép vị tự quay tâm O biến ABuuur→CDuuur

Bài 6 Cho tam giác ABC cố định D, E thay đổi trên tia AB, AC sao cho BE = CD,BE cắt CD tại P

.Chứng minh phân giác ·DPE đi qua điểm cố định.

Theo tính chất (*) => O thuộc trung trực của BD và CE và BPOD, CPOE nội tiếp

=> ·DPO DBO OPE OCE=· ,· = ·

BPD BOD CPE COE= =

mà ·BPD CPE=· ⇒BOD COE· =·

Lại có BDO∆ cân ở O, COE∆ cân ở O ⇒·DBO OCE=·

Vì vậy ·DPO OPE=· => PO là phân giác ·DPE

Kẻ BM//AC, M∈PO ⇒·AEB EBM= ·

Mà PCEO nội tiếp ⇒ ·AEB CEP COP=· =· , lại có ·BPO CPO=·

Bài 7 Cho tam giác ADC Bên ngoài tam giác lấy B và E thỏa mãn ·BAC CAD DAE ABC= · = · ,· = ·ACD ADE= ·

Gọi M là trung điểm DC Chứng minh AM, EC, BD đồng quy

a ⇒ ∆BCD: ∆CDE

Gọi giao điểm của CE và BD là N

=> Các tứ giác AEDN, ABCN nội tiếp

Lời giải:

Do lục giác ABCDEF đều

=> AC=AE; ∆AEC đều

Mà AM NE

MC = NA nên MC = NA; AM = NE

Do MA = NE Xét phép quay tâm O, Q(0, )β :Ea A N, a M

=> O thuộc trung trực của AE và MN

Và A, M, O, N đồng viên

Do A, M, O, N đồng viên

=> ·OAC MNO NMO EAO=· =· = ·

=> AO là phân giác ·EAC

Xét ∆ACE đều có O thuộc trung trực AE, AO là phân giác ·EAC => O là tâm ∆AEC hay O là tâm lụcgiác đều ABCDEF

Để M1M1N thẳng hàng · · · 180o

(Mà AN ⊥AB) ⇔·ABM +·ANM =90o ⇔·ABM +·AOM =90o

Do B và O đối xứng nhau qua AC ⇔·ABM =·AOM ⇒·AOM =45o ⇒MOC· =75o ⇒OMC· =75o

Suy ra tam giác MOC cân tại M

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC, AH ⊥DE

Gọi F là điểm đối xứng với C qua A

· 90o

FAE

⇒ = và AE = AF

Mặt khác ta có AM là đường trung bình ∆FBC => AM//FB

Do đó AM ⊥ED mà AH ⊥ED => A,M, H thẳng hàng

*)Khi giải quyết một số bài toán bằng phép quay không được thì phải sử dụng kết hơp giữa phép quay và phép vị tự ,sau đây ta xét một số bài tập hình phẳng sử dụng tích của hai phép biến hình này.

Hệ quả 1: Phép vị tự quay biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biếnmột tia thành một tia, biến

một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấpklần độ dài của đoạn thẳng ban đầu

Hệ quả 2: Phép vị tự quay biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, biến một góc thành

một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn, trong đó tâm biến thành tâm còn bán kính có

độ dài gấp k lần bán kínhđường tròn ban đầu

3.2.Ưng dụng phép vị tự quay vào các bài toán hình học phẳng.

Bài 1 Cho rABC, I là trung điểm của BC Dựng ra phía ngoài các tam giác đều rMAB và rNAC có

tâm lần lượt là O và 1 O Chứng minh rằng: 2 ∆IMO2 và ∆INO1 đồng dạng

Lời giải:

( , 60 )B

Q − :

J I

A M

Từ (1) và (2) suy ra ∆IMO2 và ∆INO1 đồng dạng

Bài 2 Tam giác ABC trực tâm H, trung trực AH cắt AB, AC tại D và E, O là tâm ngoại tiếp tam giác

ABC Chứng minh: OA là phân giác ·EOD

Lời giải:

Xét phép vị tự quay tâm A: D a H

Ta có ·BAH =OAC· mà ∆ADH cân ở D, ∆AOC cân ở O.

Nên phép biến hình trên D a H ,O a C

Giả sử DO cắt CH tại F theo tính chất(*)

Ta có AFOC nội tiếp => ·DOA ACH=·

Tương tự ta có ·EOA ABH= · Mà ·ACH =·ABH (cùng phụ µA )=> · DOA EOA=· (đpcm)

Bài 3 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A, B Cát tuyến thay đổi qua A cắt (O1), (O2) tại D và

C, tiếp tuyến (O1) tại D cắt tiếp tuyến (O2) tại C ở P Chứng minh đường trung trực d của BP tiếp xúcđường tròn cố định

Lời giải

Có ·PDB PCB+· =180o−DAB· +180o−CAB· =180o=> P, D, B, C đồng viên

Ta có (BC, BP) = (BA, BD); (PB, PC) = (DA, DB) ;(BC, BA) = (BP, BD)

Xét phép tự vị quay tâm B:C a P A, a D

(O2) -> (BCPD)=> O2 a F là tâm (BCPD)

Cũng xét phép vị tự quay tâm B:Pa D C, a A

(BCPD) -> (O1)

F a O1

Do O1F là trung trực BD, O2F là trung trực AC

Suy ra : (FO1, FO2) = (FO1, FB) + (FB, FO2) 1( , ) 1( , )

2 FD FB 2 FB FC

=(CD,CB)+(DB,DC)=-(BD,BC)=-(BO1,BO2) (mod π)

=> F, O1, O2, B đồng viên

Mà F là tâm (PCBD) => F thuộc trung trực PB mà O2F là trung trực BC

=> (d,FO2) = (BC,BP) = (BF,BO2) (Do phép vị tự quay tâm B: Ca P O, 2 a F)

=> d là tiếp tuyến của (O1O2B) tiếp điểm là F, suy ra điều phải chứng minh

Bài 4.(IMO 2007).Cho 5 điểm A, B, C, D, E sao cho ABCD là hình bình hành và BCED là tứ giác

nội tiếp Cho là một đường thẳng qua A cắt cạnh BC và đường thẳng BD tương ứng tại F và G Giả

sử Chứng minh rằng là phân giác góc

Lời giải

Xét phép vị tự quay S biến đoạn BC thành đoạn DG Do FB CD

FC = CA nên S biến F thành C Suy ra S biến trung điểm của đoạn FC thành trung điểm của CG Theo mệnh đề tương tự với mệnh đề 3, tâm O của

S phải đồng thời thuộc đường tròn nội tiếp các tam giác CBD và CIJ nên O trùng với E Suy ra tam giác EBD đồng dạng với tam giác EIJnên tam giác EBD cân tại E và bài toán được giải quyết

Bài 5(TST 2013) Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối không song song nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi E là giao điểm hai đường chéo, phân giác góc AEB cắt các đường thẳng AB,BC,CD,DA lần lượt tại M,N,P,Q.Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AQM, BMN , CNP, DPQ cùng đi quamột điểm K

Lời giải :

Bổ đề Cho hai đoạn thẳng AB và CD sao cho ABCD không là hình thang Khi đó có một phép vị tự

quay tâm Kbiến AB thành CD Nếu P là giao điểm của AB và CD, Q là giao điểm của AD và BC thì các

tứ giác APDK, BCPK, ABQK, CDQK nội tiếp

Trở lại bài toán Gọi V là giao điểm của AB và CD, U là giao điểm của AD và BC

a) Xét phép vị tự quay biến AB thành DC Gọi K là tâm của phép vị tự quay đó, ta có K thuộc đường trònngoại tiếp các tam giác BCV, ADV, ABU,CDU (1)

Mặt khác do M thuộc AB, P thuộc AC và MB AM

PC = DP nên phép vị tự quay trên cũng biến AM thành DP

và MB thành PC.Từ đó ta cũng cóK thuộc đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMQ,DPQ, MBP,CPN(2 )

Từ (1) và (2) ta có các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AQM, BMN, CNP,DPQ cùng đi qua một điểm K

**)Đối với phép quay có tâm,phép vị tự quay việc áp dụng thường phức tạp do tính lệ thuộc vào tâm quay, cho nên đôi khi phải sử dụng hai hoặc ba phép quay đồng thời Trong phép quay véc tơ, các yếu tố được dịch chuyển dễ dàng, vì thế việc sử dụng cũng tiện lợi hơn,sau đây chúng ta xét một số ứng dụng của phép quay véc tơ vào bài toán hình học phẳng.

.Ứng dụng của phép quay véc tơ vào giải quyết một số bài toán hình học phẳng

III.PHÉP QUAY VECTƠ

4.2.Ứng dụng phép quay véc tơ vào các bài toán hình học phẳng.

Bài 1:Cho rABC tùy ý Dựng về phía ngoài của nó các tam giác đều ABD và ACF Dựng hình bình hành ADEF.Chứng minh rằng: rBCE là tam giác đều.

Phân tích: Để chứng minh rBCE là tam giác đều

++

⇔

F

E FC DB

ED

DA FC DB

FA





⇔EB → EC→

Vậy r BCE đều

Bài 2:Cho hình bình hành ABCD, {P} = AC∩BD M, N thứ tự là trung điểm của PD,BC

Chứng minh rằng: Hai mệnh đề sau tương đương.

1) ∆ AMN vuông cân tại M

x MN

w AB

v AD

)3

(

5

2

)3(

5

2

)3(41

)3(41

=

=

y x

w

y x

v

w v AM

y

w v CN

DC MD

MN

x

1) Nếu ∆ AMN vuông cân tại M

Khi đó: →x  →y Vậy tam giác AMN vuông cân tại M.

Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD Dựng về phía ngoài của nó các hình vuông với các cạnh tương ứng bằng

các cạnh của tứ giác đã cho Chứng minh rằng tâm của bốn hình vuông trên là đỉnh của một tứ giác có haiđương chéo bằng nhau và vuông góc với nhau

Giải: Gọi tâm 4 hình vuông dựng trên các cạnh AB, BC, CD, DA tương ứng làO1,O2,O3,O4

Như vậy các tam giácO1AB,O2BC,O3CD,O4DA là tam giác vuông cân

Gọi M, N, I, J tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA

Ta chứng tỏ O1O3 ⊥O2O4

O1O3 =O2O4

Thực hiện phép quay vec tơ với góc quay 0

90 ta có:

Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có AC = BD Dựng về phía ngoài tứ giác ABCD các tam giác đều với các

cạnh thứ tự bằng AB, BC, CD, DA Gọi O1,O2,O3,O4 là tâm các tam giác đó

B

O

AB B

3 3

DA A O D O

CD D O C O

IJ

1

90

3 1

=

AB I

O

Q

JO I

.IJ

MN k

+

O O

2

) (

3

1 3 2

3 2 ) ( 1 3

900

= MN→+k MN→ = +1)MN→

3

1(

31

Vậy: Q O→O = +1)MN→

3

1()( 1 3

900 ,suy ra O1O3 ⊥ MN

Bài 5: Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài của nó các tam giác BCP, CAQ, ABR, sao cho:

Góc (PBC) = Góc (CAQ) = 45o , Góc (BCP) = Góc (QCA) = 30o Góc (ABR) = Góc (BAR) = 15o

Chứng minh rằng: Tam giác QRP vuông cân tại R.

Giải:

Dựng về phía ngoài tam giác ABC tam giác ABC1 đều

Thấy các tam giác BPC, AQC, ARC1, BRC1 đồng dạng với nhau

AC

AR

1 1

AQ BC

BP

k

Thực hiện phép quay vec tơ với góc quay 45o

) (

R

BC k B C k

BP Q

RB Q

1 1

1

45 45

) (

.

) ( )

Như vậy Q90( RP ) = RQ hay RP = RQ Do đó tam giác QRP vuông cân tại R

*Nhận xét: Đối với phép quay có tâm, việc áp dụng thường phức tạp do tính lệ thuộc vào tâm quay, cho

nên đôi khi phải sử dụng hai hoặc ba phép quay đồng thời Trong phép quay véc tơ, các yếu tố được dịch chuyển dễ dàng, vì thế việc sử dụng cũng tiện lợi hơn.Qua các ví dụ trên ta thấy phần nào tính ưu việt củaphép quay véc tơ, đặc biệt là trong những bài toán phức tạp

Bài tập làm thêm:

1 Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABC1 và ACB1 sao cho góc (ABC1) = góc (CAB1) =

30o, góc (BAC1) = góc (ACB1)= 60o Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 3MC Hãy tính các góc của tam giác NB1C1

2 Cho góc vuông xOy, hai điểm A và B chạy tương ứng trên Ox và Oy sao cho OA + OB = a không đổi Gọi D là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật OACB Chứng minh rằng :đường thẳng đi qua C và vuônggóc với AB đi qua một điểm cố định

3 Trên các cạnh của tam giác, dựng về phía ngoài các hình vuông với tâm P, Q, R Trên các cạnh của tam giác PQR về phía trong, dựng các hình vuông Chứng minh rằng tâm các hình vuông đó là trung điểm các cạnh của tam giác ABC

4 trên các cạnh của tam giác ABC dựng về phía ngào các tam giác đều ACB1, BCA1 và dựng về phía trong tam giác đều ABC1 với tâm M Chứng ming rằng tam giác A1B1M cân với góc (A1MB1)=120o

5 Cho tam giác ABC tùy ý Dựng về phía ngoài nó các tam giác ABC1, BCA1, CAB1 sao cho:

Góc (ABC1) = Góc (ACB1) = α ,Góc (BAC1) = Góc (CAB1) = β,Góc (A1BC) = Góc (A1CB) = γ

2

n

=+

+β γ

α Hãy tính các góc của tam giác ABC.