Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Đặt vấn đề Hình học môn phát triển t trí sáng tạo cho học sinh điển hình Học sinh đợc rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề theo quan điểm động đòi hỏi bao quát toàn diện, sâu sắc vấn đề Học sinh cấp II bắt đầu tiếp thu sở hình học lớp với hệ tiên đề khái niệm Sang hình học học sinh bắt đầu nghiên cứu hình với yêu cầu nắm bắt thật lý thuyết phải biết vận dụng vào giải toán hình làm quen dần với dạng toán Đến lớp dạng tập hình học phong phú hơn, đa dạng khó nhiều so với lớp 6, đặc biệt toán chọn để dạy đội tuyển học sinh giỏi dễ dàng chứng minh đợc mà phải vẽ thêm yếu tố phụ giải đợc tập Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh để có lợi cho việc giải toán điều khó khăn, phức tạp học sinh Học sinh phát triển đợc t ta giới thiệu với em chứng minh làm sẵn Thậm chí em thất vọng cảm thấy bị đánh lừa đột ngột hình vẽ đờng phụ tài tình Mà học sinh em học sinh giỏi muốn biết sở mục đích việc làm Toán học chØ bæ Ých nã båi bæ cho sù nhanh trí khả suy luận Nhng có thực tế rằng: Không có phơng pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Việc vẽ thêm yếu tố phụ toán chứng minh hình học nhiều chừng mực sáng tạo "nghệ thuật" Xuất phát từ thực tế kinh nghiệm thân đà nhiều năm dạy đội tuyển HSG Toán muốn đa cách phân tích để giúp học sinh tìm cách: "Vẽ thêm yếu tố phụ thích hợp để giải toán chứng minh bất đẳng thức hình học 8" Tôi trình bày theo néi dung sau: PhÇn I: Mét sè kiÕn thøc Phần II: Một số toán điển hình đợc đa phân tích để tìm phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ, có lời giải cụ thể Phần III: Các tập đề nghị (có hớng dẫn ) Trang Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Nội dung A Một số kiến thức Thông thờng để giải toán chứng minh bất đẳng thức hình học ngời ta thờng sử dụng kết quen biết sau : * So sánh độ dài đờng vuông góc đờng xiên * Quan hệ cạnh góc tam giác * Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Chẳng hạn ABC với cạnh BC ta cã : AB - AC < BC < AB + ACvới AB AC * So sánh hai cạnh (hoặc hai góc) hai tam giác có hai cặp cạnh góc xen (hoặc cạnh lại) khác * Trong ABC có độ dài cạnh lần lợt a, b, c đờng cao h nÕu : a > b ⇒ h.a > h.b * Sử dụng BĐT đại số: a + b ≥ ab (a, b ≥ 0) (a2 + b2) (c2 + d2) ≥ (ab + cd)2 a b + ≥ víi ab > b a (a + b)2 ≥ 4ab B Mét số tập điển hình Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) cã AB < CD Chøng minh r»ng: DC - AB < ad + bc Víi bµi toán học sinh dễ dàng nhận ta phải dựa vào bất đẳng thức tam giác Từ kết luận ta thấy phải có đoạn thẳng hiệu DC - AB mà đà dựa vào BĐT tam giác phải tạo tam giác có cạnh ad ; bc ; dc- ab Lêi gi¶i: Qua B vẽ đờng thẳng song song với Ad, cắt dc tai e XÐt tø gi¸c ABED cã: AB // DE (gt) Trang Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận A B AD// BE (cách dựng) tứ giác ABED hình bình hành AB = DE ; AD = BE ⇒ EC = DC - DE = DC -AB D E XÐt ∆ BEC cã EC < BE + BC ⇒ DC - AB < AD + BC (®pcm) C Bài 2: Cho tứ giác ABCD (AB không song song CD) Gọi M, N lần lợt trung điểm BC ; AD Chøng minh r»ng: MN < AB + CD Khi giáo viên đa toán em đà có ý kiến phải sử AB + CD hay AB CD AB CD MN < + phải tạo tam giác có cạnh MN; ; Nh2 2 AB CD ng mét c¹nh b»ng , ta nghÜ tíi đuờng trung bình tam giác Vậy 2 dụng BĐT tam giác từ điều cần chứng minh MN < muốn có đờng trung bình ta phải lấy trung điểm Từ dẫn đến lời giải Lời giải: Gọi I trung điểm AC MI đờng trung bình ABC AB MI = CD Chøng minh t¬ng tù : NI = XÐt ∆MIN cã MN < MI +NI AB CD AB + CD ⇒ MN < + = 2 (®pcm) B A M N I D C Bµi : Cho hình chữ nhật ABCD Các điểm E, F, G, H lần lợt thuộc cạnh AD, AB, BC, CD Chøng minh r»ng EF + FG + GH + HE 2AC Trang Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Gợi ý : Do so sánh tổng EF, FG, GH, HE với AC nên ta quy đoạn thẳng đoạn gấp khúc có đầu A C Điều thực đợc sử dụng tính chất đờng trung bình đờng trung tuyến tam giác vuông Lời giải: Gọi I, K, M tho thứ tự trung điểm EF, EG, GH ˆ ∆AEF cã A = 90o; AI lµ trung tun F A I E K øng víi c¹nh hun EF ⇒ AI = EF T¬ng tù MC = GH IK đờng trung bình EFG ⇒ IK = FG T¬ng tù KM = B G M D H C HE Suy : EF + FG + GH + EH = ( AI + IK + KM + MC) ≥ AC (đpcm) Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD ; C < D ) Chøng minh r»ng: AC > BD Tõ kÕt ln cđa ®Ị toán, giáo viên hớng dẫn học sinh tìm tam giác có hai cạnh hai đoạn AD ; BD Dựa vào tính chất hình thang cân, ta dựng thêm điểm E để đợc hình thang cân AECD AC = DE Khi ta đợc DBE thoả mÃn yêu cầu x Lời giải: A Vẽ tia Cx nửa mặt phẳng bờ DC có chứa điểm A cho DCx = ADC B E Gäi E ≡ Cx AB tứ giác AECD hình thang cân ⇒ AC = ED vµ DAE = CEA (1) D C Trang Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Ta cã: DBE > DAE (2) (do gãc ngoµi cđa ∆ABD) vµ CAE = DEB (3) Tõ (1) ; (2) ; (3) ⇒ DBE > DEB ⇒ ED > BD Ta cã AC = ED ⇒ AC > BD (®pcm) Bài 5: Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác Chứng minh ba đoạn MA, MB, MC độ dài đoạn nhỏ tổng độ dài đoạn lại Giáo viên phân tích toán từ yêu cầu chứng minh MA, MB, MC độ dài đoạn nhỏ tổng độ dài đoạn lại, giả sử MA < MB + MC Khi giáo viên phân tích đến em nghĩ đến việc Sử dụng bất đẳng thức tam giác tức phải tạo tam giác có độ dài cạnh độ dài đoạn MA, MB, MC từ giả thiết em dễ dàng kẻ thêm đờng MD, ME, MF lần lợt song song với BC, AC, BC để tạo tam giác DFE sau giáo viên yêu cầu em tự vẽ hình trình bày lời giải Lời giải: A VÏ MD // BC (D∈ AB) ; ME // AC (E ∈ BC) ; MF // AB (F ∈ AC) F Cã ADM = ABC (do MD // BC) Mà BAC = ABC (do ABC đều) D M ADM = DAF Tứ giác ADMF hình thang c©n ⇒ MA = DF B E C Chøng minh t¬ng tù, cã MB = DE ; MC = EF Vậy đoạn thẳng MA ; MB ; MC có độ dài cạnh DEF nên độ dài cạnh nhỏ tổng độ dài đoạn lại (đpcm) Bài 6: Cho tứ giác ABCD có góc tứ giác đỉnh C góc ACB Chứng minh r»ng: AB + BD > AC + DC T¬ng tự nh với giáo viên yêu cầu em tự làm đà nhiều em tìm lời giải, sau giáo viên đa lời giải Trang Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Lời giải: A Gọi E điểm ®èi xøng cña A qua B BC Ta cã AC = CE; AB = BE; ACB = ECB Mµ gãc đỉnh C tứ giác D C ABCD ACB (gt) D, C, E thẳng hàng DE = CE + DC XÐt tam gi¸c BDE cã BE + DB > DE hay AB + DB > CE + CD ⇒ AB + BD > AC + DC ( đpcm) E Bài 7: Cho hình vuông ABCD; E điểm cạnh CD, tia phân giác BAE cắt BC M Chứng minh rằng: AM 2ME Gợi ý: Từ điều phải chứng minh: AM 2ME hay AM ≤ ME + ME Cho ta nghÜ đến BĐT tam giác không chặt có cạnh độ dài AM, ME, ME phải xuất đoạn thẳng đoạn AM Lời giải: F Vẽ EF⊥ AM (F ∈ AB) ; EG ⊥ M C AB (G AB) B Tứ giác AGED hình ch÷ nhËt ⇒ GE = AD G E XÐt ∆GEF vµ ∆BAM cã EGF = ABM = 90O GE = AB (cïng b»ng AD) FEG = MAB ⇒ ∆GEF = ∆ BAM (g.c.g) ⇒ EF = AM A D AEF có AM vừa phân giác, vừa đờng cao AEF cân A suy ME = MF XÐt ®iĨm M, E, F ta cã EF ≤ ME + MF Suy EF ≤ ME (đpcm) Trang Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Bài 8: Cho ABC có CD đờng phân giác BCD cđa tam gi¸c Chøng minh r»ng : CD2< AC.BC Gỵi ý: Tõ kÕt ln: CD2 < AC.BC hay CD.CD < AC.BC cho ta nghĩ đến tạo cặp tam giác đồng dạng chứa cạnh BC, CD Bài giải: Ta cã ADC > B (ADC lµ gãc ngoµi tam gi¸c DBC) ˆ VÏ DE (E ∈ AC ) cho EDC = B XÐt ∆BCD vµ ∆ DCE cã: ˆ B = EDC ( c¸ch dùng) A D E BCD = DCE (gt) ⇒ ∆BCD ∆ DCE (g.g) ⇒ CD CB = ⇒ CD = CE.CB CE CD B C CD2 < AC.CB ( đpcm) Bài 9: Cho tam giác ABC có AB > BC Các phân gi¸c AD ; CE Chøng minh r»ng: AE > DE > DC Gỵi ý : NÕu DE ∩ AC ≡ M th× ADE > DAM = EAD ⇒ AE > DE vµ DCE = ECA > CEM DCE > CED ⇒ DE > CD VËy AE > DE > CD Nh vậy, cần phải chứng minh DE cắt AC Ta vÏ ®êng phơ DK // AC (K ∈ AB) Chỉ cần chứng minh K E Bài giải: Vẽ DK // AC (K AB) AD phân giác ABC Tơng tự: AC EA = BC EB AC DC = AB DB Trang Kinh nghiÖm giảng dạy Chu Thị Thuận A AC AC DC EA < ⇒ < AB > BC ⇒ AB BC DB EB Tam gi¸c ABC cã DK // AC DC KA = ⇒ (®l Ta let) DB KB KA EA KA EA < ⇒ +1< +1 KB EB KB EB AB AB hay < ⇒ KB > EB KB EB K E B C D Do ®ã K ≠ E ⇒ gäi M ≡ DE ∩ AC Ta cã : ADE > DAM (tính chất góc tam giác) ADE > EAD XÐt tam gi¸c ADE cã ADE > EAD ⇒ AE > DE (1) XÐt tam gi¸c DCE cã DCE > CED (1), (2) ⇒ AE > DE > DC M (đpcm) Bài 10 : Cho ABCcân A K ; L thuộc đáy BC cho KAL BAC BC (K giữu B L) Chøng minh r»ng KL ≤ A 2 BC ⇔ 2KL ≤ BC ⇒ Ta sÏ t¹o mét đoạn thẳng lớn 2KL sau so sánh đoạn thẳng với BC Gợi ý: Từ kết ln : KL ≤ M Lêi gi¶i: B VỊ phÝa ngoµi ∆ABC dùng ∆AMC = ∆AKB ⇒ BK = CM ; AK = AM vµ BAK = CAM Do KAL ≤ BAC ⇒ KAL ≤ KAB + LAC = LAM K L C Trang Kinh nghiƯm gi¶ng dạy Chu Thị Thuận Xét AKL ALM có: AL chung AK = AM KAL ≤ LAM ⇒ KL ≤ LM Mặt khác: LM LC + CM = BK + CL ⇒ KL ≤ BK + CL ⇔ KL + KL ≤ BK + CL + KL ⇔ 2KL BC KL BC (đpcm) Bài 11: Cho tam giác ABC cạnh a, điểm M cạnh BC Qua M kẻ đờng song song với cạnh AC ; AB, lần lợt cắt cạnh AB AC D, E Chứng minh r»ng: DE ≥ a a , ta nghÜ thêm đờng vuông góc hạ từ D, A E xuống BC để có quan hệ DE a Gợi ý: Từ kết luận DE Lời giải: KỴ DD'; EE' ⊥ BC D ( D', E' BC) EH ⊥ DD' ( H ∈ DD') a Ta cã: DE ≥ EH = D'E' = DÊu "=" x¶y M trung điểm BC E H B D' M E' C (®pcm) * NhËn xÐt: Do DE a mà độ dài a không đổi, toán chuyển toán cực trị sau: Trang Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Bài 11a: Cho tam giác ABC cạnh a, điểm M cạnh BC Qua M kẻ đờng song song với cạnh AC ; AB lần lợt cắt cạnh AB ; ACtại D ; E Xác định vị trí M cạnh BC để DE đạt giá trị nhỏ Bài 12: Cho ABC có A = 90o, đờng cao AH Từ điểm I nằm tam giác kỴ IM ⊥ BC, IN ⊥ AC; IK ⊥ AB Chøng minh r»ng: IM2 + IN2 AH 2 + IK ≥ Gỵi ý: Tõ kÕt ln cã IM2 + IN2 + IK2 Suy kẻ thêm đờng vuông góc để chuyển tổng bình phơng bình phơng định lý Pytago Kẻ AH BC ; IE ⊥ AH Lêi gi¶i: A K N E B I H M C Theo Pytago cã : IK2+ IN2 = IK2 + AK2 = AI2 ≥ AE2 V× IM = EH nªn IM2 + IN2 + IK2 ≥ AE2 + EH2 (AE + EH)2 AH Ta cã: AE + EH ≥ = 2 2 DÊu "=" xảy I trung điểm AH (®pcm) * NhËn xÐt: Do IM + IN + IK ≥ 2 AH 2 NhËn thÊy AH đờng cao ABC AH không đổi Do toán chuyển toán cực trị sau: Trang 10 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Bài 12a: Cho ABC cã A = 90o, ®êng cao AH Tõ ®iĨm I nằm tam giác kẻ IM BC, IN AC; IK AB Tìm giá trị nhỏ của: IM2 + IN2 + IK2 Bài 13: Cho đoạn AB = 2a VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c tia Ax, By vuông góc với AB Qua trung điểm M AB có đờng thẳng thay đổi vuông góc với cắt Ax, By theo thứ tù ë C vµ D Chøng minh r»ng: SMCD ≥ a2 GV hớng dẫn từ điều phải chứng minh SMCD a2 mà em đà biết diện tích tam giác nửa tích chiều cao với đáy tơng ứng nên ta nghĩ đến MH.CD việc vẽ đờng cao MH tam giác MCD Ta đợc SMCD = Dự đoán MH = a = MB Ta chứng minh dựa vào tính chất đờng phân giác CDB cách chứng minh DCK cân ( CM DB ≡ K) Lêi gi¶i : D Gäi CM ∩ DB ≡ K KỴ MH ⊥ CD (H thc CD) ∆ MAC = ∆ MBK (g.c.g) ⇒ MC = MK ∆DCK có đờng cac DM trung tuyến C DCK cân D D1 = D Suy MH = MB = a A 1 SMCD = CD.MA ≥ AB.MA = a 2 (®pcm) H M B K * NhËn xét: Bài toán chuyển toán cực trị sau: Bài 13a: Cho đoạn AB = 2a VÏ vỊ mét phÝa cđa AB c¸c tia Ax, By vuông góc với AB Qua trung điểm M AB có đờng thẳng thay đổi Trang 11 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận vuông góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí C, D cho ∆CMD cã diÖn tÝch nhá nhÊt ? TÝnh diÖn tÝch nhỏ Sau luyện đợc 12 tập, em đà nắm đợc phơng pháp vẽ yếu tố phụ Tôi đà nâng cao tập lên đa vào toán cực trị Bài 14: Cho góc nhọn aOb A điểm cố định aOb M, N thay đổi Oa; Ob cho 2OM = ON Tìm vị trí điểm M, N để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ AN Gợi ý: Ta tạo đoạn thẳng b»ng b»ng c¸ch dùng tia Ox cho: aOx = NOA Lời giải: Dựng tia Ox nằm aOb cho aOx = bOa OA Trªn tia Ox lÊy C cho OC = x ⇒ ∆ COM ∆ AON (c.g.c) MC OM = = ⇒ AN = MC ⇒ NA ON ⇒ 2AM + AN = 2AM + 2MC C = ( AM + MC) ≥ 2AC DÊu "=" x¶y ⇔ M thuộc M đoạn thẳng AC (đpcm) O a A b N Bài 15 : Cho OBC Hai đờng thẳng m m' lần lợt qua B C song song với không cắt cạnh OBC Gọi A giao điểm đờng OC m, D giao điểm đờng OB m' Xác định vị trí m 1 m' để + lớn AB CD Bài giải: Vẽ OE // m ( E ∈ BC ); Trang 12 Kinh nghiệm giảng dạy OH BC ( H BC) Ta có OE // AB, theo OE EC = định lý Ta let ⇒ AB BC Chøng minh t¬ng tù OE BE = cã : CD BC OE OE EC + BE = ®ã + BC AB CD = Chu ThÞ ThuËn m A m' D O BC 1 =1⇒ + = BC AB CD OE E H C 1 B ≤ OE OH 1 Suyra : + ( không đổi); AB CD OH DÊu "=" x¶y ⇔ E ≡ H ⇔ m m' vuông góc BC 1 + Vậy m m' vuông góc BC đạt GTLN AB CD mµ OE ≥ OH ⇒ Trang 13 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận Bài tập luyện Bµi : Cho∆ ABCcã A = 60O; AB = c ; BC = a ; CA = b Chøng a+b+c minh r»ng: ≤ 2a + b + c Gợi ý: Kẻ BH AC (H AC) sử dụng BĐT phụ: 1 + ≥ a b a+b Bµi : Cho∆ ABCcã AB = AC = b ; BC = a Đờng phân giác a BD ABC có độ dài b Chứng minh rằng: b Gợi ý: Kẻ BH AD (H AD) sử dụng BĐT : (a + b)2 4ab Bài : Cho∆ ABCcã diƯn tÝch b»ng 2006 m2 Trªn hai cạnh AB ; AC AE CD lần lợt lấy hai ®iÓm E ; G cho = Gäi giao ®iĨm cđa BD vµ CE lµ EB DA 2006 M Chứng minh rằng: SBMC Gợi ý: Kẻ DK // EC ( K∈ AB) Bµi : Cho∆ ABCcã AB = c ; BC = a ; CA = b Gọi độ dài đờng phân giác góc A ; B ; C lần lợt x ; y; z Chøng minh r»ng: 2bc a x< b+c 1 1 1 + + = + + b x y z a b c Gợi ý: Kẻ BE // DA ( E CD) sử dụng BĐT tam giác Bài : M điểm n»m ∆ ABC C¸c tia MA ; MB ; MC cắt Trang 14 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận cạnh BC ; CA ; AB tơng ứng ë A1 ; B1 ; C1 Chøng minh r»ng: AM BM CM + + ≥6 a A1 M B1 M C1 M AM BM CM ≥8 b A M B M C 1M Gợi ý: Kẻ MK ⊥ BC ( K ∈ BC) ; AH ⊥ BC (H BC) sử dụng BĐT a b phơ: + ≥ víi ab > b a Qua tập đà đợc trình bày trên, ta thấy rõ rằng: Việc vẽ thêm đờng phụ chứng minh hình học viƯc lµm t tiƯn, mµ lµ mét viƯc cã mơc đích tạo điều kiện giải đợc toán cách thuận lợi Việc vẽ thêm đờng phụ phải tuân theo phép dựng hình toán dựng hình Khi tiến hành giảng dạy thực tế phơng pháp trên, nhận thấy học sinh hứng thú say mê học tập Học sinh hiểu rõ ý nghĩa mục đích việc làm, có t phân tích phát triển toán Qua phiếu học tập qua kết kiểm tra, em cho em đà đợc giải toả thắc mắc kiểu nh "Tại lại có nh ?" "làm để nghĩ vẽ đoạn đó, hình ?" em đà hiểu vẽ thêm yếu tố phụ phân tích có suy luận, dự đoán sáng tạo Kết quả: Kiểm tra sau thực áp dụng kinh nghiệm 15 em học sinh đội tun To¸n HSG To¸n Tríc lun Sau luyện Phát vấn đề 25% 85% Kỹ vận dụng 55% 89% Trình bày 65% 90% Trang 15 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận kết luận Bài học kinh nghiệm: Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán hình học việc làm thiếu đợc Tuy nhiên việc làm không dễ dàng, chắn có phơng pháp chung cho toán cần vẽ đờng phụ, hình phụ Học sinh hiểu rõ rằng, mục đích cách làm xuất yếu tố phụ Trong giảng dạy giáo viên cho học sinh tính cẩn thận, sáng tạo, t logic Nắm đợc phơng pháp, biết phân tích đợc tình cụ thể để tiến hành vẽ yếu tố phụ vấn đề khó với đa số học sinh nên giáo viên phải thận trọng, không đợc vội vàng hớng dẫn học sinh Giáo viên phải ý cách trình bày học sinh em hiểu vấn đề nhng trình bày đúng, xác chặt chẽ lại trình Điều kiện áp dụng: Tôi báo cáo kinh nghiệm trớc tổ KHTN đà đợc đồng chí giáo viên tổ góp ý bổ sung phần khiếm khuyết, sau hoàn thiện dạy chuyên đề em đội tuyển học sinh giỏi Vấn đề hạn chế tiếp tục nghiên cứu: Nh đà nói phơng pháp chung để giải toán chứng minh bất đẳng thức hình học Nên để giải toán này, đòi hỏi ngời làm toán đứng trớc toán cần có định hớng tốt phơng pháp giải từ vận dụng kiến thức liên quan, kỹ chứng minh hình học biến đổi đại số Xong định hớng nh đòi hỏi trình em phải làm nhiều mức độ tiếp thu đợc ý tởng thầy khó khăn cách vận dụng em nhiều lúng túng gặp toán tởng chừng nh bế tắc không học sinh tìm cách vẽ đợc yếu tố phụ thích hợp để dẫn tới lời giải Trang 16 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận toán cách dễ dàng Do tiếp tục sâu nhiều dạng để dạy em đội tuyển HSG khối Vậy để áp dụng đợc kinh nghiệm giáo viên cần chuẩn bị thật chu đáo, học sinh phải có kiến thức chắn, có say mê có trí tuệ từ trở lên Mặc dù đà cố gắng nhiều nhng vấn đề đà trình bày không khiếm khuyết mong đợc góp ý bổ sung Tôi xin chân thành cám ơn ! Văn giang, ngày 20 tháng năm 2009 Ngời viết Chu Thị Thuận Trang 17 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận mục lục Đặt vấn đề trang Néi dung A Mét số kiến thức B Một số tập điển h×nh 14 C Bµi tËp lun KÕt luËn 16 Trang 18 Kinh nghiƯm gi¶ng dạy Chu Thị Thuận Tài liệu tham khảo 1) Phơng pháp giải toán hình Trần Văn Kì 2) 255 Bài toán hình học chọn lọc Nguyễn Ngọc Đạm Vũ Dơng Thuỵ 3) Toán bồi dỡng học sinh giỏi 9-Vũ Hữu Bình Tôn Thân 4) Giúp học tốt hình học Nguyễn Bá Kim Nguyễn Tiến Quang 5) Các toán bất đẳng thức hay khó Nguyễn Đễ Vũ Hoàng Lâm 6) Tuyển chọn theo chuyên đề tạp chi Toán học & Tuổi trẻ 7) Tạp chí Toán Tuổi thơ Trang 19 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận ý kiến nhận xét ®¸nh gi¸ cđa tỉ KHTN Văn Giang, ngày tháng năm 2009 T/M tổ KHTN Tổ trởng Trang 20 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận ý kiến nhận xét đánh giá trờng Văn Giang, ngày tháng năm 2009 T/M HĐ KH trờng Trang 21 Kinh nghiệm giảng dạy Chu Thị Thuận ý kiến nhận xét đánh giá HĐKH phòng gd văn giang Văn Giang, ngày tháng năm 2009 T/M HĐ KH phòng gdvăn giang Trang 22 ... để giải toán chứng minh bất đẳng thức hình học Nên để giải toán này, đòi hỏi ngời làm toán đứng trớc toán cần có định hớng tốt phơng pháp giải từ vận dụng kiến thức liên quan, kỹ chứng minh hình. .. ViƯc vÏ thêm yếu tố phụ để giải toán hình học việc làm thiếu đợc Tuy nhiên việc làm không dễ dàng, chắn có phơng pháp chung cho toán cần vẽ đờng phụ, hình phụ Học sinh hiểu rõ rằng, mục đích cách... 255 Bài toán hình học chọn lọc Nguyễn Ngọc Đạm Vũ Dơng Thuỵ 3) Toán bồi dỡng học sinh giỏi 9-Vũ Hữu Bình Tôn Thân 4) Giúp học tốt hình học Nguyễn Bá Kim Nguyễn Tiến Quang 5) Các toán bất đẳng