SKKN vẽ thêm các yếu tố phụ để giải toán hình học

I T VN Lý chn ti Cựng vi s phỏt trin ca t nc, s nghip giỏo dc cng i mi khụng ngng Cỏc nh trng cng chỳ trng n cht lng ton din bờn cnh s u t thớch ỏng cho giỏo dc Vi vai trũ l mụn hc cụng c, b mụn Toỏn ó gúp phn to iu kin cho cỏc em hc tt cỏc mụn hc khỏc Vic ging dy mụn Toỏn nh trng khụng ch nhm truyn th cho hc sinh nhng kin thc c bn v Toỏn hc m cũn v trang cho cỏc em cụng c sc bộn nghiờn cu th gii t nhiờn Dy hc nh th no hc sinh khụng nhng nm kin thc c bn mt cỏch cú h thng m cũn phi nõng cao, phỏt trin cỏc em cú hng thỳ, say mờ hc ú l mt cõu hi m mi thy, cụ giỏo luụn t cho mỡnh Trong hc Toỏn, a s cỏc em hc sinh u ngi hc Hỡnh hc, bi vỡ hc tt Hỡnh hc thỡ ũi hi cỏc em hc sinh phi cú kh nng t tt, tớnh sỏng to cao, trớ tng tng phong phỳ, c bit l thc s say mờ nghiờn cu, tỡm tũi hc hi i vi giỏo viờn thỡ truyn t c cho cỏc em hc sinh hiu c mt cỏch cht ch v mt bi hỡnh hc l khụng n gin chỳt no Trong ú khụng cú mt phng phỏp chung no gii mt bi toỏn hỡnh hc c th Cú th núi, cú mt s phng phỏp gii bi toỏn Hỡnh hc nh sau: V thờm yu t ph c bit hoỏ Tng quỏt hoỏ Phn chng Tng t Bn loi mnh : Thun - o - Phn - Phn o v mi quan h gia chỳng Trong nm hc 2009 2010, bn thõn tụi c phõn cụng ging dy lp 9, c bit l dy i tuyn HSG tụi nhn thy V thờm yu t ph tng i hu hiu gii bi toỏn Hỡnh hc Mc ớch ca ti Phỏt huy c tớnh tớch cc, ch ng sỏng to, phỏt trin kh nng t duy, nng lc t hc ca hc sinh, to iu kin cho cỏc em hng thỳ , say mờ hc b mụn Nờu lờn c mt s kinh nghim ca bn thõn v: Gii bi toỏn Hỡnh hc bng cỏch v thờm yu t ph Thc trng a) Thun li: Hc sinh a s l em dõn tc nờn cú tớnh cn cự, chu khú Mt khỏc la tui cỏc em ang rt thớch nghiờn cu, tỡm tũi, tỡm hiu phng phỏp gii bi c s quan tõm giỳp to iu kin ca Ban giỏm hiu v t chuyờn mụn b) Khú khn: Nh trng thuc xó nỳi, c bit khú khn, ng xỏ i li khú khn ú hc sinh i hc khụng u, mch kin thc tip thu khụng liờn tc Trỡnh ca hc sinh khụng ng u, cht lng i tr cũn thp Tớnh t giỏc, kh nng t duy, sỏng to cũn hn ch, nhiu hc sinh cha chm hc II GII QUYT VN Ni dung Trong tỡm phng phỏp gii cỏc bi toỏn hỡnh hc, cú lỳc vic v thờm cỏc yu t ph lm cho vic gii toỏn tr nờn d dng hn, thun li hn Tuy nhiờn v thờm yu t ph nh th no cho bi toỏn cú li gii ngn gn v hay l m chỳng tan cn phi u t suy ngh V thờm yu t ph mt cỏch hp lý l mt phng phỏp tt gii cỏc bi toỏn hỡnh hc Thc t cho thy rng khụng cú phng phỏp chung cho vic v thờm cỏc yu t ph gii cỏc bi toỏn hỡnh hc Tu tng bi toỏn c th m cú nhng cỏch v thờm cỏc ng ph hp lớ, song vic v thờm cỏc yu t ph luụn phi tuõn theo nhng bi toỏn dng hỡnh c bn m chỳng ta ó bit Trc ht chỳng ta cn nh rng: V thờm yu t ph thng l: V thờm im mi (trung im ca on thng ); ni hai im ó cho bi mt on thng; dng thờm mt on thng bng on thng cho trc; v thờm ng thng song song hay vuụng gúc vi ng thng ó cho; v tia phõn giỏc ca mt gúc; to mt gúc bng gúc cho trc To cỏc on thng, cỏc gúc trung gian v trớ thun li hn, lm xut hin thờm nhng quan h mi cú liờn quan n cỏc yu t ó cho bi toỏn To cỏc tam giỏc bng nhau, tam giỏc u, tam giỏc cõn, tam giỏc vuụng, nh ú chng minh c cỏc on thng bng nhau, cỏc gúc bng Trc dy "Gii bi toỏn hỡnh hc bng phng phỏp v thờm yu t ph", giỏo viờn cn cng c li cho hc sinh nm vng v chc cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn Cỏc bi toỏn cú th v thờm ng ph phi da vo cỏc phộp dng hỡnh ú H thng bi a phi i t d n khú, v thờm yu t ph t n gin n phc Trong tng gii phỏp v thờm yu t ph, sau mi suy lun mu ca giỏo viờn a cỏch v yu t ph hp lý v n gin nht cn chn lc nhng bi tng t cho hc sinh suy lun v c lp t duy, tỡm tũi sỏng to tỡm li gii hay nht Mt s gii phỏp thng dựng "gii bi toỏn bng cỏch v thờm yu t ph" 2.1 V thờm trung im, on thng bng on thng cho trc Bi 1: Tam giỏc ABC cú BC = 2AB, M l trung im ca BC, D l trung im ca BM Chng minh rng AD = AC Hng dn gii: Cỏch 1: + Gi F l trung im ca AC Ni FM FC = AC A (1) + C/m ADB = CFM ( c.g.c ) + T (1) v (2) AD = FC = F (2) AC (pcm) B * Nhn xột: D M C Nh v thờm trung im F ca AC m ta to nờn tam giỏc mi v da vo tớnh cht ng trung bỡnh ca tam giỏc chng minh ADB = CFM, t ú dn n AD = AC thụng qua on thng trung gian l FC Gi ta t , nu khụng v thờm trung im ca AC m v thờm trung im ca AB thỡ sao? Cỏch 2: A Hng dn gii: + Ly F l trung im ca AB Ni FM FM = F AC (1) + C/m ADB = MFB ( c.g.c ) B AD = FM + T (1) v (2) AD = D M C AC (pcm) * Ta cng cú th v thờm on thng bng on thng cho trc A Cỏch 3: + V DK cho D l trung im ca AK Ni KB, AM; ú: AK = 2AD (1) v ABKM l hỡnh bỡnh hnh B D K M C + C/m ABK = CMA ( c.g.c ) AK = AC (2) + T (1) v (2) 2AD = AC AD = AC (đpcm) K Cách 4: + Vẽ AK cho A trung điểm BK Nối KM, AM; đó: MK = 2AD (1) + C/m AMK = MAC ( c.g.c ) MK = AC (2) + Từ (1) (2) 2AD = AC AD = A AC (đpcm) B Cỏch 5: D M C K + V AK cho A l trung im ca MK Ni KB, ú BK = 2AD (1) A + C/m c KAB = AMC ( c.g.c ) BK = AC (2) + T (1) v (2) 2AD = AC AD = B D M C AC (pcm) 2.2 V thờm ng vuụng gúc vi ng cho trc Bi 2: Cho M l mt im bt kỡ thuc ca hỡnh ch nht ABCD Chng minh rng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 * Nhn xột: T ng thc cn chng minh ta liờn h n nh lớ Pi-ta-go Vỡ vy v ng ph qua M vuụng gúc vi AB ti E v ct DC ti F Ta cú MF T ú to cỏc vuụng EAM, FMC, EBM, DC FMD v hai hỡnh ch nht AEFD, EBCF Da vo nh lớ Pi-ta-go thnh lp cỏc h thc s giỳp ta tỡm li gii ca bi toỏn Li gii: + V ME AB, E AB, EM ct DC ti F A E B + T giỏc AEFD l hỡnh ch nht nờn EA = FD + T giỏc EBCF l hỡnh ch nht nờn EB = FC + p dng nh lớ Pi-ta-go vo cỏc M vuụng EAM, FMC, EBM, FMD ta cú: MA2 = EM2 + EA2; MC2 = FM2 + FC2 D F C MB2 = EM2 + EB2; MD2 = FM2 + FD2 Do ú: MA2 + MC2 = EM2 + EA2 + FM2 + FC2 V: MB2 + MD2= EM2 + EB2 + FM2 + FD2 M: EA = FD; FC = EB Suy ra: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 * Chỳng ta hóy ngh xem trng hp M nm ngoi hỡnh ch nht thỡ h thc trờn cú cũn ỳng khụng? Bi 3: Cho ABC cõn ti A, gi I l giao im ca cỏc ng phõn giỏc Bit IA = cm, IB = 3cm Tớnh di AB Hng dn gii: + Kẻ đờng vuông góc với AB A cắt BI K A BK (H BK) + K AH + Chng minh AIK cõn ti A (AKI = AIK ) Nờn AK = + t HK = x HI = x v BK = 2x + x ABK vuụng ti A nờn: AK = HK.BK ( )2 = x(2x + 3) B H I C K 2x2 + 3x 20 = x1 = 2,5; x2 = - ABK vuụng ti A nờn: AB2 = BH.BK = 5,5(5 + 3) = 44 AB = 11 (cm) * Nhn xột: Nh to tam giỏc vuụng v a on thng cn tớnh (AB) tr thnh mt cnh ca tam giỏc vuụng tớnh di cỏc cnh ca nú T ú tớnh c di AB Thụng qua h thc lng tam giỏc, lp c mi liờn h gia di ó bit vi di cn tớnh giỳp ta gii c bi toỏn Chỳ ý: Cn bit kt hp v s dng kin thc i s vo gii cỏc bi toỏn hỡnh hc Bi 4: Cho ng trũn (O;R), hai dõy cung AB v CD (AB > CD) Hai ng thng AB v CD ct ti M Chng minh rng: MA + MB > MC + MD (1) * Nhn xột: Vỡ AB > CD nờn chng minh (1) Ta nghĩ đến đờng phụ OH AB Và OK CD (H AB, K CD ) A B M Li gii: + K OH H AB, OK O CD D (H AB, K CD ) K + Vỡ AB > CD nờn OH < OK v BH > DK C p dng nh lớ Pitago cho hai tam giỏc vuụng MHO v MKO ta c MH > MK + Li cú: MA + MB = MH + HA + MB = 2MH + Tng t: MC + MD = 2MK Suy ra: MA + MB > MC + MD * T bi toỏn trờn, nu ta cho C D M thỡ ta c bi toỏn sau: Bi 5: Cho im A ngoi ng trũn (O;R) V cỏt tuyn ABC v tip tuyn AM vi ng trũn (O), M l tip im Chng minh rng AB + AC 2AM Gi ý: Vẽ OH M BC (H BC) cú c AB + AC = 2AH B H C A Bi toỏn a v vic chng minh O AH AM iu ny cú c t hai tam giỏc vuụng MAO v HAO 2.3 K ng thng song song vi ng thng cho trc Bi 6: Gi M, N ln lt l trung im ca hai on thng ct AC v BD PB QD ng thng MN ct BC v AD ln lt P v Q Chng minh rng: PC = QA Hng dn gii: Cỏch 1: + T B v D k cỏc ng thng B Song song vi AC ct MN ln lt A Ti E v F PB BE = (1) PC CM PBE PCM QDF QAM QA = AM (2) NBE = NDF (g.c.g) BE = DF (3) QD E P M N Q F DF C + Mt khỏc: CM = AM (4) PB QD + T (1), (2), (3) v (4) PC = QA (pcm) * Nhn xột: D Nh v cỏc ng thng song song m hỡnh v xut hin cỏc cp on thng t l vi cỏc cp on thng c nờu bi Phng phỏp v ng thng song song l phng phỏp thng dựng dng nh lớ Talột; tam giỏc ng dng chng minh h thc cỏc on thng Vỡ AC v BD cú vai trũ nh nờn ta cng cú th v cỏc ng thng song song vi BD t A v C (hỡnh v) v chng minh tng t nh cỏch B A Cỏch 2: T A v C k cỏc ng thng F E Song song vi BD, ct MN ln P M N Q Lt ti E v F D C Bi 7: Cho hỡnh thang ABCD (AB // DC) cú ng cao bng 4cm, ng chộo BD = 5cm, hai ng chộo AC v BD vuụng gúc vi Tớnh din tớch hỡnh thang ABCD * Nhn xột: Vỡ hỡnh thang ABCD cú hai ng chộo vuụng Gúc nờn tớnh din tớch hỡnh thang ta ch cn tớnh di AC A B Nhn thy rng ng ph BE // AC, E DC s giỳp ta tớnh c AC Hng dn gii: + T B k BE song song vi AC (E DC) D ABEC l hỡnh bỡnh hnh AC = BE v tam giỏc BDE vuụng ti B 1 BE = = + 2 BH BD BE 20 BD BH = (cm) 2 BD BH 10 H C E AC = BE = 20 (cm) Vy S ABCD = AC.BD = 50 (cm ) Bi 8: Cho ng trũn (O;R) ni tip tam giỏc ABC, ng trũn (O) tip xỳc vi AB, AC ln lt ti D, E Cho im M thuc on thng AD; CM ct DE ti I Chng minh rng IM DM = IC CE Gi ý: iu cn chng minh gi ta ngh n nh lớ Ta lột vy cn lm xut hin "hai A ng thng song song" Cỏch 1: M V CK // AB, K DE D E IM DM = Ta cú: IC CK K I O T ú chng minh c CE = CK B C A Cỏch 2: M H V MH // DE, H AC Ta cú: D DM HE = ; AD = AE AD AE E I IM HE = ; ú DM = HE IC CE O T ú suy iu phi chng minh A M B C D E L I O 11 B C Cỏch 3: V ML // AC, L DE Ta cú: IM ML = , DM = ML IC CE T ú suy iu phi chng minh 2.4 V thờm ng phõn giỏc ABC AC = AB + BC Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Chng minh rng tg Li gii: + Vẽ đờng phân giác BD tam giác ABC, theo tính chất đờng phân giác tam giác, ta có: A AD DC AD AD + DC AC = = = AB BC AB AB + BC AB + BC ABD cú A = 900 nờn tgABD = Do ú: tg D AD AB ABC AC = AB + BC B C Bi 10: Cho tam giỏc ABC nhn, ni tip ng trũn (O;R), AH l ng cao Chng minh rng BAC v HAO cú cựng mt tia phõn giỏc Li gii: V tia phõn giỏc Ax ca HAO, v ng kớnh AD A Ta chng minh: BAH = DAC Cú: ACD = 900 (gúc ni tip chn na ng trũn) DAC + ADC = 900 (1) O Trong tam giỏc vuụng AHB: BAH + ABH = 90 (2) Li cú: ABC = ADC (gúc ni tip cựng chn cung AC) B Hay ABH = ADC (3) H C D 12 x T (1), (2), (3) BAH = DAC Vy BAC v HAO cú cựng mt tia phõn giỏc Ax 2.5 V thờm tip tuyn chung ca hai ng trũn i vi cỏc bi toỏn hỡnh hc cú hai ng trũn tip xỳc nhiu ta nờn v thờm tip tuyn chung ca hai ng trũn lm xut hin nhng yu t liờn quan n c hai ng trũn, t ú tỡm n li gii bi toỏn d dng hn Bài 11: Cho đờng tròn (O/; R/) tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A Vẽ dây cung AB, AC (O), AB AC cắt (O /) lần lợt D E (D A, E A) Chng minh rng: BC // DE x Hng dn gii: B + V tip tuyn chung xAy D + Xột (O/) cú yAE = ADE (cựng chn cung AE) A + Xột (O) cú yAC = ABC (cựng chn cung AC) O/ O Suy ADE = ABC BC // DE E C y Bi 12: Cho hai ng trũn (O; R) v (O/; R/) tip xỳc ngoi ti A Gi BC l tip tuyn chung ngoi ca hai ng trũn (B (O); C (O/) ) Chng minh rng BAC = 900 Hng dn gii: + K tip tuyn chung ti A ca hai ng trũn (O) v (O/) ct BC ti D + Ta cú DB = DA A DC = DA + ABC cú AD l ng trung tuyn v AD = BC nờn O O/ ABC vuụng ti A C 13 D B Suy ra: BAC = 900 2.6 V thờm ng kớnh ca ng trũn Trong mt s bi toỏn hỡnh hc v ng trũn, nhiu v ng ph l ng kớnh ca ng trũn lm xut hin yu t mi, t ú tỡm c li gii d dng hn Bi 13: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, AC = b, AB = c ni tip ng trũn (O; R), AH l ng cao ca tam giỏc ABC, AH = Chng minh rng bc = 2Rha A Hng dn gii: + V ng kớnh AD + Ta cú ACD = 900, ABH = ADC + Xột HBA v CDA cú: AHB = ACD = 900 O ABH = ADC Do ú: HBA ~ B CDA AH AB = AB AC = AD AH AC AD H C D Vy bc = 2Rha (pcm) Mt s bi tham kho (Ti liu: V thờm yu t ph gii mt s bi toỏn hỡnh hc Nguyn c Tn) Bi 1: Cho tam giỏc ABC cú AC > AB Cỏc im D v E theo th t nm trờn cỏc cnh AB v AC cho BD = CE Chng minh rng cỏc im D, E thay i v trớ (vn tho iu kin trờn) thỡ ng trung trc ca DE luụn luụn i qua im c nh Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn nh A, M l mt im thuc cnh BC Chng minh rng 2MA2 = MB2 + MC2 14 Bi 3: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, AH l ng cao ca tam giỏc ABC D l im trờn on thng HC V hỡnh ch nht AHDO, v ng trũn tõm O bỏn kớnh OD ct tia i ca tia AB ti E, ct cnh AC ti F Chng minh rng AE = AF Bi 4: Cho ng trũn (O) cú ng kớnh AB v dõy CD (C, D khụng trựng vi A, B) Gi M l giao im ca cỏc tip tuyn ti C, D ca ng trũn (O), AC ct BD ti N Chng minh rng MN AB Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AB c nh v C chuyn ng trờn na mt phng b AB ng trũn ni tip tam giỏc ABC tip xỳc vi cỏc cnh AC v CB M v N Chng minh rng MN luụn i qua mt im c nh III KT LUN Kt qu t c Gii bi toỏn hỡnh hc l cụng vic khụng n gin, nhng toỏn hc hp dn ta bng nhng khú khn v nhng ý tng dn n kt qu ca bi toỏn Tỡm c ng ni t gi thit n kt lun l mt vic khú nhng cng l iu lý thỳ, vỡ chớnh quỏ trỡnh ú rốn luyn cho ta t duy, nhng k nng v thúi quen phõn tớch, suy lun mt cỏch ỳng n, nhng phm cht n hc tp, nghiờn cu v sỏng to Qua mt thi gian dy i tuyn v toỏn 9, bn thõn tụi nhn thy: Khi dy "Gii bi toỏn hỡnh hc bng phng phỏp v thờm yu t ph" hc sinh ó tip thu kin thc mt cỏch ch ng hn, cú h thng, kh nng t duy, quan sỏt hỡnh ó nõng lờn rừ dt Nhiu em ó bit phõn tớch hỡnh, cú nhng cỏch v thờm ng ph mt cỏch hp lý dn n cú nhng li gii hay, bt u cú hng thỳ vi hỡnh hc, xoỏ i cm giỏc khú, phc m trc cỏc em quan nim v hỡnh hc Qua ú rốn luyn cho hc sinh trớ thụng minh, sỏng to, cỏc phm cht trớ tu khỏc c hỡnh thnh v hc sinh cng thy c hỡnh hc tht phong phỳ, a dng v lý thỳ ch khụng n iu, giỳp hc sinh say mờ, hng thỳ hc hỡnh hc Vi cựng mt bi hỡnh hc cho kim tra th nghim hai lp 9A v 9C, ú lp 9C c hc phng phỏp ny thỡ kt qu c th nh sau: 15 Bng 1: Cht lng bi kim tra ca lp 9A Loi gii SL % S s 35 Loi khỏ SL % 2,90 14,30 Loi TB SL % 20 Loi yu SL % 57,10 25,7 Loi kộm SL % 0 Bng2 : Cht lng bi kim tra ca lp 9C Loi gii SL % S s 34 Loi khỏ SL % Loi TB SL % 11 15 11,75 32,4 Loi yu SL % 44,1 11,75 Loi kộm SL % 0 Bi hc kinh nghim Hỡnh hc l mt phõn mụn khú, vy dy "Gii bi toỏn hỡnh hc bng phng phỏp v thờm yu t ph" chỳng ta cn cho hc sinh nm chc cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn v v thờm yu t ph phi da trờn c s cỏc bi toỏn dng hỡnh c bn hc sinh nm chc kin thc v cú hng thỳ hc tp, giỏo viờn phi chn lc h thng kin thc, h thng bi theo mc tng dn t d n khú, giỳp h sinh phỏt huy kh nng suy lun v tớnh c lp sỏng to Vi mi bi toỏn c th khụng cú quy tc tng quỏt, nhiờn dy hc sinh giỏo viờn cn ch nhng c im c bn ca bi toỏn cú cỏch v ng ph mt cỏch hp lý v hc sinh cú th liờn h c gp nhng bi cú c im tng t Trờn õy l mt vi kinh nghim c rỳt dy hỡnh hc cho i tuyn hc sinh gii v hc sinh lp Chc chn khụng trỏnh nhng thiu sút, tớnh khỏch quan Rt mong c s lnh hi cỏc thụng tin ỏnh giỏ bn thõn tip tc 16 nghiờn cu b sung, cựng ng nghip t c mc ớch nõng cao cht lng, hiu qu cụng tỏc ging dy ỏp ng c yờu cu i mi giai on hin nay./ Yờn Thng, ngy 20 thỏng nm 2010 Ngi vit Nguyn Quc Trng 17 [...]... ta nờn v thờm tip tuyn chung ca hai ng trũn lm xut hin nhng yu t liờn quan n c hai ng trũn, t ú tỡm n li gii bi toỏn d dng hn Bài 11: Cho đờng tròn (O/; R/) tiếp xúc trong với đờng tròn (O; R) tại A Vẽ các dây cung AB, AC của (O), AB và AC cắt (O /) lần lợt tại D và E (D A, E A) Chng minh rng: BC // DE x Hng dn gii: B + V tip tuyn chung xAy D + Xột (O/) cú yAE = ADE (cựng chn cung AE) A + Xột (O)...Cỏch 3: V ML // AC, L DE Ta cú: IM ML = , DM = ML IC CE T ú suy ra iu phi chng minh 2.4 V thờm ng phõn giỏc ABC AC = 2 AB + BC Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Chng minh rng tg Li gii: + Vẽ đờng phân giác BD của tam giác ABC, theo tính chất đờng phân giác của tam giác, ta có: A AD DC AD AD + DC AC = = = AB BC AB AB + BC AB + BC ABD cú A = 900 nờn tgABD = Do ú: tg D AD AB ABC AC = 2 AB