Chuyên đề các yếu tố phụ trong giải toán hình học THCS

Dạng toán hình học có vẽ thêmyếu tố phụ là một dạng toán rất quan trong chương trình hình học ở bậc THCS,đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh có tầm nhìn cao hơntrong

Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU

I 1.LÝ DO

I.1.1 Cơ sở lí luận

Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thôngtin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời

kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời

cơ, thách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo

luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới

giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiếnthức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn họcđáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập

do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quáthoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán hình học có vẽ thêmyếu tố phụ là một dạng toán rất quan trong chương trình hình học ở bậc THCS,đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh có tầm nhìn cao hơntrong việc phát hiện và tìm ra lời giải của bài toán Tuy nhiên, vì lý do sư phạm

và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến dạngtoán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ thông qua những bài tập mà yếu tố đườngphụ vẽ thêm là đơn giản

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán dạng toán hình học có

vẽ thêm yếu tố phụ, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điều này,đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhậnxét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán,tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ

sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt

bộ môn

I.1.2 Cơ sở thực tiễn

Năm học 2005- 2006 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môntoán 9 ( Trường THCS Triệu Phước) qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờcác giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thichất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạokhi làm các dạng bài tập như: Chứng minh rằng: Trong một tam giác, nếu cómột đường cao và một đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh và chia góc tạiđỉnh đó thành ba phần bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông

============================================== ==========

Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có

kỹ năng giải các bài toán về Dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ và cácbài toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được Để làmđược điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơbản về các phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ

I.2 Mục đích.

- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các phương pháp dạngtoán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vậndụng tốt dạng toán này

I.3 Thời gian - địa điểm

I.3.1 Thời gian

Đề tài được nghiên cứu từ tháng 9 năm 2009 tới tháng 5 năm 2010

I.3.2 Địa điểm

Trường THCS Lao Bảo – Hướng Hóa – Quảng Trị

I.3.3 Phạm vi

I.3.3.1 Giới hạn đối tượng nghiên cứu

“Các phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ”

I.3.3.2 Giới hạn địa bàn

Trường THCS Lao Bảo – Hướng Hóa – Quảng Trị

I.3.3.3 Giới hạn khách thể:

Học sinh lớp 9

I.4 Phương pháp nghiên cứu

I.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tàiliệu có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm

- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giảitoán hình học ở bậc THCS Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinhphổ thông cơ sở như:

+ Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9

+ Sách giáo viên 7, 8, 9

+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên

và học sinh

I.4.2 Phương pháp chuyên gia

Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng,hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm

I.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinhnghiệm

I.5 Đóng góp mới về mặt lí luận và thực tiễn

=========================================================

Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo

- Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ đườngphụ trong giải toán hình học ở bậc THCS, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trìcho học sinh Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huynăng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.

- Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ đường phụtrong giải toán hình học ở bậc THCS , phát hiện và vận dụng các phương phápgiải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau

Chương I: Các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải

toán hình học ở bậc THCS

I.1.1 Lịch sử nghiên cứu

Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trongnhững nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau và

họ cũng đã thu được những kết quả nhất định Song việc thực hiện được kết quảnhư thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố

Bản thân tôi không có tham vọng đi sâu và nghiên cứu tất cả các phươngpháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp đối với học sinh THCS

I.1.2 Cơ sở lý luận

Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinhtính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới,

và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thànhlên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đógiúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sángtạo khi gặp các dạng Toán khó Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và họcsinh trong đổi mới cách dạy và học

Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu

“ Các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS ” II.2.1 Thực trạng

Năm học 2005-2006 và 2009 - 2010 Tôi được nhà trường phân cônggiảng dạy bộ môn toán 9 và toán 7 – 8, tự chọn toán 9 , qua thực tế giảng dạy vàkết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khókhăn khi giải những bài toán có liên quan đến yếu tố phụ Một số ví dụ minhhọa:

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c

GiảiCách dựng:

============================================== ==========

- Dựng tia Ax

- Dựng đường tròn ( A;b) Gọi C là giao điểm của đường tròn (A;b) với tia Ax

- Dựng đường trong ( A;c) và đường tròn (C;a), gọi B là giao điểm của chúng Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a

- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A;c) và (C;a) không cắt nhau thì không dựng

được tam giác ABC

Bài toán 2: Dựng một góc bằng một góc cho trước

Cách dựng:

- Gọi xOy là góc cho trước Dựng đường tròn (O,r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được tam giác OAB

- Dựng O’A’B’ = OAB ( c- c- c)như bài toán 1, ta được O ˆ  ' Oˆ

Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước

Cách dựng:

- Dựng đường tròn ( A,r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C

- Dựng các đường tròn ( B,r) và (C,r) chúng cắt nhau ở D Tia AD là tia phân

giác của xAy Thật vậy: ABD = ACD ( c- c- c)  A ˆ  1 Aˆ 2

=========================================================

Nguyễn Văn Hải - Trường THCS Lao Bảo

cba

B

b

ac

B

C

Dr

r1

2

Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.

Cách dựng:

- Dưng hai đường tròn (A;AB) và (B;BA) chúng cắt nhau ở C, D Giao điểm của

CD và AB là trung điểm của AB

* Chú ý: đay cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước

Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đườngthẳng a cho trước

Cách dựng:

- Dựng đường tròn (O;r) cắt a tại A,B

- Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cầnnhắc lại cách dựng Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh thì cũng phảicăn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm mộtcách tùy tiện

II.2 CƠ SỞ THỰC TẾ

C

D

BA

O

D

BA

============================================== ==========

Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra những cặp cạnh tươngứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau Đó là lợi ích của việc chứngminh hai tam giác bằng nhau

Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau( hay hai góc bằngnhau) ta thường làm theo các bước sau:

Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng ( hay hai góc) đó là hai cạnh ( hay là haigóc ) thuộc hai tam giác nào?

Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

Bước 3: Từ hai tam giác đó bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc)tương ứng bằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần

có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mớixuất hiên các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu cầu đặt

ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm các yếu tố phụ để giảitoán hình học nói chung và hình học 9 nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đãtích lũy được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực

Chương III: Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ

CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm củacạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( HBC) thì DH = 4cm Chứng minh rằngtam giác ABC cân tại A

1) Phân tích bài toán:Bài cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D làtrung điểm của cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( HBC) thì DH = 4cm.Yêu cầu Chứng minh tam giác ABC cân tại A

2) Hướng suy nghĩ: ABC cân tại A  AB = AC Ta nghĩ ngay đến điểm phụ K

là trung điểm của BC Vậy yêu tố phụ phụ cần vẽ là trung điểm của BC

D

AB 2

1 DB

DA   ; DH 

BC

DH = 4 cm

KL  ABC cân tại A

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC 6

============================================== ==========

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có B ˆ  Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giảibằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác)

!) Phân tích bài toán:

Bài cho: tam giác ABC có B ˆ  Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC

1) Phân tích bài toán:

Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng

huyền, yêu cầu chứng minh: BC 2 AM BC

I

1 2

1 2

Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạnthẳng đó Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M

là trung điểm của AD

3) Chứng minh:

0 90

D1

1

2

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC

Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?

2) Hướng suy nghĩ:

Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác Do vậy ta tìm một tamgiác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có

AB < AC Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD =

MA Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này

3) L i gi i: ời giải: ải:

1 2

và A2 ở trong cùng một tam giác ADC.

CÁCH 3: NỐI HAI ĐIỂM CÓ SẴN TRONG HÌNH HOẶC VẼ THÊM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD CMR: AB = CD, AC =BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)

( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD

Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD

BA

Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là

AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh  ABD = DCA Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cầnchứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợpbằng nhau góc – cạnh – góc Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chấtcủa hai đường thẳng song song

CÁCH 4: TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC, VẼ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HAY VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc Athành ba góc bằng nhau

Chứng minh rằng  ABC là tam giác vuông và  ABM là tam giác đều?

1) Phân tích bài toán:

Bài cho  ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba gócbằng nhau Yêu cầu ta chứng minh  ABC là tam giác vuông và  ABM là tamgiác đều

2)Hướng suy nghĩ:

Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳngvuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suysuy ra AB  AC và suy ra A = 900

1 2 3

21

1 BM 2

1 MH

Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M của BC kẻ đườngvuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và ACtại E Chứng minh rằng: BD = CE

1) Phân tích bài toán:

Bài cho  ABC ( AB < AC) Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông gócvới tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E

Yêu cầu chứng minh: BD = CE

2) Hướng suy nghĩ:

============================================== ==========

Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba,rồi chứng

minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng

qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó

3) Ch ng minh:ứng minh:

GT ABC;AB < AC; 2BC

1 MC

AH là tia phân giác BAC;DE  AH ;

Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường

thẳng này với đường thẳng DE

Mặt khác  ADE có AH  DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt)

Do đó:  ADE cân tại A  BDF = AED

Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng

hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong

nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng Cách giải

này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình

5) cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi làphương pháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm mộtphương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán.

CÁCH 6: PHƯƠNG PHÁP “ TAM GIÁC ĐỀU”

Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vàotrong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toánđược thuận lợi Ta hãy xét một bài toán điển hình:

Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D

sao cho AD = BC Chứng minh rằng DCA = Aˆ

2

1

1) Phân tích bài toán:

Bài cho ABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC ( D AB)

Yêu cầu chứng minh: DCA = Aˆ

2

1

.2) Hướng suy nghĩ:

đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200,

suy ra góc ở đáy là 800

Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của

tam giác đều  Vẽ tam giác đều BMC

M

- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).

- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC)

- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC) Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCAdẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo củamỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học

Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150 Trên tia BA lấy điểm Osao cho BO = 2 AC Chứng minh rằng tam giác OBC cân

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150 Trên tia BA lấy điểm O sao cho

BO = 2 AC Yêu cầu chứng minh  OBC cân tại O

O  tia BA: BO = 2AC

KL  OBC cân tại O