Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆y​

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ NGỌC HƯỜNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TỐN TỬ ∆𝜸 Ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Phạm Thị Ngọc Hường i LỜI CẢM ƠN Sau khoảng thời gian học tập Trường ĐHSP Thái Nguyên, tơi hồn thành luận văn cao học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Thủy, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo điều kiện để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn cao học đã dành thời gian đọc cho ý kiến quý báu để luận văn hồn thiện Tơi xin tri ân thầy khoa Tốn Trường ĐHSP Thái Nguyên truyền thụ kiến thức cho suốt thời gian theo học cao học trường Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường ĐHSP Thái Nguyên, phịng SĐH hộ trợ tơi suốt khóa học Do thời gian khả thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Phạm Thị Ngọc Hường ii MỤC LỤC Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số quy ước kí hiệu iv MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích luận văn Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Khơng gian tuyến tính 1.1.2 Không gian metric .4 1.1.3 Phương trình đạo hàm riêng 1.2 Không gian hàm .8 1.2.1 Đạo hàm suy rộng .8 1.2.2 Không gian 𝐿𝑝 .9 1.2.3 Không gian Sobolev 10 1.3 Toán tử 10 1.3.1 Toán tử ∆𝛾 10 1.3.2 Một số tính chất .12 Chương 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸 .15 2.1 Bài toán 15 2.1.1 Bài toán 15 iii 2.1.2 Bài toán 16 2.2 Sự tồn nghiệm .18 2.2.1 Sự tồn nghiệm Bài toán 2.2.2 Sự tồn nghiệm Bài toán 26 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 iv MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong tồn luận văn, ta thống số kí hiệu sau: ‖𝑥‖ chuẩn Euclid phần tử x không gian ℝ𝑁 𝐶 𝑘 (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k không gian Ω 𝐻′ không gian đối ngẫu không gian Banach H 〈 , 〉𝐻 tích vơ hướng khơng gian H ⇀ hội tụ yếu ↪ phép nhúng liên tục ↪↪ phép nhúng compact Vol(Ω) độ đo Lebesgue tập Ω không gian ℝ𝑁 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm trở lại đây, tốn biên ln chủ đề nghiên cứu nhiều chuyên gia quan tâm ứng dụng rộng rãi ngành vật lý, hóa học sinh học Đặc biệt việc nghiên cứu điều kiện tồn không tồn nghiệm tốn biên có chứa phương trình elliptic suy biến khó, phức tạp Do kết đạt chiếm vị trí quan trọng phát triển lý thuyết tốn học Việc giải tìm nghiệm toán phức tạp Bởi người ta dùng nhiều phương pháp khác để giải toán biên có chứa phương trình elliptic suy biến Trong phương pháp biến phân: phương pháp điểm tới hạn phiến hàm có nhiều ưu điểm nghiên cứu nhiều nhà toán học nước Xuất phát từ lý trên, lựa chọn vấn đề nghiên cứu tồn nghiệm phương trình elliptic suy biến làm nội dung nghiên cứu luận văn với tên gọi: “Sử dụng phương pháp biến phân việc tìm nghiệm phương trình elliptic suy biến chứa tốn tử ∆𝜸 ” Mục đích luận văn Mục đích luận văn nghiên cứu tồn nghiệm phương trình elliptic suy biến chứa tốn tử ∆γ Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn nghiệm phương trình elliptic suy biến, tơi sử dụng phương pháp biến phân: phương pháp điểm tới hạn phiếm hàm Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong Chương tơi trình bày số khái niệm giải tích hàm, khơng gian hàm, toán tử số kiến thức bổ trợ sử dụng Chương Chương 2: Trình bày việc sử dụng phương pháp biến phân việc tìm nghiệm phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆γ toán ... DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TỐN TỬ ∆