XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT của dãy số NGUYỄN tất THU

Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong... SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ C

Đề tài

Một số phương pháp xác định công

thức tổng quát của dãy số

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1 LỜI MỞ ĐẦU 2

I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT 3

II SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23 III XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 28

IV ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ 32 BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP 32 BÀI TậP ÁP DụNG 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số

Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ”

nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài toán tìm CTTQ của dãy số mà bản thân đúc rút được trong qua trình học tập

Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục :

I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số

có dạng công thức truy hồi đặc biệt

II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số

III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số

IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số - tổ hợp

Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho các em học sinh

Trong quá trình viết chuyên đề, chúng tôi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong Chúng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót Rất mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt hơn

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ

DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.

Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy

số có công thức truy hồi đặc biệt Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp Trước hết ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC

1 Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân

1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Định nghĩa: Dãy số ( )u gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho với mọi số n

nguyên n ³ ta có:2 u n = u n-1 + d

d : gọi là công sai của CSC; u : gọi số hạng đầu, 1 u gọi là số hạng tổng quát của cấp số n

Định lí 1: Cho CSC ( )u Ta có : n u n = u1 +(n -1)d (1).

Định lí 2: Gọi S n là tổng n số hạng đầu của CSC ( )u có công sai d Ta có: n

S [2 1 ( 1) ]

2

n = n u n d+ - (2).

Định nghĩa: Dãy số ( )u có tính chất n u n+1 =q u n " În ¥ gọi là cấp số nhân công *

bội q

Định lí 3: Cho CSN ( )u có công bội q Ta có: n u n = u q1 n-1 (3).

Định lí 4: Gọi S n là tổng n số hạng đầu của CSN ( )u có công bội q Ta có: n

11

1

-n

S u

q

= (4)

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

2 Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt

Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )u được xác định bởi n

1 1, n n 1 2 2

u = u = u - - " ³ n

Giải:

Ta thấy dãy ( )u là một CSC có công sai n d = - Áp dụng kết quả (1) ta có: 2

n

u = - n - = - n +

Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )u được xác định bởi n

1 3, n 2 n 1 2

u = u = u - " ³ n

Giải:

Ta thấy dãy ( )u là một CSN có công bội n q = Ta có:2 u n = 3.2n-1

Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy ( )u được xác định bởi: n

1 2, n 3 n 1 1 2

u = - u = u - - " ³ n

Giải:

Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy ( )u không phải là CSC hay CSN! n

Ta thấy dãy ( )u không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1 n - ở VT Ta tìm cách làm mất - đi và chuyển dãy số về CSN Để thực hiện ý đồ này ta đặt 1 u n =k v n + ; l k l là , các hằng số và k ¹ ( ta sẽ chọn ,0 k l sau)

k

2

l

k

k bất kì nên ta chọn 1

1 2

k l

ì = ï í

=

1 1

3

2

n n

n

v

v

ï

=

-ïî Dễ thấy dãy ( )v là CSN với công bội n q = 3

2

n

1

n

n n

Ta thấy k bất kì, do đó khi đặt ta chọn k = 1

Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau:

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Dạng 1 : Dãy số ( ) :u n u1 =x u0, n =au n-1 + " ³ (b n 2 a b ¹ là các hằng số) có , 0 CTTQ là:

1

1 1

1

( 1) khi 1

1

1

n

u a b

a

ï

ï

-

Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy ( )u được xác định bởi n

u = u + = u + n +

Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây không

phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước

cách giải ở trên làm mất 3n + ở VP, ta đặt :2 u n = k v n +t n l + ; k t l là các hằng số , , 0

k ¹ Khi đó ta có:

Ta chọn k t l sao cho: , ,

1

l t

k k

î

, ta chọn k = 1

1 1

1

6

n n

v

-ì =

ï

=

Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào k , nên khi đặt ta có thể chọn k = 1

Ví dụ 1.5: Cho dãy số 1

1

2

n n

u

ï

ïî Tìm CTTQ của dãy ( )u n

Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì

sau khi đặt ta có : 1 2. 1

+

-= + + dẫn đến ta không thể làm mất n được

Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài toán trên Ta viết công thức truy hồi của dãy đã cho dưới dạng sau u n -u n-1 = 2n + Từ đây ta có: 1

u = u -u - + u - -u - + + u -u + u

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

= 2n + +1 2(n - + +1) 1 2.2 1 2+ + + = 2(n n+ - +1 2 1+ + )+ - n 1

2

Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu không cho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban

đầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất Từ phân tích này ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau:

Đặt u n =v n +an2 +bn c+ Khi đó, ta có:

v +an +bn c v+ = - +a n - +b n - + +c n +

n n

v v - a n a b

î î , c bất kì nên ta chọn c = 0

1

1

n n

v

ì =

ïî Vậy u n = v n +n2 +2n n= 2 +2n - 1

Vì c bất kì nên ta chỉ cần đặt u n =v n +an2 +bn v= n +n an b( + )

dãy ( )u được xác định bởi: n 1 0

1

n n

u x

u a u - f n

ï

ïî , trong đó f n là một đa thức bậc k ( ) theo n ; a là hằng số Ta làm như sau:

* Nếu a = , ta đặt 1 u n =v n +n g n ( ) với g n là một đa thức theo n bậc k , thay vào ( ) công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g n( ) :ng n( ) (- n -1) (g n -1)= f n( )ta có được dãy ( )v là CSN với công bội n q = từ đó ta tìm được CTTQ của dãy 1 ( )v suy ra ta có n

CTTQ của dãy ( )u n

* Nếu a ¹ , ta đặt 1 u n = v n +h n( ) với h n là một đa thức theo ( ) n bậc k Thay vào

công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h n( ) :h n ah n( )- ( -1)= f n( ) ta có được dãy

( )v là CSN với công bội q a n = từ đó ta tìm được CTTQ của dãy ( )v Suy ra ta có n

CTTQ của dãy ( )u n

Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát của dãy số

Ví dụ 1.6: Cho dãy số 1

1

1 ( ) :

3 2 ; n 2,3,

n

n n

u u

ï

Giải:

Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt: u n =v n +a.2n

Vậy u n = 5.3n- 1 -2n+ 1

Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy ( ) :u n u n =a u n-1 +b.an, ta đặt

n

n n

u = x +ya Khi đĩ , ta cĩ: x n y.an a x n 1 ay.an-1 b.an

1 1

n n

x a x - éy a a ba á

a

a a

=

-1

x a x - x x a

-Trường hợp a = Þa u n -a u n-1 =ba n

1 1

n

u b n a u a

1

( ) :

n

n n

u p u

u a u - ba n

ï

· Nếu a =a Þ u n = éëab n( - +1) u a1ùû n-1

· Nếu a u n (u1 b 2 )a n 1 b n

Chú ý : Trong trường hợp a = ta cĩ thể tìm CTTQ của dãy a ( )u như sau: n

Đặt u n = x n +y n a n Khi đĩ ta cĩ: x n +y n .an =a x n-1 +ay n( -1).a n-1 +b a n

1

n n

x a x - y b a

x x a - u u ab a - bn a éab n u aù

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy 1

1

2 ( ) :

5 2.3n 6.7n 12 ; 2,3,

n

n n

u u

-ï

Giải: Đặt u n = v n +a.3n +b.7n + Khi đó , ta có: c

1

v +a +b + =c v - +a - +b - +c + - +

1

n n

Ta chọn

Khi đó: v n 5v n 1 v n v1.5n-1 157.5n-1

Vậy u n = v n - 3n+ 1 -3.7n+ 1 - =3 157.5n- 1 - 3n+ 1 -3.7n+ 1 - 3

Qua ví dụ trên ta có kết quả sau:

1

( ) :

n

n n

u p u

u a u - ba c b d n

ï

( trong đó a b c, , ¹ 0; ,a b ¹1; a b ¹ ) ta làm như sau: a

· Nếu a = Þ1 u n -u n-1 =b.an +c.bn + d

2

n

i

u u - u - u

-=

u - ba - c b - d u b - a - c - b - d n

n

· Nếu a ¹ , ta đặt 1 u n = v n + x.an +y.bn + z

1

n n

1

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

1

1

Chú ý : Nếu a = hoặc a b = thì khi đặt a u theo n v thì ta nhân thêm n n vào trước an

hoặc bn

Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy 1

1

1 ( ) :

n

n n

u u

ï

Giải: Để tìm CTTQ của dãy ( )u ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3 n

Đặt u n =v n +a.3n +bn c+

1

1 1

n n

Ta chọn a b= =1;c = Khi đó: 2 v n 2v n 1 v n v1.2n-1 5.2n-1

-Vậy u n = -5.2n- 1 + 3n + + n 2

Dạng 5: Nếu dãy số 1

1

( ) :

n

n n

u p u

u a u - ba f n n

ï

thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau:

* Nếu a ¹ ta đặt 1 u n =v n +x.an +g n( ), với g n là đa thức theo n bậc k Ta sẽ ( ) chọn sao cho dãy ( )v là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy ( ) n v từ đó ta n

có CTTQ dãy ( )u n

* Nếu a = thì ta tìm được 1 u theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3 n