đặt vấn đề Trong chơng trình toán học THPT toán liên quan đến dÃy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11 , Học sinh thờng phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề gặp khó khăn vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát dÃy số Đặc biệt số lớp toán đà xác định đợc công thức tổng quát dÃy số nội dung toán gần nh đợc giải Để đáp ứng đợc phần đề tài Xác định công thức tổng quát dÃy số kết hợp với tiếp cận Lý thuyết phơng trình sai phân qua số chuyên đề mà thân tác giả đà đợc học Nội dung đề tài nhằm cung cấp số phơng pháp xác định công thức tổng quát dÃy số có phân loại số lớp toán Đây đề tài giảng mà tác giả đà dạy cho học sinh , đặc biệt học sinh giỏi lớp chọn, tài liệu học sinh đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài tác giả đà sử dung số kết có tính hệ thống Lý thuyết phơng trình sai phân Tuy nhiên vấn đề áp dụng kiến thức toán học đại dừng lại số trờng hợp đặc biệt giới hạn trờng số thực Giới hạn đề tài dừng lại việc xác định công thức tổng quát số dÃy số , từ có áp dụng vào số toán cụ thể Qua đó, ngời đọc trang bị thêm cho phơng pháp xác định công thức tổng quát dÃy số Đặc biệt thầy cô tự kiểm tra kết xây dựng cho lớp toán dÃy số đợc trình bày đề tài Một số phơng pháp xác định công thức tổng quát dÃy số xây dựng toán dÃy số A Phơng trình sai phân tuyến tính cấp Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình sai phân dạng u1 = , a.un+1 + b.un = f n , n ∈ N * a,b, số ,a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho trớc Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiÖn u1 = α , a.un+1 + b un = (1.1) ®ã a, b, α cho tríc n N * Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b = để tìm Khi ®ã un = qλ n (q lµ h»ng sè ) , q đợc xác định biết u1 = Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta cã un +1 = un , u1 = (1.2) Phơng trình đặc trng có nghiệm = VËy un = c.2n Tõ u1 = suy c = Do un = 2n Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , aun+1 + bun = f n , n ∈ N * f n đa thức theo n (2 1) Phơng pháp giải * Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un + un * Trong un nghiệm phơng trình (1.1) un nghiệm riêng tuỳ ý phơng trình không (2.1) VËy un = q.λ n q lµ h»ng sè sÏ đợc xác định sau * Ta xác định un nh sau : * 1) Nếu #1 un ®a thøc cïng bËc víi f n * 2) NÕu λ =1 th× un = n.g n víi g n đa thức bậc với f n * * Thay un vào phơng trình, đồng hệ số ta tính đợc hệ số un Bài toán 2: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 2; un +1 = un + 2n, n ∈ N * (2.2) * Bài giải Phơng trình đặc trng − = cã nghiÖm λ = Ta cã un = un + un n * * ®ã un = c.1 = c, un = n ( an + b ) Thay un phơng trình (2.2) ta đợc ( n + 1) a ( n + 1) + b = n ( an + b ) + 2n (2.3) thay n=1vµ n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau 3a + b = a = ⇔ 5a + b = b = −1 Do ®ã un = n ( n − 1) * Ta cã un = un + un = c + n ( n 1) Vì u1 = nên = c + 1( − 1) ⇔ c = 2 VËy un = + n ( n − 1) , hay un = n − n + Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , a.un +1 + bun = v.µn , n N * f n đa thức theo n Phơng pháp giải (3.1) * Giải phơng trình đặc trng a. + b = ta tìm đợc Ta có un = un + un * Trong ®ã un = c.λ n , c số cha đợc xác định , un đợc xác định nh sau : 1) Nếu # * un = A.à n 2) Nếu = µ * th× un = A.n.µ n * Thay un vào phơng trình (3.1) đồng hệ số ta tính đợc hệ số * * un BiÕt u1 , tõ hÖ thøc un = un + un , tính đợc c Bài toán 3: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 1; un +1 = 3.un + 2n , n ∈ N * (3.2) * Bài giải Phơng trình đặc trng = cã nghiÖm λ = Ta cã un = un + un * ®ã un = c.3n , un = a.2n * Thay un = a.2n vào phơng trình (3.2) , ta thu đợc a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ 2a = 3a + ⇔ a = −1 Suy un = −2n Do ®ã un = c.3n − 2n v× u1 = nên c=1 Vậy un = 3n 2n Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , a.un +1 + bun = f1n + f n , n N * (4.1) Trong f1n ®a thøc theo n vµ f n = v.µ n Phơng pháp giải * Ta có un = un + u1*n + u2 n Trong ®ã un nghiệm tổng quát phơng * trình aun+1 + bun = , un lµ mét nghiƯm riêng phơng trình * không a.un+1 + b.un = f1n , u2n nghiệm riêng phơng trình không a.un+1 + b.un = f n Bài toán 4: Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn u1 = 1; un +1 = 2un + n + 3.2n , n ∈ N * (4.2) Bài giải Phơng trình đặc trng = cã nghiÖm λ = Ta cã * * * un = un + u1*n + u2 n ®ã un = c.2n , un = a.n + b.n + c , u2 n = An.2n * Thay un vào phơng trình un+1 = 2.un + n , ta đợc a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an + 2bn + 2c + n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình 2a − c = a = −1 ⇔ b = −2 a − b − c = 2a + 2b + c = −9 c = −3 * VËy u1*n = − n 2n thay u2n vào phơng trình un+1 = 2.un + 3.2n Ta đợc A ( n + 1) 2n+1 = An.2 n + 3.2n ⇔ A ( n + 1) = An + ⇔ A = VËy * u2 n = n.2n = 3n.2n −1 n n −1 Do ®ã un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 Ta cã u1 = nªn = 2c − + ⇔ c = VËy un = 3n.2n−1 − n 2n B Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai Phơng trình sai phân tuyến tính cấp phơng trình sai phân dạng u1 = α , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n ∈ N * a,b,c, , số , a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho trớc (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trờng số thực , tức xét nghiệm thực ) Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = 0, n N * (5.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a. + b. + c = tìm Khi 1) Nếu , hai nghiệm thực khác un = A.1n + B.2n , A B đợc xác định biết u1 , u2 n 2) Nếu λ1 , λ2 lµ hai nghiƯm kÐp λ1 = λ2 = λ th× un = ( A + Bn ) , A B đợc xác định biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mÃn điều kiện sau u0 = 1, u1 = 16, un + = 8.un+1 − 16.un (5.1) Bµi giải Phơng trình đặc trng + 16 = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã un = ( A + B.n ) n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vµo (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình u0 = = A A =1 ⇔ u1 = ( + B ) = 16 B = n VËy un = ( + 3n ) D¹ng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , u2 = β , a.un +1 + b.un + c.un−1 = f n , n ≥ 2, (6.1) ®ã a # 0, f n lµ ®a thøc theo n cho trớc Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a.λ + b.λ + c = ®Ĩ tìm Khi ta có * un = un + un , un nghiệm tổng quát phơng trình * a.un+1 + b.un + c.un −1 = vµ un lµ nghiệm tuỳ ý phơng trình a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n * Theo dạng ta tìm đợc un , hệ số A, B cha đợc xác định , un đợc xác định nh sau : * 1) Nếu #1 un đa thức bậc với f n * 2) Nếu = nghiệm đơn un = n.g n , g n đa thức cïng bËc víi f n * 3) NÕu λ = nghiệm kép un = n.2 g n , g n đa thức bậc với f n , * * Thay un vào phơng trình , đồng hệ số, tính đợc hệ số cña un BiÕt * u1 , u2 tõ hệ thức un = un + un tính đợc A, B Bài toán 6: Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = n + 1, n ≥ (6.2) Bài giải Phơng trình đặc trng + = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã * * un = un + un ®ã un = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un = n ( a.n + b ) * Thay un vào phơng trình (6,2) , ta đợc ( n + 1) a ( n + 1) + b − 2n ( a.n + b ) + ( n − 1) a ( n − 1) + b = n + Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình a= ( 2a + b ) − ( a + b ) = ⇔ 9 ( 3a + b ) − ( 2a + b ) + ( a + b ) = b = Vậy n 1 * un = n + ữ Do n * un = un + un = A + Bn + n + ữ Mt khác 1 A + B + + =1 A = ⇔ −11 A + 2B + + = B = ÷ 3 2 VËy un = − 11 n 1 n + n2 + ÷ Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = d µ n , n (7.1) Phơng pháp giải Giải phơng trình đặc trng a.λ + b.λ + c = ®Ĩ tìm Khi ta có * un = un + un , un đợc xác định nh dạng hệ số A B cha đợc xác * định, un đợc xác định nh sau * 1) Nếu # un = k µ n * 2) NÕu λ = µ lµ nghiệm đơn un = k nà n * 3) Nếu = nghiệm kép un = k n.2 n * Thay un vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng thức hệ số tính * đợc hệ số k Biết u1 , u2 tõ hÖ thøc un = un + un tính đợc A,B Bài toán 7: Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = 3.2n , n ≥ Bài giải Phơng trình đặc trng 2λ + = cã nghiÖm kÐp λ = Ta cã * un = un + u1*n ®ã un = ( A + B.n ) 1n = A + Bn, un = k 2n * Thay un vào phơng trình , ta đợc k 2n+1 − 2k 2n + k 2n −1 = 3.2 n ⇔ k = * * VËy un = 6.2n = 3.2n+1 Do ®ã un = un + un = A + bn + 3.2n +1 (1) Thay u1 = 1, u2 = vào phơng trình ta thu đợc = A + B + 12 A = ⇔ 0 = A + B + 24 B = −13 VËy un = 13n + 3.2n +1 Dạng Tìm un thoả mÃn điều kiện u1 = , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = f n + g n , n ≥ (8.1) a # , f n đa thức theo n g n = v.à n Phơng pháp giải * Ta có un = un0 + u1*n + u2 n un nghiệm tổng quát phơng * trình aun+1 + bun + c.un = , u1n nghiệm riêng tùy ý ph* ơng trình không aun +1 + bun + c.u n−1 = f n u2n nghiệm riêng tùy ý phơng trình không nhÊt aun +1 + bun + c.un −1 = g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả m·n ®iỊu kiƯn u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un − 3un −1 = n + n , n (8.2) Bài giải Phơng trình ®Ỉc trng λ − 2λ − = cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = Ta cã * un = un0 + u1*n + u2 n ®ã * un = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2 n = k 2n n * Thay u1n vào phơng trình un+1 2un 3un = n , ta đợc a ( n + 1) + b − ( an + b ) − a ( n − 1) + b = n ⇔ ( 4a + 1) n − ( a − b ) = VËy a=b=− Do ®ã * un = −1 ( n + 1) * Thay u2n vào phơng trình un+1 2un 3un = 2n , ta đợc k 2n+1 2.k 2n = 3.k 2n −1 = 2n ⇔ k = − Do ®ã * u2 n = − 2n = − 2n+1 3 VËy * un = un + u1*n + u2 n = A ( −1) + B.3n − n 1 ( n + 1) − 2n+1 (8.3) Ta thay u1 = 1, u2 = vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình 61 A + 3B − − = A = − 48 ⇔ A + 9B − − = B = 25 48 VËy un = − 61 25 1 n ( −1) + 3n − ( n + 1) − n+1 48 48 C Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba phơng trình sai phân dạng u1 = , u2 = β , u3 = γ , a.un + + bun+1 + c.un + d un−1 = f n , n ≥ (a.1) ®ã a,b,c, d, , , số , a # vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho trớc 10 (NX: Phơng trình đặc trng phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba có ba nghiƯm kĨ c¶ nghiƯm phøc, song néi dung cđa đề tài dừng lại trờng số thực , tức xét nghiệm thực ) Phơng pháp giải Nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính cÊp ba cã d¹ng * un = un + un , un nghiệm tổng quát phơng trình tuyến tính * nhất, un nghiệm riêng phơng trình tuyến tính không Xét phơng trình đặc trng a + b + cλ + d = (a.2) 1) X¸c định công thức nghiệm tổng quát phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba a) Nếu (a.2) cã ba nghiƯm thùc λ1 , λ2 , λ3 ph©n biÕt th× un = a1 λ1n + a2 λ2n + a3 λ3n b) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc bội nghiệm đơn (1 = # λ3 ) th× un = (a1 + a2 n)λ1n + a3 λ3n c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi (λ1 = λ2 = λ3 ) th× un = (a1 + a2 n + a3 n )1n * 2) Xác định nghiệm riêng un phơng trình (a.1) ã Xét f n đa thức n ta cã * a) NÕu λ #1 th× un đa thức bậc với f n * b) Nếu = (nghiệm đơn ) un = n.g n g n đa thức bậc với f n * c) NÕu λ = (béi ) th× un = n g n g n đa thức bậc với f n * d) NÕu λ = (béi 3) th× un = n3 g n g n đa thức bậc với f n 11 n ã Xét f n = v.à ta có * a) Nếu # un = k n.µ n * b) NÕu λ = µ (nghiệm đơn ) un = k n * c) Nếu = (nghiệm bội s ) un = k n s n Bài toán 9: T×m d·y sè an biÕt r»ng u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− + 5.un −3 , n ≥ (9.1) Bµi giải Xét phơng trình đặc trng + 11λ − = cã nghiÖm thùc λ1 = λ2 = 1, λ3 = VËy an = c1 + c2 n + c3 5n Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phơng trình tạo thành, ta đợc c1 = Vậy an = , c2 = , c3 = 16 16 + ( n − 1) + 5n 16 16 D Bài tập áp dụng Bài toán 10: Cho dÃy số an đợc xác định theo c«ng thøc sau a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1, n ≥ (10.1) Chøng minh sè A = 4.an an+ + số phơng Bài giải Ta cã an+1 = 2an − an−1 + (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta đợc an = 2an −1 − an −2 + Trõ c¸c vÕ (10.1) cho (10.2) ta thu đợc 12 (10.3) an+1 − 3an + 3an−1 − an− = (10.4) Phơng trình đặc trng (10.4) 3λ + 3λ − = cã nghiÖm λ = lµ nghiƯm béi bËc ba VËy nghiƯm tổng quát phơng trình (10.4) an = (c1 + c2 n + c3 n )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta đợc = c1 c1 = ⇔ 1 = c2 + c2 + c3 3 = c + 2c + 4c c2 = c3 = Ta thu đợc an = n ( n + 1) từ ®ã ta cã A = 4an an + + = ( n + 3n + 1) Điều chứng tỏ A số phơng Bài toán 11: Cho dÃy số { xn } đợc xác định theo công thức sau x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = xn + xn −1 − 1975 ( n ≥ ) (11.1) 1997 Chứng minh x1996 M Bài giải Xét dÃy sè { yn } víi y1 = 7, y2 = 50 vµ yn +1 = yn + yn −1 + 22 ( n ≥ ) (11.2) DÔ thÊy yn ≡ xn ( mod1997 ) Do ®ã chØ cÇn chøng minh y1996 ≡ ( mod 1997 ) Đặt zn = yn + 11 suy z1 = 39, z2 = 211 NhËn xÐt r»ng zn +1 = yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = zn + 20 yn−1 + 55 (11.3) Ta l¹i cã zn −1 = yn −1 + 11 suy 20 yn−1 = zn−1 − 55 ThÕ (11.4) vµo (11.3) ta ®ỵc 13 (11.4) zn +1 = zn + zn−1 Suy zn +1 − zn − zn1 = (11.5) Phơng trình đặc trng (11.5) lµ λ − 4λ − = cã nghiƯm λ1 = −1, λ2 = NghiƯm tỉng qu¸t cđa (11.1) lµ zn = ( −1) α + 5n β n Ta cã α= z1 = −α + 5β = 39 ⇔ z2 = α + 25β = 211 β = 25 Do ta nhận đợc 25 n zn = ( −1) + 5n 3 (11.6) Tõ (11.6) ta suy z1996 + 25.51996 = Ta cÇn chøng minh z1996 ≡ 11( mod1997 ) Do 1997 51996 − M 1996 5 − M3 3.1997 Tõ ®ã , ta có 51996 = 3n.1997 + , Nªn 51996 − 1M 25 ( 3n.1997 + 1) z1996 = + = 25.n.1997 + 11 3 VËy z1996 ≡ 11( mod 1997 ) 14 E Bµi tËp tơng tự Bài 1: Xác định công thức dÃy số { xn } thoả mÃn điều kiện sau 1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + − 9n , ∀n ∈ N 2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ = −8.xn+1 + xn 3) x0 = 1, x1 = 3, xn+ − xn +1 + xn = −n − 2n + 4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − xn + xn −1 = n − 6n + 5) x1 = 1, x2 = 2, xn + − xn+1 + xn = Bµi 2: Cho d·y sè { an } thoả mÃn điều kiện an = an −1 + 2.an −2 a1 = a2 = n∈ N ( n ≥ 3) n∈ N ( n 3) Chứng minh an số lẻ Bài 3: Cho dÃy số { bn } xác định bëi bn = 2.bn−1 + bn −2 b1 = 1, b2 = n 5 Chøng minh r»ng bn ữ , n N Bài 4: Cho dÃy số { un } thoả mÃn điều kiện un + − 2.un +1 + un = n∈ N u0 = 1, u1 = ( n ≥ 2) Chøng minh r»ng un lµ mét số phơng Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 Toán 11 Lần thứ VIII 2002 NXB gi¸o dơc ) Cho d·y sè { un } tho¶ m·n nh sau 15 un ∈ Z + , ∀∈ N u0 = 1, u1 = u = 10.u − u ∀n ∈ N , n ≥ n −1 n−2 n Chøng minh : ∀k ∈ N , k ≥ 1) uk2 + uk2−1 − 10uk uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1 M va 3.uk2 − 1M ( M hiƯu chia hÕt ) kÝ Bµi 6: Cho d·y sè { un } thoả mÃn điều kiện un + = 2un +1 + 2un − un −1 , n N * Chứng minh tồn số nguyên M cho số M + 4.an+1an số phơng Bài 7: ( Báo Toán Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dÃy số { ui } ( i=1,2,3,4)đợc xác định a1 = 1, a2 = −1, an = −an −1 − 2an −2 , n = 3,4, Tính giá trị biểu thøc 2 A = 2.a2006 + a2006 a2007 + a2007 Bài 8: Cho dÃy số nguyên dơng { un } thoả mÃn điều kiện u0 = 20, u1 = 100, un +2 = 4.un +1 + 5.un + 20, n N * Tìm số nguyên dơng h bé nhÊt cã tÝnh chÊt an+ h − an M 1998 , n N F Xây dựng toán d·y sè truy håi 16 NhËn xÐt : Néi dung đề tài giúp bạn đọc tìm công thøc tỉng qu¸t cđa mét líp d·y sè cã tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhÊt, gióp c¸c Thầy cô kiểm tra kết toán theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dÃy số Dới số ví dụ xây dựng thêm toán dÃy số có tính quy luật mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng toán khác dÃy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phơng trình ( 1) ( λ + ) = ⇔ λ + = (12.1) phơng trình (12.1) đợc coi phơng trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số un đợc xác định theo công thức sau un+ + 8.un+1 + 9.un = cã thÓ cho u0 = 2, u1 = −8 Ta cã thĨ ph¸t biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dÃy số xn xác định nh sau xn + + 8.xn+1 + 9.xn = x0 = 2, x1 = n N Xác định công thức dÃy số xn Bài toán 2: Cho dÃy số xn xác định nh sau xn + + 8.xn+1 + 9.xn = x0 = 2, x1 = n N Tính giá trị biÓu thøc A = x2006 − 5.x2007 + VÝ dụ 2: Xuất phát từ phơng trình ( 1) = ⇔ λ − 2λ + = (12.2) phơng trình (12.2) đợc coi phơng trình đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số un đợc xác định theo công thức sau un+ 2.un +1 + un = 17 cã thÓ cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật toán xác định đợc công thức tổng quát dÃy sè xn = ( n − 1) Ta cã thể phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dÃy số xn thoả mÃn điều kiện sau xn + xn+1 + xn = n∈ N x0 = 1, x1 = Bài toán 2: Cho dÃy số xn xác định nh sau xn + − xn+1 + xn = n∈ N x0 = 1, x1 = Chøng minh xn số phơng Bài toán 3: Cho dÃy số xn xác định nh sau xn + − xn+1 + xn = n∈ N x0 = 1, x1 = X¸c định số tự nhiên n cho xn+1 + xn = 22685 Kết luận- kiến nghị 18 Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan ®Õn ®Ị tµi vµ cã sù tham gia gãp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đà thu đợc số kết định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững đợc số phơng pháp biết vận dụng dạng xác định đợc công thức dÃy sè 2) Mét sè ®Ị thi häc sinh giái, Häc sinh lớp chọn sử dụng phơng pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phơng pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm toán dÃy số Xây dựng phơng pháp giảng dậy theo quan ®iĨm ®ỉi míi lµ viƯc mµ toµn x· héi vµ nghành quan tâm Tuy nhiên, số lớp toán bậc THPT ta sử dụng số kết toán học xây dựng phơng pháp giải toán sơ cấp vấn đề đợc ý Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có tìm hiểu sâu mối quan hệ Toán học đại Phơng pháp toán sơ cấp Qua ta tìm đợc phơng pháp giải, xây dựng lớp toán bậc THPT Tài liệu tham khảo 19 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Néi 2004 2) Tun tËp ®Ị thi OLYMPIC 30 – Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dơc 3) Tun tËp ®Ị thi OLYMPIC 30 – Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Toán Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dÃy số , Nhà xuất Gi¸o Dơc - 2003 Trị đặc trưng vector đặc trưng 23 tháng 10, 2007 Eigenvalues eigenvectors xuất nhiều ngành khoa học kỹ thuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v Để hiểu ý nghĩa chúng, có hai hướng nhìn thơng dụng, áp dụng nhiều trường hợp Loại động (motivation) thứ Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phép tính sau đây: cho trước ma trận A nhiều vectors x, tính với nhiều giá trị khác số mũ Ví dụ 1: A ma trận phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) đó, phép quay co dãn computer graphics chẳng hạn, cho kết phép BĐTT áp dụng k lần vào x Các games máy tính hay annimations phim Hollywood có phép biến đổi kiểu Mỗi object computer graphics nhiều vector x Quay object nhiều lần làm phép nhân với vectors x biểu diễn object Khối lượng tính tốn khổng lồ, dù khơng gian chiều Ví dụ 2: A transition matrix chuỗi Markov rời rạc x distribution trạng thái tại, distribution chuỗi Markov sau k bước Ví dụ 3: phương trình sai phân (difference equation) kiểu phương trình viết thành dạng để tính với k tùy ý Ví dụ 4: lũy thừa ma trận xuất tự nhiên giải phương trình vi phân, xuất khai triển Taylor ma trận chẳng hạn 20 Tóm lại, nhiều ứng dụng ta cần tính tốn nhanh lũy thừa ma trận vuông, lũy thừa nhân vector Mỗi ma trận vuông đại diện cho phép BĐTT Lũy thừa bậc k ma trận đại diện cho phép biến đổi áp dụng k lần Ngược lại, phép BĐTT đại diện ma trận Có nhiều ma trận đại diện cho BĐTT, tùy theo ta chọn hệ sở Mỗi ta viết vector dạng ngầm định hệ sở đó, thường hệ sở trực chuẩn ta , , Các tọa độ 3, -2, x tương ứng với tọa độ x hệ sở ngầm định Hệ sở thường dùng ta “dễ” hình dùng chúng khơng gian n chiều, chúng sản phẩm phụ hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dùng không gian chiều Tuy nhiên, áp dụng phép BĐTT vectors thường bị biến đổi theo luôn, bất tiện ta phải tính cho nhiều giá trị k x khác Bây giờ, giả sử ta tìm hướng độc lập tuyến tính bất biến qua phép BĐTT đại diện A (Đây giả sử mạnh, may mà lại thường ứng dụng kể trên.) Dùng vector để biểu diễn hướng thứ Bất biến có nghĩa áp dụng A vào hướng hướng khơng đổi Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” với số (scalar) thực phức (dù ta giả sử A thực) Do hướng độc lập tuyến tính, vector x viết dạng Nếu ta lấy làm hệ sở có áp dụng A lần khơng đổi hướng vectors hệ sở! Điều tiện lợi, Như vậy, thay tính lũy thừa bậc cao ma trận, ta cần tính lũy thừa n số làm phép cộng vectors đơn giản Các giá trị trị đặc trưng (eigenvalues) A, vectors vector đặc trưng (eigenvectors) Tiếp tục với giả thiết mạnh n eigenvectors độc lập tuyến tính với Nếu ta bỏ vectors vào cột ma trận , eigenvalues lên đường chéo ma trận ta có Trong trường hợp ma trận A có tính diagonalizable (chéo hóa được) Diagonalizability độc lập tuyến tính n eigenvectors hai thuộc tính tương đương ma trận Ngược lại, ta có , lũy thừa A dễ tính: lũy thừa ma trận đường chéo dễ tính 21 Cụm từ “khả đường chéo hóa được” (diagonalizability) nghe ghê quá, có bạn biết tiếng Việt khơng? Nếu ta biết eigenvectors eigenvalues ma trận — ngồi việc tính lũy thừa ma trận — ta dùng chúng vào nhiều việc khác, tùy theo ứng dụng ta xét Ví dụ: tích eigenvalues với định thức, tổng với trace, khoảng cách eigenvalue lớn lớn nhì transition matrix chuỗi Markov đo tốc độ hội tụ đến equilibrium (mixing rate) eigenvector steady state distribution, vân vân Quay lại với “giả thiết mạnh” Có loại ma trận mà giả thiết đúng; nữa, ta tìm eigenvectors vng góc nhau, normal matrices Rất nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật cho ta normal matrices Các trường hợp đặc biệt thường thấy ma trận (thực) đối xứng ma trận Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức) Cịn ma trận khơng thỏa mãn “giả thiết mạnh” này, nghĩa khơng diagonalizable, làm với chúng? Ta tìm cách làm cho chúng “gần” với ma trận đường chéo cách viết chúng thành dạng chuẩn Jordan Đề tài nằm phạm vi viết Loại động (motivation) thứ hai Trong nhiều ứng dụng, ta “được” làm việc với ma trận đối xứng: có đủ eigenvectors, diagonalizable thiết kế thuật tốn hiệu cho tốn tương ứng Khơng đối xứng, chúng cịn có thuộc tính mạnh gọi positive (semi) definite, nghĩa eigenvalues không âm Ví dụ 1: tốn least squares có ứng dụng khắp nơi (linear regression statistics chẳng hạn) dẫn đến ma trận symmetric positive (semi) definite Ví dụ 2: toán xác định xem một điểm tới hạn hàm đa biến có phải điểm cực tiểu hay không tương đương với xác định xem ma trận đối xứng Hessian đạo hàm bậc hai điểm positive definite Ví dụ 3: ma trận covariance random vector (hoặc tập hợp nhiều sample vectors) positive (semi) definite Nếu A ma trận symmetric positive definite ta hiểu eigenvectors eigenvalues theo cách khác Bất phương trình c số dương bất phương trình bậc với n biến (các tọa độ vector x) Nghiệm điểm nằm hình e-líp khơng gian n chiều (Ellipsoid) mà n trục ellipsoid hướng eigenvectors A, chiều dài trục tỉ lệ nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch đảo của eigenvalue) Đây trực quan hình học phổ biến thứ hai eigenvectors eigenvalues 22 Trong trường hợp Principal Component Analysis (PCA) có bạn hỏi phần bình luận tư trừu tượng, ta hiểu nơm na xuất eigenvectors/values sau Giả sử ta có đống sample vectors (data points) không gian n chiều Các tọa độ exponentially distributed (Gaussian noise chẳng hạn) Thì đa số vectors tập trung ellipsoid định nghĩa covariance matrix (positive semi-definite) Trục dài ellipsoid trục có variance cao nhất, nghĩa SNR cao Trục cho ta hướng biến thiên quan trọng data PCA lấy trục ellipsoid làm hệ sở, sau lấy k trục dài làm principal components để biểu diễn data (Dĩ nhiên, ta phải shift mean gốc tọa độ trước đổi hệ sở.) Ngô Quang Hưng | Đề tài: Toán Ứng Dụng | | 23 In Solution to Difference Equation < Contents | Previous | Next > A solution of a difference equation is an expression (or formula) that make the difference equation true for all values of the integer variable k The na of a difference equation allows the solution to be calculated recursively It easier to see the solution of the difference equation through algebraic equation Example: We have difference equation with initial value Then we can determine set the k = 0: initial value k = 1: k = 2: k = 3: k = 4: … k = n: However, the series has a closed-form of 24 Thus the solution of the difference equation is See: Numerical Example 25 with initial va ... đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số un đợc xác định theo công thøc sau un+ − 2.un +1 + un = 17 cã thÓ cho u0 = 1, u1 = vận dụng thuật toán xác định đợc công thức tổng quát dÃy số xn =... đặc trng dÃy số có quy luật Chẳng hạn dÃy số un đợc xác định theo công thức sau un+ + 8.un+1 + 9.un = cã thÓ cho u0 = 2, u1 = Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Cho dÃy số xn xác định nh...Một số phơng pháp xác định công thức tổng quát dÃy số xây dựng toán dÃy số A Phơng trình sai phân tuyến tính cấp Phơng trình sai phân