dãy số và các vấn đề liên quan

1 S GIO DC V O TO QUNG BèNH. TRNG THPT CHUYấN QUNG BèNH Đề tài khoa học lớp 11 TON DY S V CC VN LIấN QUAN Giỏo viờn hng dn: Nguyn Thanh Hu Hc sinh thc hin: Vừ Khc Hựng - Hong Cụng Thng Đồng Hới, ngày 20 tháng 4 năm 2013 2 A. PHẦN MỞ ĐẦU. Dãy số là một phần của Đại số cũng như giải tích toán học. Dãy số đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trong đời sống. Trong các kì thi cấp tỉnh, học sinh giỏi QG hay IMO thì các bài toán về dãy số xuất hiện khá nhiều và có độ khó nhất định đối với thí sinh bởi vì sự đa dạng của nó và để giải được thì chúng ta cần kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến hàm số, tính chất số học, hay là những thủ thuật biến đổi,… Những bài toán liên quan đến dãy số rất đa dạng. Nó không những rèn luyện tư duy, sự sáng tạo mà nó còn đem đến niềm đam mê và yêu thich toán học cho người học. Và để đem đến một nguồn tài liệu tham khảo cho các bạn. Bài viết “ Dãy số và các vấn đề liên quan” trình bày một phần nhỏ trong lĩnh vực dãy số. Bài viết được chia làm 4 phần. - Các kiến thức cơ bản về dãy số. - Công thức tổng quát dãy số. - Dãy số và bất đằng thức. - Dãy số với số học. Trong quá trình viết không thể tránh khỏi sai sót. Mong quý thầy cô góp ý thêm đê bài viết được hoàn thiện hơn, trở thành một tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc. 3 B. NỘI DUNG. I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các khái niệm cơ bản về dãy số: 1. Định nghĩa. Dãy số là một hàm số từ S vào R, trong đó: S = { 1, 2, 3, …, n } đối với dãy số hữu hạn, hoặc S = N đối với dãy số vô hạn bắt đầu từ chỉ số 0 - Dãy được gọi là vô hạn nếu chúng có vô hạn phần tử. - Dãy được gọi là hữu hạn nếu số phần tử của dãy là hữu hạn. 2. Dãy 1 2 3 u ,u ,u được gọi là: - Dãy đơn điệu tăng nếu n 1 n u u + > , vói mọi n = 1, 2, … - Dãy đơn điệu không giảm nếu n 1 n u u + ³ , với mọi n = 1, 2, … - Dãy đơn điệu giảm nếu n 1 n u u + < , với mọi n = 1, 2, … - Dãy đơn điệu không tăng nếu n 1 n u u + £ , với mọi n = 1, 2,… 3. Dãy 1 2 3 u ,u ,u , được gọi là : - Dãy bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho n u M £ với mọi n = 1,2,3… - Dãy bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho n u m ³ với mọi n = 1,2,3, - Dãy bị chặn là dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. 4. Dãy 1 2 3 u ,u ,u , được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên dương 0 N sao cho n u C = với mọi 0 n N ³ . 5. Dãy 1 2 3 u ,u ,u , được gọi là dãy tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương N, số nguyên dương k sao cho với mọi p = 1, 2, 3, …, ta có: n k 1 kp n n kp n 1 n 1 kp n k 1 u u u u u u + - + + + + + + - = = ì ï = ï ï í ï ï ï î Số k được gọi là chu kì của dãy tuần hoàn. 2. Cách xác định một dãy số. 4 a) Dãy số cho bởi cách liệt kê các phần tử. Ví dụ: Xét dãy các số nguyên tố nhỏ hơn 20: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19. b) Dãy được cho bởi công thức tổng quát. Ví dụ: dãy số { } n u xác định bởi n 2n 1 u = - với mọi n = 1, 2, 3, … chính là dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, … c) Dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi. Ví dụ: cho dãy { } n u được xác định như sau: 1 2 n 1 n n u 1 u 5u 1 24u , n 1,2,3, + = ì ï í = + + " = ï î d) Dãy số xác định theo cách miêu tả. Ví dụ: Cho các số tự nhiên k và n. Lập hai dãy số { } { } j j u , v (j 1,2,3, ,n) = như sau: chia k cho n được thương là 1 u và được thương là 1 v . Bược thứ j (j = 1, 2, 3, …, n) xác định j u và j v như sau: chia k + j 1 v - cho n được thương là j u và phần dư là j v . Với dãy này ta có: 1 1 1 2 2 n 1 n n k nu v ; k v nu v ; k v nu v ; - = + + = + + = + 5 I. CễNG THC TNG QUT: 1.S dng cp sụ v sai phõn tỡm cụng thc tng quỏt ca dóy s. Dng 1: Dóy n 1 n u a.u b + = + cú s hng tng quỏt l: n 1 n 1 n 1 n 1 a 1 u a u b. (*) khi a 1 a 1 u u (n 1)b khi a 1 - - ộ - = + ạ ờ - ờ = + - =ờ ở Chng minh: - Nu a=1 ị {u n } l mt cp s cng ị u n =u 1 +(n-1)b - Nu a ạ 1: vi n=1 (*) ỳng. Gi s (*) ỳng vi n = k hay k 1 k 1 k 1 a 1 u a u b. a 1 - - - = + - Ta s chng minh (*) ỳng vi n = k+1 Tht vy : n 1 k n 1 k k 1 k n 1 1 a 1 a 1 u a.u b a u a u b. b a u b. ( pcm) a 1 a 1 - - + ổ ử - - = + = = + + = + ỗ ữ ỗ ữ - - ố ứ Vy theo gi thit quy np (*) ỳng * n N " ẻ Vớ d 1: Xỏc nh CTTQ ca dóy {u n } c xỏc inh: 1 n 1 n u 3 u 4u 6 + = ỡ ớ = + ợ Bi Gii n 1 n u 4u 6 + = + ( ) n 1 n u 2 4 u 2 + + = + - t n n v u 2 = + 1 n 1 n 1 n 1 v 5 v 4 .v 4 .5 - - = ỡ ù ị ớ = = ù ợ n 1 n u 5.4 2 - ị = - Dng 2: Dóy {u n } xỏc nh bi: 1 0 n n 1 u x u a.u f(n) - = ỡ ớ = + ợ , Trong ú f(n) l mt a thc bc k theo n, a l hng s. 6 - Phân tích f(n)=g(n)-a.g(n-1) với g(n) là một đa thức bậc k theo n. Khi đó: ( ) ( ) n 1 n 1 u u g 1 .a g n . - = - + é ù ë û Ví dụ 2: Xác định CTTQ của dãy số {u n } được xác định: î í ì +-= = - 632 5 1 1 nuu u nn Bài giải n n 1 n n 1 u 2u 3n 6 u 3n 2[u 3(n 1)] - - = - + Û - = - - n 1 n 1 n n 1 n n u 3n 2 (u 3.1) 2 (5 3) 2 u 2 3n - - Û - = - = - = Û = - Dạng 3: Dãy {u n }: 1 n n n 1 u u a.u b. n 2 - ì ï í = + a " ³ ï î Bài giải - Nếu n n 1 n 1 a u b(n 1) u . - = a = - a + a . - Nếu a ¹ α, ta phân tích n n n 1 k.a – ak.a - a = . Khi đó: ( ) n 1 n n 1 u a u bk bk. - = - + a Ta được k a a = a - Ví dụ 3: Tìm CTTQ của dãy {u n }: 1 n n n n 1 u 2 u 5u 2.3 6.7 12 - = ì ï í = + - + ï î Bài giải Ta có: ( ) n n n 1 n 1 n n 1 u 3.3 21.7 3 5 u 3.3 21.7 3 - - - + + + = + + + Đặt: n n n n v u 3.3 21.7 3 = + + + Ta được: 1 n 1 n 1 v 161 v v .5 - = ì ï í = ï î Þ n 1 n 1 n n 1 u 161.5 – 3 – 3.7 – 3 + + - = Dạng 4: Để xác định CTTQ của dãy {u n }: 1 2 n n 1 n 2 u ; u u a.u b.u 0 n 3 - - ì í - + = " ³ î , trong đó a,b 0 ¹ ; 2 a 4b 0 - ³ . 7 Bài giải - Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình đặc trưng: x 2 – ax+b = 0. - Nếu 1 2 x x ¹ thì n 2 n 1 n u k.x l.x = + , trong đó k,l là nghiệm củahệ: 1 1 2 1 k l u x .k x .l u + = ì í + = î - Nếu x 1 =x 2 =α thì ( ) n 1 n u kn l - = + a , trong đó k, l là nghiệm của hệ: 1 2 l .u k l u = a ì í + = î Ví dụ 4: Xác định CTTQ của dãy {u n }: 1 2 n n 1 n 2 u 1; u 3 u 4u 4u 0 - - = = ì í - + = î Bài giải - Phương trình đặc trưng: x 2 – 4x + 4 =0 có nghiệm kép x=2 nên l 2.1 l 2 k l 3 k 1 = = ì ì Û í í + = = î î n 1 n u (kn l).2 - Þ = + Vậy : ( ) n 1 n u n 2 .2 - = + Ví dụ 5: Xác định CTTQ của dãy {u n }: 1 2 2 n n 1 n 2 u 1; u 3 u 5u 6u 2n 2n 1 - - = - = ì ï í - + = + + ï î Bài giải 2 2 2 2 2n 2n 1 (kn ln m) 5[k(n 1) l(n 1) m] 6[k(n 2) l(n 2) m] + + = + + - - + - + + - + - + Thay n=1, n=2, n=3 vào phương trình ta đượchệ: 7k 5l 2m 5 k 1 k 3l 2m 13 l 8 5k l 2m 25 m 19 - + = = ì ì ï ï - - + = Û = í í ï ï - - + = = î î Đặt 2 n n 1 2 n n 1 n 2 v u – n 8n – 19v 29; v 36 và v – 5v 6v 0 - - = - = - = - + = Þ n n n v .3 .2 = a + b với 29 22 3 2 36 51 a + b = - a = ì ì Û í í a + b = - b = - î î 8 n n n n 2 n n v 22.3 51.2 u 22.3 51.2 n 8n 19 ị = - ị = - + + + Vớ d 6: Tỡm { } n u tho món iu kin sau: 0 1 n 2 n 1 n u 1,u 16 u 8u 16u + + = = ỡ ớ = - ợ (1) Gii: Phng trỡnh c trng 2 8 16 0 l l - + = cú nghim kộp 4 l = Ta cú ( ) . .4 n n u A B n = + (2) Cho n=0 , n=1 thay vo (2) ta thu c h phng trỡnh ( ) 0 1 1 1 3 1 .4 16 u A A B u B = = ỡ = ỡ ù ớ ớ = = + = ù ợ ợ Vy : ( ) 1 3 .4 n n u n= + Vớ d 7: Tỡm { } n u tho món iu kin 1 2 n 1 n n 1 u 1,u 0. u 2u u n 1 n 2 + - = = ỡ ù ớ - + = + " ù ợ (1) Bi gii Phng trỡnh c trng 2 2 1 0 l l - + = cú nghim kộp 1 l = Ta cú 0 * n n n u u u = + trong ú ( ) ( ) 0 * 2 . .1 , . n n n u A B n A Bn u n a n b = + = + = + Thay * n u vo phng trỡnh (1) , ta c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 . 1 1 1 n a n b n a n b n a n b n + + + - + + - - + = + ộ ự ộ ự ở ỷ ở ỷ Cho n=1 , n=2 ta thu c h phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 2 2 6 1 9 3 8 2 3 2 a a b a b a b a b a b b ỡ = ù + - + = ỡ ù ù ớ ớ + - + + + = ù ù ợ = ù ợ Vy * 2 1 6 2 n n u n ổ ử = + ỗ ữ ố ứ 9 Do đó 0 * 2 1 6 2 n n n n u u u A Bn n æ ö = + = + + + ç ÷ è ø Mặt khác 1 1 1 4 6 2 11 1 1 2 4 0 3 3 2 A B A B A B ì + + + = = ì ï ï ï Û í í - =æ ö ï ï + + + = î ç ÷ ï è ø î Vậy: 2 11 1 4 3 6 2 n n u n n æ ö = - + + ç ÷ è ø Ví dụ 8: Tìm CTTQ của dãy { } n u : 1 n 1 n n 1 u 1 2u u n 2 3u 4 - - = ì ï í = " ³ ï + î Giải: Ta có: n 1 n n 1 n 1 1 3u 4 3 2 u 2u 2 u - - - + = = + . Đặt n n 1 v u = , ta có: n 11 n n n 1 n n 1 v 1 5.2 3 2 v u 3 2 v 2.v 5.2 3 2 - - - = ì - ï Þ = Þ = í = + - ï î Dạng 5: Xác đinh CTTQ của dãy số{u n }: 1 2 3 n n 1 n 2 n 3 u ,u ,u u a.u b.u c.u 0 n 3 - - - ì í + + + = " ³ î Bài giải - Ta xét Pt: x 3 +ax 2 +bx+c=0 (1) - Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 ,x 3 Þ nnn n xxxu 321 gba ++= . Thay u 1 , u 2 , u 3 vào ta được ; ; a b g . - Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiện kép: n n 1 2 3 n 1 3 x x x u ( n)x .x = ¹ Þ = a + b + g 10 Thay u 1 , u 2 , u 3 vào ta được ; ; a b g . - Nếu (1) có nghiệm bội 3: 2 n 1 2 3 n 1 x x x u ( n n )x = = Þ = a + b + g Thay u 1 , u 2 , u 3 vào ta được ; ; a b g . Ví dụ 9: Tìm CTTQ của dãy số {u n }: 1 2 3 n n 1 n 2 n 3 u 0,u 1,u 3 u 7u 11u 5u , n 4 - - - = = = ì í = - + " ³ î Bài giải - Xét phương trình đặc trưng 3 2 x 7x 11x 5 0 - + - = - Phương trình có ba nghiệm thực: x 1 =x 2 =1, x 3 =5 n n n u ( n ).1 .5 Þ = a + b + g . Với n=1, n=2, n=3 ta được: 1 3 1 , , 16 4 16 - a = b = g = Vậy: n n 1 3n 5 u 16 4 16 = - + + Ví dụ 10: Xác định CTTQ của dãy số{u n }: 1 n 1 n n 1 u 2 9.u 24 u (*) n 2. 5u 13 - - = ì ï - - í = " ³ ï + î Bài giải - Đặt u n =x n +t, thay vào (*) ta có: 2 n 1 n 1 n n 1 n 1 9.x 9t 24 ( 9 5t).x 5t 22t 24 x t 5x 5t 13 5x 5t 13 - - - - - - - - - - - - = - = + + + + Chọn t là nghiệm cảu phương trình: 2 1 5t 22t 24 0t 2x 4 + + = = - = n 1 n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n n n 1 x 1 3 1 5 1 5 1 11.3 10 x 5 3 5x 3 x x x 2 x 2 x 4 4 x 11.3 10 - - - - - - æ ö - Þ = Þ = + Þ + = + Þ = ç ÷ + è ø Þ = - n 1 n n n 1 22.3 24 u x 2 11.3 10 - - - + Þ = - = - 2.Sử dụng công thức lượng giác để tìm công thức tổng quát của dãy số. Dạng 6: Xác định CTTQ cảu dãy {u n } : . tham khảo cho các bạn. Bài viết “ Dãy số và các vấn đề liên quan trình bày một phần nhỏ trong lĩnh vực dãy số. Bài viết được chia làm 4 phần. - Các kiến thức cơ bản về dãy số. - Công thức. = = ì ï = ï ï í ï ï ï î Số k được gọi là chu kì của dãy tuần hoàn. 2. Cách xác định một dãy số. 4 a) Dãy số cho bởi cách liệt kê các phần tử. Ví dụ: Xét dãy các số nguyên tố nhỏ hơn 20:. I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các khái niệm cơ bản về dãy số: 1. Định nghĩa. Dãy số là một hàm số từ S vào R, trong đó: S = { 1, 2, 3, …, n } đối với dãy số hữu hạn, hoặc S = N đối với dãy