CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I. Khảo sát hàm số: Không trình bày II. Các bài toán liên quan: Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Phương pháp: Giả sử biện luận số nghiệm phương trình F(x; m) = 0. Trong đó có đồ thị (C) của hàm số f = f(x). + Biến đổi phương trình về dạng : f(x) = g(m). (1) + (1) là phương trình hoành độ giao điểm của ( ) (C) ( ) (d) y f x y g m = = + Số nghiệm (1) là số giao điểm của d và (C). Dựa vào đồ thị biện luận. Câu 1: Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= + − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 3 2 2 3 1x x m+ − = Câu 2: Cho hàm số 3 2 3y x x= − + có dồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm: 3 2 3 1 0x x m− + + − = Câu 3: Cho hàm số 3 2 2 9 12 4y x x x= − + − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị b. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình 3 2 2 9 12 0x x x m− + + = có 3 nghiệm phân biệt. Câu 4: Cho hàm số 4 2 2 1y x x= − − có đồ thị (C). a. . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 4 2 2 1 0x x m− − − = Câu 5: Cho hàm số 4 2 2 3y x x= − + + có đồ thị (C). a. . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dựa vào đồ thị, tìm m để phương 4 2 2 0x x m− + = có 4 nghiệm phân biệt. Bài toán 2: Tiếp tuyến của đường cong: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C). Dạng 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm ( ) 0 0 0 ; ( )M x y C∈ - Tính đạo hàm và tính 0 '( )f x - Phương trình tiếp tuyến có dạng: ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y= − + Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k − Giải phương trình: ( ) 'f x k= , tìm nghiệm 0 0 x y⇒ - Phương trình tiếp tuyến dạng: ( ) 0 0 y k x x y= − + . Chú ý: Cho đường thẳng : 0Ax By C∆ + + = , khi đó: − Nếu ( ) // :d d y ax b∆ ⇒ = + ⇒ hệ số góc k = a. Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán − Nếu ( ) :d d y ax b⊥ ∆ ⇒ = + ⇒ hệ số góc 1 k a = − . Dạng 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm ( ) ( ) ; A A A x y C∉ . - Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( ) ( ) : A A d y k x x y= − + - Điều kiện tiếp xúc của ( ) ( ) à d v C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: ( ) ( ) ( ) ' A A f x k x x y f x k = − + = Chú ý: Cần phân biệt hai khái niệm đi qua một điểm và tại một điểm khi viết phương trình tiếp tuyến. Bài 1: Cho hàm số 4 2 2y x x= − a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): - Tại điểm có hoành độ 2x = . - Tại điểm có tung độ y = 3. - Tiếp tuyến song song với đường thẳng: 1 : 24 2009d x y− + . - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 2 : 24 2009d x y+ + . Bài 2: Cho hàm số 3 2 3 2y x x= − + a. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5y – 3x + 4 = 0 b. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua B (1; 0) Bài 3: Cho hàm số 3 2 3 2y x x= − + có đồ thị (C). a. Tìm những điểm trên trục hoành từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị (C). b. Tìm những điểm trên đường thẳng y = -2 từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc tới (C). Câu 4: Cho hàm số 3 2 2 3 12 1y x x x= + − − . Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ. Câu 5: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 1 có đồ thị (C m ). Tìm m để (C m ) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau. Câu 6: Cho hàm số (C) xxxfy 3)( 3 −== CMR đường thẳng (d m ) y=m(x+1) + 2 luôn cắt (C ) tại điểm A cố định Tìm m để (d m ) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau. Câu 7: Cho hàm số (C) 593)( 23 +−+== xxxxfy Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất . Câu 8: Cho (C) )1(1)( 3 +−+== xkxxfy , Viết phương trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy. Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8. Câu 9: Cho (C m ) 122)( 24 +−+−== mmxxxfy Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc với nhau. Câu 10: a. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(2;0) đến 6 3 −−= xxy . Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán b. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua −1; 3 2 A đến 13 3 +−= xxy . Câu 11: ồ thị (Cm) mx mxm y + −+ = )13( Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với Ox song song với y= - x-5. Câu 12: Cho đồ thị (C) 45 32 − − = x x y Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (d) y= -2x. Câu 13: Cho hàm số (C) 2 2 − + = x x y Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5) đến đồ thị (C. Câu 14: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) 1+ = x x y đi qua giao điểm I của 2 đường thẳng tiệm cận. Câu 15: Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị (C) 2− + = x mx y sao cho tam giác ABC đều (ở đây B,C là 2 tiếp điểm). Câu 16: Cho hàm số 3x 1 y x 1 + = + .Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ( ) M 2;5− . Câu 17: Cho hàm số 2x 1 y x 1 − = − .Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông góc với IM. Câu 18: Cho hàm số ( ) 3 2 y x 3mx m 1 x 1= + + + + ( m là tham số ). Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1− đi qua ( ) A 1;2 . Câu 19: Cho hàm số 4 2 y x mx m 1= + − − ( m là tham số ). Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y 2x= , với A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị Câu 20: Cho hàm số ( ) 3 y x 1 m x 1= + − + ( m là tham số ).Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S = 8. Các bài toán tiếp tuyến trong các đề thi Đại học – Cao đẳng: Câu 1: Gọi (C m ) là đồ thị của hàm số: 3 2 1 1 3 2 3 m y x x= − = (*) (m là tham số). Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại M song song với đường thẳng 5 0x y− = ( D – 2005) Câu 2: Cho hàm số y = 4x 3 – 6x 2 + 1 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9). (B – 2008). Câu 3: Cho hàm số 2 2 3 x y x + = + (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục tung, trục hoành tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O. (D – 2009) Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán Câu 4: Cho hàm số 2 3 1 3 y x 2x 3x= − + . Viết phương trình tiếp tuyến ( ) ∆ với đồ thị tại điểm uốn, và chứng minh rằng ( ) ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. (B – 2004) Câu 5: Cho hàm số 2x y x 1 = + .Tìm M thuộc đồ thị, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt Ox, Oy tại A và B và ΔOAB có 1 S 4 = . (D – 2007) Câu 6: Cho hàm số y= 1 4 x 4 -2x 2 - 9 4 .Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các giao điểm của nó với trục ox. ( 1999) Bài toán 3: Sự tương giao giữa hai đồ thị Cho hai đồ thị hàm số 1 ( ) : ( )C y f x= và 2 ( ): ( )C y g x= - Số giao điểm của 1 ( )C và 2 ( )C chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x). (1) + (1) vô nghiệm 1 ( )C⇔ và 2 ( )C không có điểm chung. +(1) có n nghiệm 1 ( )C⇔ và 2 ( )C có n điểm chung +(1) có nghiệm đơn 0 x 1 ( )C⇔ cắt 2 ( )C tại 0 0 0 ( ; )M x y +(1) nghiệm kép 0 x 1 ( )C⇔ tiếp xúc 2 ( )C tại 0 0 0 ( ; )M x y . - Điều kiện tiếp xúc: 1 ( )C tiếp xúc 2 ( )C ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x = ⇔ = có nghiệm. Câu 1: Tìm m để các hàm số sau: a. 2 ( 1)( )y x x mx m= − + + cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. b. 4 2 2( 1) 2 1y x m x m= − + + + không cắt trục hoành. c. 4 2 2 3y x x m= − − − cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Câu 2 Cho hàm số 2 ( 1)( )y x x mx m= − + + (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Câu 3 Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= − − (C). Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;- 1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Câu 4: Cho hàm số 23 3 +−= xxy (C)Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Câu 5 : Cho hàm số 4 2 1y x mx m= − + − (1)Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Câu 6: Cho hàm số 2 ( 1)( )y x x mx m= − + + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành. Xác định tọa độ tiếp điểm trong mỗi trường hợp tìm được Câu 7: Cho hàm số 2 ( ) (4 )( 1)y f x x x= = − − (C). Gọi I là giao điểm của (C) với 0y, d là đường thẳng qua I có hệ số góc m. Định m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Câu 8: Cho 4 3 2 ( 1) .y x x m x x m= + + − − − Định m để (1) tiếp xúc 0x. Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán Câu 9: Cho hàm số ( 1) (m 0) m x m y x m − + = ≠ − . Chứng minh với mọi b thì đường thẳng : y x b∆ = + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Câu 10: Cho hàm số 3 2 3 4 (1)y x x= − + . Chứng minh mọi đường thẳng đi qua I(1; 2) với hệ số góc k (k > - 3) đều cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, B, I đồng thời I là trung điểm AB ( D – 2008). Câu 11: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2 2 (4 1) 4y mx m x m= − + + tiếp xúc với trục hoành. Câu 12: Cho hàm số 2 (2 1) (C ) 1 m m x m y x − − = − . Tìm m để ( ) m C tiếp xúc với đường thẳng y = x. Bài toán 4: Các bài toán về cực trị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). - Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 là hoành độ điểm cực trị. - Nếu 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x = < thì hàm số đặt cực đại tại 0 x x= . - Nếu 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x = > thì hàm số đặt cực tiểu tại 0 x x= . Các bài toán thường gặp về cực trị - Để y = f(x) có hai cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. - Để y = f(x) có ba cực trị ⇔ phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt. - Hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về hai phía trục hoành D . 0 C CT y y⇔ < . - Hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm về hai phía trục tung D . 0 C CT x x⇔ < . - Hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc trục hoành . 0 CD CT y y⇔ = Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: (ở đây ta chỉ xét đối với hàm bậc 3, còn hàm phân thức bậc 2 trên bậc nhất chúng ta không xét đến). Xét hàm số 3 2 axy bx cx d= + + + có 2 ' 3 2y ax bx c= + + . Lấy y chia y’ được thương q(x), số dư r(x). Vậy đường thẳng y = r(x) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Câu 1: Cho hàm số 3 2 ( 2) 3y m x x mx m= + + + + . Với giá trị nào của m, hàm số có cực đại và cực tiểu. Câu 2: Xác định m để hàm số 4 2 2y x mx= − + có ba cực trị. Câu 3: Cho hàm số 3 2 2 3y x x m x m= − + + . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5 2 2 y x= − . Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán Câu 4: Cho hàm số 4 2 4 2 2y x mx m m= − + + . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời lập thành tam giác đều. Câu 5: Cho hàm số 3 2 2 3 ( 2 3) 4y x mx m m x= − + + − + . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung. Câu 6: Cho hàm số 3 2 2 3( 3) 11 3y x m x m= + − + − . Tìm m để hàm số có hai cực trị. Gọi 1 2 ,M M là các điểm cực trị. Tìm m để 1 2 ,M M và B(0; -1) thẳng hàng. Câu 7: Cho hàm số 3 2 4 3y x mx x m= − − + . Chứng minh rằng với mọi m, hàm số luôn có cực đại cực tiểu. Đồng thời chứng minh hoành độ cực đại và hoành độ cực tiếu luôn trái dấu. Câu 8: Cho hàm số 3 2 3 3 1 2 2 y x mx m= − + . Xác định m để hàm số các điểm cực đạ, cực tiểu đối xứng nhau qua đường y = x. Câu 9: Cho hàm số 3 2 1 1 3 y x mx x m= − − + + . Chứng minh với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu nhỏ nhất. Câu 10: Cho hàm số 3 2 3 3y x mx x m= − − + a. Chứng minh hàm số có cực trị với mọi m b. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Câu 11: Cho hàm số 3 2 2 12 13y x mx x= + − − . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại cực tiểu cách đều trục tung. Câu 12: Cho hàm số 3 2 2 3 2 3 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + − . Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Câu 13: Cho hàm số 3 2 2 3 3( 1) 3 1y x x m x m= − − + − − − . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ. Câu 14: Cho hàm số 4 3 2 8 3(1 2 ) 4y x mx m x= + + + − . Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. Câu 15: Cho hàm số 3 2 2 3 3 3( 1) 3y x mx m x m m= + + − + − . Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định. Bài toán 5: Bài toán về khoảng cách Các công thức về khoảng cách: - Khoảng cách giữa hai điểm: ( ) ( ) 2 2 B A B A AB x x y y= − + − - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax 0By C∆ + + = và điểm 0 0 0 ( ; )M x y . Khi đó 0 0 0 2 2 Ax ( ; ) By C d M A B + + ∆ = + Chú ý: Trục 0x có phương trình y = 0 Trục oy có phương trình x = 0. Gốc tọa độ O(0;0). Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán Câu 1: Tìm M trên đồ thị hàm số 2 2 x y x − = + sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. Câu 2: Tìm M trên đồ thị hàm số 2 3 x y x + = − sao cho khoảng cách từ M đến các tiệm cận đứng và ngang bằng nhau. Câu 3*: Cho (C): 4 2 2 3 2 1y x x x= − + + và đường thẳng : 2 1d y x= − . Tìm A trên (C) có khoảng cách đến d nhỏ nhất. Câu 4: Cho hàm số 2 (C) 1 x y x − = − . Tìm tất cả các điểm thuộc (C) cách đều O(0;0) và B(2; 2). Câu 5: Cho hàm số 3 2 2 ax 12 13y x x= + − − . Tìm a để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều trục tung. Câu 6: Cho hàm số 3 2 2 3 3( 1) 3 1y x x m x m= − − + − − − . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ. Bài toán 6: Các điểm cố định của họ đường cong Cho họ đường cong ( ) m C có phương trình y = f(x;m), trong đó m là tham số. Tìm tất cả các điểm có định của học đường cong ( ) m C , tức là tìm các điểm 0 0 0 ( ; )M x y sao cho với mọi m, ( ) m C đi qua 0 M . - Điều kiện để ( ) m C luôn đi qua 0 0 0 ( ; )M x y với mọi m là 0 0 ( ; ) (1)y f x m= - Viết (1) dưới dạng một phương trình bậc n đối với ẩn m. - (1) đúng khi tất cả các hệ số của m đều bằng 0. Từ đó ta tìm được 0 0 ;x y . Câu 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong 3 2 9 9y x mx x m= + − − Câu 2: Cho hàm số 3 2 3( 1) 3 2 (C ) m y x m x mx= − − − + . Chứng minh rằng ( ) m C luôn đi qua hai điểm cố định Bài toán 7: Tâm đối xứng – trục đối xứng Điểm Tài liệu ôn thi ĐH – CĐ môn Toán . CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I. Khảo sát hàm số: Không trình bày II. Các bài toán liên quan: Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình. m = = + Số nghiệm (1) là số giao điểm của d và (C). Dựa vào đồ thị biện luận. Câu 1: Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x= + − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm. + − − − . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số cách đều gốc tọa độ. Câu 14: Cho hàm số 4 3 2 8 3(1 2 ) 4y x mx m x= + + + − . Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không