SKKN phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Lĩnh vực: Toán học Cửa Lò – 4/2022 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CỬA LÕ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Lĩnh vực: Toán học Người viết: Nguyễn Xuân Hịa Tổ: Tốn -Tin Đơn vị cơng tác: Trường THPT Cửa Lò Cửa Lò – 4/2022 A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng toán liên quan tới nội dung sách giáo khoa mức độ mở đầu, Trong câu hỏi đề thi học sinh giỏi thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình tốn lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, nhận thấy dạng toán dãy số toán tìm số hạng tổng quát Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học Trong đa số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm gần đây, nội dung dãy số chiếm khoảng 15- 20% đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Với việc áp dụng sáng kiến thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số, hứng thú phân tích tìm lời giải bước đầu có kết khả quan định Đa số em tìm lời giải tốn tìm số hạng tổng quát mức độ mở rộng đơn giản Các phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác toán thực dễ với học sinh Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia thường xuất toán dãy số Để giải tốn dãy số địi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số, vấn đề quan tâm nhiều tính chất số học tính chất giải tích dãy số.Tính chất số học dãy số thể tính chia hết, tính nguyên, tính phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng quan trọng biết cách xác định cơng thức dãy số Vì chọn đề tài “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ” Nội dung chuyên đề chia làm bốn mục : I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ số dạng dãy số có dạng cơng thức truy hồi đặc biệt II: Sử dụng phương pháp lượng giác để xác định CTTQ dãy số III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ dãy số IV: Ứng dụng toán xác định CTTQ dãy số vào giải số toán dãy số - tổ hợp Một số kết chuyên đề có số sách tham khảo dãy số, nhiên chuyên đề kết xây dựng cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng phát triển tư cho em học sinh Đề tài hoàn thành trường THPT Cửa Lị Trong q trình thực đề tài nhận nhiều bảo thầy cô giáo trước bố cục, nội dung Nhân cho phép bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt thầy Nguyễn Tất Thu thầy tổ Tốn Tin trường THPT Cửa Lò Cuối nhiều nguyên nhân, đề tài hồn tồn khơng tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý chân thành thầy cô giáo độc giả để ngày hồn thiện q trình nghiên cứu khoa học viết đề tài B NỘI DUNG I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT Trong mục xây dựng phương pháp xác định CTTQ số dạng dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt Những phương pháp xây dựng dựa kết biết CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp Trước hết ta nhắc lại số kết biết CSN – CSC Số hạng tổng quát cấp số cộng cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số (un ) gọi cấp số cộng có số thực d cho với số nguyên n  ta có: un  un 1  d d : gọi công sai CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi số hạng tổng quát cấp số Định lí 1: Cho CSC (un ) Ta có : un  u1  (n  1)d (1) Định lí 2: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSC (un ) có cơng sai d Ta có: Sn  n [2u1  (n  1)d ] (2) 2: Số hạng tổng quát cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un 1  q.un n  * gọi cấp số nhân công bội q n 1 Định lí 3: Cho CSN (un ) có cơng bội q Ta có: un  u1q (3) Định lí 4: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSN (un ) có cơng bội q Ta có: Sn  u1 - qn -q (4) Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định u1  1, un  un 1  n  Giải: Ta thấy dãy (un ) CSC có công sai d  2 Áp dụng kết (1) ta có: un   2(n  1)  2n  Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định u1  3, un  2un 1 n  Giải: Ta thấy dãy (un ) CSN có cơng bội q  Ta có: un  3.2n 1 Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát dãy (un ) xác định bởi: u1  2, un  3un 1  n  Giải: Trong tốn gặp khó khăn dãy (un ) CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) khơng phải CSN xuất số 1 VT Ta tìm cách làm 1 chuyển dãy số CSN Để thực ý đồ ta đặt un  k.vn  l ; k, l số k  ( ta chọn k, l sau) Khi đó, ta có: k.vn  l  3k 1  3l    3vn 1  2l  k 2l  1   l  k nên ta chọn Ta chọn k, l : k k    l    vn  3vn 1   (vn ) :  Dễ thấy dãy (vn ) CSN với công bội q  v   1    v1.q n 1 n 1 5.3n 1   Suy ra: un      2 2 Ta thấy k bất kì, đặt ta chọn k  Tương tự cách làm ta có kết tổng quát sau: Dạng 1: Dãy số (un ) : u1  x 0, un  aun 1  b n  ( a,b  số) có CTTQ là: u1  (n  1)b a   un   a n 1  n 1 a  b u1.a a 1  Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ dãy (un ) xác định u1  2; un 1  2un  3n  Giải: Ở ví dụ sử dụng kết hệ số tự khơng phải số mà hàm bậc biến n Tuy nhiên bắt chước cách giải làm 3n  VP, ta đặt : un  k.vn  t.n  l ; k, t,l số k  Khi ta có: kvn 1  t(n  1)  l  2kvn  2tn  2l  3n   1  2vn  Ta chọn k, t,l cho: t  t  3 0    l  5 ,  k l  t   k   k  t3 l t 2 n  k k ta chọn k  v  10  (vn ) :    10.2n 1  5.2n vn  2vn 1 Vậy un   3n   5.2n  3n  Ta thấy cách giải không phụ thuộc vào k , nên đặt ta chọn k  u1  Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy (un ) un  un 1  2n  Giải: Với toán ta thực cách làm khơng dẫn đến kết quả, sau đặt ta có : 1   1t n  dẫn đến ta làm n k k Ta tìm lời giải khác cho tốn Ta viết cơng thức truy hồi dãy cho dạng sau un  un 1  2n  Từ ta có: un  (un  un 1 )  (un 1  un 2 )   (u2  u1 )  u1    2n   2(n  1)    2.2    n  n      n  2 n(n  1)  n   n  2n  Từ kết tìm được, ta thấy nguyên nhân mà cách làm ban đầu không cho ta kết CTTQ dãy số đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban đầu ta thấy CTTQ dãy đa thức bậc Từ phân tích ta giải toán theo cách khác sau: Đặt un   an  bn  c Khi đó, ta có:  an  bn  c  1  a(n  1)2  b(n  1)  c  2n    1  2(1  a )n  a  b  1  a  a   , c nên ta chọn c  Ta chọn  a  b   b  v  1   1     v1  1 Khi đó: (vn ) :  v v   n n 1 Vậy un   n  2n  n  2n  Vì c nên ta cần đặt un   an  bn   n(an  b) Dạng 2: Từ ví dụ cách giải thứ hai ví dụ ta rút cách tìm CTTQ u  x dãy (un ) xác định bởi:  , f (n ) đa thức ( ) u a u f n   n 1  n bậc k theo n ; a số Ta làm sau: * Nếu a  , ta đặt un   n.g(n) với g(n ) đa thức theo n bậc k , thay vào công thức truy hồi dãy ta chọn g(n ) : ng(n )  (n  1)g(n  1)  f (n ) ta có     dãy CSN với cơng bội q  từ ta tìm CTTQ dãy suy ta có CTTQ dãy (un ) * Nếu a  , ta đặt un   h(n) với h(n ) đa thức theo n bậc k Thay vào công thức truy hồi dãy ta chọn h(n ) : h(n )  ah(n  1)  f (n ) ta có dãy vn  CSN với công bội q  a   từ ta tìm CTTQ dãy Suy ta có CTTQ dãy (un )  u1  Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy n    ; 2, 3, u u n  n 1  n (un ) Giải: Với cách giải tương tự ví dụ ta đặt: un   a.2n Ta có:  a.2n  3(vn 1  a.2n 1 )  2n   3vn 1  2n (a  2) Ta chọn a  2   3vn 1  v1.3n 1  5.3n 1 Vậy un  5.3n 1  2n 1 Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un  a.un 1  b. n , ta đặt un  xn  y. n Khi , ta có: xn  y. n  a.xn 1  ay. n 1  b. n b  x n  a.x n 1  y(a   )  b   n 1 Do đó, a   , ta chọn y   a  xn  a.xn 1  xn  x1.a n 1 b n 1 b  un  (u1  )a   n  a  a Trường hợp   a  un  a.un 1  b.a n  un  (un  a.un 1 )  a(un 1  un 2 )   a n 2 (u2  au1 )  u1.a n 1  un  b(n  1)a n  u1a n 1 Vậy ta có kết sau  u1  p Dạng 3: Cho dãy (un ) :  Khi ta có: n      u a u b n  n 1  n  Nếu a    un  ab(n  1)  u1  a n 1 b n 1 b )a   n  Nếu a    un  (u1   a  a Chú ý : Trong trường hợp a   ta tìm CTTQ dãy (un ) sau: Đặt un  xn  y.n.a n Khi ta có: xn  y.n. n  a.xn 1  ay(n  1).a n 1  b.a n  xn  a.xn 1  (y  b).a n nên ta chọn y  b  x n  x1.a n 1  un  (u1  ab)a n 1  bn.a n  ab(n  1)  u1  a n 1  u1  2 Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ dãy (un ) :  n n 2.3 6.7 12 ; 2, 3,      u u n  n 1  n 10   x   sin(   )  | cos(   ) | 3  Nếu   Nếu        x  sin       x  sin(  2 ) Bằng quy nạp ta chứng minh được: sin   i ) Nếu     thì: x n    sin(   )     2 ) sin(    ii ) Nếu      thì: x n   sin(    )  n  2k  n  2k n  2k  k  n  2k   sin   0      0   1) Dãy gồm toàn số dương       sin                Vậy  x1  điều kiện cần phải tìm 2) Dựa vào kết ta có:     Nếu sin   sin         x1  Khi từ (1) ta có 3  x1  x   xn   (xn ) dãy tuần hoàn    x1   Nếu  dãy số có dạng x1, x2 , x1, x2 , x    Nếu 1  x1   dãy số có dạng x1, x 2, x 3, x 2, x 48 Ví dụ 4.11: Tính tổng Sn      2n  , với n số tự nhiên n  Giải: Ta có: S1  Sn  Sn 1  2n  Áp dụng nhận xét (1), ta đặt : Sn  xn  n(an  b) , thay vào (1), ta được: xn  xn 1  n(an  b)  (n  1) a(n  1)  b   2n   xn  xn 1  2an  b  a  2n   ta chọn a  1;b   xn  xn 1   x1   Sn  n Ví dụ 4.12: Tính tổng Sn  12  22  32   n với n số tự nhiên n  Giải: Ta có S1  Sn  Sn 1  n (2) Sử dụng nhận xét 1, ta đặt Sn  xn  n(an  bn  c) Thay vào (2) ta được: xn  xn 1  n(an  bn  c)  (n  1) a(n  1)2  b(n  1)  c   n    xn  xn 1  3an  (3a  2b)n  a  b  c  n  a  3a     Ta chọn a, b, c : 3a  2b   b  a  b  c    c   1 1  n(2n  1)(n  1)  xn  xn 1   x1   Sn  n  n  n    6   Ví dụ 4.13: Tính tổng Sn  1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2) n  Giải: Ta có: S1  Sn  Sn 1  n(n  1)(n  2) n  49 Do n(n  1)(n  2)  1 (n  1)4  n   (n  1)3  n    2  4 1  (n  1)2  n   (n  1)  n   4 Đặt f (n )  1 1 (n  1)4  (n  1)3  (n  1)2  (n  1) 4  Sn  f (n)  Sn 1  f (n  1)   S1  f (1)   Sn  f (n )  n(n  1)(n  1)(n  3) Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, khơng có ba đường đồng quy đơi khơng cắt Hỏi n đường thẳng chia mặt phẳng thành miền ? Giải: Gọi an số miền n đường thẳng tạo thành Ta có: a1  Ta xét đường thẳng thứ n  (ta gọi d ), d cắt n đường thẳng cho n điểm bị n đường thẳng chia thành n  phần đồng thời phần thuộc miền an Mặt khác với đoạn nằm miền an chia miền thành miền, nên số miền có thêm n  Do vậy, ta có: an 1  an  n  Từ ta có: an   n(n  1) Chú ý : Với giả thiết ví dụ thay yêu cầu tính số miên tính số đa giác tạo thành ta tìm được: an  (n  2)(n  1) Ví dụ 4.15: Trong khơng gian cho n mặt phẳng, ba mặt phẳng cắt khơng có bốn mặt phẳng qua qua điểm Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền ? 50 Giải: Gọi bn số miền n mặt phẳng tạo thành Xét mặt phẳng thứ n  (ta gọi (P ) ) Khi (P ) chia n mặt phẳng ban đầu theo n giao tuyến n giao tuyến chia (P ) thành  n(n  1) miền, miền nằm miền bn chia miền làm hai phần Vậy bn 1 n2  n   bn  (n  1)(n  n  6) Từ đó, ta có: bn  Ví dụ 4.16: Trong thi đấu thể thao có m huy chương, phát n ngày thi đấu Ngày thứ nhất, người ta phất huy chương lại Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương số huy chương số huy chương lại Những ngày lại tiếp tục tương tự Ngày sau lại n huy chương để phát Hỏi có tất huy chương phát ngày? (IMO 1967) Giải: Gọi ak số huy chương lại trước ngày thứ k  a1  m , ta có: k 1 ak 1 6 6k  ak   ak    7 7 n 1 6  an  n    7 (m  36)  6k  42 n 1 7 (m  36)  6n  42  m  36  7(n  6)   6 51   Vì 6,  6n 1  n  nên ta có n    n   m  36 Vậy có 36 huy chương phát phát ngày Ví dụ 4.17: Có xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit đứng cạnh nhau? Giải: Gọi cn số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu Ta có c1  ; c2  Xét xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu có dạng anan 1an 2 a2a1 Có hai trường hợp  an  Khi an 1  an 2 a2a1 chọn xâu độ dài n  thỏa điều kiện Có cn 2 xâu vậy, suy trường hợp có cn 2 xâu  an  Khi an 1 a2a1 chọn xâu độ dài n  thỏa điều kiện Có cn 1 xâu vậy, suy trường hợp có cn 1 xâu Vậy tổng cộng xây dựng cn 1  cn 2 xâu, hay cn  cn 1  cn 2 n 1  cn   1       n 1  1        Ví dụ 4.18: Cho số nguyên dương n Tìm tất tập A tập  X  1,2, 3, ,2n  cho không tồn hai phần tử x, y  A thỏa mãn: x  y  2n  (Thụy Sỹ 2006) Giải: Để giải toán ta đếm số tập A X thỏa mãn tôn hai phần tử x, y  A cho x  y  2n  (ta gọi tập A có tính chất T )   Gọi an số tập A tập 1,2, ,2n có tính chất T 52   Khi tập A  1,2, ,2n,2n  1,2n  xảy hai trường hợp TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 2n  , trường hợp số tập A có   tính chất T chình số tập tập gồm 2n phần tử 2, 3, 4, ,2n,2n  số tập tập 22n TH2: Trong tập A không chứa đầy đủ hai phần tử 2n  Khi A phải chứa tập A ' tập tập 2, 3, 4, ,2n,2n  1 cho có hai phần tử x ', y '  A ' : x ' y '  2n  Ta thấy số tập A ' số tập tập   {1,2, ,2n} có tính chất T (Vì ta trừ phần tử 2, 3, 4, ,2n,2n  đơn vị ta tập {1,2, ,2n} x ', y '  A ' : x ' y '  2n  1) Hơn với tập A ' ta có ba tập A (bằng cách ta chọn A A ' {1}  A ' {2n  2}  A ' ) Do vậy: an 1  3an  22n  an  4n  3n Vậy số tập thỏa mãn yêu cầu toán là: 4n  an  3n Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ dãy số sau 1) u1  1; u2  0, un 1  2un  un 1  n  1, n  2) u1  0; u2  0, un 1  2un  un 1  3.2n , n  3) u1  0; u2  0, un 1  2un  3un 1  n  2n , n  4) u1  0, u2  1, u3  3, un  7un 1  11.un 2  5.un  , n  53  u1  5)  u  24u  12 6u  15u  n  n 1 n 1 n 1  n  u1   6)  un 1   u  n   n  (  2)u  n 1   Bài 2: Cho dãy số bn b  2.b  bn  n 1 xác định :  n b1  1, b2  n N n   n 5 Chứng minh bn    , n  N 2   Bài 3: Cho dãy số un u  Z  ,   N  n thoả mãn sau : u0  1, u1  u  10.u  un  n  N , n  n 1  n Chứng minh : k  N , k  1) uk2  uk21  10uk uk 1  8 2) 5.uk  uk 1 3.uk2  x  1; x1  Bài 4: Cho dãy số x n xác định sau:  x x x n      n 1 n 2  n Xác định số tự nhiên n cho : xn 1  xn  22685 x  1; x1  Bài 5: Cho dãy (xn ) xác định  x x x n     n n 1  n 1 Tìm lim xn  2x  n (TH&TT T7/253) 54    (1  a )2 n    n  an 1   2       Chứng minh rằng: a1  a2   a2005  1, 03 (TH&TT T10/335) Bài 6: Xét dãy (an ) : a1  Bài 7: Cho dãy (an ) : a  2;an 1  4an  15an2  60 n  Hãy xác định CTTQ (a  8) biểu diễn thành tổng bình phương 2n ba số nguyên liên tiếp với n  (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy số p(n ) xác định sau: p(1)  1; an chứng minh số   p(n )  p(1)  2p(2)   (n  1)p(n  1) T7/244) n  Xác định p(n ) (TH&TT 55 V THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 5.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi đề tài hiệu biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ giải dạng tốn tìm số hạng tổng qt dãy số áp dụng tìm số hạng tổng quát vào giải toán liên quan dãy số; kiểm nghiệm tính đắn giả thuyết khoa học 5.2 Tổ chức nội dung thực nghiệm 5.2.1 Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Cửa Lò, Thị Xã Cửa LòNghệ An - Lớp thực nghiệm 11A1.1 - Lớp đối chứng 11A1.2 Hai lớp có mặt kiến thức tương đồng 5.2.2 Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành sau học chương dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra dạng tự luận Sau nội dung đề kiểm tra Đề kiểm tra (thời gian 60 phút) u  Câu 1: Cho dãy số (un ) xác định sau:  un 1  un  3n  Tìm công thức số hạng tổng quát  u1  Câu 2: Cho dãy số (un ) xác định sau:  với n  n u ( 1)  n u   n 3n Tìm cơng thức số hạng tổng quát 56 u1  u2   Câu 3: Cho dãy (un ) :  Tìm un ? un2 1     u n  n un 2  Việc đề hàm chứa dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra dành cho học sinh hai lớp thực nghiệm đối chứng (hai lớp có học sinh học lực trở lên) Xin phân tích rõ điều đồng thời đánh giá sơ chất lượng làm học sinh Đề kiểm tra khơng q khó khơng q dễ so với trình độ học sinh Có thể nói mức độ đề phân hóa trình độ học sinh, đồng thời đưa cho giáo viên đánh giá xác mức độ nắm kiến thức học sinh Cả ba câu đề kiểm tra khơng nặng tính tốn, mà chủ yếu kiểm tra khả suy luận, vận dụng kiến thức học cách tìm số hạng tổng quát dãy số Kết quả: TT Lớp Số Điểm TB SL Điểm TB Điểm Điểm giỏi % SL % SL % SL % 11A1.1 38 10,5 13 34,2 16 42,1 13,1 11A1.2 40 17,5 19 47,5 11 27,5 7,5 Nhận xét: -) Ở lớp thực nghiệm: tỉ lệ học sinh học có điểm trung bình trung bình thấp lớp đối chứng, tỉ lệ giỏi cao -) Ở lớp đối chứng: Tỉ lệ học sinh có điểm trung bình trung bình cao lớp thực nghiệm, tỉ lệ có điểm giỏi thấp Điều cho thấy học sinh lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu vận dụng kiến thức tốt Khả nhìn nhận giải tốn tìm cơng thức tổng qt dãy số tốt so với lớp đối chứng 57 C KẾT LUẬN Một số kinh nghiệm rút 1.1 Đối với giáo viên Trước toán tìm tịi chất, nguồn gốc đưa dạng tốn ln có tác dụng lớn học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Kinh nghiệm cho thấy học sinh hứng thú tìm hiểu vấn đề đơn giản từ xây dựng lên dạng tốn việc giải tốn khó Vì q trình giảng dạy giáo viên cần nâng cao tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Cần hướng dẫn cho học sinh cách thức sáng tạo vấn đề từ vấn đề biết 1.2 Đối với học sinh Trong trình đổi dạy học đổi phương pháp dạy học nội dung trọng tâm Đối với phương pháp dạy học học sinh ln đóng vai trị trung tâm, chủ thể trình nhận thức, người tự khám phá chiếm lĩnh tri thức cho Vì học sinh cần phải tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu tính sáng tạo Đứng trước tốn ngồi việc tìm lời giải học sinh cần phải đặt mục tiêu tìm tìm phương pháp chung để giải dạng tốn đó, phân tích tìm tịi đưa dạng tốn Những kết luận 2.1 Tính mẻ Đề tài có điểm mẻ sau:  Từ tốn CSC –CSN , chúng tơi xây dựng 12 dạng toán xác định số hạng tổng quát, dạng toán nêu hướng tư duy, suy nghĩ để dẫn đến dạng tốn  Sau sử dụng phép lượng giác, phương pháp hàm sinh để xây dựng cách xác định số hạng tổng quát dãy số 58  Tiếp theo ứng dụng tốn tìm CTTQ dãy số vào giải số toán dãy số- tổ hp Đặc biệt việc viết sáng kiến kinh nghiệm hoàn toàn độc lập với tài liệu đà có toán không chép từ tài liệu Với dung l-ợng 60 trang giấy A4 t-ng đ-ơng với 20 tiết học lớp Không thiết giảng dạy triệt để theo nội dung đề tài , mà ta chọn lọc vấn đề cần thiết ,đặc biệt t- t-ởng lối suy nghĩ sáng kiến kinh nghiệm để giảng dạy cho học sinh Qua thực tế giảng dạy lớp 11A1.1 đà trình bày 20 tiết với khoảng 8/10 nội dung sáng kiến kinh nghiệm đà b-ớc đầu tạo đ-ợc hứng thú cho học sinh Sáng kiến ví dụ nhỏ t- t-ởng khai thác hình thành dạng toán để áp dụng tìm số hạng tổng quát dÃy số Tôi hi vọng giúp thầy cô giáo phần công tác giảng dạy 2.2 Tớnh khoa hc Ni dung đề tài trình bày khoa học, lập luận xác Hệ thống lý thuyết đắn, có sức thuyết phục 2.3 Tính hiệu Đề tài áp dụng trình dạy học giáo viên học sinh đặc biệt học sinh lớp 11 học sinh ôn luyện thi học sinh giỏi, có 60% học sinh giải đề thi sau tiếp cận đề tài Đề tài làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên Nó đáp ứng phần việc đổi phương pháp giảng dạy toán trường THPT Đặc biệt đề tài phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người học Những đề xuất Đề tài mở rộng theo hướng: “Từ dạng tốn tìm cơng thức, tìm số hạng tổng quát ta sáng tạo lớp toán dãy số vận dụng lớp 59 tốn tìm số hạng tổng qt dãy số để giải số toán liên quan đến dãy số mức độ khó hơn” Cửa Lị, ngày 15 tháng năm 2022 Người thực hiện: Nguyễn Xuân Hòa 60 MỤC LỤC A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .1 B NỘI DUNG I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT II SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 27 III XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 33 IV ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP 38 V THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 54 C KẾT LUẬN ……………………………… ………………………… ….56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………… 60 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đại Số Giải Tích lớp 11 Nâng Cao [2] Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007 [3] Một số toán chọn lọc dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003 [4] Các phương pháp đếm nâng cao, Trần Nam Dũng [5] Tạp chí Tốn Học Và Tuổi Trẻ [6] Các diễn đàn Toán học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org … [7] Tuyển tập chuyên đề thi Olympic 30 – Khối 11 [8] Phép quy nạp hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển dịch xuất năm 1987) [9] Phương pháp xác định số hạng tổng quát - Nguyễn Tất Thu 62 ... cách xác định công thức dãy số Vì chúng tơi chọn đề tài “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ” Nội dung chuyên đề chia làm bốn mục : I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp. .. số dạng dãy số có dạng cơng thức truy hồi đặc biệt II: Sử dụng phương pháp lượng giác để xác định CTTQ dãy số III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ dãy số IV: Ứng dụng toán xác định. .. 1.2: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định u1  3, un  2un 1 n  Giải: Ta thấy dãy (un ) CSN có cơng bội q  Ta có: un  3.2n 1 Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát dãy (un ) xác