Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và ứng dụng

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được nội dung, tính chất liên quan đến định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và một số phương pháp để xác định số nghiệm âm, dương của một đa thức. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THANH DIỆU

ĐỊNH LÝ ROLLE, QUY TẮC DẤU DESCARTES

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 6 năm 2015

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Đa thức và các bài toán liên quan luôn đóng vai trò quan trọng trong toán học không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết biểu diễn, tối ưu Đặc biệt bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với các hệ số thực là vấn đề được quan tâm của nhiều thế hệ các nhà toán học Những kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu để xác định số nghiệm âm, dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho

Bên cạnh đó Định lý Rolle và một số mở rộng (Định lý Lagrange, Định lý Cauchy) là các định lý quan trọng về giá trị trung bình trong chương trình giải tích cổ điển Ứng dụng của các định lý này trong chương trình toán trung học phổ thông rất đa dạng và phong phú, đặc biệt là các dạng toán về giải phương trình, biện luận

số nghiệm của phương trình trên một khoảng, chứng minh bất đẳng

2 Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu

chúng tôi lựa chọn đề tài: “Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được nội dung, tính chất liên quan đến định lý olle, quy tắc dấu escartes và một

số phương pháp để xác định số nghiệm âm, dương của một đa thức

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các đa thức với dãy các hệ số thực

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là định lý olle, quy tắc dấu escartes và ứng

dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến định lý olle và quy tắc dấu escartes

Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu

5 Bố cục đề tài

Luận văn được chia thành hai chương:

Ở chương 1 giới thiệu các khái niệm, các tính chất về sự đổi dấu

và vị trí đổi dấu của dãy, trình bày định lý olle, quy tắc dấu Descartes

Đến chương 2 trình bày các bài toán liên quan đến định lý olle

và quy tắc dấu escartes

3

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến định lý olle, quy tắc dấu escartes và ứng dụng thực tế qua các

ví dụ, bài tập áp dụng, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về định lý olle và quy tắc dấu Descartes

Chứng minh chi tiết các định lí và làm rõ một số tính chất, cũng như đưa ra một số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập

4

CHƯƠNG 1 ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES

1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY

Trong luận văn này, khi nói đến các đa thức, chuỗi luỹ thừa hay dãy số ta đều xét chúng là các số thực Tiếp đó, nếu không nói ngược lại, các hàm được đưa vào đều giả thiết là giải tích trong các khoảng

đã nêu Tuy nhiên các định lý được khẳng định chỉ cần thay đổi không lớn lắm hoặc thậm chí hoàn toàn không cần một sự thay đổi nào khi thay giả thiết này bằng giả thiết yếu hơn, chẳng hạn với đòi hỏi tồn tại đạo hàm đến một cấp nào đó Khắp nơi về sau, các không điểm được tính theo bội của nó

Và để thuận tiện cho việc lập luận, ta quy ước số 0 là số chẵn

Ta cần xét một số khái niệm sau:

Định nghĩa 1.1 [7] Không điểm của hàm số y f x( ) là điểm

a  a   a   

và

5 0

m k m

a  a  , (m k 2) Trong trường hợp thứ nhất thì a m1 và a , còn trong trường hợp m

thứ hai thì a m k và a m lập thành vị trí đổi dấu

Định nghĩa 1.3 [7] Hàm ( )f x được gọi là duy trì dấu trong

khoảng ( ; )a b nếu ( ) f x 0 hoặc ( )f x 0,  x ( ; ).a b

Giả sử khoảng ( ; )a b được chia thành Z1 khoảng con sao cho:

a f x không đồng nhất triệt tiêu trong khoảng con nào đó ( )

b Trong mỗi khoảng con ( )f x duy trì dấu

c Trong hai khoảng con kề nhau ( )f x có dấu ngược nhau

Khi đó ta nói rằng trong khoảng ( ; )a b hàm f x có Z lần đổi ( )dấu

Nhận xét 1.1 Khi vượt qua không điểm bậc lẻ, hàm giải tích bị

thay đổi dấu còn khi vượt qua không điểm bậc chẵn thì không đổi dấu

Định nghĩa 1.4 [7] Ta gọi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa

Tính chất 1.1 [7] Số vị trí đổi dấu của một dãy nào đó không

thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn

lại vẫn bảo toàn vị trị tương hỗ của nó

Tính chất 1.2 [7] Các dãy

0, ,1 2, , n

a a a a và a a n, n1, , ,a a1 0

có cùng một số vị trí đổi dấu

Tính chất 1.3 [7] Khi gạch bỏ các số hạng của dãy, số vị trí

đổi dấu không tăng thêm

Tính chất 1.4 [7] Khi đặt vào giữa các số hạng của dãy một số

lượng tùy ý các số hạng bằng 0, số vị trí đổi dấu của dãy vẫn không thay đổi

Tính chất 1.5 [7] Số vị trí đổi dấu của dãy sẽ không thay đổi

nếu bên cạnh một số hạng nào đó của dãy, ta đặt một số hạng mới có cùng dấu với số hạng đó

7

Tính chất 1.7 [7] Dãy a a0, 1a a0, 2a1, ,a na n1,a n có số vị trí đổi dấu không lớn hơn so với dãy a a a0, ,1 2, ,a n

Tính chất 1.8 [7] Nếu dãy vô hạn a a a0, ,1 2, ,a n, chỉ có một

số hữu hạn W vị trí đổi dấu thì dãy tạo nên nhờ dãy đã cho:

Tính chất 1.10 [7] Cho hàm f x liên tục trên khoảng ( )  a b , ,

và ,a b không là không điểm của hàm ( ) f x Khi đó

i Nếu ( ) ( )f a f b 0 thì ( )f x chứa một số lẻ các không

điểm trên khoảng  a b ,

ii Nếu ( ) ( )f a f b 0 thì ( )f x chứa một số chẵn các không

điểm trên khoảng  a b ,

8

Tính chất 1.12 [7] Nếu j1 và k1 là những vị trí đổi dấu

kề nhau của dãy a a a0, ,1 2 thì dãy các hiệu số

sẽ có không ít hơn W 1 vị trí đổi dấu (loại trừ trường hợp tầm

thường khi mọi số hạng của dãy đều bằng 0)

Tính chất 1.15 [7] Nếu 0 thì các đa thức ( )P x và ( Px)

sẽ có số vị trí đổi dấu như nhau

Tính chất 1.16 [7] Giả sử dãy vô hạn a a a0, ,1 2, ,a n, có W

vị trí đổi dấu Khi đó dãy

0, 1 0, 2 1, , n n1,

        ,

9 trong đó 0 có ít nhất W vị trí đổi dấu Ngoài ra nếu thỏa điều kiện lim n 0

có số vị trí đổi dấu là W , khi đó đa thức ( )(P x x1) có số vị trí đổi

dấu không lớn hơn W

có số vị trí đổi dấu lớn hơn W

Tính chất 1.20 [7] Giả sử chuổi lũy thừa

10

1.3 ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ CÁC HỆ QUẢ

Cơ sở của định lý Rolle dựa vào hai định lý cơ bản nhất của

Weierstrass đối với hàm liên tục khẳng định rằng khi f liên tục trên đoạn [ ; ]a b thì nó phải đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

đoạn đó và định lý Fermat về điểm cực trị của hàm khả vi khẳng định rằng nếu hàm ( )g x liên tục trên đoạn [ ; ] a b , khả vi trong ( ; ) a b

đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại một điểm trong khoảng đó thì đạo hàm tại điểm đó bằng 0

Định lý 1.1 [2] (Định lý Rolle) Giả sử f là hàm liên tục trên

đoạn [ ; ]a b và có đạo hàm tại mọi x( ; )a b Nếu f a( )f b( ) thì tồn tại ít nhất một điểm c( ; )a b sao cho f c( )0

   , rõ ràng tại x0  0 ( 1;1) đạo hàm không tồn tại,

nên hàm số không thoả mãn đủ các điều kiện của định lý Rolle

2 Điều kiện liên tục trên đoạn [ ; ]a b đối với hàm ( ) f x cũng

không thể thay đổi bởi điều kiện f x liên tục trên khoảng ( ; )( ) a b

Chẳng hạn, xét hàm

hoành Ox

Hệ quả 1.1 Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b và

phương trình ( ) 0f x  có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ; ) a b

thì phương trình f x( )0 có ít nhất n1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ; )a b (Phương trình f( )k ( )x 0 có ít nhất nk nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ; )a b , với k1, 2,3, ,n )

Nhận xét 1.3

- Kết quả trên vẫn đúng nếu thay khoảng ( ; )a b bởi các nửa

khoảng ( ; ]a b , [ ; ) a b hay đoạn [ ; ] a b hoặc chỉ là một điểm  x 1

- Nếu hàm ( )f x là đa thức bậc n và có n nghiệm thực thì

( )

f x có n1 nghiệm thực

Hệ quả 1.2 Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ ; ] a b và có

đạo hàm trên khoảng ( ; )a b Khi đó nếu phương trình f x( )0 có không quá n1 nghiệm phân biệt trên ( ; )a b thì phương trình ( ) 0

f x  có không quá n nghiệm phân biệt trên khoảng đó

12

Hệ quả 1.3 Nếu ( ) 0

x lim f x

  thì f x( ) có số lượng các không điểm trong khoảng ( ;a ) không ít hơn so với f x trên khoảng ( )

ấy Kết quả vẫn đúng nếu thay  bởi 

Hệ quả 1.4 Giả sử hàm ( )f x có N không điểm trong (0;) Khi đó hàm

thì hàm đã nêu có ít nhất là N không điểm

Định lý 1.2 [5] Giả sử f là hàm liên tục trên [ ; a), có đạo hàm trên ( ;a) và ( ) ( )

x lim f x f a

  Khi đó tồn tại ít nhất một số thực ca sao cho f c( )0

Định lý 1.3 [2] Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b

và F x( ) là một nguyên hàm của ( )f x trong đoạn đó Nếu tồn tại các số thực x x1, 2[ ; ]a b với x1x2 sao cho F x( )1 F x( 2) thì phương trình ( ) 0f x  có nghiệm trong đoạn [ ;x x1 2] (hay có nghiệm trong đoạn [ ; ]a b )

Định lý 1.4 [2] (Định lý Lagrange) Giả sử f là hàm liên tục

trên đoạn [ ; ]a b và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng ( ; )a b Khi

đó tồn tại ít nhất một điểm c ( ; ) a b sao cho

13

f b f a f c b a

Nhận xét 1.4:

- Ta đã thu được định lý Lagrange như là một hệ quả của Định

lý Rolle Thế nhưng chính Định lý Rolle (về dạng biểu thức) lại là một trường hợp riêng của Định lý Lagrange (ứng với giả thiết ( ) ( )

f a  f b )

- Ý nghĩa hình học: Nếu hàm ( )f x thoả mãn đầy đủ các điều

kiện của Định lý Lagrange thì trên đồ thị của hàm số y f x( ) phải tồn tại ít nhất một điểm M c f c( ; ( )) sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại

điểm đó song song với dây cung AB , ở đó A a f a và ( ; ( ))( ; ( ))

B b f b

Định lý 1.5 (Định lý Cauchy) Giả sử f , g liên tục trên đoạn

[ ; ]a b và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng ( ; ) a b , ngoài ra

Nhận xét 1.5 Định lý Lagrange là trường hợp riêng của Định lý

Cauchy với giả thiết ( )g x x

1.4 QUY TẮC DẤU DESCARTES

Việc tìm ra mối liên hệ giữa số vị trí đổi dấu của đa thức và số không điểm của nó là một kết quả cực kì lý thú Kết quả đó sẽ giúp chúng ta ước lượng được số nghiệm của đa thức, đặc biệt là những

14

đa thức bậc cao khi mà bằng phương pháp thông thường chúng ta khó có thể ước lượng được số nghiệm của nó Quy tắc dấu Descartes

sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này

Định lý 1.6 [7] (Quy tắc dấu Descartes) Giả sử N là số không

điểm dương của đa thức

15

CHƯƠNG 2 NHỮNG ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ROLLE

VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES

2.1 ƯỚC LƯỢNG SỐ KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐA THỨC, CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

2.1.1 Sử dụng quy tắc dấu Descartes

Chúng ta sử dụng quy tắc dấu escartes để xét số nghiệm dương của đa thức

đó số không điểm âm của đa thức ( )f x chính là số không điểm

dương của đa thức ( )g x

Đồng thời chúng ta cũng khảo sát một số kết quả về số không điểm của đa thức trên một khoảng hoặc nửa khoảng nào đó

Chẳng hạn, để xét số không điểm của đa thức

x

t t x

Xem t như là một hàm số đối với biến số x thì

16

2

20(1 )

t

x

 ,   x ( 1;1)

Vậy hàm số t là đồng biến trong khoảng ( 1;1) và có tập giá trị

là (0;) Vì vậy, với mỗi t(0;) luôn tìm được duy nhất một giá trị x ( 1;1) Ta có

11

t x t

g t sẽ suy ra được số không điểm x ( 1;1) của đa thức ( )f x

Tương tự ta có thể xét số không điểm của đa thức

1

f x a x ax  a xa

trên các nửa khoảng hoặc đoạn dạng [ 1;1), ( 1;1], [ 1;1]

Cũng vậy, để xét số không điểm của đa thức ( )f x trên khoảng

( ; )a b tuỳ ý, ta thực hiện phép đổi biến

  , t ( 1;1)

có đúng hai nghiệm dương và ít nhất một nghiệm âm

Ví dụ 2.2 Xác định số nghiệm của đa thức sau trên (0;2)

có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong ( 1;2)

Ví dụ 2.11 (Olympic SV, 94) Cho 2n số nguyên dương

có nghiệm trong khoảng ( ; )

2.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH

Đối với dạng bài tập này thì các hệ quả của định lý Rolle tỏ ra là công cụ rất mạnh để giải toán Kỉ thuật để giải một số bài toán trong phần này như sau:

- Biến đổi phương trình cần giải về dạng ( )f x 0

- Chỉ ra các nghiệm đó của phương trình

Ví dụ 2.12 Biện luận số nghiệm của phương trình

a b c

ab bc ca abc

thì các số này đều dương

Ví dụ 2.26 Cho f liên tục trên [ ; ] a b , có đạo hàm trên khoảng

- Nghiên cứu các tài liệu khác nhau và trình bày lại một số định nghĩa và tính chất liên quan đến sự đổi dấu của dãy, Định lý olle và quy tắc dấu escartes, chứng minh chặt chẽ các định lý liên quan

- Giới thiệu một số phương pháp cụ thể để tìm nghiệm của đa thức

- Áp dụng lý thuyết để đưa ra lời giải hoàn chỉnh cho một số bài toán có liên quan, từ đó làm rõ tính hiệu quả của định lý Rolle và quy tắc dấu Descartes

Với những gì đã tìm hiểu được, chúng tôi hy vọng luận văn sẽ

là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân trong công tác giảng dạy sau này và hy vọng luận văn cũng là nguồn tư liệu tốt cho những

ai quan tâm đến vấn đề này

Tuy nhiên do thời gian và khả năng nghiên cứu của chúng tôi

là có hạn nên trong luận văn chưa có điều kiện để nghiên cứu về ứng dụng của Định lý Rolle trong các bài toán hình học, mở rộng của Định lý Rolle trong tập số phức…

24 Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót Vì thế chúng tôi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn