Dãy số và một số phương pháp giải toán về dãy số

Nội dung chủ yếu của đề tài "Dãy số và một số phương pháp giảitoán về dãy số" là hệ thống một số phương pháp giải toán về dãy số và một sốcách xây dựng bài toán mới về dãy số.. Đó là một

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Đặng Thị Thảo

DÃY SỐ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2011

MỤC LỤC

1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản 5

1.2 Một vài dãy số đặc biệt 9

1.3 Một số bài toán áp dụng 13

2 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số 18 2.1 Một số phương pháp giải bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số 18 2.1.1 Phương pháp quy nạp 18

2.1.2 Phép thế lượng giác 20

2.1.3 Phương pháp sử dụng phương trình sai phân, tính chất của hàm số 24

2.1.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa 31

2.2 Một số phương pháp giải bài toán tìm giới hạn của dãy số 38

2.2.1 Giới hạn của dãy số lặp 38

2.2.2 Giới hạn của dãy trung bình Cesaro 41

2.2.3 Giới hạn của dãy phân tuyến tính 43

2.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số trong số học 48

2.3.1 Phương pháp quy nạp 48

2.3.2 Nguyên lý Dirichlet 50

2.3.3 Dãy số sinh bởi phần nguyên 52

2.4 Một số phương pháp ước lượng tổng và tích của một số dãy số 55

2.4.1 Phương pháp sai phân 55

2.4.2 Phương pháp đại số 58

2.4.3 Sử dụng số phức 62

3 Một số phương pháp thiết lập bài toán mới về dãy số 64

3.1 Xây dựng dãy số hội tụ sinh bởi các đại lượng trung bình 64

3.1.1 Trường hợp cùng chỉ số 64

3.1.2 Trường hợp lệch chỉ số 67

3.1.3 Phối hợp ba dãy số 76

3.2 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình 79

MỞ ĐẦU

Đề tài về dãy số thuộc một lĩnh vực rất khó và rộng (xem [1] - [8]), sử dụngnhiều kiến thức khác nhau của toán học Mục tiêu của luận văn này nhằm đềcập đến một số vấn đề cơ bản của dãy số liên quan đến chương trình toán bậcphổ thông Nội dung chủ yếu của đề tài "Dãy số và một số phương pháp giảitoán về dãy số" là hệ thống một số phương pháp giải toán về dãy số và một sốcách xây dựng bài toán mới về dãy số Đó là một số phương pháp giải bài toánxác định số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của dãy số, bàitoán về dãy số trong số học và bài toán ước lượng tổng và tích của dãy số Vàmột số cách thiết lập bài toán mới về dãy số như thiết lập dãy số từ các đạilượng trung bình, dãy số là nghiệm của họ phương trình Để giải quyết đượcnhững bài toán này, ta cần những kiến thức tổng hợp về tính chất dãy số, giớihạn của dãy số, Mục tiêu của luận văn là hệ thống phương pháp và xây dựngbài toán minh họa, tổng quát về các vấn đề đã nêu ở trên

Nội dung của luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận và được phân thành bachương, đề cập đến các vấn đề sau

• Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của dãy số gồm một số địnhnghĩa, định lý, một vài dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng

• Chương 2 hệ thống một số phương pháp giải toán về dãy số Với bài toánxác định công thức tổng quát của dãy số hệ thống các phương pháp nhưquy nạp, phép thế lượng giác, sử dụng phương trình sai phân, tính chấtcủa hàm số, kỹ thuật tuyến tính hóa Với bài toán tìm giới hạn của dãy số,xét các dạng bài toán dãy số dạng lặp, dãy trung bình Cesaro, dãy phântuyến tính Với bài toán về dãy số trong số học có các phương pháp nhưquy nạp, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh bởi phần nguyên Với bài toán ướclượng tổng và tích của dãy số, hệ thống các phương pháp như sai phân,đại số, sử dụng số phức

• Chương 3 trình bày một số cách thiết lập bài toán mới về dãy số như thiếtlập dãy số từ các đại lượng trung bình (trung bình cộng, trung bình nhân,trung bình điều hòa), dãy số là nghiệm của họ phương trình.

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho học trò trong quátrình học tập, nghiên cứu và giúp tác giả hoàn thành được luận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo KhoaToán - Cơ - Tin học và seminar Phương pháp Toán sơ cấp của trường Đại họcKhoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét, góp ý cho bản luậnvăn này

Xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè đã quan tâm, động viên

và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện không tránhkhỏi những sơ suất vì vậy tác giả rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồngnghiệp góp ý để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011

Học viên

Đặng Thị Thảo

CHƯƠNG 1 DÃY SỐ

Chương này giới thiệu những khái niệm cơ bản về dãy số, đó là các địnhnghĩa, định lý và một số dãy số đặc biệt Những kiến thức này em xem và trìnhbày lại trong [1], [2]

Định nghĩa 1.2 Dãy số {un} được gọi là dãy số tăng (giảm) nếu với mọi n

ta có un+1 ≥ un(un+1 ≤ un) Dãy số tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơnđiệu

Dãy số {un} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho với mọi

n ∈N ta có un ≤ M

Dãy số {un} được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho với mọi

n ∈N ta có un ≥ m

Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn

Định nghĩa 1.3 Dãy {un} được gọi là một dãy tuần hoàn (cộng tính) nếu tồntại số nguyên dương l sao cho

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy {un} thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ

u n = 1

2[a + b + (a − b)(−1)

n+1

], a, b ∈R, n ∈Nthì với mọi n ∈N ta có

Ví dụ 1.2 Chứng minh rằng mọi dãy số {un} phản tuần hoàn cộng tính chu

kỳ r đều có dạng

un = 1

2(vn− vn+r) với vn+2r = vn. (1.3)Giải Ta có un+r = −un với ∀n ∈N và vn là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2r.Chọn u n = v n, ta có

1

2(vn− vn+r) = 1

2(un− un+r) = 1

2(un+ un) = un.

Ngược lại , ta thấy mọi dãy xác định theo (1.3) đều là dãy phản tuần hoàn chu

kỳ r Thật vậy

un+r = 1

2(vn+r− vn+2r) = 1

2(vn+r − vn) = −un.

Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.2 Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là dãy hằng

Định nghĩa 1.4 Dãy {un} được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồntại số nguyên dương s (s > 1) sao cho

Ví dụ 1.4 Chứng minh rằng dãy {u n } phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi

Giải Nhận thấy với mọi n ∈ N đều có thể viết dưới dạng n = 2s(2k + 1), vớimọi s ∈N Do đó

Định lý 1.2 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho dãy số {xn} cógiới hạn hữu hạn l, nếu ∃N0 ∈N: ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b thì a ≤ l ≤ b

Định lý 1.3 (Định lý kẹp) Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} trong đó xn và zn

có cùng giới hạn hữu hạn a và N 0 ∈ N : ∀n > N 0 ta có x n ≤ y n ≤ z n Khi đó y n

Khi đó tồn tại duy nhất số thực a sao cho ∩[an, bn] = {a}

Định lý 1.6 (Bolzano-Weierstrass) Từ một dãy bị chặn luôn có thể trích ramột dãy con hội tụ

Định nghĩa 1.6 Dãy xn được gọi là dãy Cauchy nếu∀ε > 0, ∃N0 ∈N: ∀m, n >

Khi dãy số{u n } lập thành một cấp số cộng thì hiệud = u 1 − u 0 được gọi là công

sai của cấp số đã cho.

Với d > 0ta có cấp số cộng tiến và d < 0 ta có cấp số cộng lùi

Ví dụ 1.5 Dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5, , 2n − 1, là một cấp số cộng vớicông sai d = 2

Ví dụ 1.6 Dãy −3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4.Tính chất 1.1 Nếu {un} là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi sốhạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng củahai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

uk = uk−1+ uk+1

Tính chất 1.2 (Số hạng tổng quát của một cấp số cộng) Nếu một cấp số cộng

có số hạng đầu là u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được tínhtheo công thức sau

un = u1+ (n − 1)d.

Tính chất 1.3 (Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng) Giả sử {u n } làmột cấp số cộng Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng của n số hạng đầutiên của nó (Sn = u1+ u2+ + un) Khi đó, ta có

Khi dãy số {u n } lập thành một cấp số nhân thì thương q = u1

u0 được gọi là côngbội của cấp số đã cho

Ví dụ 1.7 Dãy số {un} với un = 2n là một cấp số nhân với số hạng đầu với

u 1 = 2 và công bội q = 2

Ví dụ 1.8 Dãy −2, 6, −18, 54, −162 là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = −2

và công bội q = −3

Tính chất 1.4 Nếu {un} là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bìnhphương mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tíchcủa hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là

u2k = uk−1uk+1.

Tính chất 1.5 (Số hạng tổng quát của một cấp số nhân) Nếu một cấp số nhân

có số hạng đầu là u1 và công bội q 6= 0 thì số hạng tổng quát un của nó đượctính theo công thức sau

un+1= aun+ b, a, b ∈R,

có thể xem như một cấp số suy rộng (khi a = 1 ta thu được một cấp số cộng,khi b = 0 ta thu được một cấp số nhân).

Cấp số điều hòa

Định nghĩa 1.10 Dãy số u n thỏa mãn điều kiện

un = 2un−1un+1

un−1+ un+1được gọi là cấp số điều hòa

Ví dụ 1.9 Chứng minh rằng dãy số {u n }(u n 6= 0, ∀n ∈N)lập thành một cấp sốđiều hòa khi và chỉ khi

Dãy Fibonacci

Dãy số Fibonacci rất đặc biệt này được một người Ý tên là Leonardo Fibonaccicông bố năm 1202 và được biến hóa hầu như vô tận Chính điều đó, đã thu hútđược rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khámphá các tính chất của nó

Vậy dãy số Fibonacci là dãy số như thế nào?

Ban đầu, ông Fibonacci xét bài toán sau:

Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp mới.Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào bị chết

cả thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ?

Và đó là tiền thân của dãy số được xác định bằng cách liệt kê các phần tửnhư sau:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 Trong đó các phần tử nằm trong dãy số này luôn luôn bằng tổng của 2 số liềntrước nó Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp chúng ta sẽ được một dãy

số tương tự

Định nghĩa 1.11 Dãy số Fibonacci là dãy số được định nghĩa bởi

f0 = 0, f1= 1, ∀n ∈ N, fn+2 = fn+1+ fn.

Dãy số Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiêntrong nhiều lĩnh vực khác nhau Chúng ta có công thức sau để tìm số hạng tổngquát của dãy số Fibonacci:

Công thức Binet

fn =



1+ √ 5 2

n

−1−

√ 5 2

o.

Điều kiện cần Giả sử dãy {an} là một cấp số cộng với công sai d Khi đó

an = a0+ (n − 1)d, ∀n ∈ N∗.Vậy nên

a2n = 2an− a0. (1.8)Tương tự cho n = 0 ta được

a 2m = 2a m − a 0 (1.9)Thay (1.8) và (1.9) vào (1.7) ta thu được

2a m+n = 2a m + 2a n − 2a 0

hay

a m+n = a m + a n − a 0 (1.10)Thay m = 1 và (1.10), ta có

an+1= an+ a1− a0.Vậy {an} là một cấp số cộng

Bài toán 1.2 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy các số dương {an}lập thành một cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức

a2m+n = a 2m a 2n , ∀m, n ∈N. (1.11)

Giải Đặt ln a n = b n , ∀n ∈N, khi đó a n = ebn và (1.11) có dạng

e2bm+n = eb2m +b 2n , ∀m, n ∈Nhay

2bm+n = b2m+ b2n, ∀m, n ∈N. (1.12)Theo bài toán 1.1 thì (1.12) chính là điều kiện cần và đủ để dãy {bn} lập thànhcấp số cộng với công sai d = b1− b0

Theo nhận xét 1.4 ta có điều phải chứng minh

Bài toán 1.3 Cho dãy số {u n } là một cấp số suy rộng thỏa mãn điều kiện

un+1= aun+ b, a, b ∈R.Tính tổng

Sn = u1+ u2+ + un.Giải Ta có

u2+ u3+ + un+1 = a(u1+ u2+ + un) + nbvà

Bài toán 1.4 (VMO, 1994, Bảng B) Cho dãy số Fibonacci {un}, (n = 1, 2, )được xác định bởi

u1= u2 = 1, un+2 = un+1+ unvới mọi n = 1, 2, ,

Hãy tìm số nguyên dương m sao cho

u42k+1+ u42k = 1 + 2u2k.u2k+1+ 3u22k.u22k+1, ∀k = 1, 2, 3, Vậy m = 4 là số duy nhất thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài toán 1.5 (THTT/ T12/ 410) Với số nguyên dươngn lớn hơn 2, tìm số cáchàm số

Khi đó thì a 2 = e 2 và b 1 = d 2 = 1, nên

an+1 = en+ dn, bn+1 = en, en+1 = an+ bn, dn+1= an.Tiếp theo, ta cần tính tổng S = an+ bn+ dn+ en. Ta cóa2= e2 và b2= d2. Bằngphương pháp quy nạp, ta có an = en và bn = dn. Do vậy,

an+2= en+1+ dn+1= an+1+ bn+1 = an+1= an.

Do vậy,{an}chính là dãy Fibonaci{Fn}với cách chọn F0 = 0, F1= 1. Tiếp theo,

ta thấy a2 = 2 = F2 và a3 = e2+ d2 = 3 = F3. Do đó, an = Fn với n ≥ 2. Suy ra

S = 2(an+ bn) = 2en+1= 2Fn+1 với n ≥ 2.

1) Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số(bản chất đại số).

2) Các bài toán tìm giới hạn của dãy số(bản chất giải tích)

3) Các bài toán về dãy số trong số học

4) Các bài toán ước lượng dãy số

Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số trên khá đa dạng Chúng

ta đi xét cụ thể một số phương pháp đó

2.1 Một số phương pháp giải bài toán tìm số hạng

tổng quát của dãy số

2.1.1 Phương pháp quy nạp

Nguyên lý quy nạp

Nếu khẳng định S(n) thỏa mãn hai điều kiện sau:

a) Đúng với n = k0 (số tự nhiên nhỏ nhất mà S(n) xác định)

b) Từ tính đúng đắn của S(n) đối với n = t (hoặc đối với mọi giá trị của

n, k0 ≤ n ≤ t) suy ra tính đúng đắn của S(n) đối với n = t + 1, thì S(n) đúng vớimọi n ≥ k 0

Giả sử khẳng định T (n) xác định với mọi n ≥ t0 Để chứng minh T (n) đúngvới mọi n(n ≥ t 0 ) bằng quy nạp, ta cần thực hiện hai bước

a Cơ sở quy nạp.

Thực hiện bước này tức là ta thử xem sự đúng đắn của T (n)với n = t 0, nghĩa

là xét T (t0) có đúng hay không?

b Quy nạp

Giả sử khẳng định T (n) đã đúng với n = t, (t ≥ t 0 ) (hoặc đối với mọi n, (t 0 ≤

n ≤ t)) Trên cơ sở giả thiết này mà suy ra tính đúng đắn của T (n) đối với

un = n

Thật vậy, theo trên thì (2.1) đã đúng tới n = 3

Giả sử (2.1) đúng tới n, khi đó

Bài toán 2.2 Cho dãy {un} xác định bởi công thức

u 1 = 5, u 2 = 19, u n = 5u n−1 − 6u n−2 , n ∈N∗, n ≥ 3.

Tìm số hạng tổng quát un

2.1.2 Phép thế lượng giác

Nhiều dãy số có công thức phức tạp có thể trở thành các dãy số đơn giảnnhờ phép thế lượng giác Để áp dụng được thủ thuật này, điều cần thiết là biếtcác công thức lượng giác và một chút nhạy cảm toán học

Bài toán 2.3 Cho dãy số (un) xác định bởi công thức

(

u1 = 12

u n = 2u2n−1− 1, ∀n ≥ 2.

Xác định công thức tổng quát của dãy (un)

Giải Từ công thức truy hồi của dãy ta liên tưởng đến công thức nhân đôi củahàm số côsin

(trong đó a 6= 0 và cùng dấu với u1).

un = 12

Dựa vào dạng 1 ta có thể tìm công thức tổng quát của dãy số {un} được xácđịnh bởi

un = 4u3n−1− 3un−1, ∀n ≥ 2.

Giải Ta có u1 =

√ 3

(trong đó a 6= 0 và cùng dấu với u1)

Bằng quy nạp ta chứng minh đượcun = 1

un = 12



u1 = p

un = 4u3n−1+ 3un−1, ∀n ≥ 2.

bằng cách đặt u1 = 1

2



a − 1a

 Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được

6)

π 2.6 ·Bằng quy nạp ta chứng minh được

un = sin π

2 n−1 6 ·Bài toán 2.6 (Trích đề thi Olympic 30- 4- 2003 Khối 11) Cho dãy số (un):

1 − tanπ

8 tan

π 3

= tan

π

3 +

π 8

·

ta đặt a = tan α, b = tan β, khi đó ta chứng minh được un = tan[α + (n − 1)β].

Bài toán 2.7 Tìm công thức tổng quát của dãy số (un)

un, khi đó ta được dãy (xn) được xác định như sau

1 sinπ3 =

1 + cosπ3sinπ3 = cot

π 2.3 ·Bằng quy nạp ta chứng minh được

xn = cot π

2 n−1 3 ⇒ un = tan π

2 n−1 3, ∀n = 1, 2, 2.1.3 Phương pháp sử dụng phương trình sai phân, tính chất

của hàm số

Để xác định những dãy dạng u1= α, aun+1+ bun = fn, n ∈N∗, u1= α, u2=

β, au n+1 + bu n + cu n−1 = f n , n ≥ 2, u 1 = α, u 2 = β, u 3 = γ, au n+2 + bu n+1 + cu n +

dun−1 = fn, n ≥ 2, trong đó a, b, c, d, α, β, γ là các hằng số, a 6= 0 và fn là biểuthức của n cho trước (đa thức, hàm mũ, hàm lượng giác), ta sử dụng các kiếnthức về phương trình sai phân.

Bài toán 2.8 Tìm u n biết

u1= 0, u2 = 0, un+1− un+ un−1= 0, n ≥ 2.

Giải Phương trình đặc trưng λ2− λ + 1 = 0 có các nghiệm phức

λ1,2= 1 ± i

√ 3

2 ·

Ta có

r = |λ| =

r1

4 +

3

4 = 1, tan ϕ =

√ 3



⇒ ϕ = π

3 ·Vậy

λ = cosπ

3 + i sin

π

3 ·Suy ra

2 = 0 ⇒ −A + B

√

3 = 0. (2.4)Kết hợp (2.3) và (2.4) ta được hệ phương trình có nghiệm

A = 1, B =

√ 3

3 ·Vậy

un = cosnπ

3 +

√ 3

3 sin

nπ

3 ·Bài toán 2.9 Tìm un biết

u1 = 1, u2= 0, un+1− 2un+ un−1 = n + 1, n ≥ 2.

Giải Phương trình đặc trưng λ2− 2λ + 1 = 0 có các nghiệm kép λ = 1 Ta có

u n = ubn + u∗n, trong đó ubn = (A + Bn).1n = A + Bn và u∗n = n2(an + b)

Thay u∗n vào phương trình, ta được

(n + 1)2[a(n + 1) + b] − 2n2(an + b) + (n − 1)2[a(n − 1) + b] = n + 1.

Cho n = 1 ta được

4(2a + b) − 2(a + b) = 2 ⇔ 3a + b = 1, (2.5)Cho n = 2 ta được

9(3a + b) − 8(2a + b) + a + b = 3 ⇔ 12a + 2b = 3. (2.6)Kết hợp (2.5) và (2.6), ta được hệ phương trình có nghiệm

a = 1

6, b =

1

2 ·Vậy

u∗n = n2

n

6 +

1 2



= 0 ⇒ A + 2B = −10

3 · (2.8)Giải hệ (2.7) và (2.8), ta được



·hay

Giải Phương trình đặc trưng λ2− 2λ − 3 = 0 có nghiệm λ1= −1 và λ2 = 3 Ta

có u n = ubn + u∗n+ u∗∗n , trong đó ubn = A.(−1)n+ B.3n, u∗n = an + b, u∗∗n = k2n.Thay u∗n vào phương trình un+1− 2un− 3un−1= n, ta được

a(n + 1) + b − 2(an + b) − 3[a(n − 1) + b] = n.

k2n+1− 2k2n− 3k2n−1 = 2n.

⇔ −3k = 2 ⇔ k = −2

3 ·Vậy u∗∗n = −2

B = 25

48, A = −

61

48 ·Vậy

Bài toán 2.11 Xác định các dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

3n+55 yn+5= 3.3n5 yn

⇔ yn+5 = ynVậy

uαn+β = un+ b. (2.13)trong đó α, β ∈N∗, β

1 − α ∈Z, n ∈N.Giải Đặt n = m + β

1 − α. Khi đó (2.13) có dạng

uα(m+ β 1−α )+β = um+ β

1−α

+ b,hay

u β 1−α +αm = u β

1−α +m + b.

Đặt u β

1−α +m = xm, ta được

Đặt ym = xm+ log

α1 m. Khi đó (2.14) có dạng

yαm− ym = 0.

Nhận xét rằng, mọim ∈N đều có thể viết dưới dạngm = αskvới(k, α) = 1, s ∈N.

Vì vậy ym = yk với yk = tk ∈R túy ý.

Do vậy, khi m + β

1 − α = α

s k với (k, α) = 1 thì un = tk+ log

α1 m, tk ∈R tùy ý.Bài toán 2.13 Xác định các dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

Đặt xn = nlog2 3 yn Thế vào (2.16) ta được

2+ n

log23 y n , n = 1, 2, 3, trong đó yn tính theo công thức (2.17).

Bài toán 2.14 Xác định các dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

u2n+1 = 3un, n = 0, 1, 2, (2.18)Giải Đặt n + 1 = m, m = 1, 2, Khi đó có thể viết (2.18) dưới dạng

u 2m−1 = 3u m−1 , m = 1, 2,

v 2m = 3v m , ∀m ∈ N∗. (2.19)với vm = um−1, ∀m ∈ N∗.

Từ (2.19) ta có v0 = 0 Đặt vm = mlog2 3 ym, ∀m ∈N∗ Thế vào (2.19) ta được

(2m)log2 3 y2m= 3.mlog2 3 ym

⇔ y2m= ym, ∀m ∈N∗.Vậy {ym} là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ2 Khi đó theo ví dụ 1.3 ta có

Bài toán 2.15 Xác định các dãy số {un} thỏa mãn điều kiện

u 2n+1 = −3u n + 4, n = 0, 1, 2, (2.21)Giải Đặt n + 1 = m, m = 1, 2, Khi đó có thể viết (2.21) dưới dạng

u2m−1 = −3um−1+ 4, m = 1, 2, hay

v2m = −3vm+ 4, ∀m ∈N∗ (2.22)với vm = um−1, ∀m ∈ N∗.

Đặt vm = 1 + xm Khi đó (2.19) có dạng

x 2m = −3x m , ∀m ∈N∗. (2.23)Đặt xm= mlog2 3 ym, ∀m ∈N∗ Thế vào (2.23) ta được

(2m)log2 3 y2m= −3.mlog2 3 ym

⇔ y 2m = −y m , ∀m ∈N∗.Vậy{y m }là dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 Khi đó theo ví dụ1.4 ta có

Từ đó suy ra

u m = v m+1 = 1 + mlog2 3

y m+1

trong đó ym+1 tính theo công thức (2.24).

Bài toán 2.16 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {u n }, nếu u n thỏa mãnphương trình dãy

uαn+β = aun+ b. (2.25)trong đó α, β ∈N∗, a > 0, a 6= 1, b ∈R, β

1 − α ∈Z, n ∈N.Giải Đặt un = xn+ b

1−α

,hay

x β 1−α +αm = x β

1−α +m Đặt x β

1−α +m = ym, ta được

Đặt ym = mlogα a zm. Khi đó (2.27) có dạng

zαm− zm = 0.

Nhận xét rằng, mọim ∈ N đều có thể viết dưới dạngm = αskvới(k, α) = 1, s ∈N.

Vì vậy z m = zk với zk = tk ∈R túy ý.

2.1.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa

Giả sử dãy {un} thỏa mãn điều kiện

u1 = α1, u2 = α2, , uk = αk,

un = ϕ(un−1, un−2, , un−k), n > k, n, k ∈N∗,trong đó hàm sốϕ là đa thức đại số bậcm, hàm siêu việt hoặc ϕcó dạng khôngtuyến tính đối với các biến un−1, un−2, , un−k.

Ta giả sử rằng hàm ϕ tự tuyến tính hóa được, nghĩa là tồn tại các giá trị

x1, x2, , xk để

un = x1.un−1+ x2.un−2+ + xk.un−k. (2.28)

Ta đi tìm biểu thức tuyến tính của nó, tức là ta tìm x1, x2, , xk.

Trước hết ta xác định uk+1, uk+2, , u2k. Từ công thức lặp đã cho, ta có

uk+1 = ϕ(αk, αk−1, , α 1 ) = αk+1,

uk+2 = ϕ(αk+1, αk, , α2) = αk+2,

u2k = ϕ(α2k−1, α2k−2, , αk) = α2k.Thay các giá trị u 1 , u 2 , , uk và các giá trị uk+1, uk+2, , u2k vừa tìm đượcvào (2.28), ta được hệ phương trình tuyến tính gồm k phương trình, k ẩn sau

u2k = x1α2k−1+ x2α2k−2+ + xkαk.Giải hệ phương trình này, ta thu được x 1 , x 2 , , xk, sau đó thay vào (2.28) ta

sẽ có biểu thức tuyến tính cần tìm

ϕ(un−1, un−2, , un−k) = x1.un−1+ x2.un−2+ + xk.un−k.

Tiếp theo, cần kiểm nghiệm công thức nghiệm bằng phép quy nạp

Bài toán 2.17 Cho dãy {un} xác định bởi

u1 = 1, u2 = 1, un = u

2 n−1 + 2

un−2 , n ≥ 3, n ∈N. (2.29)Chứng minh rằng {u n } là dãy số nguyên

Giải Ta biểu diễn dãy số trên dưới dạng

un = a1un−1+ a2un−2+ b (2.30)

u n = 4u n−1 − un−2. (2.31)

Ta chứng minh công thức (2.31) bằng quy nạp

Thật vậy, với n = 3 ta có u3= 3 = 4u2− u1 nên công thức (2.31) đúng

Giả sử công thức (2.31) đúng với mọi n ≤ k tức là ta có

uk−2

uk−1 = u

2 k−2 + 2

uk−3Khi đó

uk−1

= 16u

2 k−1 − 8uk−1uk−2+ uk−1uk−3

uk−1

= (16u

2 k−1 − 4uk−1uk−2− u 2

k−1 ) + uk−1(uk−1− 4uk−2+ uk−3)

uk−1

= (16u

2 k−1 − 4uk−1uk−2− u2k−1)

uk−1

= 16uk−1− 4uk−2− uk−1

= 4(4uk−1− uk−2) − uk−1

= 4uk − uk−1

Do đó công thức(2.31)đúng với n = k + 1, nên công thức (2.31)đúng với ∀n ≥ 3,

n ∈N.

Vậy dãy số (un) xác định bởi công thức trên là dãy số nguyên

Bài toán 2.18 Cho ba số a, b, c ∈R Chứng minh rằng dãy số {un} với

u1 = a, u2= b, un = u

2 n−1 + c

b un−1− un−2, n = 3, 4, Giải Ta biểu diễn dãy số trên dưới dạng

un = d1un−1+ d2un−2+ d3 (2.33)trong đó d 1 , d 2 , d 3 ∈N.

·

Giải hệ trên, ta tìm được d1 =

a + b

2 + c a

b , d2 = −1, d3 = 0 Từ đó ta có côngthức

un =

a +b

2 + c a

b un−1− un−2, n = 3, 4, Bây giờ, bằng quy nạp ta chứng minh dãy số {un} với

u1 = a, u2= b, un = u

2 n−1 + c

b un−1− un−2, n = 3, 4, (2.34)Thật vậy, với n = 3 ta có u3 = u

b un−1 − un−2, nên công thức(2.34) đúng

Đặt

a + b

2 + c a

Đó là điều phải chứng minh.

Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau

Bài toán 2.19 Tìm xn, khi biết x1 = α, x2 = β và

yn+1= y

2

n + c

yn−1 ·Đây chính là dạng phương trình sai phân dạng phân thức mà chúng ta đã biếtcách giải (Bài toán 2.18)

Bài toán 2.20 Cho dãy số {u n } thỏa mãn điều kiện

u0 = 0, u1 = 1, un+1 = 5un+p24u 2

n + 1, ∀n ∈Z∗.Tìm công thức của số hạng tổng quát un theo n

Giải Giả sử dạng biểu thị tuyến tính của un là

u0 = 0, u1 = 1, un+1 = 5un+p24u 2

n + 1, ∀n ∈Z∗.

có dạng tuyến tính hóa là

u 0 = 0, u 1 = 1, u n+1 = 10u n − u n−1 , ∀n ∈Z∗. (2.37)

Thật vậy, với n = 1 ta có u2 = 5u1+ 24u21+ 1 = 10 = 10u1 − u0 Vậy (2.37)đúng.

Giả sử (2.37) đúng với mọi n ≤ k Ta chứng minh (2.37) đúng với n = k + 1, tức

là uk+2 = 10uk+1− uk.

Ta có

uk+2 = 5uk+1+

q24u2k+1+ 1.

Suy ra

u2k+2− 10uk+2uk+1+ u2k+1 = 1. (2.38)Trong (2.38) thay k + 2 bởi k + 1 ta có

u2k+1− 10uk+1uk + u2k = 1. (2.39)Trừ vế với vế của (2.38) và (2.39) ta được

an = − 1

4 √

6(5 − 2

√ 6)n+ 1

4 √

6(5 + 2

√ 6)n, ∀n ∈ N.

Từ bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau

Bài toán 2.21 Tìm xn khi biết xn = α và

2.2.1 Giới hạn của dãy số lặp

Đây là dạng dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số.Dãy số này hoàn toàn xác định khi biết f và giá trị ban đầu x0 Do vậy sự hội

tụ của dãy sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm f (x) và x0 Một đặc điểm quantrọng của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệmcủa phương trình x = f (x) Chúng ta có một số kết quả cơ bản sau:

Định nghĩa 2.1 Hàm số f : D → D được gọi là một hàm số co trên D nếu tồntại số thực q, 0 < q < 1 sao cho |f (x) − f (y)| ≤ q|x − y| với mọi x, y thuộc D.Định lý 2.1 Nếu f (x) là một hàm số co trên D thì dãy số {x n } xác định bởi

x0 = a ∈ D, xn+1 = f (xn) hội tụ Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên

D của phương trình x = f (x)

Chứng minh Với mọi n > m thì áp dụng định nghĩa hàm số co, ta có

|x n − x m | = |f (x n−1 ) − f (x m−1 )| ≤ q|x n−1 − x m−1 | ≤ ≤ qm|x n−m − x 0 |. (2.42)

Chứng minh rằng dãy{x n } có giới hạn hữu hạn khin dần tới dương vô cực Hãytìm giới hạn đó.

Giải

+) Nếu a = 0 khi đó xn = 0 với mọi n ∈N∗, suy ra lim

n→∞ xn = 0.++) Xét x0 = a > 0, từ sin x < x với mọi x > 0 suy ra xn > 0 với mọi n ∈N∗ Ta

có bất đẳng thức quen thuộc sin x > x −x63 với mọi x ≥ 0và dấu bằng xảy ra khi

x = 0

Từ đó với mọi n ≥ 1 thì

sin xn−1 > xn−1− x

3 n−1

6 ⇔ p3

6xn−1− 6 sin xn−1 < xn−1.Vậy

xn < xn−1.Suy ra dãy {xn}, (n = 1, 2, 3, ) là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi số 0

Do đó tồn tại giới hạn lim

n→∞ xn = α với α > 0 mà α = √ 3

6α − 6 sin α.Theo trên ta có α = 0 nên lim

n→∞ xn = 0.+++) Xéta < 0 Đặt b = −a > 0 Xét dãy {yn}(n = 1, 2, 3, ) được xác định bởi



y0= b,

yn = −xn = √ 3

6yn−1− 6 sin yn−1