2 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số
2.3.1 Phương pháp quy nạp
Trong phần này, chúng ta vận dụng phương pháp quy nạp để giải một số bài toán: chứng minh một dãy số nguyên, tính chia hết, tính chính phương trong dãy số,....
Bài toán 2.29. Cho dãy số xác định như sau
u1 = 1, u2 = 3
un+2 = 2un+1−un+ 1, n= 1,2, . . . .
Giải. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng un = n(n+ 1)
2 với mọi n nguyên dương.
Với n= 1, thì u1= 1 = 1(1 + 1)
2 . Vậy kết luận của bài toán đúng với n = 1. Với n= 2, thì u2= 3 = 2(2 + 1)
2 . Vậy kết luận của bài toán đúng với n = 2. Giả sử điều khẳng định của đầu bài đúng với mọin ≤k. Ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng với khi n =k+ 1. Thật vậy, ta có uk+1 = 2uk−uk−1+ 1 = 2k(k+ 1) 2 −(k−1)k 2 + 1 = 2k 2+ 2k−k2+k+ 2 2 = (k+ 1)(k+ 2) 2 ·
Theo nguyên lý quy nạp, suy ra với mọi n nguyên dương, thì
un = n(n+ 1) 2 · (2.46) Từ (2.46) ta có ngay An = 4· n(n+ 1) 2 ·(n+ 2)(n+ 3) 2 + 1 = n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) + 1 = (n2+ 3n+ 1)2.
Đẳng thức trên chứng tỏ rằng An là số chính phương với mọi n nguyên dương. Bài toán 2.30. Dãy số {un} được xác định như sau
u0 =u1= 1
un+1=un−1un+ 1, n= 1,2, . . . .
Chứng minh rằng u2005≡3(mod4).
Giải.Từ cách xác định dãy số ta cóu2= 2, u3 = 3, u4 = 7, u5= 22, u6 = 155, . . . .
Ta sẽ chứng minh rằng ∀n = 3,4,5, . . . thì un ≡2(mod4), hoặc un ≡3(mod4). Cụ thể ta sẽ chứng minh rằng ∀n ≥2 thì
un ≡2(mod4), nếu n = 2 + 3k, k= 0,1,2, . . .
un ≡3(mod4), nếu n 6= 2 + 3k, k= 0,1,2, . . . (2.47) Thật vậy, trước hết ta nhận xét này đã đúng với n= 2,3,4,5, . . .
Giả sử nhận xét này đúng đến n = 2 + 3p.
i) Với n= 2 + 3(p+ 1), theo trên ta có
Theo giả thiết quy nạp thì 2 + 3(p+ 1)−2 và 2 + 3(p+ 1)−1 có dạng 6= 2 + 3k
nên suy ra u2+3(p+1)−2 ≡3(mod4) và u2+3(p+1)−1 ≡3(mod4). Do đó
u2+3(p+1) ≡2(mod4).
i) Với n6= 2 + 3(p+ 1), khi đó
u2+3(p+1)+1 =u2+3(p+1)−1.u2+3(p+1)+ 1 ≡3(mod4). u2+3(p+1)+2 =u2+3(p+1).u2+3(p+1)+1+ 1 ≡3(mod4).
Theo nguyên lý quy nạp (2.47) đúng với mọi n.
Rõ ràng 20056= 2 + 3k, k∈Z. Do đó từ (2.47) suy ra u2005≡3(mod4). Đó là điều phải chứng minh.