2 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số
2.3.2 Nguyên lý Dirichlet
Nguyên lý Dirichlet còn gọi là "nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng " hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo". Nội dung của nguyên lý này hết sức đơn giản và dễ hiểu, nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán đặc biệt là trong bài toán chứng minh sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn một điều kiện nào đó. Nhiều khi có những bài toán, người ta đã dùng rất nhiều phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên lý Dirichlet mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết.
Nguyên tắc Dirichlet được phát biểu dưới dạng bài toán sau đây:
1. Nếu đem nhốt m con thỏ vào n chiếc lồng, với m > n (nghĩa là số thỏ nhiều hơn số lồng) thì ít nhất cũng có một lồng nhốt không ít hơn 2 thỏ.
Hoặc là:
2. Nếu đem xếp m đồ vật vào n ô ngăn kéo, với m > n (nghĩa là số đồ vật nhiều hơn số ngăn kéo), thì ít nhất cũng phải có một ô ngăn kéo chứa không ít hơn 2 đồ vật.
Chứng minh (dùng phương pháp phản chứng):
Giả sử không có lồng nào nhốt từ 2 thỏ trở nên, thế thì cho dù mỗi lồng đều có nhốt một thỏ thì tổng số thỏ bị nhốt cũng chỉ làn thỏ, trong khi đó tổng số thỏ làm. Điều này vô lý. Vậy ít nhất cũng phải có1lồng nhốt từ2thỏ trở nên.(đpcm)
Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp
Cho A và B là 2 tập không rỗng có số phần tử hữu hạn mà số phần tử ở A lớn hơn số lượng phần tử của B. Nếu với quy tắc nào đấy, mỗi phần tử của A tương
ứng với 1 phần tử củaB thì tồn tại 2 phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với cùng 1 phần tử của B.
Ta sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải một số bài toán về dãy số.
Bài toán 2.31. Chox1, x2, x3, . . . là dãy vô hạn các số nguyên vàk là một số tự nhiên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại dãy số gồm những phần tử liên tiếp của dãy mà tổng của chúng chia hết cho k.
Giải. Chúng ta có thể giới hạn lại, giữa mọi bộ k phần tử liên tiếp của dãy có thể chọn được một số phần tử có tính chất mong muốn. Để đơn giản ta xem xét
k phần tử đầu tiên x1, x2, . . . , xk. Chúng ta xét tổng
S1 =x1; S2 =x1+x2; S3 =x1+x2+x3; Sk =x1+x2+. . .+xk.
Nếu một tổng nào đó trong các số trên mà chia hết cho k thì bài toán được giải. Ngược lại, các tổng S1, S2, . . . , Sk, (có số lượng k) khi chia cho k được các số dư
1,2, . . . , k−1. Từ nguyên lý Dirichlet suy ra có một cặp chỉ sốivàj, 1≤i≤j ≤k
mà các tổngSi vàSj cho cùng một số dư khi chia chok.Khi đó tổng các phần tử liên tiếpxi+1, xi+2, . . . , xj của dãy đã chia hết chok,vìxi+1+xi+2+. . .+xj =Sj−Si.
Bài toán 2.32. Cho dãy vô hạn các chữ số . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, nguyên tố cùng nhau với 10, trong dãy vô hạn trên tồn tại một nhóm chữ số liên tiếp mà số tạo bởi các chữ số trong nhóm (viết theo thứ tự chỉ số lớn đứng trước) chia hết cho n.
Giải. Cho dãy các chữ số a1, a2, . . . , an, . . . . Chúng ta xét các số
A1 =a1, A2=a2a1, . . . , An =anan−1. . . a1, An+1 =an+1. . . a1.
Vì số lượng những số này là n+ 1, còn số lượng khả năng của số dư khi chia chúng cho n là n, nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất hai số cho cùng số dư ta ký hiệu chúng là Ai và Aj,(i < j).
Khi đó hiệu Aj−Ai chia hết cho n. Hay nói cách khác
Aj −Ai=aj. . . a1−ai. . . a1 =aj. . . ai+1.10i.
Vì (n,10) = 1 nên aj. . . ai+1 chia hết cho n.
Bài toán 2.33. Chứng minh rằng nếua1, a2, . . . , an+1∈ {1,2, . . . ,2n} thì tồn tại hai số tự nhiên i, j (i < j) sao cho ai|aj.
Giải. Kí hiệu f(ai) là ước lẻ lớn nhất của ui, tức là ai = 2pif(ai), với f(ai) là số nguyên dương lẻ.
Do a1, a2, . . . , an+1 ≤ 2n suy ra với mọi i = 1,2, . . . , n+ 1 ta đều có f(ai) < 2n hay f(ai) chỉ có thể nhận n giá trị từ 1,3, . . . ,2n − 1. Vì có n + 1 số lẻ
f(a1), f(a2), . . . , f(an+1) nên theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại hai số i, j với
1≤i < j≤n+ 1 sao cho f(ai) = f(aj). (2.48) Mặt khác, ta có ai = 2pif(ai) aj = 2pjf(aj) (2.49) Vì i < j nên ai < aj. Kết hợp (2.48) và (2.49) suy ra 2pi <2pj.
Điều này chứng tỏ rằng 2pi|2pj, suy ra ai|aj.