PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN về dãy số và số học TRÊN máy TÍNH bỏ túi

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH BỎ TÚI GIỚI THIỆU Hiện thấy với bùng nổ phát triển công nghệ thông tin với phát triển nghành khoa học giới nói chung việt nam nói riêng đạt đến tầm cao Để thích ứng với tầm cao quản lý số liệu phép tính tay đơn giản mà phải dùng máy tính dự đoán, tính toán quản lý số liệu Ngay phổ thông nhiều toán phải dùng đến máy tính dự đoán cho kết tốt Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi toán dãy số số học chiếm đến 40% số điểm thi Tuy nhiên nhiều học sinh chưa hiểu máy tính, hiểu sai tư tưởng kỳ thi giải toán máy tính Chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu học sinh tư tưởng giải toán máy tính Nội dung chuyên đề gồm ba phần Phần 1: Giới thiệu số chức thường dùng máy tính Phần 2: Phân tích tư tưởng giải toán máy tính qua số toán dãy số số học Phần 3: Các đề thi tài liệu tham khảo NỘI DUNG Phần 1: Giới thiệu số chức thường dùng máy tính Hầu hết hoc sinh biết thao tác bấm máy Tuy nhiên em chưa khai thác hết chức số phím như: STO – CALC – SOLVE – COPY 1) Chức STO: Dùng để nhớ số vào ô nhớ Ngoài ô nhớ M, máy tính ô nhớ A,B, C, D, E, F, X, Y Ví dụ: Để nhớ số vào A ta bấm: – shift – STO – A Màn hình 1→A Ta ghi số vào A 2) Chức CALC: Dùng để tính giá trị biểu thức f(x) điểm Ví dụ: Cho f(x) = x3 – 3x2 + Tính f(-2 ) Để tính f( - ) ta làm sau: Bước 1: Nhập biểu thức x3 – 3x2 + Bước 2: bấm CALC hình x? nhập -2 bấm “ = “ Máy tính kết 19 3) Chức SOLVE: Giải phương trình ( đoán nghiệm) Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = ta làm sau: Bước 1: nhập biểu thức f(x) Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE hình x? Bước 3: bấm số gần với nghiệm mà ta dự đoán bấm “=” Máy tính tìm nghiệm Ví dụ; Trong đề thi đại học khối B năm 2010 có câu II.1 Giải phương trình: – + 3x2 – 14x – = Nếu không đoán nghiệm khó phân tích Ta thấy x [ , 6] Khi muốn đoán nghiệm phương trình f(x) = ta làm sau: Bước 1: nhập biểu thức Bước 2: bấm SHIFT – SOLVE hình x? Bước 3: bấm số bấm “ =” Máy tính tìm nghiệm Từ ta dể dàng phân tích thừa số giải sau: -4–( ⇔ - 1) + 3x2 – 14x – = – ⇔ (x – 5)( ⇔ x – = +(x – 5)(3x + 1) = + +3x + 1) = + +3x + = vô nghiệm ⇔x=5 Trong đề thi học sinh giỏi tỉnh đồng nai ngày 14/10/2010 có Giải phương trình: x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25 x – 14 = Phương án tối ưu để giải phương trình nhẩm nghiệm Ta dùng máy tính 570ES đoán nghiệm số Và ta phân tích thừa số (x – 2)(x4 + x3 + x2 – 9x + ) = Ta dùng khảo sát hàm số dễ dàng chứng minh phương trình: x4 + x3 + x2 – 9x + =0 vô nghiệm Thật Đặt y = f(x) = x4 + x3 + x2 – 9x + y’ = 4x3 + 3x2 + 2x – = (x – 1)(4 x2 + 7x +9 ) Bảng biến thiên x –∞ y’ y – +∞ +∞ + +∞ Do x = nghiệm phương trình 4) Chức copy: Máy tính fx570MS cho ta copy lại phép tính tính Ví dụ: Ta có phép tinh +2 = *2 = 12 6:2=3 Ta muốn copy phép toán ta đưa trỏ lên phép tính thứ (6 +2 = 8) bấm SHIFT_COPY Khi phép toán lên dòng: +2 = 8; *2 = 12; : = Ta việc bấm “=” liên tiếp máy tính thực phép toán Chức cho phép ta tính số hạng thứ n dãy số truy hồi nhanh Ví dụ: Cho (Fn) biết F1 = 1, F2 = 1, Fn +2 = Fn +1 + Fn Tìm F30 ? Bây để dùng chức COPY ta lập thuật toán cho máy tính Bước 1: Gán cho A: _ shift _Sto _A: 1→A Gán cho B: _ shift _Sto _B Bước 2: Bấm A + B →A B + A →B Bước 3: COPY hai dòng ta A + B →A; B + A →B Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” đếm tới số thứ 30 ta F30 Nếu ta không thích đếm ta lập thêm ô nhớ C để đếm Thuật toán sau Bước 1: Gán cho A: _ shift _Sto _A: 1→A Gán cho B: _ shift _Sto _B Gán cho C: _ shift _Sto _C Bước 2: Bấm A + B →A B + A →B C + →C Bước 3: COPY ba dòng ta A + B →A; B + A →B; C + →C Bước 4: Ta bấm liên tiếp phím “=” dừng lại C = 30 ta F30 Phần 2: PhânTích Tư Tưởng Giải Toán Bằng Máy Tính Bỏ Túi Qua Một Số Bài Toán Về Dãy Số Và Số Học Dạng 1: Việc tính toán lặp lặp lại theo chu kỳ định Ví dụ 1: Chữ số thập phân thứ 2006 sau dấu phẩy chữ số ta chia cho 49 Phân Tích: Tư tưởng để giải rỏ ràng tìm chu kỳ số thập phân 49 Vấn đề đặt để tìm chu kỳ nhanh ta dùng máy tính 570MS 1:49 ≈ 0,02040816327 1010 – 49*204081632 =32 32:49 ≈ 0,6530612245 32*109 – 49*653061224=24 24:49 ≈ 0,4897959184 24*109 – 49*489795918=18 18:49 ≈ 0,3673469388 18*109 – 49*367346938=38 38:49 ≈ 0,7755102041 Như 1:49 ≈ 0,02040816326530612244897959183673469387755102041 Suy chu kỳ 42 Ta thấy 2006 = 42*47 + 32 Do chữ số thập phân thứ 2006 chữ số Lưu ý: Với kỳ thi máy tính ta viết kết gần (≈) Ví dụ 2: Ngày 01/01/2008 ngày thứ ba Vậy ngày 01/01/2080 ngày thứ mấy? Phân Tích: Ta thấy năm có 365 ngày, năm nhuận có 366 ngày Từ ngày 01/01/2008 đến Vậy ngày 01/01/2080 trải qua 72 năm, có 18 năm nhuận Cứ năm có năm nhuận Năm nhuận năm chia hết cho mà không chia hết cho 100 chia hết 400 Suy số ngày 72*365 + 18 = 26298 = 7*3756 + Số dư tức từ thứ thêm ngày nửa ta thứ Như ngày 01/01/2080 ngày thứ   x = 1412003  Ví dụ 3: Cho dãy số (xn ):  x2 = 20032004 Tính x2004  + xn +1  xn + = xn  Tư tưởng đề giải liệt kê dãy số xem thử dãy số có hội tụ không Bấm 1412003 →A 20032004 →B Bấm 1+ B 1+ A →A →B A B Copy hai dòng ta 1+ B 1+ A →A; →B A B Bấm “ =” liên tiếp ta  x6 = 1412003  x = 20032004   x8 = 20032005/1412003  x = 282158/372174338737   x10 = 18579/263579  x1 = 1412003  x = 20032004   x3 = 20032005/1412003  x = 282158/372174338737   x5 = 18579/263579 Suy dãy số tuần hoàn với chu kỳ Do x2004 = x4 Dạng 2: Dãy số hội tụ  x = y =   Ví dụ 1: Cho hai dãy số (xn) (yn) :  xn +1 = xn + + xn Tính x2004.y2004  yn  yn +1 =  + + yn2  Phân tích: Nếu ta dùng máy tính đoán đáp số cho toán dễ dàng Ta cần tổ chức ô nhớ cho hợp lý →A →B A + + A2 →A COPY ba dòng ta B + + B2 A + + A2 →A; →B B + + B2 A.B →B; A.B Bấm “=” liên tục ta A.B không đổi Lưu ý viết kết x2004.y2004 ≈ Nếu ta dùng suy luận toán học việc đoán đáp số cho toán không dễ dàng Ta thấy: x1 = cot300, x2 = cot 30o 30o ,………… , xn + = cot n 2 y1 = tan600, y2 = tan 60o 60o ,………… , yn + = tan n 2 60o 300 Tính x2004.y2004 = tan 2003 cot 2003 = − tan 300 (≈ ) 2 22003  x1 = 4732; y1 = 847  Ví dụ 2: Cho hai dãy số (xn) (yn) xác định sau :  x = xn + yn ; y = xn yn n +1  n +1 xn + yn  x5 − 2002 a) Tính giá trị x + 2002 với 10 chữ số thập phân xn ; lim yn b) Tìm lim x →∞ x →∞ Bấm 4732 →A 847 →B Bấm A+ B 2AB →C →D C→ A D →B A+ B COPY bốn dòng ta : A+ B 2AB → C; →D; C→ A; D →B A+ B  x1 = 4732  x = 2785,5  Bấm “=” liên tục ta được:  x3 = 2113,159039  x = 2004,923663   x5 = 2002, 002132 x5 − 2002 Từ suy x + 2002 ≈5,323948215-07 lim xn = 2002; lim yn = 2002 x →∞ x →∞ Ví dụ 3: Cho dãy số (xn) với xn =sin(2010 – sin( 2010 - ……… sin( 2010 – sin(2010))………….)) Tìm n0 để với n ≥ n0 xn có bốn chữ số phần thập phân sau dấu phẩy không đổi Tìm gía trị x2009 Chuyển máy radian Bấm sin2010 Bấm sin(2010 – Ans) Bấm “ =” liên tiếp đếm ta bốn chữ số phần thập phân sau dấu phẩy không đổi 3071 Kết n0 = 185 Dạng 3: Tính toán theo qui luật định Ví dụ 1: Cho f(x) = 4x( 4x + 2) S = f( –1 Hãy tính tổng 2009 ) + f( ) +……………… + f( ) 2010 2010 2010 Ta có: Nếu u + v = 1thì f(u) + f(v) =1 Do S = 1004 + f( 1005 ) = 1004 + 2010 Bình luận: Nếu ta không thấy đặc điểm việc giải toán khó  x1 =  Ví dụ 2: Cho dãy số (xn) xác định sau :  x = xn (n ≥ 1) Tìm gía trị x2008  n +1 nx + n  Bấm →A 1→B Bấm A → A ; + B→B AB + COPY hai dòng ta : Bấm “=” liên tục ta được: 1, A → A ; + B→B AB + 1 1 1 , , , , , …… 11 16 Ta có +1 +2 + + +…………….+ 2007 = 2015029 Do x2008 = 2015029 Ví dụ 3: Cho f (n) = n + 2n + + n − 2n + + n − Tính S = f(1) + f(2) + f(3) + ………………… + f(123456789) Ta thấy f(n) = Do S = 3 n +1 − n −1 123456790 + 123456789 − ≈497.4338599 Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối số 21999 + 22000 + 22001 76*76 = 5776 220 = 1048576 21999 + 22000 + 22001 = 21980 (219 + 220 + 221) 219 + 220 + 221 = 3670016 76*16 = 1216 Do hai chữ số cuối la 16 Ví dụ 5: Phép tính nâng lên luỹ thừa lấy modul số nguyên, tức tính C = Nk mod p, không khó khăn, với số cực lớn Nhưng phép tính ngược lại, tức tìm N biết C, k, p, thường gọi phép “khai căn” bậc k modul p, lại việc vô khó khăn Trong trường hợp tổng tổng quát, với số nguyên lớn, toán giải với siêu máy tính mạnh Tuy nhiên, p số nguyên tố k ước chung với p – nhờ định lý fermat (nhỏ ) người ta phát thực phép “ khai “ cách tìm số d cho dk = mod (p – 1) tính N công thức N = Cd mod p Để kiểm nghiệm điều nói trên, em a) Tính số C = 123452305 mod 54321 ; b) Tìm số N cho N52209 mod 89897 = 56331 Phân Tích B1) 123452305 , 2305 = 2304 + 123452 : 54321≈ 2805.526868, 123452 – 2805* 54321 = 28620 B2) 286201152 10 286202: 54321≈15078.96394, 286202 – 15078*54321 = 52362 B3) 52362576 523622: 54321≈ 50473.64820, 523622 – 54321* 50473 = 35211 B4) 35211288 352112: 54321≈ 22823.85304, 523622 – 54321* 22823 = 46338 B5) 46338144 463382: 54321≈ 39528.17960, 463382 – 54321* 39528 = 9756 B6) 975672 97562: 54321≈ 1752.168333, 97562 – 54321* 1752 = 9144 B7) 914436 91442 : 54321≈ 1539.234108, 91442 – 54321* 1539 = 12717 B8) 1271718 127172 : 54321≈ 2977.155962, 127172 – 54321* 2977 = 8472 B9) 84729, = + 84722 : 54321≈ 1321.308223, 84722 – 54321* 1321 = 16743 B10) 167434 167432 : 54321≈ 5160.583366, 167432 – 54321* 5160 = 31689 B11) 316892 316892 : 54321≈ 18486.27089, 316892 – 54321* 18486 = 14715 B12) 12345*8472*14715 : 54321≈ 28331498.878886618, 12345*8472*14715 – 54321* 28331498 = 47742 Suy C = 47742 B1) d.52209 = +n.89896 89896 – 52209 = 37687 n = 1190, d = 2049 B2) d.52209 = + n.37687 52209 – 37687 = 14522 n = 1190, d =859 B3) d 14522 = + n.37687 37687 – 2*14522 = 8643 n = 331, d = 859 B4) d 14522 = + n 8643 14522 – 8643 = 5879 n = 331, d = 197 B5) d 5879 = + n.8643 8643 – 5879 = 2764 n = 134, d = 197 B6) d 5879 = + n 2764 5879 – 2*2764 =351 n = 134, d = 63 B7) d 351 = + n.2764 2764 – 7*351 = 307 n = 8, d = 63 B8) d 351 = + n.307 351 – 307 = 44 n = 8, d =7 B9) d.44 = + n.307 307 – 6*44 = 43 n = 1, d = B10) d.44 = + n.43 n=1 Từ B10 ta có n = ta suy ngược lên B1 d = 2049 N = 563312049 mod 89897 11 B1) 563312049 , 2049 = 2048 + 563312 : 89897≈ 35297.9694651, 563312 – 35297* 89897 = 87152 B2) 871521024 871522: 89897≈84490.81842, 871522 – 84490*89897 =73574 B3) 73574512 735742: 89897≈ 60214.8400503, 735742 – 89897* 60214 =75518 B4) 75518256 755182: 89897≈ 63438.9170273, 755182 – 89897* 63438 = 82438 B5) 82438128 824382: 89897≈ 75597.8936338, 824382 – 89897* 75597 = 80335 B6) 8033564 803352: 89897≈ 71790.0733, 803352 –89897* 71790 = 6595 B7) 659532 65952 : 89897≈ 483.820650300, 65952 – 89897* 483 = 73774 B8) 7377416 737742 : 89897≈ 60542.6552165, 737742 –89897* 60542 = 58902 B9) 589028 589022 : 89897≈ 38593.5637897, 589022 – 89897* 38593 =50683 B10) 506834 506832 : 89897≈ 28574.55186, 506832 – 89897* 28574 =49611 B11) 496112 496112 : 89897≈ 27378.5701525, 496112 – 89897* 27378 = 51255 B12) 51255*56331: 89897≈ 32117.260, 51255*56331– 89897* 32117 = 23456 Suy N = 23456 Bình luận Để làm toán đòi hỏi phải kiên nhẫn, thật kiên nhẫn Dạng 4: Các toán không mẫu mực Ví dụ 1: Tìm nghiệm (x, y, z) với x, y, z số nguyên dương phân biệt 1 1 1 phương trình sau: n = x + y − z Với a) n = 109 1 Ta có n = x + y − z ⇔ z = x + y − n ⇔ z = b) n = 1001 ( x + y )n − xy xyn ( x − y)2 Cho n = x + y ta = z xyn 1 Cho = x – y ta z = xyn a) Với n = 109 x = 55 , y = 54 z = 55*54*109 = 323730 12 b) Với n = 1001 x = 501 , y = 500 z = 501*500*1001 = 250750500 k (−1) k C2006 Ví dụ 2: Tính S = 2010 ∑ k = k + 9k + 26k + 24 2006 2006 (−1) k 2006! (−1) k 2006!( k + 1) S = 2010 ∑ = 2010 ∑ k = k !(2006 − k )!( k + 2)( k + 3)( k + 4) k = ( k + 4)!(2010 − ( k + 4))! 2006 = 2006 ( −1) k 2010!(k + 1) k +4 (−1) k C2010 (k + 1) = ∑ ∑ 2007.2008.2009 ( k + 4)!(2010 − ( k + 4))!2007.2008.2009 k =0 k =0 2006 2006 Xét T = (−1) 2006 C ∑ (−1) C k k =0 2010 2010 k +4 2010 (k + 1) = (−1) C2010 + (−1)1.C2010 + …………+ 2007 2006 2010 + …………………+ (−1) 2002 C2010 2003 + ………+ (−1) 2006 C2010 2007 = (−1)0 C2010 1004 1005 + (−1)1.C2010 + ….+ (−1)1000 C2010 + (−1)1001.C2010 = 1002( (−1)0 C2010 ) + … + 2010 (−1) 2006 C2010 2007 2010 Ta thấy (1 – 1)2010 = C2010 - C2010 +…………… + (−1) 2010 C2010 1004 1005 = C2010 - C2010 +…………… + C2010 - C2010 Do T = 2007.1004 Từ suy S = 4018 Bình luận: Ta thấy lời giải hoàn toàn không sử dụng máy tính mà phải khôn khéo biến đổi vận dụng sáng tạo nhị thức niu tơn công thức tổ hợp Nhưng lại đề thi cho máy tính bỏ túi Vậy ta hiểu tư tưởng người đề cho câu hỏi Một cách giải khác: 1 1 Ta có: (k + 2)(k + 3)(k + 4) = 2(k + 2) − k + + 2(k + 4) 13 k (−1) k C2006 Đặt S1 = ∑ k = 2( k + 2) 2006 Ta thấy f(x) = x(1 – x)2006 = ∫ f ( x)dx = 2006 ∑ (−1) C k k =0 k 2006 x k x k (−1) k C2006 = 2S1 ∑ k +2 k =0 2006 Tương tự k (−1) k C2006 S2 = ∑ = k +3 k =0 2006 ∫ x (1 − x) 2006 dx k (−1) k C2006 2006 S3 = ∑ = ∫ x (1 − x) dx k = 2( k + 4) 2006 Như S = 2010( S1 – S2 + S3 ) Bấm máy cho kết S = 0,0002492980106 Bấm theo kết S = = 0,0002488800398 4018 Vậy ta hiểu hai đáp số Chính điều tạo nhiều lời phê bình gây nhiều khó khăn cho giáo viên dạy ôn thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi Ví dụ 3: Bài 1; Cho h(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx +132005 Biết h(1) ; h(2); h(3); h(4) 8, 11, 14, 17 Tìm h(10) Bài 2: cho p(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết p(x) nhận giá trị 11, 14, 19, 26, 35 x theo thứ tự nhận giá trị tương ứng 1, 2, 3, 4, Tính p(16) số dư chia p(x) cho 10x – (kết lấy chữ số thập phân) Phân Tích Về mặt tư tưởng toán giải hệ phương trình 14 Nếu nhìn toán khía cạnh đặc biệt : Ta thấy h(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – p) + 3x + với h(0) = 132005 ta tìm p h(10) dễ dàng P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 +10 ta dễ dàng tính p(16) r = p( ) 10 Để nhìn khía cạnh đặc biệt em xin nhường lời bình luận lại cho người đề người quan tâm tới đề thi Phần 3: Tài liệu tham khảo 1) Máy tính VINACAL Vn – 570MS Hướng Dẫn Sử Dụng Và Giải Toán cùa TS TRẦN VĂN VUÔNG 2) Các đề thi học sinh giỏi giải toán máy tính casio TẠ DUY PHƯỢNG _NGUYỄN THẾ THẠCH 3) Các website sở giáo dục đào tạo nước 15 [...]... 1, 2, 3, 4, 5 Tính p(16) và số dư khi chia p(x) cho 10x – 3 (kết quả lấy 5 chữ số thập phân) Phân Tích Về mặt tư tưởng của các bài toán trên là giải hệ phương trình 14 Nếu nhìn bài toán trên ở khía cạnh đặc biệt : Ta thấy h(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – p) + 3x + 5 với h(0) = 132005 ta tìm p và h(10) rất dễ dàng P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 +10 và ta dễ dàng tính p(16) cũng... biệt đó em xin nhường lời bình luận lại cho người ra đề đó và mọi người quan tâm tới đề thi trên Phần 3: Tài liệu tham khảo 1) Máy tính VINACAL Vn – 570MS Hướng Dẫn Sử Dụng Và Giải Toán cùa TS TRẦN VĂN VUÔNG 2) Các đề thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio của TẠ DUY PHƯỢNG _NGUYỄN THẾ THẠCH 3) Các website của các sở giáo dục đào tạo trên cả nước 15 ... 2 C2010 - C2010 Do đó T = 2007.1004 Từ đó suy ra S = 1 4018 Bình luận: Ta thấy lời giải trên hoàn toàn không sử dụng máy tính mà phải khôn khéo biến đổi vận dụng sáng tạo nhị thức niu tơn và công thức tổ hợp Nhưng đây lại là đề thi cho máy tính bỏ túi Vậy ta hiểu gì về tư tưởng của người ra đề cho câu hỏi này Một cách giải khác: 1 1 1 1 Ta có: (k + 2)(k + 3)(k + 4) = 2(k + 2) − k + 3 + 2(k + 4) 13 k... 2 ∫ x (1 − x) dx k = 0 2( k + 4) 0 2006 Như vậy S = 2010( S1 – S2 + S3 ) Bấm máy cho kết quả S = 0,0002492980106 Bấm theo kết quả S = 1 = 0,0002488800398 4018 Vậy ta hiểu gì về hai đáp số trên Chính vì điều này đã tạo ra rất nhiều lời phê bình và gây rất nhiều khó khăn cho các giáo viên dạy ôn thi học sinh giỏi máy tính bỏ túi Ví dụ 3: Bài 1; Cho h(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx +132005 Biết h(1) ; h(2);... B12) 51255*56331: 89897≈ 32117.260, 51255*56331– 89897* 32117 = 23456 Suy ra N = 23456 Bình luận Để làm được bài toán trên đòi hỏi phải kiên nhẫn, thật kiên nhẫn Dạng 4: Các bài toán không mẫu mực Ví dụ 1: Tìm một nghiệm (x, y, z) với x, y, z là các số nguyên dương phân biệt của 4 1 1 1 1 1 1 phương trình sau: n = x + y − z Với a) n = 109 4 1 1 1 4 1 Ta có n = x + y − z ⇔ z = x + y − n ⇔ z = b) n = 1001... = 1001 ( x + y )n − 4 xy xyn 1 ( x − y)2 Cho n = x + y ta được = z xyn 1 1 Cho 1 = x – y ta được z = xyn a) Với n = 109 thì x = 55 , y = 54 và z = 55*54*109 = 323730 12 b) Với n = 1001 thì x = 501 , y = 500 và z = 501*500*1001 = 250750500 k (−1) k C2006 Ví dụ 2: Tính S = 2010 ∑ 3 2 k = 0 k + 9k + 26k + 24 2006 2006 (−1) k 2006! (−1) k 2006!( k + 1) S = 2010 ∑ = 2010 ∑ k = 0 k !(2006 − k )!( k + 2)( ... Tư Tưởng Giải Toán Bằng Máy Tính Bỏ Túi Qua Một Số Bài Toán Về Dãy Số Và Số Học Dạng 1: Việc tính toán lặp lặp lại theo chu kỳ định Ví dụ 1: Chữ số thập phân thứ 2006 sau dấu phẩy chữ số ta chia... thi học sinh giỏi tỉnh đồng nai ngày 14/10/2010 có Giải phương trình: x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25 x – 14 = Phương án tối ưu để giải phương trình nhẩm nghiệm Ta dùng máy tính 570ES đoán nghiệm số Và. .. +2 = 8) bấm SHIFT_COPY Khi phép toán lên dòng: +2 = 8; *2 = 12; : = Ta việc bấm “=” liên tiếp máy tính thực phép toán Chức cho phép ta tính số hạng thứ n dãy số truy hồi nhanh Ví dụ: Cho (Fn)