Dãy số và một số phương pháp giải toán về dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đặng Thị Thảo DÃY SỐ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2011 MỤC LỤC Mở đầu Dãy số 1.1 Định nghĩa định lý 1.2 Một vài dãy số đặc biệt 1.3 Một số toán áp dụng 13 Một số phương pháp giải toán dãy số 18 2.1 Một số phương pháp giải tốn tìm số hạng tổng qt dãy số 18 2.1.1 Phương pháp quy nạp 18 2.1.2 Phép lượng giác 20 2.1.3 Phương pháp sử dụng phương trình sai phân, tính chất hàm số 24 2.1.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa 31 2.2 Một số phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số 38 2.2.1 Giới hạn dãy số lặp 38 2.2.2 Giới hạn dãy trung bình Cesaro 41 2.2.3 Giới hạn dãy phân tuyến tính 43 2.3 Một số phương pháp giải toán dãy số số học 48 2.3.1 Phương pháp quy nạp 48 2.3.2 Nguyên lý Dirichlet 50 2.3.3 Dãy số sinh phần nguyên 52 2.4 Một số phương pháp ước lượng tổng tích số dãy số 55 2.4.1 Phương pháp sai phân 55 2.4.2 Phương pháp đại số 58 2.4.3 Sử dụng số phức 62 Một số phương pháp thiết lập toán dãy số 3.1 Xây dựng dãy số hội tụ sinh đại lượng trung bình 3.1.1 Trường hợp số 3.1.2 Trường hợp lệch số 3.1.3 Phối hợp ba dãy số 3.2 Xây dựng dãy số nghiệm họ phương trình 64 64 64 67 76 79 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 MỞ ĐẦU Đề tài dãy số thuộc lĩnh vực khó rộng (xem [1] - [8]), sử dụng nhiều kiến thức khác toán học Mục tiêu luận văn nhằm đề cập đến số vấn đề dãy số liên quan đến chương trình tốn bậc phổ thơng Nội dung chủ yếu đề tài "Dãy số số phương pháp giải toán dãy số" hệ thống số phương pháp giải toán dãy số số cách xây dựng toán dãy số Đó số phương pháp giải tốn xác định số hạng tổng quát dãy số, toán tìm giới hạn dãy số, tốn dãy số số học toán ước lượng tổng tích dãy số Và số cách thiết lập toán dãy số thiết lập dãy số từ đại lượng trung bình, dãy số nghiệm họ phương trình Để giải toán này, ta cần kiến thức tổng hợp tính chất dãy số, giới hạn dãy số, Mục tiêu luận văn hệ thống phương pháp xây dựng toán minh họa, tổng quát vấn đề nêu Nội dung luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận phân thành ba chương, đề cập đến vấn đề sau • Chương trình bày số kiến thức dãy số gồm số định nghĩa, định lý, vài dãy số đặc biệt số tốn áp dụng • Chương hệ thống số phương pháp giải toán dãy số Với tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số hệ thống phương pháp quy nạp, phép lượng giác, sử dụng phương trình sai phân, tính chất hàm số, kỹ thuật tuyến tính hóa Với tốn tìm giới hạn dãy số, xét dạng toán dãy số dạng lặp, dãy trung bình Cesaro, dãy phân tuyến tính Với tốn dãy số số học có phương pháp quy nạp, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh phần nguyên Với tốn ước lượng tổng tích dãy số, hệ thống phương pháp sai phân, đại số, sử dụng số phức • Chương trình bày số cách thiết lập toán dãy số thiết lập dãy số từ đại lượng trung bình (trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hịa), dãy số nghiệm họ phương trình Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy tận tình hướng dẫn, bảo cho học trị q trình học tập, nghiên cứu giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học seminar Phương pháp Toán sơ cấp trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội nhận xét, góp ý cho luận văn Xin bày tỏ tình cảm chân thành tới gia đình, bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Mặc dù có nhiều cố gắng, song q trình thực khơng tránh khỏi sơ suất tác giả mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Học viên Đặng Thị Thảo CHƯƠNG DÃY SỐ Chương giới thiệu khái niệm dãy số, định nghĩa, định lý số dãy số đặc biệt Những kiến thức em xem trình bày lại [1], [2] 1.1 Định nghĩa định lý Định nghĩa 1.1 Dãy số hàm số từ N∗ (hoặc N) vào tập hợp số (N, Q, R, C) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường kí hiệu un , , xn , yn thay u(n), v(n), x(n), y(n) Bản thân dãy số kí hiệu {xn } Nhận xét 1.1 Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 1.2 Dãy số {un } gọi dãy số tăng (giảm) với n ta có un+1 ≥ un (un+1 ≤ un ) Dãy số tăng giảm gọi chung dãy đơn điệu Dãy số {un } gọi bị chặn tồn số thực M cho với n ∈ N ta có un ≤ M Dãy số {un } gọi bị chặn tồn số thực m cho với n ∈ N ta có un ≥ m Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi dãy bị chặn Định nghĩa 1.3 Dãy {un } gọi dãy tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = un , ∀n ∈ N (1.1) Số nguyên dương l nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở dãy Dãy {un } gọi dãy phản tuần hồn (cộng tính) tồn số ngun dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N (1.2) Số nguyên dương l nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở dãy Ví dụ 1.1 Chứng minh dãy số {un } tuần hồn cộng tính chu kỳ dãy có dạng un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], a, b ∈ R Giải Giả sử u0 = b, u1 = a Theo giả thiết, dãy số {un } tuần hoàn chu kỳ nên ta có un+2 = un , ∀n ∈ N - Nếu n = 2k + un = u2k+1 = a = 21 [a + b + (a − b)(−1)2k+2 ] - Nếu n = 2k un = u2k = b = 12 [a + b + (a − b)(−1)2k+1 ] Vậy un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], n ∈ N Ngược lại, un có dạng un = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ], a, b ∈ R, n ∈ N với n ∈ N ta có 1 un+2 = [a + b + (a − b)(−1)n+3 ] = [a + b + (a − b)(−1)n+1 ] = un 2 Suy un dãy tuần hoàn chu kỳ Ví dụ 1.2 Chứng minh dãy số {un } phản tuần hồn cộng tính chu kỳ r có dạng un = (vn − vn+r ) với vn+2r = (1.3) Giải Ta có un+r = −un với ∀n ∈ N dãy tuần hồn cộng tính chu kỳ 2r Chọn un = , ta có 1 (vn − vn+r ) = (un − un+r ) = (un + un ) = un 2 Ngược lại , ta thấy dãy xác định theo (1.3) dãy phản tuần hoàn chu kỳ r Thật 1 un+r = (vn+r − vn+2r ) = (vn+r − ) = −un 2 Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 1.2 Dãy tuần hồn chu kỳ dãy Định nghĩa 1.4 Dãy {un } gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s (s > 1) cho usn = un , ∀n ∈ N (1.4) Số nguyên dương s nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (1.4) gọi chu kỳ sở dãy Dãy {un } gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho usn = −un , ∀n ∈ N (1.5) Số nguyên dương s nhỏ để dãy {un } thỏa mãn (1.5) gọi chu kỳ sở dãy Ví dụ 1.3 Chứng minh dãy {un } tuần hồn nhân tính chu kỳ dãy có dạng un = αn tùy ý với n lẻ, u2k+1 với n = 2m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N Giải Nhận thấy với n ∈ N viết dạng n = 2s (2k + 1), với s ∈ N Do un = u2s (2k+1) = u2k+1 Vì un = αn tùy ý với n lẻ, u2k+1 với n = 2m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N Ngược lại, dễ thấy {un } xác định dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ Ví dụ 1.4 Chứng minh dãy {un } phản tuần hồn nhân tính chu kỳ dãy có dạng   αn tùy ý với n lẻ, un = −u2k+1 với n = 22m+1 (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N,  u2k+1 với n = 22m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N Giải Nhận thấy với n ∈ N viết dạng n = 2s (2k + 1), với s ∈ N Do un = u2s (2k+1) = u2k+1 s = 2m, m ∈ N∗ , −u2k+1 s = 2m + 1, m ∈ N∗ Vì   αn tùy ý với n lẻ, un = −u2k+1 với n = 22m+1 (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N,  u2k+1 với n = 22m (2k + 1), m ∈ N∗ , k ∈ N Ngược lại, dễ thấy {un } xác định dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ Nhận xét 1.3 i) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l dãy tuần hoàn chu kỳ 2l ii) Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ s2 Định nghĩa 1.5 Ta nói dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn a n dần đến vô với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn ε) cho với n > N0 ta có |xn − a| < ε lim xn = a ⇔ ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn − a| < ε n→+∞ Ta nói dãy số {xn } dần đến vô n dần đến vô với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn M ) cho với n > N0 ta có |xn | > M lim xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |xn | > M n→+∞ Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Định lý 1.1 (Tổng, hiệu, tích, thương dãy hội tụ) Nếu {xn }, {yn } dãy hội tụ có giới hạn tương ứng a, b dãy số {xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn } xn a hội tụ có giới hạn tương ứng a + b, a − b, a.b, · (Trong trường yn b hợp dãy số thương, ta giả sử yn b khác không) Định lý 1.2 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn l, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có a ≤ xn ≤ b a ≤ l ≤ b Định lý 1.3 (Định lý kẹp) Cho ba dãy số {xn }, {yn }, {zn } xn zn có giới hạn hữu hạn a N0 ∈ N : ∀n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn Khi yn có giới hạn a Định lý 1.4 (Sự hội tụ dãy đơn điệu) Một dãy tăng bị chặn hay dãy giảm bị chặn hội tụ Nói ngắn gọn hơn, dãy đơn điệu bị chặn hội tụ Định lý 1.5 (Về dãy đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số thực {an }, {bn } cho a) ∀n ∈ N, an ≤ bn ; b) ∀n ∈ N, [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ]; c) bn − an → n → ∞ Khi tồn số thực a cho ∩[an , bn ] = {a} Định lý 1.6 (Bolzano-Weierstrass) Từ dãy bị chặn ln trích dãy hội tụ Định nghĩa 1.6 Dãy xn gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀m, n > N0 , |xm − xn | < ε Định nghĩa 1.7 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy số {xn } có giới hạn hữu hạn dãy Cauchy 1.2 Một vài dãy số đặc biệt Cấp số cộng Định nghĩa 1.8 Dãy số {un } (un ) (hữu hạn vô hạn) thỏa mãn điều kiện u1 − u0 = u2 − u1 = = un+1 − un = gọi cấp số cộng Khi dãy số {un } lập thành cấp số cộng hiệu d = u1 − u0 gọi công Chứng minh hai dãy số cho có giới hạn hữu hạn hai giới hạn Giải Bằng quy nạp, dễ dàng suy với n ∈ N∗ ta có an > 0, bn > Trường hợp a = b Khi an = a = bn , ∀n = 1, 2, , suy lim an = lim bn n→∞ n→∞ Trường hợp a > b Khi a1 > b1 Giả sử ak > bk với (k ∈ N∗ ) Khi bk < ak bk < ak ⇒ bk < ak+1 < ak Suy ak+1 + bk ak + b k ak + ak bk + bk < < < = ak ⇒ bk < bk+1 < ak 2 2 bk = Do bk+1 = ak+1 + bk ak+1 + bk+1 < ⇒ 2bk+1 < ak+1 + bk+1 ⇒ ak+1 > bk+1 2 Theo nguyên lý quy nạp an > bn , ∀n = 1, 2, Do an+1 = an b n < √ an an = an , bn+1 = an+1 + bn bn+1 + bn > ⇒ bn+1 > bn 2 Vậy b = b1 < b2 < < bn < bn+1 < an+1 < an < < a2 < a1 = a Suy dãy {an } giảm bị chặn số b, dãy {bn } tăng bị chặn số a, hai dãy hội tụ Đặt lim an = x, lim bn = y n→∞ Từ bn+1 = n→∞ an+1 + bn , ∀n = 1, 2, cho n → +∞ ta x+y y= ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn n→∞ n→∞ Trường hợp a < b Khi a1 < b1 Tương tự trường hợp trên, quy nạp ta chứng minh an < bn , ∀n = 1, 2, Do an+1 = an b n > √ an an = an , bn+1 = 73 an+1 + bn bn+1 + bn < ⇒ bn+1 < bn 2 a = a1 < a2 < < an < an+1 < bn+1 < bn < < b2 < b1 = b Suy dãy {an } tăng bị chặn số b, dãy {bn } giảm bị chặn số a, hai dãy hội tụ Theo trường hợp ta lim an = lim bn n→∞ n→∞ Kết luận Trong trường hợp ta có hai dãy số {an }, {bn } có giới hạn hữu hạn lim an = lim bn n→∞ n→∞ Bài toán 3.11 (TB điều hòa số, TB cộng lệch số) Cho trước hai số dương a b Thiết lập hai dãy số {an } {bn } sau a1 = a, b1 = b, an+1 = an+1 + bn , bn+1 = , ∀n = 1, 2, 1 + an b n Chứng minh hai dãy số cho có giới hạn hữu hạn hai giới hạn Giải Bằng quy nạp, dễ dàng suy với n ∈ N∗ ta có an > 0, bn > Trường hợp a = b Khi an = a = bn , ∀n = 1, 2, , suy lim an = lim bn n→∞ n→∞ Trường hợp a > b Khi a1 > b1 Giả sử ak > bk với (k ∈ N∗ ) Khi 1 1 < ⇒ < + < ak bk ak ak b k bk Suy bk < + ak bk < ak ⇒ bk < ak+1 < ak Do bk+1 = ak+1 + bk ak+1 + bk+1 < ⇒ 2bk+1 < ak+1 + bk+1 ⇒ ak+1 > bk+1 2 Theo nguyên lý quy nạp an > bn , ∀n = 1, 2, Do an+1 = 1 + an b n < 1 + an an = an , b n = 74 an+1 + bn bn+1 + bn > ⇒ bn+1 > bn 2 Vậy b = b1 < b2 < < bn < bn+1 < an+1 < an < < a2 < a1 = a Suy dãy {an } giảm bị chặn số b, dãy {bn } tăng bị chặn số a, hai dãy hội tụ Đặt lim an = x, lim bn = y n→∞ Từ bn+1 = n→∞ an+1 + bn , ∀n = 1, 2, cho n → +∞ ta y= x+y ⇔ x = y ⇒ lim an = lim bn n→∞ n→∞ Trường hợp a < b Tương tự trường hợp ta lim an = lim bn n→∞ n→∞ Kết luận Trong trường hợp ta có hai dãy số {an }, {bn } có giới hạn hữu hạn lim an = lim bn n→∞ n→∞ Bài toán 3.12 (TB cộng số, TB điều hòa lệch số) Cho trước hai số dương a b Thiết lập hai dãy số {an } {bn } sau a1 = a, b1 = b, an+1 = an + b n , bn+1 = 2 , ∀n = 1, 2, + bn an+1 Chứng minh hai dãy số cho có giới hạn hữu hạn hai giới hạn 1 Giải Đặt = xn , = yn , ta an bn xn+1 = xn+1 + yn , yn+1 = · 1 + an b n Sau ta sử dụng kết toán 3.11 Bài toán 3.13 (TB nhân số, TB điều hòa lệch số) Cho trước hai số dương a b Thiết lập hai dãy số {an } {bn } sau a1 = a, b1 = b, an+1 = an bn , bn+1 = an+1 75 + bn , ∀n = 1, 2, Chứng minh hai dãy số cho có giới hạn hữu hạn hai giới hạn 1 Giải Đặt = xn , = yn , ta an bn xn+1 = xn+1 + yn √ xn yn , yn+1 = · Sau ta sử dụng kết toán 3.10 3.1.3 Phối hợp ba dãy số Bài toán 3.14 Cho dãy số {xn }, {yn }, {zn } xác định sau x1 = a > 0, y1 = b > 0, z1 = c > 0, yn−1 + zn−1 zn−1 + xn−1 xn−1 + yn−1 xn = , yn = , zn = , ∀n ≥ 2 2 Chứng minh dãy số hội tụ lim xn = lim yn = lim zn = n→∞ n→∞ n→∞ a+b+c · Giải Ta có xn + yn + zn = yn−1 + zn−1 zn−1 + xn−1 xn−1 + yn−1 + + = xn−1 + yn−1 + zn−1 2 Vậy xn + yn + zn = xn−1 + yn−1 + zn−1 = = x1 + y1 + z1 = a + b + c = M Suy xn = M − yn − zn ⇔ 3xn = M + (xn − yn ) − (zn − xn ) Do Tương tự xn = [M + (xn − yn ) − (zn − xn )] yn = [M + (yn − zn ) − (xn − yn )] zn = [M + (zn − xn ) − (yn − zn )] Ta có xn − yn , yn − zn yn+1 − zn+1 = − , zn − xn zn+1 − xn+1 = − · xn+1 − yn+1 = − 76 Đặt xn − y n = u n , yn − zn = , zn − xn = sn un = (−1)n−1 u1 n−1 = (−1)n−1 v1 2n−1 s1 sn = (−1)n−1 n−1 x1 − y a−b = (−1)n−1 n−1 → 0, n−1 2 y − z b −c 1 = (−1)n−1 n−1 = (−1)n−1 n−1 → 0, 2 z − x c−a 1 = (−1)n−1 n−1 = (−1)n−1 n−1 → 2 = (−1)n−1 Do (xn − yn ) → 0, (yn − zn ) → 0, (zn − xn ) → Suy lim xn = lim yn = lim zn = n→∞ n→∞ n→∞ a+b+c · Bài toán 3.15 Cho ba số dương a, b, c Lập ba dãy số {un }, {vn }, {wn } theo quy luật sau u1 = a, v1 = b, w1 = c, √ √ √ un = vn−1 wn−1 , = wn−1 un−1 , wn = un−1 vn−1 , (n ≥ 2) Chứng minh lim un = lim = lim wn = n→∞ n→∞ n→∞ √ abc Giải Ta có un wn = √ √ √ vn−1 wn−1 wn−1 un−1 un−1 vn−1 = un−1 vn−1 wn−1 Vậy nên un wn = un−1 vn−1 wn−1 = u1 v1 w1 = abc 77 (3.1) Mặt khác wn = √ √ √ √ wn−1 un−1 un−1 vn−1 = abc un−1 (3.2) Từ (3.1) (3.2) suy √ 1 √ un (vn wn ) = abc ⇒ un abc un−1 = abc ⇒ un = (abc) (un−1 )− (3.3) Theo (3.3), ta tìm un = (abc)pn a pn = (−1)n+1 2n−1 , 1 1 − + − + + (−1)n n−1 · 2 2 Khi n → ∞ pn → p, với 1 1 1 + + + − − + + 2 2 2 2 − = 1 1− 1− 2 1 = − = · 3 p = Mặt khác, ta có lim (−1)n+1 n→∞ Vậy nên lim un = lim (abc)pn lim a n→∞ n→∞ 2n−1 (−1)n+1 2n−1 n→∞ = Tương tự, ta có lim un = lim = lim wn = n→∞ n→∞ = (abc) a0 = n→∞ √ abc √ abc Cách Dễ thấy với n = 1, 2, un > 0, > 0, wn > Do từ giả thiết ta có ln un+1 = ln + ln wn ln wn + ln un ln un + ln , ln vn+1 = , ln wn+1 = · 2 Gọi xn = ln un , yn = ln , zn = ln wn Khi x1 = ln a, y1 = ln b, z1 = ln c yn−1 + zn−1 zn−1 + xn−1 xn−1 + yn−1 , yn = , zn = , ∀n ≥ xn = 2 Đến ta sử dụng toán 3.14 ta kết lim un = lim = lim wn = n→∞ n→∞ n→∞ 78 √ abc Bài toán 3.16 Cho ba số dương a, b, c Lập dãy {un }, {vn }, {wn } theo quy luật sau u1 = a, v1 = b, w1 = c, 2 un = , = , wn = , ∀n = 1, 2, 1 1 1 + + + w n wn un un Tìm lim un , lim , lim wn n→∞ n→∞ n→∞ 1 Giải Đặt = xn , = yn , = zn Khi un wn 1 x1 = , y = , z = , a b c yn + zn zn + xn xn + y n xn+1 = , yn = , zn = , ∀n ≥ 2 Đến ta sử dụng toán 3.14 ta có 1 + + lim xn = lim yn = lim zn = a b c · n→∞ n→∞ n→∞ Vậy lim un = lim = lim wn = n→∞ 3.2 n→∞ n→∞ 3abc = · 1 bc + ca + ab + + a b c Xây dựng dãy số nghiệm họ phương trình Xét họ phương trình F (k, x) = 0, k = 1, n Nếu với k , phương trình F (k, x) = có nghiệm miền D dãy số (xk ) xác định Từ mối liên hệ hàm F (k, x), dãy số có tính chất thú vị Bài toán 3.17 Ký hiệu xn nghiệm phương trình 1 + + + =0 x x−1 x−n thuộc khoảng (0, 1) a) Chứng minh dãy {xn } hội tụ; b) Hãy tìm giới hạn 79 Nhận xét 3.1 xn xác định hàm số fn (x) = 1 + + + x x−1 liên tục đơn điệu (0, 1) Tuy nhiên, ta xác định giá x−n trị cụ thể xn Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ xn , ta khơng cần đến điều Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu bị chặn đủ Với tính bị chặn, thứ ổn < xn < Với tính đơn điệu, ta ý chút đến mối liên hệ fn (x) fn+1 (x): fn+1 (x) = fn (x) + Đây chìa x−n−1 khóa để chứng minh tính đơn điệu xn Giải a) Rõ ràng xn xác định cách nhất, < xn < Ta có fn+1 (xn ) = 1 = < 0, fn+1 (0+ ) > Theo tính chất xn − n − xn − n − hàm liên tục, khoảng (0, xn ) có nghiệm fn+1 (x) Nghiệm fn (xn ) + xn+1 Như ta chứng minh xn+1 < xn Tức dãy số {xn } giảm Do dãy bị chặn nên dãy có giới hạn b) Ta chứng minh giới hạn nói Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quen thuộc sau: 1+ 1 + + + > ln (n) n Thật vậy, giả sử lim xn = a > Khi đó, dãy số giảm nên ta có xn ≥ a với n→∞ n 1 Do + + + + → ∞ n → ∞ nên tồn N cho với n ≥ N ta n 1 1 có + + + + > · n a Khi với n ≥ N ta có 0= 1 1 1 1 + + < + + + + + < − = xn xn − xn − n xn −1 −2 −n a a Mâu thuẫn Vậy ta phải có lim xn = Bài tốn 3.18 (VMO, 2002) Xét phương trình 1 1 + + + = x − 4x − n x−1 n tham số nguyên dương a) Chứng minh với số ngun dương n, phương trình nêu có 80 nghiệm lớn 1; ký hiệu nghiệm xn b) Chứng minh dãy số xn có giới hạn n → +∞ Giải Viết lại phương trình tốn dạng 1 1 + + + − =0 x − 4x − n x−1 (3.4) Ký hiệu fn (x) hàm vế trái phương trình (3.4) a) Dễ thấy, với n ∈ N∗ , hàm số fn (x) liên tục nghịch biến khoảng x → +∞ Từ suy với n ∈ N∗ , phương trình có nghiệm xn > (1; +∞) Hơn nữa, ta có fn (x) → +∞ x → 1+ fn (x) → − b) Với n ∈ N∗ , ta có 1 1 + + + − − 16 − 4n − 1 1 + + + − = 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 1 − + − + + − = − 3 2n − 2n + < = fn (xn ) = − 4n + fn (4) = Từ đó, hàm fn (x) nghịch biến (1, +∞), suy xn < với n ∈ N∗ (3.5) Mặt khác, với n ∈ N∗ , hàm fn (x) khả vi đoạn [xn , 4] nên theo định lý Lagrange, với n ∈ N∗ tồn c ∈ (xn , 4) cho fn (4) − fn (xn ) −4 −n2 −1 + + + − , ∀n ∈ N∗ 4n + (3.6) Từ (3.5) (3.6) ta 4− < xn < 4, ∀n ∈ N∗ 4n + Từ đó, theo định lý giới hạn dãy số kẹp hai dãy số dần tới giới hạn, ta có điều cần chứng minh 81 Bài tốn 3.19 (VMO, 2007) Cho số thực a> fn (x) = a10 xn+10 + xn + + x + a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình fn (x) = a ln có nghiệm dương b) Gọi nghiệm xn , chứng minh dãy xn có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Giải a) Kết câu a) hiển nhiên hàm fn (x) hàm tăng (0, +∞) b) Dễ dàng nhận thấy < xn < Ta chứng minh dãy xn tăng, tức xn+1 > xn Tương tự lời giải trên, ta xét fn+1 (xn ) = a10 xn+11 + xn+1 + + xn + = xn fn (xn ) + = axn + n n Vì ta có fn+1 (1) = a10 + n + > a nên ta cần chứng minh axn + < a suy xn < xn+1 < Như vậy, cần chứng minh xn < Thật vậy, xn ≥ fn (xn ) ≥ a10 a−1 a a−1 a 1− n+10 + a−1 a a − n+10 a−1 a = (a−1)10 a−1 a 1− a n +a−(a−1) a−1 a n (a − > 1) Vậy dãy số xn tăng bị chặn nên hội tụ Nhận xét 3.2 Một lần mối liên hệ fn+1 = xfn + lại giúp ta tìm mối quan hệ xn xn+1 Từ lời giải trên, ta chứng minh lim xn = a−1 · a Thật vậy, đặt c = a−1 < 1, theo tính tốn a fn (c) − fn (xn ) = kcn (với k = (a − 1)((a − 1)9 − 1) > 0) Theo định lý Lagrange fn (c) − fn (xn ) = f (ξ)(c − xn )( với ξ thuộc (xn , c)) Nhưng f (ξ) = (n + 10)a10 ξ n+9 + nξ n−1 + + > nên từ suy kcn > c − xn 82 >a Từ ta có c − kcn < xn < c có nghĩa lim xn = c n→∞ Bài toán 3.20 Cho n số nguyên dương > Chứng minh phương trình xn = x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Chứng minh xn dần n dần đến vô tìm lim n(xn − 1) n→∞ Giải Rõ ràng xn > Đặt fn (x) = xn − x − Khi fn+1 (1) = −1 < fn+1 (xn ) = − xn − > xnn − xn − = fn (xn ) = Từ ta suy < xn+1 < xn Suy xn+1 n dãy {xn } có giới hạn hữu hạn a Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a > Khi xn ≥ a với n ta tìm n đủ lớn cho: xnn ≥ an > xn + < 3, mâu thuẫn fn (xn ) = Để giải phần cuối toán, ta đặt xn = + yn với lim yn = Thay vào n→∞ phương trình fn (xn ) = ta (1 + yn )n = + yn Lấy logarit hai vế ta n ln(1 + yn ) = ln(2 + yn ) Từ suy lim n ln(1 + yn ) = ln Nhưng lim ln(1 + yn )/yn = nên từ suy lim nyn = ln 2, tức lim n(xn − 1) = ln n→∞ Trong toán 3.18 toán 3.19 sử dụng định lý Lagrange để đánh giá hiệu số xn giá trị giới hạn Ở toán ta tiếp tục nêu ứng dụng định lý tình phức tạp Bài toán 3.21 Cho n số nguyên dương > Chứng minh phương trình xn = x2 + x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Hãy tìm số thực a cho giới hạn lim na (xn − xn+1 ) n→∞ tồn tại, hữu hạn khác 83 Nhận xét 3.3 Dễ thấy giá trị a tồn Tương tự toán ln(3) Từ đốn a = Định n lý Lagrange giúp đánh giá hiệu xn −xn+1 chứng minh dự đốn trên, chứng minh xn ∼ + Giải Đặt Pn (x) = xn − x2 − x − Ta có Pn+1 (x) = xn+1 − x2 − x − = xn+1 − xn + Pn (x) = xn (x − 1) + Pn (x) Từ Pn+1 (xn ) = xnn (xn − 1) + Pn (xn ) = (x2n + xn + 1)(xn − 1) = x3n − Áp dụng định lý Lagrange ta có (x2n + xn + 1)(xn − 1) = Pn+1 (xn ) − Pn+1 (xn+1 ) = (xn − xn+1 )Pn+1 (c) với c thuộc (xn+1 , xn ), Pn+1 (x) = (n + 1)xn − 2x − Từ (n + 1)(x2n+1 + xn+1 + 1) − 2xn+1 − = Pn+1 (xn+1 ) < Pn+1 (c) < Pn+1 (xn ) = (n + 1)(x2n + xn + 1) − 2xn − Từ với lưu ý lim xn = 1, ta suy n→∞ Pn+1 (c) = n→∞ n lim Tiếp tục sử dụng lim n(xn − 1) = ln 3, ta suy n→∞ lim nPn+1 (c)(xn − xn+1 ) = lim n(x2n + xn + 1)(xn − 1) = ln n→∞ n→∞ Pn+1 (c) = ln n→∞ n ⇔ lim n2 (xn − xn+1 ) lim n→∞ ⇔ lim n2 (xn − xn+1 )3 = ln n→∞ ⇔ lim n2 (xn − xn+1 ) = ln n→∞ Vậy với a = giới hạn cho tồn tại, hữu hạn khác Dễ thấy với a > giới hạn cho vơ với a < giới hạn cho Vậy a = đáp số toán 84 Bài toán 3.22 (Olympic 1996) Cho g(x) đa thức bậc 1996 Biết rằng, ứng với x ∈ R, ta có g(x + h) = g(x) + hg (x + hθ(x + h)), θ(x + h) bị chặn g (x) = Tính lim θ(x, h) h→0 Giải Với x xác định, ta khai triển Taylor với đa thức f (x) = g(x + h) h = g(x + h) = g(x) + g (x)h + g (x) h2 h1996 + + g (1996) (x) 1996! (f (0) = g (x), , f (1996) (0) = g (1996) (x)) Theo đề ta có g(x + h) = g(x) + hg (x + hθ(x + h)) Do hg (x + hθ(x + h)) = hg (x) + h2 h1996 (1996) g (x) + + g (x) 1996! Khai triển Taylor bậc hai với hàm g (x + hθ(x + h)) điểm h = g (x + hθ(x + h)) = g (x) + g (x)hθ(x + h) + 0(hθ(x + h)), nên hg (x + hθ(x + h)) = hg (x) + h2 g (x)θ(x + h) + h0(hθ(x + h)) h2 h1996 (1996) = hg (x) + g (x) + + g (x) 1996! Suy 1 h1994 (1996) g (x)θ(x + h) + 0(hθ(x + h)) = g (x) + + g (x) h 1996! Do θ(x, h) bị chặn nên ta có lim g (x)θ(x + h) = lim g (x) h→0 h→0 Vì g (x) = nên ta lim θ(x + h) = · h→0 85 KẾT LUẬN Luận văn Dãy số số phương pháp giải toán dãy số giải vấn đề sau: Trình bày hệ thống số kiến thức dãy số Hệ thống hóa số dạng toán dãy số phương pháp giải tốn Đó tốn tìm số hạng tổng quát dãy số với phương pháp quy nạp, phép lượng giác, sử dụng phương trình sai phân, tính chất hàm số, kỹ thuật tuyến tính hóa; tốn tìm giới hạn dãy số (xét dạng dãy số lặp, dãy trung bình Cesaro, dãy phân tuyến tính); tốn dãy số số học với phương pháp quy nạp, nguyên lý Dirichlet, dãy sinh phần nguyên toán ước lượng tổng tích số dãy số với phương pháp sai phân, đại số, sử dụng số phức Thiết lập số toán dãy số Đó tốn dãy số hội tụ sinh đại lượng trung bình toán dãy số nghiệm họ phương trình Do thời gian có hạn lực cá nhân hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý q thầy bạn đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn! 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn, 2007, Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Chuyên đề phép tính dãy số, Kỷ yếu hội nghị khoa học [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, 2003, Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận, 2008, Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn, 2006, Các đề thi Olympic sinh viên toàn quốc, NXB Giáo dục [6] Phan Huy Khải, 2009, Chuyên đề số học dãy số, NXB Giáo dục [7] Các thi Olympic Tốn Trung học phổ thơng Việt Nam (1990- 2006), NXB Giáo dục, 2007 [8] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 410, NXB Giáo dục, 2011 87 ... pháp giải toán dãy số số cách xây dựng toán dãy số Đó số phương pháp giải tốn xác định số hạng tổng quát dãy số, tốn tìm giới hạn dãy số, tốn dãy số số học toán ước lượng tổng tích dãy số Và số. .. dãy số( bản chất giải tích) 3) Các tốn dãy số số học 4) Các toán ước lượng dãy số Các phương pháp để giải toán dãy số đa dạng Chúng ta xét cụ thể số phương pháp 2.1 2.1.1 Một số phương pháp giải. .. lim = · n→∞ 2c 2.3 Một số phương pháp giải toán dãy số số học Dãy số nguyên phần quan trọng lý thuyết dãy số Chúng ta xét số phương pháp giải toán dãy số nguyên 2.3.1 Phương pháp quy nạp Trong