Dãy số và cách xây dựng dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LỤC THỊ LỆ DÃY SỐ VÀ CÁCH XÂY DỰNG DÃY SỐ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TỐN HỌC Hà Nội - 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC DÃY SỐ VÀ CÁCH XÂY DỰNG DÃY SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : Sinh viên thực khóa luận : Hà Nội - 2018 PGS.TS Nguyễn Nhụy Lục Thị Lệ LỜI CẢM ƠN Bốn năm đại học thực quãng thời gian vô ý nghĩa đời em Dưới mái trường em có kí ức tươi đẹp với bạn bè, thầy cô, em bước trưởng thành nhiều dạy dỗ tận tình thầy cô không mặt lý thuyết chuyên mơn mà cịn kĩ xã hội, học kinh nghiệm quý báu, học chia sẻ đáng để suy ngẫm Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến quý thầy cô giảng viên Trường Đại học khoa học Tự nhiên quý thầy cô giảng viên trường Đại học Giáo dục trao trọn tình cảm, tâm huyết, lịng nhiệt thành với nghề để truyền thụ cho em kiến thức quý báu nhất, giúp em có hành trang vững chắc, tự tin để sau bước vào nghề trở thành giáo viên tương lai có đầy đủ mặt chuyên môn lẫn kĩ thái độ Qua khóa luận này, em xin gửi lời tri ân lời chúc tốt đẹp tới tồn thể thấy đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, lời tri ân, lời chúc tới người thầy hướng dẫn em khóa luận tốt nghiệp này, PGS.TS Nguyễn Nhụy Cảm ơn thầy ln tận tình bảo cho em từ điều nhỏ nhặt nhất, cảm ơn thầy cho em lời khuyên bổ ích, cảm ơn thầy động viên, thúc giục chúng em suốt thời gian triển khai hồn thành khóa luận tốt nghiệp Dù cố gắng khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, kính mong nhận quan tâm, lời nhận xét quý báu thấy cô bạn giúp kết nghiên cứu em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 13 tháng năm 2018 Sinh viên Lục Thị Lệ DANH MỤC VIẾT TẮT Giải vấn đề GQVĐ Sách giáo khoa Sgk Trang Tr MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Nhiệm vụ nghiên cứu lý luận .2 3.2 Nhiệm vu nghiên cứu thực tiễn Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận CHƢƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN .3 1.1 Tổng quan 1.2 Một số khái niệm 1.2.1 Khái niệm Hàm số 1.2.2 Khái niệm “Dãy số” 1.2.2.1 Dãy số trung học sở 1.2.2.2 Dãy số trung học phổ thông 1.2.3 Dãy số đơn điệu 1.2.3.1 Định nghĩa 1.2.3.2 Định lý 1.2.4 Dãy số bị chặn 1.2.5 Phương pháp quy nạp 10 1.2.6 Phương pháp giải tốn cách thiết lập cơng thức tính số hạng tổng quát 11 1.3 Các cách xác định dãy số 12 1.3.1 Cho dãy số cách liệt kê phần tử 12 1.3.2 Cho dãy số công thức số hạng tổng quát 13 1.3.3 Dãy số cho phương pháp mô tả 13 1.3.4 Dãy số cho phương pháp truy hồi (Cho dãy số quy nạp) 13 1.3.5 Cấp số cộng 14 1.3.5.1 Định nghĩa 14 1.3.5.2 Tính chất đặc trưng cấp số cộng 14 1.3.6 Cấp số nhân 14 1.3.6.1 Định nghĩa 14 1.3.6.2 Tính chất đặc trưng cấp số nhân 15 1.3.7 Cấp số nhân cộng 15 1.3.7.1 Khái niệm .15 1.3.7.2 Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân cộng 15 CHƢƠNG II DÃY SỐ ĐƢỢC XÂY DỰNG BỞI QUY LUẬT ĐẶC BIỆT .17 2.1 Dãy số đƣợc xác định quy luật cấp số cộng .17 2.2 Dãy số xác định công thức cấp số nhân 22 2.3 Dãy số đƣợc xác định quy luật cấp số nhân cộng 29 2.4 Dãy số Phi-bô-na-xi 32 CHƢƠNG III: ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY 38 3.1 BÀI GIẢNG CẤP SỐ CỘNG .38 3.1.1 Mục tiêu học 38 3.1.1.1 Về kiến thức 38 3.1.1.2 Về kĩ .38 3.1.1.3 Thái độ 38 3.1.2 Hoạt động dạy học .39 3.2 BÀI GIẢNG 2.CẤP SỐ NHÂN .45 3.2.1 Mục tiêu 45 3.2.1.1 Về kiến thức 45 3.2.1.2 Về kĩ .45 3.2.1.3 Thái độ 45 3.2.2 Hoạt động dạy học 45 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC DÃY SỐ VÀ CÁCH XÂY DỰNG DÃY SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : PGS.TS Nguyễn Nhụy Sinh viên thực khóa luận : Lục Thị Lệ Hà Nội - 2018 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhà ảo thuật gia toán học Arthur Benjamin nói: ”Vì học tốn? Có ba ngun nhân yếu là: Để tính tốn, để ứng dụng cuối thứ mà thường đầu tư vào để khơi nguồn cảm hứng” Trong tốn học có chủ đề khó thú vị dãy số, chủ đề mà học sinh không học chương trình đại số lớp 11 mà bậc tiểu học trung học sở, học sinh làm quen nhiều với dạng tốn tính tổng, tìm số hạng tổng qt dãy số, chứng minh đẳng thức, Các toán dãy số xếp vào dạng tốn khó thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic, đề khảo sát, Chính mà có nhiều luận văn, luận án, sách báo, nghiên cứu khoa học viết đề tài với nhiều mảng khác hướng dẫn phương pháp tính tổng dãy, phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy, tìm giới hạn dãy số, Tuy nhiên có đề cập đến hình thành dãy số, bí ẩn thú vị liên quan đến dãy số đời sống thực, mà học sinh cảm thấy vừa sợ vừa chán nhắc đến chủ đề phức tạp Nên em thực đề tài khơng nhằm mục đích nghiên cứu dãy số, tính chất, dạng toán hay phương pháp giải tốn liên quan đến dãy số, mà mục đích giới thiệu dãy số đặc biệt hình thành nên dãy số Ngồi ra, khai thác điều thú vị dãy số đời sống với hi vọng thơng qua nghiên cứu này, tìm cách triển khai giảng thú vị hơn, gần gũi giúp học sinh cảm thấy dãy số không số khô khan xếp lại với mà tri thức văn minh nhân loại đáng để học tập, tìm hiểu ứng dụng Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu dãy số hình thành nên dãy số từ thực tế, cách xây dựng nên dãy số đặc biệt theo công thức cấp số cộng cấp số nhân, sở đề xuất số giảng giúp học sinh thấy toán học gần gũi với đời sống Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Nhiệm vụ nghiên cứu lý luận - Tổng hợp, phân tích số nghiên cứu dãy số - Trình bày khái niệm liên quan đến dãy số cấp số cộng, cấp số nhân - Cách xây dựng nên dãy số từ thực tiễn 3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu thực tiễn - Đề xuất số giảng dãy số xây dựng từ cấp số cộng cấp số nhân để áp dụng vào dạy học thực tế nhằm đem lại hứng thú gần gũi toán học đến với học sinh Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Dãy số cách xây dựng nên dãy số - Khách thể nghiên cứu: Nội dung dãy số trung học phổ thông Phƣơng pháp nghiên cứu - Chủ yếu phương pháp nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Phần mở đầu Phần nội dung gồm chương - Chương 1: Cơ sở lí luận - Chương 2: Dãy số xây dựng quy luật đặc biệt - Chương 3: Ứng dụng vào công tác giảng dạy Phần kết luận kiến nghị CHƢƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tổng quan Dãy số chun đề tốn khó nhiều dạng tập nên có nhiều tác giả nghiên cứu khai thác đề tài - Đề tài “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số” Nguyễn Tất Thu năm 2013 chia sẻ kinh nghiệm xác định công thức tổng qt dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt dựa kết biết cấp số cộng, cấp số nhân, phép lượng giác - Đề tài “Dãy số viết theo quy luật” Nguyễn Quốc Hùng năm 2015 nêu số dạng toán dãy số viết theo quy luật phương pháp giải cụ thể giúp em tháo gỡ khó khăn, lúng túng đứng trước tốn mà chưa định phương pháp giải (chưa tìm quy luật dãy số) - Các toán dãy số đề thi Olympic 30-4 giới thiệu toán đề thi Olympic hướng giải cụ thể - Luận văn thạc sĩ “Một số tính chất dãy sinh hàm số áp dụng” giáo sư Nguyễn Văn Mậu cung cấp số kiến thức dãy số số vấn đề liên quan đến dãy số, phân loại số dạng toán vè dãy số theo dạng phương pháp giải 1.2 Một số khái niệm Trong chương trình tốn lớp 11 học sinh học khái niệm dãy số thông qua khái niệm hàm số mà trước tìm hiểu khái niệm dãy số ta xét đến khái niệm hàm số trước 1.2.1 Khái niệm hàm số Hàm số f xác định tập hợp khác rỗng D  R quy tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f  x  ; số f  x  gọi giá trị hàm số f x (Tập D gọi tập xác định hay miền xác định, x gọi biến số hay đối số hàm số f ) Ví dụ Hàm : f  x  - Ứng dụng linh hoạt kiến thức học cấp số cộng vào sống thường ngày - Tích cực chủ động hoạt động nhóm 3.1.2 Hoạt động dạy học Hoạt động 1: Nhận diện khai thác toán thực tế, dẫn dắt vào GV đưa toán thực tế yêu cầu học sinh quan sát, nhận dạng toán, lập luận giả thiết, hướng khai thác Trong vài năm trở lại trà sữa trở thành loại đồ uống giới trẻ săn lùng nhiều nhất, chí cịn tạo nên sốt, trào lưu hầu hết tỉnh thành, đặc biệt Hà Nội Hồ Chí Minh Đối với nhiều bạn trẻ, trà sữa xem sở thích, niềm đam mê, thứ để giảm stress, để “sống ảo”, để thể “đẳng cấp” thân Một ly trà sữa có giá trung bình từ 50 đến 60 nghìn đồng có lên đến 100 nghìn đồng, người làm có thu nhập ổn định không học sinh hay sinh viên chưa kiếm tiền khơng phải số nhỏ đặc biệt người “nghiện” trà sữa Sau đây, xét toán thú vị đề tài Bài toán “Tiền uống trà sữa” Hương sinh viên năm trường ĐH Giáo Dục Lần đầu bạn rủ uống trà sữa, Hương cảm thấy thích thú u thích loại đồ uống mà Hương định dành 200000 đồng tháng để uống trà sữa, uống thích nên sang tháng thứ hai, số tiền Hương dành uống trà sữa tăng thêm 50000 đồng, đến tháng thứ ba lại tăng thêm 50000 đồng nữa, thế, hỏi sau năm (12 tháng) số tiền Hương dành để uống trà sữa bao nhiêu? - GV đặt câu hỏi gợi ý, gọi học sinh trả lời trình bày bảng H1: Tóm tắt tốn Số tiền Hương dành để uống trà sữa tháng thứ : 200000 (đồng) Số tiền Hương dành để uống trà sữa tháng thứ hai : 250000 (đồng) Số tiền Hương dành để uống trà sữa tháng thứ ba : 300000 (đồng) Số tiền Hương dành để uống trà sữa tháng thứ tư : 350000 (đồng) 39 Số tiền Hương dành để uống trà sữa tháng thứ 12 : u12 (đồng) H2: Để tìm tổng số tiền Hương dành uống trà sữa ta cần làm gì? Số tiền mà Hương dành uống trà sữa 12 tháng tổng S  200000  250000  300000  u12 Câu hỏi đặt ta phải tính tổng nào? GV dành thời gian cho học sinh suy nghĩ, tìm lời giải, sau cần thêm số gợi ý H3: Trước tính tổng ta cần biết số tiền Hương dành uống trà sữa tháng Có nhận xét số tiền tháng? Số tiền uống trà sữa tháng thứ hai : 200000  50000.1 (đồng) Số tiền uống trà sữa tháng thứ ba : 200000  50000.2 (đồng) Số tiền uống trà sữa tháng thứ tư : 200000  50000.3 (đồng) Số tiền uống trà sữa tháng thứ năm : 200000  50000.4 (đồng) Số tiền uống trà sữa tháng thứ mười hai : 200000  50000.11 (đồng) Vậy tổng số tiền Hương dành uống trà sữa 12 tháng S  200000   200000  50000    200000  50000.2     200000  11.50000  Yêu cầu: Đây dạng toán tính tổng dãy số mà học từ cấp nên lớp suy nghĩ tìm hướng giải cho tốn Gọi học sinh lên bảng làm S  200000   200000  50000    200000  50000.2     200000  11.50000   200000.12  50000 1     11  2400000  50000 1  11             2400000  50000 12.5    5700000 Vậy tổng số tiền Hương dành uống trà sữa 12 tháng 5700000 đồng 40 Giáo viên nhận xét làm dẫn dắt vào Liệu ta cách khác để giải tốn khơng? Và tốn khơng cho số tiền Hương dành để uống trà sữa tháng mà lại cho số tiền Hương dành uống trà sữa tháng thứ tháng thứ (biết số tiền tăng thêm tháng không đổi) Làm để ta tính tổng số tiền Hương dành uống trà sữa vòng 12 tháng? Quan sát dãy số 200000; 250000; 300000; 350000; ta thấy kể từ số hạng thứ hai trở số hạng tổng số đứng liền trước với 50000 đồng Những dãy số có tính chất gọi cấp số cộng, buổi học ngày hôm học định nghĩa, tính chất, công thức, tập liên quan đến cấp số cộng ứng dụng to lớn Hoạt động 2: Định nghĩa Cấp số cộng dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước số d không đổi, nghĩa  un  cấp số cộng  un  un1  d  n   Số d gọi cơng sai cấp số cộng Ví dụ - Dãy số: -6; -3; 0; 3; 6; 9; cấp số cộng với số hạng u1  6 công sai d  , viết dạng công thức truy hồi u1  6  n  2  u  u  n 1  n - Dãy số ví dụ “Tiền uống trà sữa” cấp số cộng với số hạng u1  200000 công sai d  50000 , viết dạng công thức truy hồi u1  200000  n  2  un  un1  50000 Hoạt động 3: Tính chất cấp số cộng Những dãy số xây dựng cấp số cộng có tính chất đặc biệt, quan sát lại dãy số ví dụ tiền uống trà sữa nhận xét 41 H1: Kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng có mối quan hệ với tổng hai số hạng đứng kề nó? TL1: Dãy  un  cấp số cộng với công sai d , gọi uk số hạng dãy với k  Khi hai số liền kề với số hạng uk 1 uk 1 Mà ta có uk 1  uk  d uk 1  uk  d Cộng hai đẳng thức lại ta uk 1  uk 1  2uk  k   Hay uk  uk 1  uk 1 Hoạt động 4: Số hạng tổng quát Quan sát lại cách giải toán “Tiền uống trà sữa” ta thấy số tiền uống trà sữa hàng tháng Số tiền uống trà sữa tháng thứ hai : 200000  50000.1 (đồng) Số tiền uống trà sữa tháng thứ ba : 200000  50000.2 (đồng) Số tiền uống trà sữa tháng thứ tư : 200000  50000.3 (đồng) Số tiền uống trà sữa tháng thứ năm : 200000  50000.4 (đồng) Số tiền uống trà sữa tháng thứ mười hai : 200000  50000.11 (đồng) Nhìn cách tổng quát ta thấy số tiền uống trà sữa hàng tháng tính theo cơng thức: 200000   n  1 n tháng mà ta tính H1: Liệu điều có cho tất cấp số cộng? TL: Xét cấp số cộng u1  n  2  un  un1  d Ta có 42 u2  u1  d u3  u2  d  u1  2d u4  u3  d  u1  3d Cứ tiếp tục q trình ta có với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , cơng sai d số hạng tổng qt un xác định theo cơng thức un  u1   n  1 d Hoạt động 5: Tính tổng n số hạng cấp số cộng Ta dễ dàng nhận thấy với cấp số cộng ghép số hạng đầu với số hạng cuối, số hạng thứ hai với số hạng kề cuối tạo cặp mà tổng chúng Từ nhận xét dẫn ta đến Định lý: Giả sử un cấp số cộng Với số nguyên dương n , gọi S n tổng n số hạng  Sn  u1  u2   un  Khi đó, ta có Sn   u1  un  n Mà áp dụng công thức tính số hạng tổng quát dãy un  u1   n  1 d Thay vào biểu thức tính tổng ta u1  u1   n  1 d  n  2u1   n  1 d  n Sn     n  1 2 Quay trở lại với tốn “Tiền uống trà sữa” với cơng thức vừa thiết lập cho cấp số cộng việc tính tổng số tiền 12 tháng trở nên vơ đơn giản: S12   2.200000  11.50000.12  5700000 (đồng) Hoạt động 6: Bài tập củng cố 43 Bài 27(SGK/tr 115): Cho cấp số cộng  un  có u2  u22  60 Hãy tính tổng 23 số hạng cấp số cộng Ta chuyển đổi tốn chút để trở nên thú vị ví dụ Cho nhóm gồm 23 người trồng ven đường Vì khéo léo, khỏe mạnh nhiệt tình người khác nên suất người khác điều đặc biệt ta xếp số người trồng từ bé đến lớn thu cấp số cộng u1; u2 ; u3 ; u23  u1  u2  u3   u23  Biết tổng số mà người đứng thứ hai người đứng thứ 22 trồng 60 Tính tổng số mà 23 người trồng Giải Ta thấy dãy số cấp số cộng với số hạng đầu u1 , gọi công sai d , u2 u22  u1  d  u1  21d Suy u2  u22  u1  d  u1  21d  2u1  22d  60  60  60 Tổng số mà 23 người trồng S23   2u1  22d .23  60.23  690 2 (cây) Bài 22 (SGK/tr 115): Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng số hạng đầu số hạng thứ ba 28, tổng số hạng thứ ba số hạng cuối 40 Hãy tìm cấp số cộng Bài 23 (SGK/tr 115): Cho cấp số cộng  un  có u20  52 u51  145 Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số cộng Chia lớp hoạt đơng theo nhóm 44 Yêu cầu: Đọc 22, 23 trang 115 sách giáo khoa Đại số giải tích 11 nâng cao, sau thảo luận với theo nhóm để viết hai tốn tương ứng có ứng dụng liên quan đến thực tế trình bày lời giải cho tốn 3.2 BÀI GIẢNG 2.CẤP SỐ NHÂN 3.2.1 Mục tiêu Sau học xong học sinh có khả 3.2.1.1 Về kiến thức - Nêu định nghĩa, tính chất cấp số nhân - Nêu cơng thức tìm số hạng tổng qt cách tính tổng n số hạng dãy - Nêu số ứng dụng cấp số nhân thực tế 3.2.1.2 Về kĩ - Nhận diện chứng minh dãy số cấp số nhân - Giải tập tìm số hạng tổng quát, tìm tổng cấp số nhân, tìm số hạng thứ nhất, cơng bội - Giải tốn cấp số nhân ứng dụng thực tế 3.2.1.3 Thái độ - Cẩn thận, xác tính tốn, vận dụng kiến thức cấp số nhân - Có liên hệ với kiến thức học: Dãy số có quy luật đặc biệt tính tổng dãy số, cấp số cộng - Ứng dụng linh hoạt kiến thức học cấp số nhân vào sống thường ngày - Tích cực chủ động hoạt động nhóm 3.2.2 Hoạt động dạy học Hoạt động 1: Nhận diện khai thác toán thực tế, dẫn dắt vào GV đưa toán thực tế yêu cầu học sinh quan sát, nhận dạng toán, lập luận giả thiết, hướng khai thác Lời dẫn: ”Những ngày qua, không riêng Hà Nội mà nhiều tỉnh thành Việt Nam xôn xao, nhức nhối “Hội đức chúa trời” hệ lụy tai hại mà gây mặt vật chất lẫn tinh thần Số người tham gia vào hội khơng 45 nhỏ, có nhiều người may mắn nhìn nhận việc cách đắn nên thoát chưa bị lún sâu, có nhiều người nhẹ tin, bị u mê, chìm đắm hội, bỏ bê cơng việc, học hành, chí bỏ gia đình, người thân, bạn bè để theo hội” Sau ta xét toán thú vị với chủ đề Bài toán “Hội thánh đức chúa trời” Giả sử ngày thành lập, hội có người người gọi “giáo chủ” Vị giáo chủ cứu vớt hai “con chiên tội nghiệp” để hai người trở thành thành viên thức hội để sau lên “thiên đàng” vào ngày thứ hai người cần cứu vớt thêm hai người khác Và thế, người vào muốn lên trở thành thành viên thức cần cứu vớt thêm hai người khác ngày Vậy hỏi sau tháng (30 ngày) hội có thành viên thức? - GV đặt câu hỏi gợi ý, gọi học sinh trả lời trình bày bảng H1: Tóm tắt tốn Ngày thứ hội có : thành viên thức Ngày thứ hai hội có thêm : thành viên thức Ngày thứ ba hội có thêm : thành viên thức Ngày thứ tư hội có thêm : thành viên thức Ngày thứ năm họi có thêm : 16 thành viên thức Ngày thứ 30 hội có thêm : u30 thành viên thức H2: Để tìm tổng số thành viên thức hội sau 30 ngày ta cần làm gì? Số thành viên thức hội sau 30 ngày cần tìm tổng S      u30 Câu hỏi đặt ta phải tính tổng nào? GV dành thời gian cho học sinh suy nghĩ, tìm lời giải, sau cần thêm số gợi ý 46 H3: Nhận xét số người thêm vào ngày có đặc biệt, có cách viết khác cho số Số người thêm vào ngày tăng dần lên số lũy thừa Khi ta viết tổng dạng khác quen thuộc S  20  21  22  23  229 Yêu cầu: Đây dạng tốn tính tổng dãy số mà học từ cấp nên lớp suy nghĩ tìm hướng giải cho toán Gọi học sinh lên bảng làm Nhân biểu thức với ta có 2S  21  22  23   230 Trừ hai vế hai biểu thức cho ta S  230  Giáo viên nhận xét làm dẫn dắt vào Liệu ta cách khác để giải tốn khơng? Và tốn khơng cho số thành viên thức ngày mà lại cho số thành viên thức thêm vào ngày thứ 10 ngày thứ 20 (biết số người “cứu vớt” người khác không đổi Làm để ta tính tổng số thành viên thức tham gia hội sau 30 ngày? Quan sát dãy số 20 ; 21 ; 22 ; 23 ta thấy kể từ số hạng thứ hai trở số hạng tích số đứng liền trước với Những dãy số có tính chất gọi cấp số nhân, buổi học ngày hôm học định nghĩa, tính chất, cơng thức, tập liên quan đến cấp số nhân ứng dụng to lớn Hoạt động 2: Định nghĩa Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vơ hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước số q khơng đổi, nghĩa  un  cấp số nhân  un  un1.q  n   Số q gọi công bội cấp số nhân Ví dụ 47 27 71 - Dãy số  ; ;  ; ;  ; cấp số nhân với số hạng ban đầu 2 2  công bội q  3 viết dạng truy hồi  u1    n    un  3un1 - Dãy số toán “hội đức chúa trời” cấp số nhân xác định số hạng đầu là: u1  công bội q  viết dạng truy hồi u1   n    un  2un1 Hoạt động 3: Tính chất cấp số nhân Những dãy số xây dựng cấp số nhân có tính chất đặc biệt, quan sát lại dãy số ví dụ :”Hội đức chúa trời” nhận xét H1: Kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng có mối quan hệ với tích hai số hạng đứng kề nó? TL1: Gv đưa lời giải để học sinh quan sát nhận xét xem lời giải hay sai? Dãy  un  cấp số nhân với công bội q , gọi uk số hạng dãy với k  Khi hai số liền kề với số hạng uk 1 uk 1 Mà ta có uk 1  q.uk uk 1  uk q Nhân hai vế tương ứng hai đẳng thức ta uk 1.uk 1  uk2 Nhận xét: Trong giải ta thấy uk 1 có nghĩa q số khác Vì để giải hồn chỉnh ta cần xét thêm trường hợp q  48 Dễ dàng nhận thấy q  từ số hạng thứ hai trở tất số hạng ta ln có uk2  uk 1.uk 1  Hoạt động 4: Số hạng tổng quát Quan sát lại cách giải toán “Hội thánh đức chúa trời” ta thấy số thành viên thức tăng thêm qua ngày Ngày thứ hội có : thành viên thức Ngày thứ hai hội có thêm : thành viên thức Ngày thứ ba hội có thêm : thành viên thức Ngày thứ tư hội có thêm : thành viên thức Ngày thứ năm họi có thêm : 16 thành viên thức Nhìn cách tổng qt ta thấy số thành viên thức tăng thêm qua ngày tính theo cơng thức: 2n1 n ngày mà ta tính H1: Liệu điều có cho tất cấp số nhân? TL: Xét cấp số nhân  un  u1  n  2  un  qun1 Ta có u2  q.u1 u3  q.u2  q 2u1 u4  q.u3  q 3.u1 u5  q.u4  q u1 Cứ tiếp tục trình ta được: Với cấp số nhân có số hạng đầu u1 công bội q  số hạng tổng qt un xác định công thức un  u1.q n1 Hoạt động 5: Tổng n số hạng cấp số nhân 49 Xét cấp số nhân  un  với công bội q Gọi S n tổng n số hạng dãy Sn  u1  u2  u3   un TH1: Nếu q  un  u1 với n  1, trường hợp ta ln có Sn  n.u1 TH2: Nếu q  ta có qSn  qu1  qu2  qu3   qun  u2  u3  u4   un1 Ta lấy Sn  qSn Sn  qSn  u1  u1q n  Sn 1  q   u1 1  q n   Sn  u1 1  q n  1 q Quay trở lại với tốn “Hội thánh đức chúa trời” từ cơng thức mà ta vừa xây dựng dễ dàng tính tổng số người trở thành thành viên thức hội sau 30 ngày S30  11  230  1  230  (người) Hoạt động 6: Bài tập củng cố Thành đọc truyện biết gấp đủ 1000 hạc giấy có điều ước nên cậu định gấp 1000 hạc giấy để tặng mẹ ngày sinh nhật Nhưng hôm ngày mùng 10 ngày 16 tháng sinh nhật mẹ Nếu ngày mùng 10 Thành tập gấp gấp ba con, ngày sau số lượng hạc giấy tăng dần theo cấp số nhân, biết ngày 14 Thành gấp 243 hạc giấy Hỏi đến hết ngày 15 Thành có gấp đủ số hạc giấy để tặng sinh nhật mẹ không? Giải Gọi số hạc giấy mà Thành gấp từ ngày mùng 10 đến ngày 15 dãy số u1; u2 ; u3 ; u4 ; u5 ; u6 50 Dãy số lập thành cấp số nhân với số hạng u1  công bội q Trong ngày 14, Thành gấp 243 nên suy Vậy tổng số hạc mà Thành gấp từ ngày mùng 10 đến ngày 15 S  u1  u2  u3  u4  u5  u6   u1 1  q n  1 q 1  36  1  1092 KL: Thành gấp đủ số hạc cần thiết để tặng mẹ ngày sinh nhật Để phát huy tính sáng tạo khả tiếp thu học sinh, thay giáo tập trực tiếp để học sinh suy nghĩ hướng giải ta dành thời gian cho em trao đổi thảo luận với tự xây dựng tốn giải tập dựa tảng chuyên mặt lý thuyết sách giáo khoa Tổ chức hoạt động nhóm Bài 31(SGK/tr 121): Cho cấp số nhân  un  có cơng bội q  Biết u2  u4  Hãy tìm u1 Bài 32(SGK/tr 121): Một cấp số nhân có số hạng mà hai số hạng số dương, tích số hạng đầu số hạng thứ ba 1, tích số hạng thứ ba số hạng cuối Hãy tìm cấp số nhân 16 Chia lớp hoạt đơng theo nhóm u cầu: Đọc 31, 32 trang 121 sách giáo khoa Đại số giải tích nâng cao, sau thảo luận với theo nhóm để viết hai tốn tương ứng có ứn dụng liên quan đến thực tế trình bày lời giải cho tốn 51 KẾT LUẬN Sau làm xong đề tài khóa luận “Dãy số cách xây dựng dãy số” cho học sinh trung học phổ thông, em có kết luận sau Rất nhiều học sinh cảm thấy tốn học khơ khan nhàm chán, học chủ yếu để kiểm tra qua thi lớp, học tốn khơng để làm học xong nhanh quên không ôn luyện lại mà gần có nhiều nghiên cứu để cải tiến không phương pháp giảng dạy, cách tổ chức buổi học, cách truyền đạt kiến thức, hệ thống giáo dục bước thay đổi theo xu hướng tích cực hóa, đạt chuẩn quốc tế Để tiếp cận xu hướng đó, em tham khảo nhiều đề tài, nghiên cứu trước, biên soạn khóa luận nhằm góp chút ý tưởng nhỏ cho cải tiến phương pháp tiếp cận kiến thức, mối liên hệ với kiến thức học trước Khóa luận bao gồm ba chương, chương sở lí luận dãy số Chương nghiên cứu dãy số xây dựng theo quy luật đặc biệt từ dãy số quen thuộc học từ lớp dãy số từ thực tế Chương số giảng dãy số, điển hình dãy số xây dựng theo cấp số cộng cấp số nhân Trong khóa luận em cố gắng phân tích cụ thể nội dung kiến thức liên quan cách chi tiết từ khái niệm, tính chất, ví dụ, tốn thực tế liên quan, tập vận dụng giảng đáp ứng mục tiêu cụ thể Tuy nhiên, nhiều hạn chế kinh nghiệm kiến thức nên khóa luận cịn nhiều thiếu sót, mong nhận góp ý từ q thầy Trên kết luận em sau làm xong đề tài Em xin chân thành cảm ơn 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Võ Giang Giai, Nguyễn Ngọc Thu, Một số toán dãy số đề thi Olimpic 30 – 4, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 Nguyễn Quốc Hùng, Dãy số viết theo quy luật, 2015 Nguyễn Văn Mậu, Một số tính chất dãy sinh hàm số áp dụng, 2008 Đoàn Quỳnh, Tài liệu chuyên tốn Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 Đoàn Quỳnh, Đoàn Quỳnh , SGK Đại số giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2013 Nguyễn Quang Sơn, Các chuyên đề nâng cao phát triển giải tích 11, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2017 Nguyễn Tất Thu , Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số, 2013 53 ... số cách định nghĩa dãy số khác tùy theo lớp học, bậc học 1.2.2.1 Dãy số trung học sở - Ở trung học sở, dãy số chia thành hai dạng là: Dãy số có số hạng cách dãy số có số hạng khơng cách Dãy số. .. tích số nghiên cứu dãy số - Trình bày khái niệm liên quan đến dãy số cấp số cộng, cấp số nhân - Cách xây dựng nên dãy số từ thực tiễn 3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu thực tiễn - Đề xuất số giảng dãy số xây. .. định Dãy số hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương * gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số) Mỗi giá trị hàm số u gọi số hạng dãy số, u 1 gọi số hạng thứ (hay số hạng đầu), u   gọi số hạng