Một số phương pháp cơ bản giải bài toán cân bằng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Vũ Th% Vân M®T SO PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN GIAI BÀI TỐN CÂN BANG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2017 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Vũ Th% Vân M®T SO PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN GIAI BÀI TỐN CÂN BANG Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU LèI CAM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna lu¾n văn, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói GS TSKH Lê Dũng Mưu, ngưịi t¾n tình hưóng dan đe em có the hồn thành lu¾n văn Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc tn nhiên, Đai HQc Quoc gia H Nđi ó day bao em tắn tỡnh suot q trình HQc t¾p tai khoa Nhân d%p em xin gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè thành viên lóp Cao HQc tốn 2015-2017 ln quan tâm, đ®ng viên, giúp đõ em thịi gian HQc t¾p q trình lm luắn H Nđi, ngy 21 thỏng 11 nm 2017 HQc viên Vũ Th% Vân i Mnc lnc Lài cam ơn i Lài nói đau M®t so kí hi¾u chE viet tat Chương Tong quan 1.1 Mđt so khỏi niắm c ban 1.2 Sn ton tai nghi¾m tính chat ban cna toán cân bang 11 1.3 Các trưịng hop riêng cna tốn cân bang 19 1.3.1 Bài toán toi ưu 20 1.3.2 Bài toán điem yên ngna 20 1.3.3 Bài tốn điem bat đ®ng Kakutani 21 1.3.4 Cân bang Nash trị chơi khơng hop tác 21 1.3.5 Bat thúc bien phân .22 Chương Hai phương pháp ban giai toán cân bang 25 2.1 Các dang tương đương 25 2.2 Phương pháp điem bat đ®ng hàm đánh giá 28 2.3 2.2.1 Phương pháp điem bat đ®ng 28 2.2.2 Phương pháp hàm đánh giá 37 Ví du .41 Ket lu¾n 43 Tài li¾u tham khao 44 Lài nói đau Cho H m®t khơng gian Hilbert thnc vói tích vơ hưóng (., ) chuan ||.|| tương úng Cho C m®t t¾p loi, đóng, khác rong H f song hàm tù C × C vào R cho f (x, x) = vói MQI x ∈ C Trong ban lu¾n văn ta se xét tốn cân bang sau đây, đưoc ký hi¾u EP(C, f): Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Bài tốn EP(C,f) cịn đưoc GQI bat thúc Ky Fan đe ghi nh¾n sn đóng góp cna ơng lĩnh vnc Bài tốn cân bang đơn đi¾u có liên quan ch¾t che vói tốn tính điem bat đ®ng cna m®t ánh xa khơng giãn Ve m¾t lý thuyet tốn cân bang n iắu v bi toỏn iem bat đng cna ánh xa khơng giãn có moi quan h¾ tương ho lan nhau, theo nghĩa, vói m®t vài gia thiet tn nhiên, tốn có the mơ ta dưói dang tốn ngưoc lai Ve m¾t hình thúc tốn cân bang đơn gian, nhiên bao hàm đưoc nhieu lóp tốn quan TRQNG khác thu®c nhieu lĩnh vnc M®t so trưịng hop riêng cna toán cân bang toán toi ưu, tốn điem bat đ®ng Kakutani, bat thúc bien phân, cân bang Nash trị chơi khơng hop tác, tốn điem n ngna Như v¾y, nhieu tốn quan TRQNG, nhieu mơ hình thnc te, có tốn rat khó ve m¾t tính tốn, ví du tốn tính điem bat đ®ng Kakutani, đeu có the quy ve dang tốn cân bang Do đó, van đe giai tốn cân bang m®t đe tài hap dan, thu hút sn quan tâm cna nhieu ngũi Luắn ny se trỡnh by mđt vài cách tiep c¾n ban giai tốn cân bang Đó cách tiep c¾n dna phương pháp iem bat đng, cỏch tiep cắn theo nguyờn lý bi tốn phu, tiep c¾n theo toi ưu hóa dna kĩ thu¾t hàm đánh giá Cơ so đe xây dnng phương pháp giai dna dang tương đương cna tốn cân bang Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương, phan ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Chương Trình by mđt so khỏi niắm c ban liờn quan en tốn cân bang, sn ton tai nghi¾m, tính chat ban trưòng hop riêng cna tốn cân bang Chương Trình bày so đe xây dnng phương pháp giai toán cân bang Tự ú giúi thiắu mđt vi thuắt toỏn e giai tốn cân bang, đ¾c bi¾t sâu vào phương pháp điem bat đ®ng phương pháp hàm đánh giá Sn hđi tu cna tựng thuắt toỏn cng oc trỡnh bày cu the chương Hà N®i, ngày 21 tháng 11 năm 2017 HQc viên Vũ Th% Vân M®t so kí hi¾u chE viet tat H: Khơng gian Hilbert thnc; X: Khơng gian Banach thnc; R: T¾p so thnc; ∅: T¾p rong; (a, b) = Tích vơ hưóng cna véc-tơ a b; ǁxǁ = Chuan cna x; ∂f (x): Dưói vi phân cna hàm f tai x; ∀x: Vói MQI x; xn → x: Dãy {xn} h®i tu manh tói x; xn ~ x: Dãy {xn} h®i tu yeu tói x; x := y: Nghĩa là, x đưoc đ%nh nghĩa bang y Chương Tong quan Chương trình bày khái ni¾m liên quan đen tốn cân bang, sn ton tai nghi¾m, tính chat ban trưịng hop riêng quan TRQNG cna toán cân bang Các kien thúc chương đưoc trích tù tài li¾u [1-5], [12] 1.1 Mđt so khỏi niắm c ban %nh ngha 1.1.1 Khụng gian đ%nh chuan thnc m®t khơng gian tuyen tính thnc X úng vái mői phan tu x ∈ X ta có m®t so ǁxǁ GQI chuan cua x, thóa mãn đieu ki¾n sau: ǁxǁ > 0, ∀x ƒ= 0; ǁxǁ = ⇔ x = 0; ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ , ∀x, y ∈ X; ǁαxǁ = |α| ǁxǁ , ∀x ∈ X, α ∈ R Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cắp (H,(, )) ú H l mđt khụng gian tuyen tính thnc (, ) : H × H → R (x, y) ›→ (x, y) thóa mãn đieu ki¾n: (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ H; (x, x) = ⇔ x = 0; (x, y) = (y, x) , ∀x, y ∈ H; (λx, y) = λ(x, y) , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H; (x + y, z) = (x, z) + (y, z) , ∀x, y, z ∈ H đưac GQI không gian tien Hilbert Không gian tien Hilbert đay đu đưac GQI không gian Hilbert Ví dn 1.1.1 L2[a,b] khơng gian hàm bình phương kha tích [a, b] vái ∫ b f ∈ [a, b] cho a f (x) dx < +∞ m®t khơng gian Hilbert vái tích L vô hưáng ∫ (f, g) = a b f (x) g (x) dx; chuan = ∫ ǁf ǁ Trên H có hai kieu h®i tu sau: L2[a,b] b a f (x) Σ 21 Đ%nh nghĩa 1.1.3 Xét dãy {xn}n≥0 x thu®c khơng gian Hilbert thnc H Khi đó: • Dãy {xn} đưac GQI l hđi tn manh tỏi x, ký hiắu {xn} x, neu lim ǁxn − xǁ = n→+ ã Dóy {xn} ac GQI l hđi tn yeu tái x, ký hi¾u {xn} ~ x, neu lim (ω, xn) = (ω, x) , ∀ω ∈ H n→+ ∞ Ta nhac lai ket qua giai tích hàm (xem [2]) liên quan đen hai loai h®i tu M¾nh đe 1.1.1 Ta có khang đ%nh sau õy: ã Neu {xn} hđi tn manh en x thỡ cng hđi tn yeu en x ã MQI dóy hđi tn manh (yeu) đeu b% ch¾n giái han theo sn h®i tn manh (yeu) neu ton tai nhat • Neu khơng gian Hilbert thnc H khơng gian huu han chieu sn h®i tn manh sn hđi tn yeu l tng ng ã Neu {xn}n0 l mđt dóy b% chắn khụng gian Hilbert thnc H ta trích đưac m®t dãy h®i tn yeu ã Neu {xn}n0 l mđt dóy b% ch¾n khơng gian Hilbert thnc huu han chieu H ta trích đưac m®t dãy h®i tn manh ... Hai phương pháp ban giai toán cân bang 25 2.1 Các dang tương đương 25 2.2 Phương pháp điem bat đ®ng hàm đánh giá 28 2.3 2.2.1 Phương pháp điem bat đ®ng 28 2.2.2 Phương pháp. .. f l mđt song hm cân bang C Chương Hai phương pháp ban giai toán cân bang Bài toán cân bang (EP) có the mơ ta dưói dang tương đương Các dang tương đương so đe xây dnng phương pháp giai Trong... tốn cân bang 11 1.3 Các trưịng hop riêng cna tốn cân bang 19 1.3.1 Bài toán toi ưu 20 1.3.2 Bài toán điem yên ngna 20 1.3.3 Bài tốn điem bat đ®ng Kakutani 21 1.3.4 Cân