Một số phương pháp cơ bản giải bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Vân MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Vân MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TỐN CÂN BẰNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội - Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè thành viên lớp Cao học tốn 2015-2017 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ em thời gian học tập trình làm luận văn Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2017 Học viên Vũ Thị Vân i Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu Một số kí hiệu chữ viết tắt Chương Tổng quan 1.1 Một số khái niệm 1.2 Sự tồn nghiệm tính chất tốn cân 11 1.3 Các trường hợp riêng toán cân 19 1.3.1 Bài toán tối ưu 20 1.3.2 Bài toán điểm yên ngựa 20 1.3.3 Bài toán điểm bất động Kakutani 21 1.3.4 Cân Nash trị chơi khơng hợp tác 21 1.3.5 Bất đẳng thức biến phân 22 Chương Hai phương pháp giải toán cân 25 2.1 Các dạng tương đương 25 2.2 Phương pháp điểm bất động hàm đánh giá 28 2.2.1 Phương pháp điểm bất động 28 2.2.2 Phương pháp hàm đánh giá 37 Ví dụ 41 2.3 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 ii Lời nói đầu Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng , chuẩn ||.|| tương ứng Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H f song hàm từ C × C vào R cho f (x, x) = với x ∈ C Trong luận văn ta xét toán cân sau đây, ký hiệu EP(C, f): Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Bài toán EP(C,f) gọi bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận đóng góp ơng lĩnh vực Bài tốn cân đơn điệu có liên quan chặt chẽ với tốn tính điểm bất động ánh xạ không giãn Về mặt lý thuyết toán cân đơn điệu toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn có mối quan hệ tương hỗ lẫn nhau, theo nghĩa, với vài giả thiết tự nhiên, tốn mơ tả dạng toán ngược lại Về mặt hình thức tốn cân đơn giản, nhiên bao hàm nhiều lớp tốn quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực Một số trường hợp riêng toán cân toán tối ưu, toán điểm bất động Kakutani, bất đẳng thức biến phân, cân Nash trò chơi khơng hợp tác, tốn điểm n ngựa Như vậy, nhiều tốn quan trọng, nhiều mơ hình thực tế, có tốn khó mặt tính tốn, ví dụ tốn tính điểm bất động Kakutani, quy dạng tốn cân Do đó, vấn đề giải tốn cân đề tài hấp dẫn, thu hút quan tâm nhiều người Luận văn trình bày vài cách tiếp cận giải tốn cân Đó cách tiếp cận dựa phương pháp điểm bất động, cách tiếp cận theo nguyên lý toán phụ, tiếp cận theo tối ưu hóa dựa kĩ thuật hàm đánh giá Cơ sở để xây dựng phương pháp giải dựa dạng tương đương toán cân Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Trình bày số khái niệm liên quan đến toán cân bằng, tồn nghiệm, tính chất trường hợp riêng tốn cân Chương Trình bày sở để xây dựng phương pháp giải tốn cân Từ giới thiệu vài thuật toán để giải toán cân bằng, đặc biệt sâu vào phương pháp điểm bất động phương pháp hàm đánh giá Sự hội tụ thuật toán trình bày cụ thể chương Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2017 Học viên Vũ Thị Vân Một số kí hiệu chữ viết tắt H: Không gian Hilbert thực; X: Không gian Banach thực; R: Tập số thực; ∅: Tập rỗng; a, b = Tích vơ hướng véc-tơ a b; x = Chuẩn x; ∂f (x): Dưới vi phân hàm f x; ∀x: Với x; xn → x: Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x; xn x: Dãy {xn } hội tụ yếu tới x; x := y: Nghĩa là, x định nghĩa y Chương Tổng quan Chương trình bày khái niệm liên quan đến toán cân bằng, tồn nghiệm, tính chất trường hợp riêng quan trọng toán cân Các kiến thức chương trích từ tài liệu [1-5], [12] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn thực khơng gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: x > 0, ∀x = 0; x = ⇔ x = 0; x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X; αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R Định nghĩa 1.1.2 Cặp (H, , ) H khơng gian tuyến tính thực , :H ×H →R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện: x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = ⇔ x = 0; x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H; x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1.1 L2 [a,b] khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] với f ∈ L2 [a,b] cho b a f (x) dx < +∞ không gian Hilbert với tích vơ hướng b a f, g = f (x) g (x) dx; chuẩn f L2 [a,b] b a = f (x) dx Trên H có hai kiểu hội tụ sau: Định nghĩa 1.1.3 Xét dãy {xn }n≥0 x thuộc không gian Hilbert thực H Khi đó: • Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh tới x, ký hiệu {xn } → x, lim n→+∞ xn − x = • Dãy {xn } gọi hội tụ yếu tới x, ký hiệu {xn } lim n→+∞ x, ω, xn = ω, x , ∀ω ∈ H Ta nhắc lại kết giải tích hàm (xem [2]) liên quan đến hai loại hội tụ Mệnh đề 1.1.1 Ta có khẳng định sau đây: • Nếu {xn } hội tụ mạnh đến x hội tụ yếu đến x • Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) bị chặn giới hạn theo hội tụ mạnh (yếu) tồn • Nếu khơng gian Hilbert thực H khơng gian hữu hạn chiều hội tụ mạnh hội tụ yếu tương đương • Nếu {xn }n≥0 dãy bị chặn khơng gian Hilbert thực H ta trích dãy hội tụ yếu • Nếu {xn }n≥0 dãy bị chặn không gian Hilbert thực hữu hạn chiều H ta trích dãy hội tụ mạnh Tiếp theo, ta nêu số định nghĩa kết giải tích lồi phát biểu [1], [12] Xét C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H Định nghĩa 1.1.4 Tâp C không gian Hilbert thực H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Định nghĩa 1.1.5 Điểm a gọi điểm biên C lân cận a có điểm thuộc C điểm không thuộc C; Tập C gọi tập đóng C chứa điểm biên nó; Tập C gọi tập compact yếu C tập đóng bị chặn Định nghĩa 1.1.6 Cho C tập lồi x ∈ C Ký hiệu: NC (x) := {w| w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} Nón gọi nón pháp tuyến ngồi C x Định nghĩa 1.1.7 Xét hàm f : H → R ∪ {+∞} Khi đó: (i) Hàm f gọi hàm lồi H f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); (ii) Hàm f gọi hàm lồi chặt H f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x = y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1); (iii) Hàm f gọi hàm lồi mạnh H với hệ số η > nếú f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) − η λ(1−λ) x−y , ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) Dưới số ví dụ quen thuộc hàm lồi Ví dụ 1.1.2 Xét ví dụ sau: Hàm affine f (x) = aT x + b, a ∈ Rn , b ∈ R hàm lồi Nó thỏa mãn đẳng thức f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y), ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) Hệ 2.2.1 Cho L1 < τ < ρ ≤ Khi đó: 2L2 xk+1 − x∗ ≤ r xk − x∗ , ∀k ≥ 0, − 2ρ(τ − L1 ) < < r := Do τ ≤ L1 + L2 < ρ ≤ , nên ta có 2ρ(τ − L1 ) < Vậy r đạt giá 2L2 2L2 Dựa vào mệnh đề hệ trên, ta có thuật tốn sau giải tốn (EP) trị nhỏ ρ = f đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitz (M) Như thấy, xk = xk+1 , xk nghiệm, ta gọi điểm x ∈ C nghiệm − xấp xỉ (EP) x − x∗ ≤ , x∗ nghiệm xác (EP) Thuật tốn (cho tốn cân đơn điệu mạnh) Bước khởi đầu Chọn sai số ≥ < ρ ≤ Lấy x0 ∈ C 2L2 Bước lặp k (k = 0, 1, ) Tính xk+1 cách giải quy hoạch lồi mạnh xk+1 = argminy∈C {ρf (xk , y) + (1 − r) , với r := r -xấp xỉ (EP) Nếu xk+1 − xk ≤ nghiệm y − xk 2 } (Pk ) − 2ρ(τ − L1 ), dừng: xk+1 Trái lại tăng k thêm thực bước lặp k Chú ý tính chất co xk+1 − x∗ ≤ r xk − x∗ với r < 1, ta có: xk+1 − x∗ ≤ r 1−r xk+1 − xk , ∀k ≥ Do xk+1 − x∗ ≤ rk+1 x0 − x1 , ∀k ≥ 1−r (1 − r) rk+1 x0 − x1 ≤ , xk+1 − x∗ ≤ r 1−r Trong trường hợp này, ta nghiệm -xấp xỉ Vậy, xk+1 − xk ≤ 31 Trường hợp bất đẳng thức biến phân Giả sử F ánh xạ đa trị cho C ⊆ domF := {x ∈ Rn : F (x) = ∅} F (x) compact với x ∈ C Trong phần trước, ta thấy toán bất đẳng thức biến phân:   Tìm x∗ ∈ C, v ∗ ∈ F (x∗ ) cho:  v ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C (VI) trường hợp riêng toán cân (EP), C nón lồi, tốn bất đẳng thức biến phân trở thành tốn bù:   Tìm x∗ ∈ C, v ∗ ∈ F (x∗ ) cho:  v ∗ ∈ C ∗ , v ∗ , x∗ = (CP) C ∗ := {v| v, x ≥ 0, ∀x ∈ C} nón đối cực C Nhớ C = Rn+ C ∗ = C Ta nói F thỏa mãn điều kiện Lipschitz C với số Lipschitz L (nói ngắn gọn L-Lipschitz), F Lipschitz theo khoảng cách Hausdorff, tức với x, y ∈ C ta có: sup inf u−v ≤L x−y u∈F (x) v∈F (y) Như thấy đầu chương, để mô tả bất đẳng thức biến phân dạng toán cân (EP), ta đặt: f (x, y) := max v, y − x v∈F (x) Khi đó, tập nghiệm tốn (EP) tốn bất đẳng thức biến phân trùng Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.2.1 Giả sử f (x, y) := max v, y − x v∈F (x) 32 Khi F Lipschitz C với số L > 0, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz (M), cụ thể là: f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − L x−y 2δ − Lδ y−z 2 , δ Vậy ta áp dụng Thuật tốn để giải bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh Chú ý để áp dụng Thuật toán 1, ta cần có L1 < τ Để L có điều ta cần lấy δ > 2τ n Bài toán bù (CP) với C = R+ F ánh xạ đơn trị, toán bù viết dạng: Tìm x∗ ≥ 0, cho F (x∗ ) ≥ : F (x∗ ), x∗ = Trong trường hợp toán phụ đơn giản: xk+1 = argminy∈C ρf (xk , y) + x − xk 2 (Pk ) Khi Thuật toán với F đơn điệu mạnh C có hệ số τ , trở dạng sau: xk+1 = argminy∈C F (xk ), y − xk + y − xk 2 Theo định nghĩa toán tử chiếu, ta viết được: xk+1 = PRn+ xk − ρF (xk ) , PRn+ tốn tử chiếu (theo chuẩn Euclidean) điểm xk − ρF (xk ) lên Rn+ Do ta tính cách tường minh Thật vậy, y = (y1 , , yn )T hình chiếu x = (x1 , , xn )T lên Rn+ với i = 1, , n, ta có  x , x ≥ 0, i i yi =  0, trái lại Thuật toán giải toán bù đơn điệu mạnh mơ tả sau: Thuật toán (cho toán bù đơn điệu mạnh) 33 Bước khởi đầu Cố định sai số ≥ Chọn δ ρ cho δ > Lấy x0 ≥ Lδ k+1 Bước lặp k (k = 0, 1, ) Tính xk+1 = xk+1 , , xn   xk , ρFi (xk ) ≤ xk , i i k+1 xi =  0, trái lại T L ,0 tham số hiệu chỉnh a) Nếu wk = 0, dừng thuật tốn: xk nghiệm (EP) b) Nếu wk = 0, chuyển qua bước 34 Bước 2: Tính z k+1 = xk + σk wk xk+1 = PC z k+1 , PC toán tử chiếu lên C Bước 3: Cho k := k + quay lại bước Chú ý tốn phải giải thuật tốn tốn tính wk bước Bài tốn giải sau: (i) Giả sử quy hoạch lồi miny∈C f (xk , y) có nghiệm Đặt mk := − f (xk , y) < +∞ y∈C chọn wk cho wk , y − xk ≥ ρmk , ∀y ∈ C (ii) Do f (x, ·) lồi, khả vi phân C, nên với y ∈ C, g k ∈ ∂2 f (xk , xk ), ta có: f (xk , y) − f (xk , xk ) ≥ g k , y − xk Do f (xk , xk ) = 0, nên từ ta thấy wk = −ρ−1 g k thỏa mãn bất đẳng thức sau: ρf (xk , y) + wk , y − xk ≥ 0, ∀y ∈ C Do wk điểm cần tìm Bây ta cần chứng minh hội tụ thuật toán 35 Định lý 2.2.1 Giả sử f đơn điệu mạnh C với hệ số τ {xk } dãy tạo Thuật tốn Khi ta có xk+1 − x∗ 2 ≤ (1 − 2ρτ σk ) xk − x∗ + σk2 wk , ∀k ≥ 0, x∗ nghiệm toán (EP) Hơn nữa, < ρ ≤ 2τ dãy {wk } bị chặn, {xk } hội tụ đến nghiệm x∗ (EP) Chứng minh: Giả sử x∗ nghiệm (EP) Thay z k+1 = xk + σk wk , ta được: z k+1 − x∗ = xk + σk wk − x∗ = xk − x∗ + 2σk wk , xk − x∗ + σk2 wk 2 (2.4) Sử dụng định nghĩa wk với y = x∗ , ta có: ρϕ(xk , x∗ ) ≥ wk , xk − x∗ (2.5) Vì f đơn điệu mạnh C với τ x∗ nghiệm (EP), nên ρf (xk , x∗ ) ≤ −ρτ xk − x∗ ≤ −ρτ xk − x∗ − ρf (x∗ , xk ) (2.6) Từ (2.4), (2.5) (2.6), ta suy ra: z k+1 − x∗ ≤ (1 − 2ρτ σk ) xk − x∗ + σk2 wk (2.7) Mặt khác xk+1 = PC z k+1 , nên theo tính chất tốn tử chiếu, ta có: xk+1 − x∗ ≤ z k+1 − x∗ Từ (2.7), ta được: xk+1 − x∗ ≤ (1 − 2ρτ σk ) xk − x∗ + σk2 wk Để chứng tỏ limk→∞ xk = x∗ , ta giả sử dãy {wk } bị chặn Theo điều vừa chứng minh: xk+1 − x∗ ≤ (1 − 2ρτ σk ) xk − x∗ 36 + σk2 M, ∀k, (2.8) với M > số Do ∞ k=1 σk = +∞, ∞ k=1 σk < +∞, nên từ (2.8), ta có xk+1 − x∗ → k → +∞ Định lý chứng minh 2.2.2 Phương pháp hàm đánh giá Để kiểm tra xem điểm lặp có phải - nghiệm, ta dùng hàm đánh giá cho toán cân Phương pháp hàm đánh giá kết hợp với nguyên lý toán phụ (AEP) cho phép biểu thị toán cân (EP) cách cực tiểu hóa ràng buộc hàm khả vi liên tục Trước tiên, ta nhắc lại hàm đánh sau: Định nghĩa 2.2.1 Hàm g : C → R gọi hàm đánh giá cho toán cân (EP) nếu: (i) g (x) ≥ 0, ∀x ∈ C; (ii) g (x) = 0, x ∈ C ⇔ x nghiệm (EP) Từ ta thấy rằng: g (x) := sup f (x, y) (2.9) y∈C hàm đánh giá cho toán cân (EP) Định lý 2.2.2 Cho hàm f : C × C → R Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) f (x, y) lồi chặt y, ∀x ∈ C; (ii) f (x, y) khả vi x, ∀y ∈ C fx liên tục C × C; (iii) cận (2.9) đạt với ∀y ∈ C Khi g (x) := sup [f (x, y)] y∈C hàm đánh giá khả vi liên tục cho toán cân (EP) đạo hàm xác định sau: 37 g (x) = fx (x, y (x)), y (x) := arg f (x, y) y∈C Chứng minh: Vì f (x, y) lồi chặt y, ∀x ∈ C nên tồn điểm cực tiểu y (x) toán f (x, y) y∈C Theo Định lý 4.3.3 [13] ta có y (x) nửa liên tục x y (x) đơn trị Do y (x) liên tục x Hơn nữa, fx liên tục nên g (x) = fx (x, y (x)), y (x) := arg f (x, y) y∈C Mặt khác, từ tính liên tục fx y (x) ta suy g (x) liên tục Vậy g (x) khả vi liên tục C Định lý chứng minh Rõ ràng (iii) thỏa mãn f (x, y) nửa liên tục y C tập compact f (x, ) lồi chặt Tuy nhiên, giả thiết tính lồi chặt cho hàm f (x, ) luôn thỏa mãn Ví dụ tốn bất đẳng thức tựa biến phân (VI), f (x, ) tuyến tính Chúng ta khắc phục khó khăn cách đưa toán cân phụ, bổ sung cho toán tử f hàm lồi chặt H (x, ) sau: Cho H (x, y) : C × C → R hàm khả vi C y cho H (x, y) ≥ 0, ∀ (x, y) ∈ C × C; (2.10) H (x, x) = 0, ∀x ∈ C; (2.11) Hy (x, x) = 0, ∀x ∈ C (2.12) Khi đó, ta có tốn cân phụ (AEP) sau: Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) + H (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Ta có định lý sau: 38 Định lý 2.2.3 Cho C tập đóng, f (x, y) hàm khả vi, nửa liên tục dưới, lồi y, với x ∈ C, f (x, y) khả vi x fx liên tục C × C Giả sử H (x, y) : C × C → R hàm khả vi liên tục C, lồi mạnh y, với x ∈ C cho (2.10), (2.11), (2.12) thỏa mãn Khi đó: h (x) := max [f (x, y) + H (x, y)] y∈C (2.13) hàm đánh giá khả vi liên tục cho tốn (EP) đạo hàm sau: h (x) = fx (x, y (x)) + Hx (x, y (x)), y (x) := arg [f (x, y) + H (x, y)] y∈C Ta xét thuật toán để cực tiểu toán (2.9) (2.13) Khơng tính tổng qt, ta giả thiết sau: (i) C tập lồi H; (ii) f (x, y) hàm khả vi, lồi y, với x ∈ C; (iii) f (x, y) hàm khả vi x, với y ∈ C; (iv) fx liên tục C × C Thuật toán Cho g định nghĩa (2.9) Bước Cho k = 0, x0 ∈ C; Bước Đặt xk+1 := xk + tk dk , dk := xk − y (xk ), y (xk ) nghiệm toán: f (xk , y), y∈C tk nghiệm toán: g (xk + tdk ) 0≤t≤1 Bước Nếu xk+1 − xk ≤ µ, với µ > 0, STOP Ngược lại, cho k = k + quay trở lại Bước Thuật toán sau thu cách áp dụng Thuật toán cho toán 39 cân phụ (AEP) Thuật toán Cho h định nghĩa (2.13) Bước Cho k = 0, x0 ∈ C; Bước Đặt xk+1 := xk + tk dk , dk := xk − y (xk ), y (xk ) nghiệm toán: [f (xk , y) + H (xk , y)], y∈C tk nghiệm toán: h (xk + tdk ) 0≤t≤1 Bước Nếu xk+1 − xk ≤ µ, với µ > 0, STOP Ngược lại, cho k = k + quay trở lại Bước Ta chứng minh hội tụ hai thuật toán Để áp dụng Thuật toán ta cần thêm giả thiết sau: fx (x, y) + fy (x, y) , x − y ≥ 0, ∀ (x, y) ∈ C × C (2.14) Để áp dụng Thuật toán ta cần thêm giả thiết sau: fx (x, y) + Hx (x, y) + fy (x, y) + Hy (x, y) , x − y ≥ 0, ∀ (x, y) ∈ C × C (2.15) Nếu ta giả thiết Hx (x, y) + Hy (x, y) = 0, ∀ (x, y) ∈ C × C (2.16) (2.15) hiển nhiên trở thành (2.14) Ta thấy giả thiết (2.16) thỏa mãn H (x, y) = M (x − y) , x − y , M ma trận đối xứng, xác định dương cấp n Định lý sau nói lên hội tụ Thuật tốn : 40 (2.17) Định lý 2.2.4 Giả sử C tập compact, giả thiết (2.14) thỏa mãn f (x, y) hàm lồi chặt y, với x ∈ C Khi đó, với x0 ∈ C bất kỳ, dãy {xk } định nghĩa Thuật toán nằm tập C điểm tụ {xk } nghiệm toán cân (EP) Chứng minh: Vì C tập lồi nên tồn dãy {xk } định nghĩa Thuật toán nằm tập C, với tk ∈ [0, 1] Do y (x) liên tục nên d (x) := x − y (x) liên tục C Xét U (x, d) := y|y = x + tk d, g (x + tk d) = g (x + td) 0≤t≤1 đóng g hàm liên tục Do đó, xk+1 = U (xk , d (xk )) đóng Theo Định lý hội tụ Zangwill (xem thêm [14]) ta có, điểm tụ dãy {xk } nghiệm toán cân (EP) Định lý chứng minh Sự hội tụ Thuật toán suy trực tiếp từ định lý Định lý 2.2.5 Cho H (x, y) : C × C → R hàm khả vi liên tục C × C, lồi chặt y, với x ∈ C cho (2.10), (2.11), (2.12) thỏa mãn Giả sử C tập compact giả thiết (2.15) thỏa mãn Khi đó, với x0 ∈ C bất kỳ, dãy {xk } định nghĩa Thuật toán nằm tập C điểm tụ {xk } nghiệm tốn cân (EP) 2.3 Ví dụ Xét ví dụ sau: Giải tốn cân với f (x, y) = −x + y C = [−1, 1] Ta thấy f (x, y) hàm khả vi, lồi y, ∀x ∈ C 41 Thật vậy, với x, y, u ∈ C, λ ∈ [0, 1] ta có: f (x, λy + (1 − λ) u) = −x + λy + (1 − λ) u = [−λx + λy] + [(1 − λ) u − (1 − λ) x] = λ (−x + y) + (1 − λ) (−x + u) = λf (x, y) + (1 − λ) f (x, u) Mặt khác f (x, y) khả vi x, ∀y ∈ C fx liên tục C × C Vì fx (x, y) + fy (x, y) , x − y = 0, ∀ (x, y) ∈ C × C nên áp dụng Thuật toán cho tốn ta có: Bước 1: Cho k = 0, x0 = ∈ C Bước 2: Đặt x1 = x0 + t0 d0 đó: d0 = x0 − y (x0 ), y (x0 ) nghiệm toán: f (x0 , y), y∈[−1,1] t0 nghiệm toán: g (x0 + td0 ) 0≤t≤1 Giải toán ta được: y (x0 ) = −1, d0 = 1, t0 = −1 nên x1 = −1 Bước 3:Ta thấy x1 − x0 = > µ với µ = > nên quay lại Bước ta cho k = Khi x2 = x1 + t1 d1 đó: d1 = x1 − y (x1 ), y (x1 ) nghiệm toán: f (x1 , y), y∈[−1,1] t1 nghiệm toán: g (x1 + td1 ) 0≤t≤1 Giải toán ta được: y (x1 ) = −1, d1 = 0, nên x2 = x1 = −1 Ta thấy x2 − x1 = < µ với ∀µ > Vậy x = −1 nghiệm toán cân cho Bài toán giải Thuật tốn với cách làm tương tự ta chọn H (x) = 21 (x − y) 42 KẾT LUẬN Bài tốn cân có nhiều ứng dụng thực tiễn, chẳng hạn vật lý, ngành kỹ thuật, lý thuyết trò chơi, vận tải, kinh tế, hệ thống mạng, Bài toán cân bao hàm toán quan trọng toán lồi, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, tốn minimax, mơ hình cân Nash, Một số phương pháp để giải toán cân phương pháp điểm bất động, cách tiếp cận theo nguyên lý toán phụ, tiếp cận theo phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, tiếp cận theo tối ưu hóa dựa kỹ thuật hàm đánh giá, Tính ứng dụng cao lớp tốn động lực để nhà toán học nghiên cứu phương pháp giải Luận văn đề cập vấn đề sau: Trình bày cách hệ thống khái niệm giải tích lồi, kiến thức tốn cân bằng: tồn nghiệm, tính chất trường hợp riêng toán cân Giới thiệu vài phương pháp giải tốn cân năm thuật tốn Trình bày sở để xây dựng phương pháp giải dựa dạng tương đương toán cân Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển, (2015), Giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu, (2009), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Anh, P N., (2011), A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems, 1, pp 1-13 [5] Blum, E Oettli., (1994), "From optimization and variational inequality to equilibrium problem", Math Stud, 63, pp.127-149 [6] Daniele, P., Giannessi, F., and Maugeri, A., (2003), Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer [7] Dinh, Q.T., Muu, L.D., Nguyen, V.H., (2008), "Extragradient methods extended to equilibrium problems", Optimization, 6, pp 749-776 [8] Fan, K., (1972), "A Minimax Inequality and Applications", Academic Press, New York, pp 103-113 44 [9] Konnov, I.V., (2003), "Application of the proximal point method to monmonotone equilibrium problems", J Optim Theory App, 119, pp 317-333 [10] Mastroeni, G., (2004), "Gap function for equilibrium problems", J Glob Optim, 27, pp 411-426 [11] Muu, L.D., Quoc, T.D., (2009), "Regularization Algorithms for Solving Monotone Ky Fan Inequalities with Application to a Nash-Cournot Equilibrium Model", J Optim Theory Appl, 142, pp 185-204 [12] Rockafellar, R.T., (1970), Conver Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [13] Tammer, K., Kummer, B., Klatte, D., Guddat, J., and Bank, B., (1983), Nonlinear Parametric Optimization, Birkhauser Verlag [14] Zangwill, W.I., (1969), Nonlinear Programming: a unifixed approach, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New York 45 ... thống mạng, Bài toán cân bao hàm toán quan trọng toán lồi, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, tốn minimax, mơ hình cân Nash, Một số phương pháp để giải toán cân phương pháp điểm... bày số khái niệm liên quan đến toán cân bằng, tồn nghiệm, tính chất trường hợp riêng toán cân Chương Trình bày sở để xây dựng phương pháp giải tốn cân Từ giới thiệu vài thuật toán để giải toán cân. .. niệm giải tích lồi, kiến thức toán cân bằng: tồn nghiệm, tính chất trường hợp riêng toán cân Giới thiệu vài phương pháp giải toán cân năm thuật tốn Trình bày sở để xây dựng phương pháp giải dựa