Bài giảng số 5: Một số phương pháp cơ bản giải hệ phương trình thường gặp trong đề thi ĐH

Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ một phương trình và thay vào phương trình còn lại của hệ ta thu được phương trình một[r]

Bài giảng số 5.MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH

I Phƣơng pháp

Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút biến biểu thức thích hợp từ phương trình thay vào phương trình cịn lại hệ ta thu phương trình ẩn

Chú ý:

 Phương trình ẩn phải giải

 Một phương trình hệ đưa tích phương trình bậc hai ẩn

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :

4 2

2

2

2 6

x x y x y x

x xy x

    

 

  



   

1

2

Giải

Phương trình  

2

6

2

2

x x

xy  

  thay vào phương trình  1 ta được:

2

2

4 6 6

2

2

x x x x

x  x           x

   

4

12 48 64

x x x x

    

 3

4 x x

  

4 x

x      



Với x = thay vào phương trình  2 ta thấy không thỏa mãn

Với x 4 thay vào phương trình  2 ta 17 y

Vậy nghiệm hệ phương trình : ; 4;17 x y   

 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  

 

3

2

1

2

1

x y

x y

x y

  

 



   

Giải

Từ Phương trình  2 x2y22 1 Thế vào phương trình  1 ta được:

    

   

2

3 2 2

2

2

2 2

2 2

2

x y x y x y x x y x y xy y

x y

x y x y x xy y x y

x xy y

         

  

        

   

Với x y, thay vào phương trình  2 ;

2

x y x y

     

Với x 2y, thay vào phương trình    2 ; ; ; ;

5 5

x y    

      

   

Với 2x2xyy2   0 x y 0, không thỏa mãn phương trình  2

Vậy nghiệm hệ: ; ; , ; , ; , ;

2 2 5 5

x y            

       

BÀI TẬP:

Giải hệ phương trình sau:

1)

2

2

3

5

xy y

xy xy y y y

  

 

    

 Đáp số:     x y;  0;3 ; 2;1 ;  4; 

2)  

4

2

1

x x y x x y

x y

     

 

 

 Đáp số:    x y;  1;0

3)   

2

2

1

1

x y x y x x

xy x x

      

 

  

 Đáp số:    

5 ; 1; ; 2;

2 x y     

 

4)

 

3

2

4 16

1

x y y x

y x

   



   

 Đáp số:     x y;  0; , 0; , 1; ,     1;3 

HD: Phương trình (2) y25x2 4 Thay vào phương trình (1) được:

 

3 2

5 16

x  y  x y y  x

5)

3

2

8

3

x x y y

x y

   

 

 

 Đáp số: 

6 6

; ; , ;

13 13 13 13 x y        

   

6)

12

1

3

12

1

3 x

y x

y

y x

 

 

  

 



 

   

  



Đáp số:  x y; 4 3;12   

HD:

1

1

1 12

3

x y

y x

x y

  

   

   

 



  

1 12

3

3 y x y x

x  y y x    

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

2

2

2 2

xy x y x y

x y y x x y

    

 

   



   

1

2

Giải Điều kiện:

0 x

y     

Phương trình (1) 2  

2

x xy y x y

      xyx2y 1

2

x y x y

x y x y

   

 

 

    

 

Với x y( vơ lí )

Với x2y1, thay vào phương trình (2) biến đổi, thu gọn ta được:

y1 2y2  0 y 2( y0) x

Vậy nghiệm hệ phương trình :    x y;  5;

BÀI TẬP:

Giải hệ phương trình sau:

1)

4 2

3

1 x x y x y

x y x xy

   

 

  

 Đáp số:     x y;  1;1 ,  1; 

2)

2

2

6

3

x xy x y

x y x y

    

 

   

 Đáp số:   

1 ; 0;1 , ;0

3 x y   

 

3)

  

2

2

5 16 16

5 4

y x xy x y

y x x

     

 

  

 Đáp số:      

4 ; 0; , 4; , ;

5 x y   

 

4)

     

2

2

1 3

x y xy x y

y x y x x y

    

 

     

 Đáp số:    

3

; 4;

x y 

5) 3 22 02 2

2

xy x

x x y x y xy y

   



     

 Đáp số:    

1 5

; 1;1 , ; , ;

2

x y          

HD  

 

2

2

2

xy x

x y x y

   

     



6)  

   

2

2

2

5

x y xy y x y

xy x y x y

     

 

   

 Đáp số:     

2 2

; 1;1 , 1; , ; , ;

5 5

x y          

   

HD  

  

2

2

5

1

x y xy y x y

xy x y

     

  

   



7)

2

2

8

16 xy

x y

x y

x y x y

   

 



   



Đáp số:   x y;  3;7 , 2;   

HD   

2

2

4 4

x y x y x y

x y x y

      

  

  



8)   

3 3

2 2

16

4

x y y xy y xy

x y xy y

    

 

  

 Đáp số:     x y;  1;1 , 1;  

HD     

 

3 3

2 2

2 2.2

2

xy y xy y xy y

xy xy y y

    

  

  



9)

4

4

2

2

1

1

x y

x

x y

x y

y

x y

   

 

  



  



  

  

 

   

 



Đáp số:  x y; 64 17 12 ;16 17 12      

II Phƣơng pháp đặt ẩn phụ

Nội dung phương pháp:

Điểm quan trọng việc giải hệ phát ẩn phụ u f x y v ; , g x y ; Có phương trình xuất sau số phép biến đổi

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

3

2

3 22

1

x x x y y y

x y x y

      

 

   



Giải

3 2

2

3( ) 9( ) 22

1

( )

2

x z x z x z

x z x z

       

 

   



       

   

3

2

3 22

1

2

x z xz x z x z xz x z

x z xz x z

           

 

  

     



Đặt :

,

x z S

S P

xz P   

  



Ta có:

 

3

2

3 22

1

2

S SP S P S

S P S

      

 

  

 

2 S

P

  

  



3

1

2

2

3

1

4

2 x

y

x z x y

xz xy

x

y       

   

  

  

 

    

 

  

  

 

   

  

Vậy nghiệm hệ phương trình :  ; 3; , 1;

2 2

x y       

   

BÀI TẬP:

Giải hệ phương trình sau:

1)  

2

2

3

2 4

x y xy

x y x y

   

 

    

 Đáp số:   

8 ; 0;1 ; ;

7 x y    

 

HD:     

   

2 2 2

2

2

2 2

x y x y

x y x y

    

 

    

 , đặt 2

2

2

u x y

v x y

 



  



2)  

   

4 2

2

2

2 2

x y xy x x y

x y xy x y

      

 

    

 Đáp số:    x y;  1;3

HD:    

   

2

2

2

2

2

x y xy x y

x y xy x y

     

  

 

    

  

Đặt

2

x y u

xy v    





3)    

 

3 2

2

1 30

1 11

x y y x y y xy

x y x y y y

      

 

     



Đáp số:      ; 1; , 2;1 , 21 5; 21 , 21 5; 21

2 2

x y           

   

HD:    

 

2 2 2

30

11 xy x y x y x y

xy x y xy x y

    

  

    

 , đặt

x y u

xy v   

 



4)

 

2

4

5

4

x y x y xy xy

x y xy x

       



     



Đáp số:  ; 5; 25 , 1; .

4 16

x y       

  

 

HD:

   

 

2

2

5

4

x y xy x y xy

x y xy

      

  

    



Đặt

2

x y u

xy v    





5)

2

2

1

1 xy x y

y

y x y

    

 

    

Đáp số:     x y;  1;1 , 3;  

6)

3

2

7

4

x y x y

x xy y xy

     

 

     

 Đáp số:   x y;  5; ,  4;5 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  

  

2

1

1

x y y x y

x y x y

    

 

   



Giải

Nhận xét: y = nghiệm nên hệ cho tương đương với :

 

2

2

1

4

1

2

x

y x y

x

y x y

     

 

  

    

 

Đặt :

2

1

2

1

2 x

u u v u

y

uv v

y x v

     

 

  

    

 

    

2

1

2

2

5 x x

y y

x y x

y  

    

 

 

       

 

 

Vậy nghiệm hệ phương trình :     x y;  1; , 2;5 

BÀI TẬP:

Giải hệ phương trình:

1) 2 2 2

1 13

xy x y

x y xy y

   

   

 Đáp số:    

1 ; 3;1 , 1;

3 x y   

 

HD: 2

1

7

1

13 x x

y y

x x

y y

 

  

 

 

  

 

    

 



Đặt

1

x u

y

x v y

   

   

2)

 2  

2

3

4

1

2

xy x y

x y

x

x y

    

 

 

  

 



Đáp số:    x y;  1;0

HD:

   

 

2

2

3

3

1

3

x y x y

x y

x y x y

x y

     

 

  

     

 



Đặt

1

,

x y u u

x y

x y v

    

 

    

3)

2

2 2

6

1

y y x x

x y x

  

 

 

 Đáp số:    

1 ; 1; , ;1

2 x y   

HD:

2

2

2

1

6

1

5

y

y y y

x x

x x

y

y y

x x x

  

   



 

  

 

 

 

      

 

 

  

Đặt

y v x

y u

x    

   

4)

 

 2

2

1

1

1

1 49

x y

xy

x y

x y

  

  

  

  



 

   

 

  



Đáp số:  ; 5; , 1;7

2

x y         

   

HD:

2

2

1

1 49 x y

x y

x y

x y

     

 

    



Đặt

1

x u

x

y v

y    



   

5)  

3

2

9 125

45 75 y x

x y x y

   

 

 

 Đáp số:  

1 ; ; , ;5

3 x y      

   

HD:

3

125

27

5

3

x y

x x

y y

  

 

   

   

  



Đặt

3 u x

v y

    



6)    

 

2

1 1

2

x x y y

x x y

      

 

   

 Đáp số:      x y;  0;3 , 1;0

HD: Cộng vế với vế hai phương trình đặt t  x y1

Nội dung phương pháp:

Điểm quan trọng phương pháp biến đổi phương trình hệ dạng    

f u  f v với f hàm số đơn điệu D Từ suy u = v

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:    

2

2

4

4

x x y y

x y x

     

 

   



   

1

2

Giải

Đk:

4

x ;

2 y

Ta có phương trình (1)    

4x 2x 2y 2y

     

 2  2

2x 2x  2y 2 y

 

       

   f  2x  f  2 y

Ta có:      

1 ' 0,

f t  t  t f t  t    t  f t là hàm đồng biến với  t

Mà:    

0

2 2 5 4

2 x

f x f y x y x

y   

       

  Thay vào phương trình (2) ta được:

2

2

4

2 x

x      x 

   

Nhận xét 0,

x x nghiệm  

Xét hàm số:  

2

2

4

2 x

g x  x      x

 

3 0;

4

 

 

 

   

' 4 0, 0;

4

g x x x x

x

 

       

  

 g x hàm nghịch biến  

Mặt khác 1

2

g      x

 

Vậy nghiệm hệ :  ; 1; x y   

 

BÀI TẬP:

1)    

 

3 2

2 2

4

2 1

x y x x

x y y x x

    

 

    

 Đáp số:  

1 ; 1;

2 x y   

 

HD: hệ 2y1 4y2 1 1 12

x x

 

       

 

Xét    

1

f t t  t   f t  đồng biến 2 y x  

2)     

2

3

2 4

4 3

x x x y y

x y y

        

 

     



Đáp số:  ; 1;1 x y   

 

3)  

 

3

4 2 2

2

2

x y xy

x y x xy y x y

    

 

       

 Đáp số:  

1

; ;

2 x y   

 

HD: Cách 1: Vì 4xyxy2 nên từ (1)    3 2

2 xy  xy 30 a1 2 a23a 3

 a1 (với x y a)

Khi  2   2    2

1

a   a  y  

2

1 1

1 1

2

a a

a

y y

    

   

  

   





1 x

y       

Cách 2: Đặt t x y  theo cách ta có t1

  4 2  2

2  t 2t  t 2y1 0 Xét hàm số f t  t4 2t2 t 2y12 với t1 Ta có

     

' 4 1

f t  t   t t t     f t hàm đồng biến  t nghiệm

1

x y

  

4)

3

2

7

2

x y y

x y xy y

  

 

  

 Đáp số:   x y;  2;1

HD: Phương trình (2)  2

9

y x y x y

y

     

Đặt

0

y     t t

Thay vào phương trình (1) thu gọn:  33

3

t  t t  t

 

 

3

2

3

9

3

3

t t t t

t t t

 

     

 

    

Xét hàm số:    33

3 0,

f t   t t  t  t

 f ' t 9t89t23t32 7  

f t

 đồng biến  t

5)

5 10

2

4

x xy y y

x y

   

 

   

 Đáp số:     x y;  1;1 , 1;  

6)

4

2

16

8

2

x y

x y

x xy y

  

 



   



Đáp số:  x y;   2;  

HD: phương trình (1)  

x

f   f y   

  , với    

4

1

,

t

f t t

t 

 

7)   

2

1 1

6

x x y y

x x xy xy x

     

 

     



Đáp số:   ; 1; , 11; 11

2

x y       

 

HD: phương trình (1) 2    

1

x x y y f x f y x y

            

8)  

3

3

2 2

2 14

x x x x y y

x x y

      

 

    

 Đáp số:  

111

; 7;

98 x y   

 

HD: phương trình (1) f  2y f 1 x

 

     

 

9)  

3 2

2

3 22 21 2

2 11

y y y x x x x

x x y

        

 

  

 Đáp số:      x y;  1;0 , 5;

HD: phương trình (1)  f  2x 1 f y 1, thay vào phương trình cịn lại thu gọn ta

   

1 20 25

x x x x

     

10)

 

4

4

2

1

2

x x y y

x x y y y

      

 

     

HD: phương trình (1)    

1 f x f y

   , thay vào phương trình cịn lại thu gọn ta

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

3

2 2

2 3

1 2

x y x y

x x y y

    

 

     



   

1

2

Giải

Đk: 1

0

x

y    

   

Đặt z   x z  0;

Phương trình (1) 3

3

z z y y

    Xét hàm số: f t  t3 ,t2  t  0;

     

' 0, 0;

f t t t t t t

         f t là hàm nghịch biến  0;

Mà f z  f y     z y x y

Thay vào phương trình (2) có: 2

2 0

x  x      x y

Vậy nghiệm hệ phương trình là:   x y;  0;1

BÀI TẬP:

Giải hệ phương trình sau:

1)

 

3

1

1

x y x

x y

    

 

 

 Đáp số:    x y;  2;1

2)

2

2

2

2

y x

x x x

y y y





     

 

    

 Đáp số:    x y;  1;1

3)

3

1

2

x y

x y

y x

    



  



Đáp số:   ; 1;1 , 5; , 5;

2 2

x y             

   

4)

3

8

5

1

x x y y

x y

   

 

 

 Đáp số:  

4 5 5

; ; , ;

2 2

x y

           

   

  

   

   

5)

2

2

2 22

2 22

x x y y y

y y x x x

      

 

     

 Đáp số:    x y;  1;1

   

f x  f y với f t  t2 2t 22 t  t2 2t 1,t 0  x y

Thay vào phương trình thứ  Phương trình có dạng :

   1

g x g , với f x x22x 1 x22x22 x t, 0

  2 2

' 2

2 22 22

x x

g x x

x x x x x

 

      

   

6)

3

3

3

x x x y

y y y x

     

 

    

 Đáp số:   x y;  0;0

7)

   

2

3

3

5 19

3

x y

y

x x y

  



       

 

  



Đáp số:   x y;  2;11 

HD: Từ phương trình thứ  y 3x21 Thay vào phương trình cịn lại thu gọn ta

 

3

2

6

5

1 x

x x

x 

   

 Vế trái đồng biến, vế phải nghịch biến

8)  

 

3

4

2

x x y y

x x y y

     

 

    

 Đáp số: 

1

; 0; , ;

2

x y      

   

9)

3

2

3

4 11 25 16

x y x x y

x y y

     

 

   

 Đáp số:  

3 13 13

; ;

4

x y      

 

HD: Phương trình thứ  f y  f x 1 

10)

3

2

6 15 14

36 63 27 27 21 27 39

y x y y x

x x y y y

      

 

      

 Đáp số:  

15

; ;

27 x y   

 

HD: Phương trình thứ  f x  f y 2  Thay vào phương trình thứ hai liên hợp

11)

 

3

2 2

3

13 43 37 19 22 28 3

x y y x

x x y y x x y

     

 

         



Đáp số:  ; 1; 2 x y    

  HD: Phương trình thứ  f x  f y 1  Thay vào phương trình thứ hai đánh giá vế trái lớn vế phải

12)

2

1

5 6

x y x y

y x y x x

     

 

       

 Đáp số:    x y;  5;

HD: Phương trình thứ  f x  f y 1  Thay vào phương trình thứ hai thu gọn, nhân

 

5

6 6 5

x x

x x x



 

      

     

 

13)

3

4

6 15 14

x y x x y

x y x y

      

 

   

 Đáp số:    x y;  1;1

HD: Phương trình thứ  f x 2 f  y Thay vào phương trình thứ hai dùng

bunhiacopxiki

14)

2

2

2

3

x x x y y

x y x y

       

 

    

 Đáp số:  

3

; ; , ;

2 2

x y          

HD: Cộng vế hai phương trình ta f x 22x 1  f y2

15)    

   

2

4

1

3

x x x y y y

x y

     

 

   

 Đáp số:  x y;   4; 

16)    

 

2

3

2 2

2 1

x y x y

x y x y x y x y

y x

 

       

 

   

 Đáp số:   x y;  2;1

17)

3

1

2

2

1

1

x

x x

x y

x y

  



 

  



     



Đáp số: ; 1;

2

x y     

 

HD: Phương trình thứ  

1 1 2

x x x x x

        

18)   

2 2

2

1 1

x x y y x y

x y x

      

 

   



Đáp số:  ; 4;1 x y   

 

HD: Phương trình thứ f f  2y x

 

  

 

19)  

 

2

2

2

2 2

log log 2

log log log 3

x

x x y

x y x x y

   

 

     

 Đáp số:        x y;  8;7 , 2;1 , 4;3

HD: Phương trình thứ  f x  f y 1 

20)

2

2

2

8

3

8

3

8

3

x x y

y

y y z

z

z z x

x

     

 

     

 

     

 

21)

   

2 2

2

2

1

1

3log log

y x x

e

y

x y x y



 



 



      

