Bài giảng số 1: Phương pháp biến đổi tương đương trong chứng minh bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHỨNG MINH BẤT. ĐẲNG THỨC[r]

BÀI GIẢNG SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CHỨNG MINH BẤT

ĐẲNG THỨC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Các hàng đẳng thức đáng nhớ  Các bất đẳng thức bản:



0

A   a   a  a b  a b

 2

a b c ab bc ca 

 2  2

2(a b ) ab

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1:

Cho x2 + y2 + z2 = Chứng minh: xy yz zx

1

    

Lời giải

* Có

2 zx yz

xy    2xy + 2yz + 2zx  -1  + 2xy + 2yz + 2zx 

 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx   (x + y + z)2  (ln đúng)

* Có xy + yz + zx   x2 + y2 + z2  xy + yz + zx

 2x2 + 2y2 + 2z2  2xy + 2yz + 2zx

 (x2 + y2 – 2xy) + (y2 + z2 – 2yz) + (z2 + x2 – 2zx) 

 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2  (luôn đúng)

Vậy tốn chứng minh

Ví dụ 2:

Cho ab  1, x + y  Chứng minh

a)

ab

2 b

1 a

1

2

2  

 

 (1)

b) x y x y

2

2

1

1

    

 (2)

Lời giải

a) Có 2 2

b

1 ab

1 ab

1 a

1 )

1 (

       

) b )( ab (

) ab ( ) b ( ) ab )( a (

) a ( ) ab (

2

2

2

 

     

2 2 2 b ) a b ( b a ) a b ( a b ab b a a ab            

 a(b – a)(1 + b2)  b(b – a)(1 + a2)  (b – a)[a(1 + b2) – b(1 + a2)] 

 (b – a)(a + ab2 – b – a2b)   (b – a)[ab(b – a) – (b – a)] 

 (b – a)2(ab – 1)  (luôn với ab  1)  đpcm

b) Đặt a = 2x > 0, b = 2y >  ab = 2x + y  20 =

(2) trở thành:

ab b 1 a 1 2    

 (ln đúng)  đpcm

Ví dụ 3:

Cho a, b, c >

b c a 

 Chứng minh:

b c b c b a b a       (1) Lời giải Từ c a ac b ac c a b b c a         Có c a ) c a ( a c a ac a c a ac a b a           , c a a c a ac a b a 2       c a ) a c ( c c a ac c c a ac c b c           , c a c c a ac c b c 2      

Do

c a c a c a ) c a ( / c ) c a ( / ) a c ( c ) c a ( / a ) c a ( / ) c a ( a )

( 2 2      

        a c c a c a a c

1      

  a2 + c2  2ac  (a – c)2  (ln đúng)

Vậy tốn chứng minh

Ví dụ 4:

Cho a + b > Chứng minh

(a + b)(a2 + b2)(a3 + b3)  4(a6 + b6) (1)

Lời giải

Có a + b >  a2 + b2 > nên

(1)  (a + b)(a2 + b2)(a3 + b3)  4(a2 + b2)(a4 + b4 – a2b2)

 (a + b)(a3 + b3)  4(a4 + b4 – a2b2)  a4 + ab3 + a3b + b4  4a4 + 4b4 – 4a2b2

 3a4 + 3b4 – 4a2b2 – a3b – ab3   (2a4 + 2b4 – 2a2b2) + (a4 + b4 – a3b – ab3) 

 2(a2 – b2)2 + a3(a – b) – b3(a – b)   2(a2 – b2)2 + (a – b)(a3 – b3) 

Ví dụ 5:

Cho a + b + c = Chứng minh: a4 + b4 + c4  a3 + b3 + c3

Lời giải

Có a4 + b4 + c4  a3 + b3 + c3  3(a4 + b4 + c4)  3(a3 + b3 + c3)

 3(a4 + b4 + c4)  (a + b + c)(a3 + b3 + c3)

 3a4 + 3b4 + 3c4  a4 + ab3 + ac3 + a3b + b4 + bc3 + a3c + b3c + c4

 2a4 + 2b4 + 2c4  ab3 + ac3 + a3b + bc3 + a3c + b3c

 a4 + a4 + b4 + b4 + c4 + c4  ab3 + ac3 + a3b + bc3 + a3c + b3c

 a(a3 – b3) – b(a3 – b3) + a(a3 – c3) – c(a3 – c3) + b(b3 – c3) – c(b3 – c3) 

 (a – b)(a3 – b3) + (a – c)(a3 – c3) + (b – c)(b3 – c3) 

(ln a – b, a3 – b3, a – c, a3 – c3, b – c, b3 – c3 dấu)  đpcm

Ví dụ

Cho a, b, c > Chứng minh

a) 2(a b) a b

b a )

ab

(   b) 3(a b c) a b c

1

c b a )

abc

(   

Lời giải

a) Có 2(a b) a b a b

1 b

a ) b a (

b ln a ln ) ab ln( ) b a ( ) b a ln( )

ab ln( b

a )

ab

(         

 (a + b)(lna + lnb)  2(alna + blnb)  alna + alnb + blna + blnb  2alna + 2blnb

 alna + blnb  alnb + blna  a(lna – lnb)  b(lna – lnb)  (a – b)(lna – lnb) 

(ln a – b, lna - lnb dấu)  đpcm

b) Ta có, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

1

( )

3

( ) ( )(ln ln ln ) ln ln ln

3

( )(ln ln ln ) 3( ln ln ln )

a b c a b c

abc a b c a b c a b c a a b b c c

a b c a b c a a b b c c

 

        

       

Theo (a), ta coự:

( )(ln ln ) ln ln ln ln (1)

( )(ln ln ) ln ln ln ln (2)

( )(ln ln ) ln ln ln ln (3)

a b a b a a b b a b b a

b c b c b b c c b c c b

c a c a c c a a c a a c

     

 

 

      

 

       

 

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có :

2( lna a b lnb c ln )c alnb b lna b lncclnb c lnaaln (4)c

3( lna a b lnb c ln )c (a b c  )(lnalnbln )c (đpcm)

Ví dụ

Cho a, b, c  [0, 1] Chứng minh: a2 + b2 + c2  + a2b + b2c + c2a (1)

Lời giải

Có a, b, c  [0, 1]  (1 – a2)(1 – b2)(1 – c2) 

 (1 – a2)(1 – b2 – c2 + b2c2)   – b2 – c2 + b2c2 – a2 + a2b2 + a2c2 – a2b2c2 

 a2 + b2 + c2  + a2b2 + b2c2 + c2a2 – a2b2c2

Có + a2b2 + b2c2 + c2a2 – a2b2c2  + a2b2 + b2c2 + c2a2

 a2 + b2 + c2  + a2b2 + b2c2 + c2a2

Lại a, b, c  [0, 1]  a2b2 + b2c2 + c2a2  a2b + b2c + c2a

 a2 + b2 + c2  + a2b + b2c + c2a  đpcm

Ví dụ 8:

Cho a, b, c  (0, 1) Chứng minh tồn bất đẳng thức sai

4 ) a ( c , ) c ( b , ) b (

a      

Lời giải

Giả sử bất đẳng thức

64 ) c c )( b b )( a a ( 64

1 ) a ( c ) c ( b ) b (

a         



Có

4 a a ) a ( ) 4 a a ( a a

0             

Tương tự:

4 c c , b b

0         

64 ) c c )( b b )( a a

( 2 vơ lí

Vậy phải có bất đẳng thức sai

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Chứng minh

a) a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

b) 3(a2 + b2 + 1)  (a + b + 1)2

2 Cho a + b  Chứng minh: 3

3

)

b a (

b

a 

 

4 Cho a > Chứng minh: a 3 a2 1a

5 Cho ABC Chứng minh:

3 c b a

cC bB

aA 

  

 

6 Cho a + b + c = Chứng minh: a2004 + b2004 + c2004  a2003 + b2003 + c2003

7 Chứng minh với x, ta có: x6 – x3 + x2 – x + >

8 Chứng minh với x, ta có: (x – 1)(x – 4)(x – 5)(x – 8) + 37 

9 Chứng minh 12 15 20

5

x x x

x x x

     

    

     