Bài giảng số 1: Hàm số bậc hai và đồ thị

Xác định toạ độ của M, N và tính diện tích tứ giác MHKN.[r]

BÀI GIẢNG SỐ 01: HÀM SỐ BẬC HAI

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tính chất hàm số

ax ( 0) y a

Nếu a > hàm số ax

y  nghịch biến x < đồng biến x >

Nếu a < hàm số ax

y  đồng biến x < nghịch biến x >

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm hàm số bậc hai

Ví dụ 1: Xác định hệ số a hàm số ax

y  để đồ thị (P) hàm số qua điểm

a A(-2; 4) b 1;1 B 

 

Giải:

a Đồ thị (P): ax

y  qua A(-2; 4)

4 a( 2) 4a a

     

Vậy yx

b Đồ thị (P): ax

y  qua 1;1 B 

 

2

1

.1

2 a a

   

Vậy

2

y x

Dạng 2: khảo sát vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Ví dụ 2: Cho hàm số

ax y  (P)

a) Xác định hệ số a biết đồ thị cắt đường thẳng d: y = -2x + điểm A có hồnh độ

c) Nhờ đồ thị xác định tọa độ giao điểm thứ hai hai đồ thị vừa vẽ câu b)

Giải:

a) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d

ax  2x3 (1)

Vì đường thẳng d cắt (P) điểm A có hồnh độ nên x = phải nghiệm phương trình (1)

.1 2.1

a a

     

Vậy (P) có dạng: yx

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-15 -10 -5 10 15

c) Giao điểm thứ hai B  3;9

Dạng 3: Tìm điểm Parabol thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 3: Cho hàm số

ax

y  có đồ thị (P)

Giải:

a 2

( 1; 2) ( ) M axM ( 1)

M    P  y    a  a 

Vậy y = - 2x2

b 2

( A; 4) ( ) A A A

A x   P     x x  x  

Vậy có hai điểm (P) có tung độ -4 là: A( 2; 4), A'( 2; 4)

Ví dụ Cho parabol  

P : yx

a) Tìm (P) hai điểm M, N cho tam giác OMN Đs:  3;  ,  3; 

b) Tìm (P) hai điểm P, Q cho tam giác OPQ cân O có diện tích

Đs: 2 4;  , 2 4; 

Giải:

a) Gọi M a b N( ; ), (a b; )( )P (a b , 0) Khi tam giác OMN cân O

Phương trình đường thẳng OM: x y y bx

a  b  a  hệ số góc OM b a Phương trình đường thẳng ON: x y y bx

a b a



   

 hệ số góc ON

b a



Để tam giác OMN góc hai đường thẳng OM ON 60

2

2

2

2

tan 60 3

1 b b

b a b

a a

b a a

a 



    



2 2ab a b

  

2 2

4 2

4 3( )

3 10 (1)

a b a a b b

a a b b

   

   

Vì M N, ( )P nên

ba Thay vào (1) ta có

2 2

2

3

3 10 1 1

3

b a

b b

b b



  



 

     

   



 

Vậy M 3;3 , N  3;3hoặc ;1 , ;1

3

3

M  N 

   

b) P m n Q( ; ), (m n; )( )P n m

  (1) Khi tam giác OPQ cân O

Gọi H PQOyOH n, PQ = 2m

Vì 16

2

OPQ

S   OH PQ n m mn (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

8

m  m n4

Vậy P(2; 4),Q ( 2; 4)

Bài tập:

Bài 1: Xác định hệ số a hàm số

ax

y  để đồ thị (P) hàm số qua điểm

a A   2; 16 b B  4; 4

ĐS: a)

4

y  x b)

4

y  x

Bài 2: Cho hàm số:

a) Biết điểm A(-2; b) thuộc đị thị, tính b Điểm A’(2;b) có thuộc đồ thị hàm số khơng? Vì sao?

b) Biết điểm C(c, 6) thuộc đồ thị, tính c Điểm D(c; -6) có thuộc đồ thị khơng ? Vì sao?

ĐS: a) A( )P b) D( )P

Bài 3: Cho hai hàm số

0,

y x yx

a) Vẽ đồ thị hàm trên mặt phẳng tọa độ

Bài 4: Cho hàm số

4

y x

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm đồ thị điểm A có hồnh độ – Bằng đồ thị, tìm tung độ A

c) Tìm đồ thị điểm có tung độ

ĐS: b) A3; 2  c) 4;4 , ' 4;

3

B  B   

   

   

Bài 5: Cho parabol  

2

P : y x

Vẽ parabol (P) tìm (P) điểm cách hai trục toạ độ

Đs: 1 1

2 2

M ; ,N ; 

   

Bài 6: Cho parabol  

P : y ax

a) Tìm a để (P) qua điểm M4 4; .

b) Lấy điểm A0 3;  điểm B  

4

P : y x Tìm độ dài nhỏ đoạn thẳng AB

c) Vẽ (P)

2

d : y  x hệ trục toạ độ

d) Gọi M N hai giao điểm (P) d; H, K hình chiếu A B trục Ox Xác định toạ độ M, N tính diện tích tứ giác MHKN

Đs: a

4