PHUONG PHAP DOI BIEN TRONG CHUNG MINH BAT DANG THUCC

Phương pháp đổi biến số Võ Thanh Hải Chứng minh Bất đẳng thức phương pháp đổi biến số I Ví dụ: Dự đốn điều kiện đẳng thức xảy Ví dụ 1: Cho a  b  Chứng minh rằng: B = a5  b   Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do ta đặt: a   x Từ giả thiết suy ra: b   x , ( x  R ) Ta có: B = a5  b5  (1  x )5  (1  x )5  10 x  20 x   Đẳng thức xảy  x = 0, hay a = b = Vậy B  Ví dụ 2: Cho a  b  3, a  Chứng minh rằng: C = b  a  b  a  9b   Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = 1; b = Do ta đặt a   x , với x  Từ giả thiết suy b   x C = b3  a3  6b2  a2  9b = (2  x )3  (1  x )3  6(2  x )2  (1  x )2  9(2  x ) Ta có: = x  x  x = x( x  1)2  (vì x  0) Đẳng thức xảy  x = x = tức a = 1, b = a = 0, b = Vậy C  Ví dụ 3: Cho a  b  c  Chứng minh rằng: A = a2  b  c  ab  bc  ca   Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = Do ta đặt: a   x , b   y , ( x, y  R ) Từ giả thiết suy ra: c   x  y A = a2  b  c  ab  bc  ca Ta có: = (1  x )2  (1  y)2  (1  x  y)2  (1  x )(1  y)  (1  y)(1  x  y)  (1  x  y)(1  x )   = x  xy  y  =  x  y   y     Đẳng thức xảy  y = x  y   x = y = hay a = b = c =1 Vậy A  2 Ví dụ 4: Cho a  b  c  d Chứng minh rằng: D = a2  b2  ab  3cd  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = d Do đặt: a  c  x , với x  R Từ giả thiết suy b  d  x Ta có: D = (c  x )2  (d  x )2  (c  x )(d  x ) = c2  d  x  cd  cx  dx     3 =  c2  d  x  2cd  cx  dx   3cd  x =  c  d  x   x  3cd  3cd     Đẳng thức xảy  x = c  d  x   x = c = d hay a = b = c = d Vậy D  3cd Ví dụ 5: Cho a  b  Chứng minh rằng: a3  b3  a  b  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do đặt a   x , b   y Từ giả thiết suy x  y  trang Phương pháp đổi biến số Ta có: a3  b3  a4  b  (1  x )3  (1  y )3  (1  x )4  (1  y)4  (1  x )4  (1  y )4  (1  x )3  (1  y )3   x(1  x )3  y(1  y)3   x  y  3( x  y )( x  xy  y )  3( x  y )  x  y  ( Đúng x + y  0) Đẳng thức xảy  x = y = hay a = b = Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 6: Cho a  Chứng minh rằng: E = a2 (2  a)  32   Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = Do đặt a   x Từ giả thiết suy x  Ta có: E = (4  x )2 (2   x )  x  10 x  32 x  x ( x  5)2    Đẳng thức xảy x = hay a = Vậy E  Ví dụ 7: Cho ab  Chứng minh rằng: a2  b2  a  b  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do đặt a   x; b   y Ta có: ab   (1  x )(1  y)   x  y  xy   Mặt khác: a2  b2  a  b  (1  x )2  (1  y)2  (1  x )  (1  y )  x  y  x  y  Lại có: x  y  xy , với x, y nên ta có: x  y  x  y  ( x  y )  xy  x  y  (Đúng xy + x + y  0) Đẳng thức xảy  x = y = hay a = b = Vậy BĐT chứng minh Dạng cho biết điều kiện tổng biến khơng ( khó) dự đốn điều kiện biến để đẳng thức xảy Đối với loại ta đổi biến 27 0  Đặt a = 1– x a + b = + y Từ giả thiết suy x, y  nên ta có: b = + x + y 27 25 Từ : F = 3(1 – x )2  (2  x  y )2   3(1– x )(2  x  y ) –  = x  y  x  y  xy  4 Ví dụ 8: Cho a  1; a + b  Chứng minh rằng: F = 3a2  b2  3ab   5 =  x  y    y2  y   2 Đẳng thức xảy  x = y = hay a =  b = 2 Vậy bất đẳng thức F  chứng minh Ví dụ 9: Cho a, b, c  [1; 3] a + b + c = Chứng minh rằng: a) a2  b  c   14 b) a3  b3  c3   36  Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + Khi x, y, z  [0; 2] x + y + z = Giả sử x = max{x; y; z} suy ra: x + y+ z =  3x   x   (x –1)(x –2)  nên: x  y  z2   x  ( y  z)2  x  (3 – x )2    2( x –1)( x – 2)   5 Tức là: x  y  z2   (*) Tương tự ta chứng minh x  y3  z3    9 (**) trang Phương pháp đổi biến số Võ Thanh Hải a) Ta có: a2  b2  c2  ( x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  x  y  z2  2( x  y  z)  2 (1) Thay (*) vào (1) ta có: a  b  c   14 điều phải chứng minh b) Ta có: a3  b3  c3  ( x  1)3  ( y  1)3  (z  1)3  x  y3  z3  3( x  y  z2 )  3( x  y  z)  (2) Thay (*) (**) vào (2) ta có: a3  b3  c3   36 điều phải chứng minh Ví dụ 10: Cho số thực a, b với a + b  Chứng minh:  Đặt c     ab  a b   2  ab  2 1 ab Ta có: ab + bc + ca = –1 lúc BĐT cần chứng minh trở thành: ab a2  b  c2   a2  b2  c2  2(ab  bc  ca)  (a  b  c)2  Vậy bất đẳng thức chứng minh (luôn đúng) Dạng bất đẳng thức với điều kiện cho ba số có tích x y z Cách1 : Đặt a  ; b  ; c  , với x, y, z  y z x Sau số ví dụ làm sáng tỏ điều Ví dụ 11: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1    a(b  1) b(c  1) c(a  1)  Nhận xét: a, b, c số thực dương abc = nên ta đặt: x y z a  ; b  ; c  , với x, y, z số thực dương y z x 1 1    Ta có:     a(b  1) b(c  1) c(a  1) xy  y z  zx  1   1   1 y  z  z  x  x  y  yz zx xy    xy  zx yz  xy zx  yz Đây BĐT Néb–sít cho ba số dương xy, yz, zx, suy điều phải chứng minh  Ví dụ 12: (Ơlimpic quốc tế 2000) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc =    1 Chứng minh rằng:  a     b    c     b  c  a   Nhận xét: a, b, c số thực dương thoả mãn abc = 1, nên ta đặt: x y z a  ; b  ; c  , với x, y, z số thực dương y z x    1 ( x  y  z)( y  z  x )( z  x  y) Ta có: 1  a     b    c      b  c  a  xyz  ( x  y  z)( y  z  x )( z  x  y )  xyz (*) Đặt x  m  n; y  n  p; z  p  m Khi (*)  (m  n)(n  p)( p  m )  8mnp (**) Áp dụng BĐT Cơ–si cho hai số dương ta có: m  n  mn ; n  p  np ; p  m  pm trang Phương pháp đổi biến số Ba bất đẳng thức có hai vế dương nên nhân vế theo vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh Chú ý: Ta chứng minh (*) theo cách sau đây: Do vai trò x, y, z có vai trò nhau, khơng tính tổng qt nên giả sử : x  y  z > Như x – y +z > y – z + x > + Nếu z – x + y  (*) hiển nhiên + Nếu z – x + y > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có: ( x  y  z)( y  z  x )  x ; ( y  z  x )( z  x  y )  y ; (z  x  y)( x  y  z)  z Nhân vế theo vế bất đẳng thức trên, suy (*) Vậy (*) cho x, y, z số thực dương, suy toán chứng minh Phát hiện: Việc đổi biến vận dụng (**) cách khéo léo giúp ta giải toán Ví dụ 13 sau đây: Ví dụ 13: (Ơlimpic quốc tế 2001) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a b c    a2  8bc b2  8ca c2  8ab  Đặt x  a ; y b ; z c a  8bc b  8ca c  8ab Ta thấy x, y, z dương BĐT cần chứng minh trở thành S = x  y  z    a 8bc a2  x2   =  1   2  2 x a a  bc a  8bc  a  8bc  8ca 8ab 1  Tương tự ta có: ; 1  2 y b z c2 Do x  a     (1)   1     1  x  y   z Mặt khác S = x + y + z <  S2   S2   S2      thì: T =   1  1    >   1   1      z2  x   y   z2  x2   y    – Ta thấy (S – x)(S – y)(S – z) =(x + y)(y + z)(z + x)  8xyz (theo (**) ví dụ 12) (2) – Với ba số dương x + y, y + z, z + x, ta lại có (S  x )(S  y )(S  z)  64 xyz (3) Suy ra: – Nhân (2) (3) vế với vế, ta được: (S – x )(S – y )(S – z2 )  83 x y z2  S2   S2  S    1     1  83   z2  x2   y   Từ suy ra: T > 83 mâu thuẩn với (1) Vậy S = x + y + z  1, tức toán chứng minh hay: Ngược lại, số toán chứng minh bất đẳng thức mà biểu thức ( x y z biến đổi nó) có chứa biểu thức có dạng: ; ; , với x, y, z  Lúc việc y z x x y z ; b  ; c  , với abc = phương pháp hữu hiệu, sau ví dụ y z x minh chứng điều này: đặt a  trang Phương pháp đổi biến số Võ Thanh Hải Ví dụ 14: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: b c a a b c   1    1) 2) a  2b b  2c c  2a a  2b b  2c c  2a 1 1) BĐT     a b c 2 2 2 b c a a b c Đặt x  ; y  ; z  Ta có x, y, z số thực dương có tích xyz = b c a 1 1 1 Suy ra:   1    1 a b c x 2 y2 z2 2 2 2 b c a  (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2)  (x + 2)(y + 2)(z + 2)  (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12  xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) +   xyz + xy + yz + zx   xy + yz + zx Đây bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho ba số dương ta có: xy  yz  zx  33 ( xyz)2  Suy điều phải chứng minh 2) Cách 1: Chứng minh tương tự câu 1)  b c a   a b c      Cách 2: Ta có:   3  a  b b  c c  a   a  b b  2c c  a  Áp dụng kết toán 1), ta suy bất đẳng thức cần chứng minh Cách : Ngoài cách đặt a  x y z ; b  ; c  ta có cách đổi biến khác Cụ thể y z x ta xét ví dụ sau: Ví dụ 15: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1.Chứng minh: a b c     2 (a  1)(b  1)(c  1) (a  1) (b  1) (c  1) (*) 1 a 1 b 1 c 1 x 1 y 1 z ;y ; z  –1 thoả mãn a + b = Chứng minh: c) Cho a + b + c  Chứng minh: a  b4  c  a3  b3  c3 d) Cho a + b > b  Chứng minh: 27a2  10b3  945 1 Bài 2: Cho a, b, c số dương    Chứng minh: 8abc  a 1 b 1 c 1 Bài 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a)  5(a + b + c) – Bài 4: Cho số dương a, b, c cho abc = Chứng minh: a3 b3 c3   3 2 (a  1) (b  1) (c  1)2 a b c Bài 5: Cho số dương a, b, c cho abc = Chứng minh:    (a  b  c  1) b c a Bài 6: Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh:  27(ab  bc  ca)  54abc  Bài 7: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: 2(1  a2 )(1  b2 )(1  c2 )  (1  a)(1  b)(1  c)  2(1  abc) trang ... mãn a + b = Chứng minh: c) Cho a + b + c  Chứng minh: a  b4  c  a3  b3  c3 d) Cho a + b > b  Chứng minh: 27a2  10b3  945 1 Bài 2: Cho a, b, c số dương    Chứng minh: 8abc  a 1... toán chứng minh Ví dụ 19: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: 12 abc  5 ab  bc  ca  Đặt x  a  b  c ; y  ab  bc  ca ; z  abc Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương... chứng minh Đẳng thức xảy khi: a = b = c = trang Phương pháp đổi biến số Võ Thanh Hải II Các tập áp dụng : Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau:   14 ab a  b b) Cho a + b + c + d = Chứng minh: