Phương pháp đổi biến và phương pháp giảm biến trong chứng minh bất đẳng thức

➜➵✐ ❤ä❝ ➜➭ ◆➼♥❣ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠ ◆❣✉②Ô♥ ➜ø❝ ❚✉✃♥ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤æ✐ ❜✐Õ♥ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sÜ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❚♦➳♥ s➡ ❝✃♣ ➜➭ ◆➼♥❣✱ ◆➝♠ ✷✵✷✵ ➜➵✐ ❤ä❝ ➜➭ ◆➼♥❣ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠ ◆❣✉②Ơ♥ ➜ø❝ ❚✉✃♥ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤ỉ✐ ❜✐Õ♥ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sÜ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❚♦➳♥ s➡ ❝✃♣ ▼➲ sè✿ ✽✳✹✻✳✵✶✳✶✸ ❈➳♥ ❜é ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥ ➜➭ ◆➼♥❣✱ ◆➝♠ ✷✵✷✵ ❉❛♥❤ s➳❝❤ ❍é✐ ➤å♥❣ ❝❤✃♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sÜ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✭❚❤❡♦ ◗✉②Õt ➤Þ♥❤ sè ✻✷✼✴◗➜✲➜❍❙P ♥❣➭② ✵✹ t❤➳♥❣ ✺ ♥➝♠ ✷✵✷✵ ❝đ❛ ❍✐Ư✉ tr➢ë♥❣ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ➜➭ ◆➼♥❣✮ ❍ä❝ ❤➭♠✱ ❤ä❝ ✈Þ✱ ❍ä ✈➭ t➟♥ ❈➡ q✉❛♥ ❝➠♥❣ t➳❝ ❚❙✳ ▲➢➡♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②Ĩ♥ ➜❍❙P ➜➭ ◆➼♥❣ ❚❙✳ ❈❤÷ ❱➝♥ ❚✐Ư♣ ➜❍❙P ➜➭ ◆➼♥❣ ❚❙✳ ❚r➬♥ ➜ø❝ ❚❤➭♥❤ ❈❤ø❝ ❞❛♥❤ tr♦♥❣ ❍é✐ ➤å♥❣ ❈❤đ tÞ❝❤ ❍é✐ ➤å♥❣ ➜❍ ❱✐♥❤ ❚❙✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤➭♥❤ ❈❤✉♥❣ ➜❍ ◗✉➯♥❣ ❇×♥❤ ❚❙✳ ❍♦➭♥❣ ◆❤❐t ◗✉② ➜❍❙P ➜➭ ◆➼♥❣ P❤➯♥ ❜✐Ư♥ ✶ P❤➯♥ ❜✐Ư♥ ✷ đ ② ✈✐➟♥ đ ② ✈✐➟♥ t❤➢ ❦ý ❳➳❝ ❝đ❛ ♥❤❐♥ ❝đ❛ ◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❍ä❝ ✈✐➟♥ ➤➲ ❝❤Ø♥❤ sö❛ ▲✉❐♥ ✈➝♥ t❤❡♦ ý ❦✐Õ♥ ❝ñ❛ ❍é✐ ➤å♥❣ ❝❤✃♠ ▲✉❐♥ ✈➝♥✳ ◆❣➭② ✵✺ t❤➳♥❣ ✻ ♥➝♠ ✷✵✷✵ P●❙✳❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥ ▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ❚➠✐ ①✐♥ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ➤➞② ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝đ❛ r✐➟♥❣ t➠✐✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ ✈➭ trÝ❝❤ ❞➱♥ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝✱ râ r➭♥❣✳ ➜➭ ◆➼♥❣✱ ♥❣➭② ✵✺ t❤➳♥❣ ✻ ♥➝♠ ✷✵✷✵ ◆❣➢ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ◆❣✉②Ơ♥ ➜ø❝ ❚✉✃♥ ✐ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ➜➭ ◆➼♥❣ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝đ❛ t❤➬② ❣✐➳♦ P●❙✳❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ò ết s s t ế ị ♥➭② t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❝❤ñ ♥❤✐Ư♠ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ P❤ß♥❣ ➤➭♦ t➵♦ ➜➵✐ ❤ä❝✲❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ q✉ý t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ➜➭ ◆➼♥❣ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥✱ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❝➡ q✉❛♥✱ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ ❝➳❝ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❝❛♦ ❤ä❝ ❦❤ã❛ ✸✻ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❚♦➳♥ s➡ ❝✃♣ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ➜➭ ◆➼♥❣ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤✉❐♥ ❧ỵ✐ ❣✐ó♣ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ư♠ ✈ơ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳ ▼➷❝ ❞ï ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣✱ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ỏ ữ s sót rt ợ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝đ❛ q✉Ý ❚❤➬② ❈➠ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥✳ ➜➭ ◆➼♥❣✱ ♥❣➭② ✵✺ t❤➳♥❣ ✻ ♥➝♠ ✷✵✷✵ ❍ä❝ ✈✐➟♥ ◆❣✉②Ô♥ ➜ø❝ ❚✉✃♥ ✐✐ TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phương pháp đổi biến phương pháp giảm biến chứng minh bất đẳng thức Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Họ tên học viên: Nguyễn Đức Tuấn Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Văn Ân Cơ sở đào tạo: Trường ĐHSP- Đại học Đà Nẵng Tóm tắt: Luận văn “Phương pháp đổi biến phương pháp giảm biến chứng minh bất đẳng thức” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đạt vấn đề sau: 1) Phân tích trường hợp sử dụng phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức, chúng tơi sâu phân tích phép Ravi, phép đại số, phép lượng giác Đối với phép nêu trên, làm rõ trường hợp cụ thể cách đổi biến tương ứng Mỗi trường hợp có ví dụ minh họa Đặc biệt phép Ravi, chúng tơi tổng qt hóa trường hợp xảy 2) Phân tích trường hợp sử dụng phương pháp giảm biến chứng minh bất đẳng thức Đây phương pháp khó chưa đưa vào chương trình giáo dục phổ thông Với phương pháp này, sâu phân tích cách giảm biến gồm: Giảm biến theo trung bình cộng, giảm biến theo trung bình nhân, chuẩn hóa giảm biến, đưa biến; trường hợp có ví dụ minh họa 3) Phân chia bất đẳng thức thành dạng bản: Bất đẳng nhất, bất đẳng không nhất, bất đẳng thức độ dài ba cạnh tam giác, bất đẳng thức có điều kiện Trong loại bất đẳng thức nêu trên, làm rõ khái niệm nhắc lại số kiến thức có liên quan sau áp dụng Phương pháp đổi biến phương pháp giảm biến để chứng minh số ví dụ dạng bất thức nêu Tuy nhiên, phương pháp giảm biến xét đến trường hợp giảm biến hai biến lấy ví dụ bất đẳng thức biến Vì vậy, hướng phát triển luận văn tiếp tục nghiên cứu trường hợp giảm biến biên mở rộng việc áp dụng phương pháp cho dạng bất đẳng nhiều biến Từ khóa: Đổi biến, giảm biến, dồn biến, phép Cán hướng dẫn xác nhận Học viên PGS TS Trần Văn Ân Nguyễn Đức Tuấn INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Equation infinitive solution Major: Elementary Mathematics Methods Full name of Master student: Nguyen Duc Tuan Supervisors: PGS TS Tran Van An Training institution: The University of Education-University of Da Nang Abstract: The thesis "The method of changing variables and the method of reducing variables in proving the inequality" has achieved the objectives and tasks, specifically, the thesis has achieved the following issues: 1) Analyze the cases of using the variable method in proving the inequality, in which we have in-depth analysis of the change of the Ravi variable, algebraic change, trigonometric change For the above changes, we have clarified each specific case and how to change the corresponding variable Each case has an example Especially for the Ravi modification, we have generalized the possible cases 2) Analyze the cases using the method of reducing variables in the proof of inequality This is a new and difficult method, but has not been included in the general education curriculum yet With this method, we have deeply analyzed the ways of reducing variables including: Decreasing the variable by the average, reducing the variable by the mean, normalizing and reducing the variable, bringing about a variable; For each case, there are illustrative examples 3) Divide the inequality into basic forms: homogeneous inequalities, inhomogeneous inequalities, inequalities of the three sides of a triangle, and conditional inequalities In each of the above inequalities, we clarify the concept and recall some relevant knowledge then apply the Variable method and the variable reduction method to prove some examples of each unconscious form above However, the method of reducing variables only considers the case of reducing the variables to two equal variables and taking the example of the variable inequality Therefore, the development direction of the thesis is to continue researching the cases of reducing variables to the boundary and extending the application of these methods to the inequalities form more than variables Keywords: Change variables, reduce variables, multiply variables, surrogates Supervior’s confirmation Student PGS TS Tran Van An Nguyen Duc Tuan ▼ô❝ ▲ô❝ ❚r❛♥❣ ▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥ ✐ ▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✐✐ ▼ơ❝ ❧ơ❝ ✐ ❉❛♥❤ ♠ơ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ✐✐ ▼ë ➤➬✉ ✐✐✐ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤æ✐ ❜✐Õ♥ ✶ ✶✳✶ ❙ư ❞ơ♥❣ ♣❤Ð♣ t❤Õ ❘❛✈✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✶✳✷ ❙ư ❞ơ♥❣ ♣❤Ð♣ t❤Õ ❧➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✸ ❙ư ❞ơ♥❣ ♣❤Ð♣ t❤Õ ➤➵✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ ✷✶ ✷✳✶ ●✐➯♠ ❜✐Õ♥ t❤❡♦ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝é♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✷✳✷ ●✐➯♠ ❜✐Õ♥ t❤❡♦ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✷✳✸ ❈❤✉➮♥ ❤ã❛ ✈➭ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✷✳✹ ➜➢❛ ✈Ò ♠ét ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ❙ö ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤ỉ✐ ❜✐Õ♥ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ❞➵♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣ ✸✽ ✸✳✶ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ✸✳✷ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✸✳✸ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈Ò ❜❛ ❝➵♥❤ ❝ñ❛ t❛♠ ❣✐➳❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✸✳✹ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝ã ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾ ❑Õt ❧✉❐♥ ✺✹ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✺ ✐ ❉❛♥❤ ♠ơ❝ ❝➳❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t R : ❚❐♣ ❤ỵ♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝ [a, b] : ➜♦➵♥ [a, b], ❤❛② t❐♣ ❤ỵ♣ {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}; [a, b) : ◆ư❛ ❦❤♦➯♥❣ [a, b), ❤❛② t❐♣ ❤ỵ♣ {x ∈ R : a ≤ x < b}; (a, b] : ◆ư❛ ❦❤♦➯♥❣ (a, b], ❤❛② t❐♣ ❤ỵ♣ {x ∈ R : a < x ≤ b}; ❇➜❚ : ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝❀ ❆▼✲●▼ : ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s♦ s➳♥❤ ữ tr ì ộ tr ì ; : ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②✲❇✉♥②❛❦♦✈s❦②✲❙❝❤✇❛r③✳ ✐✐ ▼ë ➤➬✉ ✶✳ ▲ý ❞♦ ❝❤ä♥ ➤Ò t➭✐ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❧➭ ♠ét ❜é ♠➠♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ r✃t trõ✉ t➢ỵ♥❣✱ ➤➢ỵ❝ s✉② ❧✉❐♥ ♠ét ❝➳❝❤ ❧➠❣✐❝ ✈➭ ❧➭ ♥Ị♥ t➯♥❣ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜é ♠➠♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❦❤➳❝✳ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ❝ß♥ ❧➭ ♠ét ♠➠♥ ❤ä❝ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ➤➷❝ ❜✐Ưt ✈í✐ ❤ä❝ s✐♥❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣✳ ◆ã ❣✐ó♣ ❤ä❝ s✐♥❤ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ t➢ ❞✉② ❧➠❣✐❝✱ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ♥➝♥❣ ❧ù❝ trÝ t✉Ư ✈➭ ❤×♥❤ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ♣❤➮♠ ❝❤✃t ➤➵♦ ➤ø❝✱ ❤➡♥ ♥÷❛ ♠➠♥ ❚♦➳♥ ❧➭ ♠ét ♠➠♥ ❤ä❝ ❝➠♥❣ ❝ơ ♥➟♥ ✈✐Ư❝ ❤ä❝ tèt ♠➠♥ ❚♦➳♥ sÏ ❣✐ó♣ ❤ä❝ s✐♥❤ ❤ä❝ tèt ❝➳❝ ♠➠♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♠➠♥ ❚♦➳♥ ❝ò♥❣ ❧➭ ♠➠♥ ❤ä❝ ♠❛♥❣ tÝ♥❤ trõ✉ t➢ỵ♥❣ ❝❛♦ ♥➟♥ ❤ä❝ s✐♥❤ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣ ❦❤ã ❦❤➝♥ ❦❤✐ ❤ä❝ ❚♦➳♥✱ s♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ✈× ✈❐② ♠➭ ❚♦➳♥ ❤ä❝ t❤✐Õ✉ ➤✐ sù ❤✃♣ ❞➱♥ ➤è✐ ✈í✐ ♥❣➢ê✐ ❤ä❝✳ ▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❦❤è✐ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ r✃t q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ✈➭ ❤✃♣ ❞➱♥ ✈í✐ ❤ä❝ s✐♥❤ ❣✐á✐ ❧➭ ❝❤đ ➤Ị ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t✱ ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t✳ ◆❤➢♥❣ ➤➞② ❝ị♥❣ ❧➭ ♣❤➬♥ r✃t ❦❤ã ❝ñ❛ ❜é ♠➠♥ ❚♦➳♥✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧➭ ♠ét ✈✃♥ ➤Ị ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ❝đ❛ ❚♦➳♥ ❤ä❝ s➡ ❝✃♣ ♥❤➢♥❣ ♥❣➭② ❝➭♥❣ ➤➢ỵ❝ q✉❛♥ t➞♠ ✈➭ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥✱➤➞② ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ t♦➳♥ ❤ä❝ s➡ ❝✃♣ ➤Đ♣ ✈➭ t❤ó ✈Þ ♥❤✃t ✈× t❤Õ ♥ã ❧✉➠♥ ❝✉è♥ ❤ót r✃t ♥❤✐Ị✉ sù q✉❛♥ t➞♠ ❝đ❛ ❤ä❝ s✐♥❤✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ❤ä❝ s✐♥❤ ❣✐á✐✱ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ ❤ä❝ ❚♦➳♥✳ ➜✐Ĩ♠ ➤➷❝ ❜✐Ưt✱ ✃♥ t➢ỵ♥❣ ♥❤✃t ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ t♦➳♥ s➡ ❝✃♣ ➤ã ❧➭ ❝ã r✃t ♥❤✐Ò✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❤❛② ✈➭ ❦❤ã✱ t❤❐♠ ❝❤Ý ❧➭ r✃t ❦❤ã✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❝➳✐ ❦❤ã ë ➤➞② ❦❤➠♥❣ ♥➺♠ ë ❣➳♥❤ ♥➷♥❣ ✈Ị ❧➢ỵ♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ♠➭ ë ②➟✉ ❝➬✉ ã❝ q✉❛♥ s➳t✱ sù t✐♥❤ tÕ✱ sø❝ s➳♥❣ t➵♦ ✈➭ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♥❣➢ê✐ ❤ä❝✳ ì tế ọ ó tể ợ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ r✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ✈✐Ư❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ợ ữ ứ ột ề t❤ù❝ sù✳ ❚r♦♥❣ ❝➠♥❣ t➳❝ ❜å✐ ❞➢ì♥❣ ❤ä❝ s✐♥❤ ❣✐á✐ tì t t tứ trị ♥❤á ♥❤✃t✱ ❧í♥ ♥❤✃t ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã ❦❤➯ ♥➝♥❣ r❒♥ ❧✉②Ö♥ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ã❝ ♣❤➳♥ ➤♦➳♥ ✈➭ t➢ ❞✉② ❧➠❣✐❝✱ s♦♥❣ ♣❤➬♥ ❧í♥ ❤ä❝ s✐♥❤ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣ ❦❤ã ❦❤➝♥ ❦❤✐ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❞➵♥❣ t♦➳♥ ♥➭②✳ ➜è✐ ✈í✐ ❤ä❝ s✐♥❤ ♣❤ỉ t❤➠♥❣✱ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤➢ê♥❣ ❝ã r✃t Ýt ❝➠♥❣ ❝ơ✱ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝❤đ ②Õ✉ sư ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❤♦➷❝ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ✈✐Ư❝ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ➤Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ②➟✉ ❝➬✉ ❤ä❝ s✐♥❤ ♣❤➯✐ ❜✐Õt ❝➳❝❤ ❜✐Õ♥ ➤ỉ✐ ♠ét ❝➳❝❤ ❤ỵ♣ ❧ý✱ t❤❐♠ ❝❤Ý ❧➭ ♣❤➯✐ r✃t t✐♥❤ tÕ✳ ❱× ✈❐②✱ ♥Õ✉ ❝➳❝ ❡♠ ❝ã ❝➳✐ ♥❤×♥ tỉ♥❣ q✉❛♥ ✈➭ ❧➠❣✐❝ tì ệ ổ ế ế tí ợ ❧➵✐ ❧➭ ❝➳❝❤ ❧➭♠ ❤÷✉ ❤✐Ư✉ ✈➭ t❤✐Õt t❤ù❝ ♥❤➺♠ t×♠ r❛ ❝➳❝ ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛② ✈➭ ➤➬② ❜✃t ♥❣ê✳ ❱× ✈❐② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ä♥ ✐✐✐ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ ✸✳✹✳✶ ➳♣ ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤æ✐ ❜✐Õ♥ ✶✮ ✭❋r❛♥❝❡ Pr❡ ✲ ▼❖ ✷✵✵✺✮ ❈❤♦ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ x, y, z t❤♦➯ ♠➲♥✿ x2 + y + z = ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣✿ ●✐➯✐✳ ➜➷t a = xy yz zx + + ≥ 3✳ z x y xy yz zx ; b= ; c= ✈í✐ a, b, c > ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt z x y x2 + y + z = ⇔ ab + bc + ca = ✈➭ ❇➜❚ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿ a + b + c ≥ ▼➷t ❦❤➳❝ t❛ ❝ã ❇➜❚ s❛✉✿ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a + b + c ≥ 3(ab + bc + ca) = ❱❐② ❇➜❚ ➤✉ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉✃✉ ➇❂➈ ①➯② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ x = y = z = 1 + + ≥ 36 x y z a b c ●✐➯✐✳ ❚õ ❣✐➯ t❤✐Õt t❛ ❝ã t❤Ó ➤➷t✿ x = ; y= ; z= ✈í✐ a+b+c a+b+c a+b+c a, b, c > 0✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❇➜❚ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿ ✷✮ ❈❤♦ x, y, z > t❤♦➯ ♠➲♥ x + y + z = 1✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣✿ a+b+c a+b+c a+b+c + + ≥ 36 a b c b c a c a b + + + + + ≥ 22 a a b b c c a a c b b c + + + + + ≥ 22 a b a c b c ⇔ ⇔ ▼➭ a b + a b + c a c b + + + a c b c ≥2 b a + a b c a c b + .9 = 22 a c b c ❱❐② ❇➜❚ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳    x =    b = 2a  ❉✃✉ ➇❂➈ ①➯② r❛ ⇔ ⇔ y=  c = 3a      z= ✸✮ ✭■▼❖ ✷✵✵✵✮ ❈❤♦ a, b, c ❧➭ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥ abc = 1✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣✿ a−1+ b b−1+ c ✺✵ c−1+ a ≤ ●✐➯✐✳ ❉♦ abc = ♥➟♥ t❛ ❝ã t❤Ó ➤➷t a = y z x ; b= ; c= y z x ❑❤✐ ➤ã✱ ❇➜❚ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt ❧➵✐✿ x z −1+ y y y x −1+ z z z y −1+ ≤1 x x ⇔ xyz ≥ (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y) ✭❇➜❚ ♥➭② ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➵✐ ❱Ý ❞ơ ✶✱ ▼ơ❝ ✸✳✸✳✶✮ ❱❐② ❇➜❚ ➤✉ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉✃✉ ➇❂➈ ①➯② r❛ ⇔ a = b = c = ✹✮ ✭■▼❖✲✶✾✾✺✮ ❈❤♦ a, b, c ❧➭ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥ abc = ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣✿ 1 + + ≥ + c) b (c + a) c (a + b) a3 (b 1 ; b = ; c = ✈í✐ x, y, z > ✈➭ ❞♦ abc = ♥➟♥ xyz = ❑❤✐ x y z x2 y2 z2 ➤ã✱ ❇➜❚ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿ + + ≥ y+z z+x x+y ●✐➯✐✳ ❚❛ ➤➷t a = ▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❇➜❚ ❈❛✉❝❤②✲ ❙❝❤✇❛r③ t❛ ❝ã [(y + z) + (z + x) + (x + y)] ⇔ y2 z2 x2 + + y+z z+x x+y x2 y2 z2 + + y+z z+x x+y ≥ (x + y + z)2 √ 3 xyz x+y+z ≥ = ≥ 2 ❱❐② ❇➜❚ ➤✉ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉✃✉ ➇❂➈ ①➯② r❛ ⇔ a = b = c = ✸✳✹✳✷ ➳♣ ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ ✶✮ ❈❤♦ a, b, c ❧➭ ✸ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ ❝ã tÝ❝❤ abc = 1✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣✿ 1 13 25 + + + ≥ a b c a+b+c+1 ●✐➯✐✳ f (a, √ ❳Ðt ❤➭♠ sè✿ f (a, b, c) = √ bc, bc)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã d = f (a, b, c) − f (a, √ 1 13 + + + ❑ý ❤✐Ö✉ d = f (a, b, c) − a b c a+b+c+1 √ 1 13 13 √ bc, bc) = + + + − +√ + a b c a+b+c+1 a bc a + bc + 1 1 √ = + −√ + 13 − b c a + b + c + a + bc + bc   √ √ 13  = b− c + − bc (a + b + c + 1) a + 2√bc + ✺✶ ❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t✱ t❛ ❣✐➯ sö a = max{a, b, c} ❉♦ abc = ♥➟♥ bc ≤ s✉② r❛ ≥ bc ▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❇➜❚ ❆▼✲●▼ t❛ ❝ã✿ 13 ≤ √ √ 3 abc + (a + b + c + 1) a + bc + 13 = √ 3 abc + 13 ≤ 16 √ √ bc, bc) √ √ √ 25 ❱✐Ư❝ ❝ß♥ ❧➵✐✱ t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ f (a, bc, bc) ≥ ➜➷t t = bc, t❛ ❝ã 24 ◆➟♥ d ≥ s✉② r❛ f (a, b, c) ≥ f (a, √ f (a, √ 13 13t2 25 2 ≥ bc, bc) = f ( , t, t) = t2 + + = t2 + + t t t 2t + t + + 2t + t t2 ⇔ t2 + − + 13 − ≥0 t 2t + t + −2t3 + 3t2 − t3 − 3t + + 13 ≥0 t (2t3 + t2 + 1) (t − 1)2 (t + 2) (t − 1)2 (−2t − 1) ⇔ + 13 ≥0 t (2t3 + t2 + 1) ⇔ ⇔ (t − 1)2 8t4 + 20t3 − 18t2 − 9t + ≥ ⇔ (t − 1)2 8t4 − 8t2 + + 20t3 − 20t2 + 5t + 10t2 − 14t + ⇔ (t − 1)2 2(2t − 1)2 + 5t(2t − 1)2 + 5t2 − 7t + ≥0 ⇔ (t − 1)2 2(2t − 1)2 + 5t(2t − 1)2 + 5t2 − 7t + ≥ ❇➜❚ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ❧✉➠♥ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ t ≥ ❱❐② f (a, f (a, b, c) ≥ 25 √ ≥0 √ 25 bc, bc) ≥ ❑Õt ❧✉❐♥ ✷✮ ❈❤♦ a, b, c ❧➭ ✸ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ ❝ã tÝ❝❤ ❜➺♥❣ ✶✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ 1 + + + ≥ a b c a+b+c ●✐➯✐✳ ❳Ðt ❤➭♠ sè f (a, b, c) = f (a, b, c) − f (a, √ 1 + + + ❳Ðt ❤✐Ö✉✿ a b c a+b+c √ 1 6 √ bc, bc) = + + + − +√ + a b c a+b+c a bc a + bc 1 1 √ = +6 + −√ − b c a + b + c a + bc bc   √ √  = b− c  − bc (a + b + c) a + 2√bc ✺✷ ❑❤➠♥❣ ♠✃t tÝ♥❤ tæ♥❣ q✉➳t✱ t❛ ❣✐➯ sö a = max(a, b, c) ❉♦ abc = ♥➟♥ bc ≤ s✉② r❛ ≥ ▼➷t ❦❤➳❝ t❤❡♦ ❇➜❚ ❆▼✲●▼ t❛ ❝ã✿ bc 6 √ √ ≤ √ = ≤ 3 (a + b + c)(a + bc) abc.3 abc √ √ ❉♦ ➤ã f (a, b, c) ≥ f (a, bc, bc) ❱✐Ư❝ ❝ß♥ ❧➵✐✱ t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ √ f (a, √ bc, bc) ≥ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ❝ã✿ √ f (a, √ 6t2 2 bc, bc) = f ( , t, t) = t2 + + ≥5 = t2 + + t t t 2t + + 2t t2 ⇔ (t − 1)2 2t4 + 4t3 − 4t2 − t + ≥ ❇➜❚ ❝✉è✐ ❝ï♥❣ ❧✉➠♥ ➤ó♥❣✳ ❱❐② f (a, f (a, b, c) ≥ ✺✸ √ √ bc, bc) ≥ ❚õ ➤ã✱ t❛ ❦Õt ❧✉❐♥ r➺♥❣ ❑Õt ❧✉❐♥ ❙❛✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ♥❤✐Ị✉ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈Ị ➤Ị t➭✐✿ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤ỉ✐ ❜✐Õ♥ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝đ❛ t❤➬② ❣✐➳♦ P●❙✳❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ s❛✉✿ ✶✮ P❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤ỉ✐ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇➜❚✱ tr♦♥❣ ➤ã ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ➤✐ s➞✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♣❤Ð♣ t❤Õ ❘❛✈✐✱ ♣❤Ð♣ t❤Õ ➤➵✐ sè✱ ♣❤Ð♣ t❤Õ ❧➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝✳ ➜è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t❤Õ ♥➟✉ tr➟♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ❧➭♠ râ ➤➢ỵ❝ tõ♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❝ơ t❤Ĩ ✈➭ ❝➳❝❤ ➤ỉ✐ ế t ứ ỗ trờ ợ ề ó í ụ ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ ➜➷❝ ❜✐Ưt ➤è✐ ✈í✐ ♣❤Ð♣ t❤Õ ❘❛✈✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ tỉ♥❣ q✉➳t ❤ã❛ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❝ã t❤Ĩ ①➯② r❛✳ ✷✮ P❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ sư ❞ô♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇➜❚✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♠í✐ ✈➭ ❦❤ã ♥❤➢♥❣ ❤➬✉ ♥❤➢ ợ trì ụ ổ t ❱í✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ➤✐ s➞✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❝➳❝ ❝➳❝❤ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ ❣å♠✿ ●✐➯♠ ❜✐Õ♥ t❤❡♦ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝é♥❣✱ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ t❤❡♦ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♥❤➞♥✱ ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ ✈➭ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥✱ ➤➢❛ ✈Ị ♠ét ❜✐Õ♥❀ ➤è✐ ✈í✐ tõ♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤Ị✉ ❝ã ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ ✸✮ P❤➞♥ ❝❤✐❛ ❇➜❚ t❤➭♥❤ ✹ ❞➵♥❣ ❝➡ ❜➯♥✿ ❇➜❚ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✱ ❇➜❚ ❦❤➠♥❣ t❤✉➬♥ ♥❤✃t✱ ❇➜❚ ✈Ò ➤é ❞➭✐ ❜❛ ❝➵♥❤ ❝đ❛ ♠ét t❛♠ ❣✐➳❝✱ ❇➜❚ ❝ã ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✳ ❚r♦♥❣ ỗ tr ú t ề rõ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ s❛✉ ➤ã ➳♣ ❞ơ♥❣ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤ỉ✐ ❜✐Õ♥ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị tõ♥❣ ❞➵♥❣ ❇➜❚ ♥➟✉ tr➟♥✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ ♠í✐ ❝❤Ø ①Ðt ➤Õ♥ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ ✈Ò ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ ✈➭ ❧✃② ✈Ý ❞ơ ➤è✐ ✈í✐ ❇➜❚ ✸ ❜✐Õ♥✳ ❱× ✈❐②✱ ❤➢í♥❣ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ t✐Õ♣ tơ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❣✐➯♠ ❜✐Õ♥ r❛ ❜✐➟♥ ✈➭ ♠ë ré♥❣ ✈✐Ư❝ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❝❤♦ ❝➳❝ ❞➵♥❣ ❇➜❚ ♥❤✐Ị✉ ❤➡♥ ✸ ❜✐Õ♥✳ ✺✹ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❤tt♣s✿✴✴❞♦❝s✳❣♦♦❣❧❡✳❝♦♠✴✈✐❡✇❡r❄✉r❧❂❤tt♣✿✴✴t✉♥❤✐❡♥✳t❤♣t✲❧❡❤♦♥❣♣❤♦♥❣✲ ♥❞✳❡❞✉✳✈♥✴❢✐❧❡s✴❈▼%✷✵❇❉❚✲❘❛✈✐✲P❇P❤✉✳♣❞❢✳ ❬✷❪ ❤tt♣s✿✴✴①❡♠t❛✐❧✐❡✉✳❝♦♠✴t❛✐✲❧✐❡✉✴❝❤✉♥❣✲♠✐♥❤✲❜❛t✲❞❛♥❣✲t❤✉❝✲❜❛♥❣✲ ♣❤✉♦♥❣✲♣❤❛♣✲❧✉♦♥❣✲❣✐❛❝✲❤♦❛✲t❤❛②✲s♦♥✲❞♦❛♥✲✼✶✵✾✻✼✳❤t♠❧✳ ❬✸❪ ❚r➬♥ P❤➢➡♥❣✱ ❱â ◗✉è❝ ❇➳ ❈➮♥✱ ❚r➬♥ ◗✉è❝ ❆♥❤ ✭✷✵✶✻✮✱ t❤ø❝ ❖❧②♠♣✐❝ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱❰ ➤Ñ♣ ❇✃t ➤➻♥❣ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✹❪ ❤tt♣s✿✴✴✶✷✸❞♦❝✳♦r❣✴✴❞♦❝✉♠❡♥t✴✸✹✼✻✸✷✺✲♣❤❡♣✲t❤❡✲r❛✈✐✲tr♦♥❣✲❝❤✉♥❣✲ ♠✐♥❤✲❜❛t✲❞❛♥❣✲t❤✉❝✲t❛♠✲❣✐❛❝✳❤t♠✳ ❬✺❪ ❈❛♦ ▼✐♥❤ ◗✉❛♥❣✱ ❍✉ú♥❤ ❈➠♥❣ ❚❤➳✐ ✭✷✵✶✼✮✱ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝❤ä♥ ❧ä❝ tr➟♥ t➵♣ ❝❤Ý ❚♦➳♥ ❤ä❝ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣✱ P❤➞♥ tÝ❝❤ ✈➭ ❜×♥❤ ❣✐➯♥❣ ✸✹✺ ❇✃t ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐ ❬✻❪ ❤tt♣s✿✴✴✶✷✸❞♦❝✳♦r❣✴✴❞♦❝✉♠❡♥t✴✷✹✼✺✾✷✼✲♣❤✉♦♥❣✲♣❤❛♣✲❞♦♥✲❜✐❡♥✲❞❡✲ ❝❤✉♥❣✲♠✐♥❤✲❜❞t✲✸✲❜✐❡♥✳❤t♠❧✳ ❬✼❪ ◆❣✉②Ơ♥ ➜×♥❤ ❚❤➭♥❤ ❈➠♥❣✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❱➝♥ ❍➢ê♥❣✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❉✉② ❍➢♥❣ ✭✷✵✶✻✮✱ ❘❒♥ ❧✉②Ư♥ t➢ ❞✉② ❝➠♥❣ ♣❤➳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✽❪ ➜➷♥❣ ❚❤➭♥❤ ◆❛♠ ✭✷✵✶✾✮✱ ♠✐♥✲ ♠❛①✱ ❑❤➳♠ ♣❤➳ t➢ ❞✉② ❦ü t❤✉❐t ❣✐➯✐ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✾❪ ❤tt♣✿✴✴t❤✉✈✐❡♥❞❡t❤✐✳❝♦♠✴❝❤✉②❡♥✲❞❡✲❞♦✐✲❜✐❡♥✲tr♦♥❣✲❝❤✉♥❣✲♠✐♥❤✲❜❛t✲ ❞❛♥❣✲t❤✉❝✲✶✵✽✶✺✴ ❬✶✵❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❈➠♥❣ ▲ỵ✐✱ ➜➭♦ ◗✉è❝ ❈❤✉♥❣✱ ➜➭♦ ◗✉è❝ ❉ò♥❣✱ P❤➵♠ ❑✐♠ ❈❤✉♥❣ ✭✷✵✶✻✮✱ ◆❤÷♥❣ ❦ü ♥➝♥❣ ❣✐➯✐ t♦➳♥ ➤➷❝ s➽❝ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✶✶❪ ❤tt♣s✿✴✴✶✷✸❞♦❝✳♦r❣✴✴❞♦❝✉♠❡♥t✴✶✾✶✵✵✹✽✲❝❤✉♥❣✲♠✐♥❤✲❜❞t✲❜❛♥❣✲♣❤✉♦♥❣✲ ♣❤❛♣✲❞♦✐✲❜✐❡♥✲s♦✳❤t♠✳ ❬✶✷❪ ❚r➬♥ P❤➢➡♥❣✱ ❚r➬♥ ❚✉✃♥ ❆♥❤✱ ◆❣✉②Ô♥ ❆♥❤ ❈➢ê♥❣✱ ❇ï✐ ❱✐Ưt ❆♥❤ ✭✷✵✶✺✮✱ ◆❤÷♥❣ ✈✐➟♥ ❦✐♠ ❝➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❚r✐ ❚❤ø❝✳ ❬✶✸❪ ❤tt♣s✿✴✴✶✷✸❞♦❝✳♦r❣✴❞♦❝✉♠❡♥t✴✽✻✽✼✸✼✲t❛✐✲❧✐❡✉✲♣❤✉♦♥❣✲♣❤❛♣✲❝❤✉♥❣✲ ♠✐♥❤✲❜❛t✲❞❛♥❣✲t❤✉❝✲❞✉❛✲✈❡✲♠♦t✲❜✐❡♥✲❞♦❝①✳❤t♠✳ ✺✺ ❬✶✹❪ ❚r➬♥ P❤➢➡♥❣✱ ◆❣✉②Ô♥ ➜ø❝ ❚✃♥✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❆♥❤ ❍♦➭♥❣✱ ❚➵ ◗✉❛♥❣ ❚❤➠♥❣ ✭✷✵✶✶✮✱ ◆❤÷♥❣ ❝♦♥ ➤➢ê♥❣ ❦❤➳♠ ♣❤➳ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠✳ ❬✶✺❪ ❤tt♣s✿✴✴❢r✳s❝r✐❜❞✳❝♦♠✴❞♦❝✴✸✺✼✶✺✵✻✽✴❈❤✉❛♥✲❍♦❛✲❇❉❚✲❚❤✉❛♥✲◆❤❛t ❬✶✻❪ ◆❤ã♠ t➳❝ ❣✐➯ ▲♦✈❡❜♦♦❦ ✭✷✵✶✼✮✱ ❈➠♥❣ ♣❤➳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✳ ❬✶✼❪ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳✈♥♠❛t❤✳❝♦♠✴✷✵✶✵✴✵✶✴♣❤❡♣✲r❛✈✐✲tr♦♥❣✲❝❤✉♥❣✲♠✐♥❤✲❜❛t✲❛♥❣✲ t❤✉❝✳❤t♠❧ ❬✶✽❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❚✃t ❚❤✉✱ ➜♦➭♥ ◗✉è❝ ❱✐Ưt✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❈➠♥❣ ▼✐♥❤ ✭✷✵✶✺✮✱ t❤ø❝ ➤➵✐ sè ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣✱ ❇✃t ➤➻♥❣ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠✳ ❬✶✾❪ ❤tt♣s✿✴✴t❛✐❧✐❡✉✳✈♥✴❞♦❝✴♠♦t✲♣❤✉♦♥❣✲♣❤❛♣✲❝❤✉♥❣✲♠✐♥❤✲❜❛t✲❞❛♥❣✲t❤✉❝✲❝♦✲ ❞✐❡✉✲❦✐❡♥✲t✐❝❤✲❝❛❝✲❜✐❡♥✲❜❛♥❣✲✶✲✲✸✻✷✺✺✷✳❤t♠❧ ❬✷✵❪ ❤tt♣s✿✴✴✶✷✸❞♦❝✳♦r❣✴✴❞♦❝✉♠❡♥t✴✷✽✵✽✺✸✷✲s❦❦♥✲❝❤✉♥❣✲♠✐♥❤✲❜❛t✲❞❛♥❣✲ t❤✉❝✲❝♦✲❞✐❡✉✲❦✐❡♥✳❤t♠ ✺✻ BAI HQC nA NANG TRUONGBAIHOCSUPHAM " XA HQI CHiT NGRiA CQNG RoA Vq:T NAM BQc I~p - T" - Hanh phuc , lf7Lflb SO:7UvIQD-DHSP Da NJng, 04- thdng it ndm JO-L!) QUYETBINH V~ vi~c giao d~ tai va trach nhi~m huong din lu~n van thac sl HI~U TRUONG TRUONG B~I HQC SU P~M Can D~i hoc Da Can va Dao tao c~ Nghi dinh s6 32/CP 04/4/1994 cua Chinh phil v~ viec l~p Nang; cir Thong nr s6 0812014/TT-BGDDT 20/3/2014 cua Bo Giao due v~ viec ban hanh Quy chS t6 chirc va hoat d9ng cua dai hoc vung ~a cac co ~a giao due dai hoc vien; Can cir Quyet dinh s6 69501QD-DlIDN 01112/2014 cua Giam d6c Dai hoc Da Nkg ban hanh Quy dinh nhiem vu, quyen han cua Dai hoc Da N~ng, cac co sa giao d~lC dai hoc vien va cac dan vi tnrc thu9c; Can Cll Thong tu s6 15/2014/TT-BGDDT 15/5/2014 eua B9 Giao d1,lc va Dao t~o v~ vi~c ban hanh Quy ehS Dao t~o trinh d9 th~c sl; Can ClI QuySt dinh 1060IQD-DHSP 01III 12016 cua Hi~u truang TruOng D~i hQc Su ph~m - DlIDN v~ vi~c ban himh Quy dinh dao tl;10trinh d9 thl;1csl; Xet d~ nght eila Ban ehu nhi~m Khoa Toan v~ vi~c Quy~t dinh giao d~ tai va tnkh nhi~m huang dfrn lu~n van thl;1csl; X6t d~ nghi eua ong Truang Phong Dao t1;10, QUYETBJNH: Di~u 1: Giao eho hQc vien Nguy~n Duc TuiD, ngimh Phuong phap toaD sO' cip d~t tl;1idan vi ph6i hQ'p dao tl;10Truong Dl;1ihQc Quang Binh, khoa 36, th1,1'chi~n d~ tai lu~n van PhU'ong phap dAi bi~n va phuO'Og phap" giam bi~n chUng minh bit ding thu'c, dum S1,1' huang dan cua PGS.TS Trin Van An, Truo'Dg B,i hQc Vinh, Bi~u 2: HQc vien eao hQCva nguoi huang d§:nco ten a Di~u duQ'chuang cac quy~n lQ'i va th1,1'C hi~n nhi~m V1,l dung thee Quy ch~ dao tl;10trinh d9 thl;lc sl B9 Giao dl)C va Dao tl;10ban hanh va Quy dinh v~ dao tl;1otrinh d9 th~c SI cua Truong Dl;1ihQc Su phl;1mD~i hQcBa N~ng, Di~u 3: Cac ong (ba) Truang Phong T6 chuc - Hanh chinh, Dao t~o, h?~ch Tai chinl), Khoa Toan, nguoj huang d§:nlu~n van va hQCvien co ten tren can Clr Quyet dinh thi hanhll- Ke ~;;:;;Jt)[.1.t - U o c -"'I " o Noi nh~n: - NhlI Di~u 3; - LlIU: YT, Daa t~a CXl ~ , TRUON G ~-i TRUON DAI H C~ sd PH :J~ ~ 9~-c::: ff'r PGS.TS LUU TRANG ., _ cqNG noA xA ugI cHU Nclli.t vrT,T NAM DQc lfp - TU - H4nh phfc DAI Hec o,q NANc TRIIONG D+r Hec stl rn4vr BIEN BAN HQP HQI DoNG CHAM LUAN vAN THAC Si TOn AC tai Phucmg ph6p d6i bi6n vd phuong ph6p gi6m bi5n chring minh b6t Cing thric Ngdnh: Phuong phSp to6n so c6p Theo Quytit dinh thdnh lQp HQi d6ng chSm lufln vdn th4c si sO(^L}QO-DHSP Ngdy hep HQi d6ng: ngdy {1ndm 2020 ndm 2020 Danh s6ch cdc thdnh vi6n HQi