TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CễNG NGHỆ Tập 45, số 6(éB), 2007 Tr 141-178
TOM TAT MA TRAN NGHICH DAO SUY RONG VA UNG DUNG
NGUYEN TOAN THANG, NGUYEN THUY ANH, NGUYEN NGOC SAN
GIỚI THIỆU
Vai trũ của đại cương húa ỏnh xạ núi chung và của ma trận núi riờng đang được xỏc lập trong cỏc ngành khoa học khỏc nhau và là mục tiờu nghiờn cứu của một trong cỏc tỏc giả Bài bỏo trỡnh bay tom tắt những van để thuộc lớ luận cơ bản về nghịch đảo suy rộng và một số ứng dụng đó được cỏc tỏc giỏ đề xuất dộ xử lớ cỏc bài toỏn nhận dạng hệ động học thuộc lớ thuyết hệ thống
I TểM TẮT LÍ THUYẫT MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO SUY RỘNG 1.1 Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo suy rộng
1.L1 Hệ cỏc phương trỡnh Penrose
_ Nam 1955, Penrose chi ra rằng tất cả cỏc ma trận 4 cú kớch thước hữu hạn, cú cỏc thành
phõn thực hay phức đều ton tại một ma trận nghịch đảo suy rộng duy nhật X thoả món đồng thời bốn biờu thức sau: AXA = A (1.1.1) ° XAX =X (1.1.2) (AX) = AX (1.1.3) (X4) = XA , (1.1.4) 66a?
trong đú, dấu biểu thị chuyến vị phức của ma trận trong dấu (.) Do tớnh duy nhất của ma trận nghịch đảo suy rộng thoả món cả bồn phương trỡnh trờn được E H Moore nghiờn cứu trước đú nờn X thường được biết đến là nghịch đỏo Moore-Penrose hay tựa nghịch dao va được kỉ hiệu là 4
Ta thường quan tõm tới cỏc ma trận nghịch đảo suy rộng thoả món một vài si chit khụng phải toàn bộ bốn phương trỡnh trờn Vỡ mỗi loại nghịch đảo suy rộng cú cỏc tớnh chất khỏc nhau, nờn ta cú thể quy ước cỏc tờn gọi riờng thường gặp trong cỏc tải liệu tham khảo chuyờn ngành như
Sau:
() Một nghịch đảo suy rộng chung của A là X = 4# = A e A{1} thoả man (1.1.1)
QÙ Một nghịch đỏo suy rộng phan than (reflexive) ca A la X = A’ = Ae A{1,2} thoả món
(1.1.1) và (1.1.2)
(iỡ) Mới nghịch đỏo suy rộng trỏi yếu (lef( weak) của A là X =A" = Ae A{1,2,3} thoả món
(1.1.1), (1.12) và (1.13)
(iv) Mớội nghịch đảo suy rộng phải yếu (right weak) của 4 là X = 4" = 4U2đe 4{1,2,4} thoả món
(1.1.1), (1.1.2) và (1.1.4)
Để tiện, kớ hiệu C””" hoặc[ 8” ] hay C7" hoặc [ 8” ] biểu thị lớp cỏc ma trận cú cỏc
thành phần phức hoặc [thực], kớch thước mxz đối với trường hợp khụng núi tới hạng hay cú hạng r
Trang 21.1.2 Sự tụn tại và tớnh chất của cdc nghichj đảo {1}
Định nghĩa 1.1.1: M6t ma trộn trong C™" hoặc [ RƑ"”"] được gọi là cú dạng Hermile chud
hay dạng bậc thang theo cỏc hang nộu:
() Mỗi một trong r hàng đõu tiờn chứa ớt nhất một thành phan khỏc 0; cỏc hàng cũn lại ch
chứa cỏc thành phần bằng 0
(ii) r cột đầu tiờn của ma trận đơn vị I„ xuất hiện trong cdc C6t C1, C2, 0.5 Cr
Bằng cỏch ỏp dụng phộp hoỏn vị thớch hợp cỏc cột, một ma trận cú dạng chuẩn Herimt He C?"" cú thể được phõn thành khối như sau:
IL ôK H=
|
trong đú, O biểu diễn khối cú tất cả cỏc thành phần bằng 0 Định lớ LL: Cho AcC?”", EeCmm và PC", sao cho:
ear-|f 5 oO O voi bat ki Le CO" | ma tran kớch thước nxm cú dạng Hèhư sau:
b 7 K
i X=P| " E
Oo L
la m6t nghich dao {1} cua A
Chứng minh: Biểu thức (1.1.6) cú thể được viết thành 4 = g1 E kể X nao xac dinh bội (1.1.7) dộu thoa man (1.1.1)
Bộ dộ 1.1.1: ChoAeC”™ ,AeC thi:
(40) e4 {1},
(b) Nộu A khong suy biộn thi AY = A",
(c) AA” = (AA){1},
(d) Hang A > hang A,
(e) Nộu S va T khụng suy biộn, T'AYS' = SAT{1}, (f) AA" va AA la dang luỹ và cú hạng bằng hạng của A
(1.1.5
(1.1.6
(1.1.7
@ iP Tir dộ ta thay ba
Chứng mỡnh: Cỏc điều kiện về hạng thu được nhờ bất đẳng thức Sylvester về hạng của ma trật tớch đem lại
Đối với một ma trận 4 kớch thước mxứ cỏc nghịch đảo [1] là nghịch dao trỏi nếu cú hạng
đầy đủ theo cột và là nghịch dao phải nếu cú hạng đõy đủ theo hàng Bỗ đề 1.1.2: Cho AeC”™, thi:
Trang 3(b) 44) = lạ khi và chỉ khi r =m
Chứng minh: Dựng Bỗ đề 1.1.1
1.1.3 Cơ sở của khụng gian xỏc định và của khụng gian khụng
Vội AeC”™” bat ki, ta str dung kớ hiệu:
đ(A)=[y=C” :y= Ax với xe C” là khụng gian xỏc định của 4, N(A)= {x =C" ; Ax = 0} là khụng gian khụng của 4
1.1.4 Sự tụn tại và cấu trỳc của cỏc ngịc dao {1,2}
Bjerhammar đó chỉ ra sự tồn tại nghịch đảo {1} của 4 bất kỡ ỏm chỉ sự tồn tại nghịch đảo {1,2} của ma trận đú và được thờ hiện ở bụ đề sau đõy
Bồ đề I.1.3: Cho Y,Z e A{1} và cho X= YAZ Thỡ X e A(1,2}
Chứng mỡnh: Do A4 và X xuất hiện đối xứng nhau trong cỏc phương trỡnh Pensore nờn
XeA(12} và 4eX{12)
Định lý 1.1.2: Cho A và Xe A{1}, thỡ Xe A{1,2} khi và chỉ khi hạng của X bằng hạng của A
Chứng mỡnh: Dựng bỗ đề 1.1.1.(f) ching minh khi va bộ dộ 1.1.2 ching minh chi khi
1.1.5 Sur tộn tai va cấu trỳc của nghịch đỏo (1,2,3) (L2.4) (L2.3,4
Đối với một ma trận bất kỡ 4 cú kớch thước hữu hạn, sự tồn tại nghịch đảo {1,2,3} và
nglftth dao {1,2,4} của ma trận đú cú nghĩa là sự khụng rồng của 4{1,2,3} và 4{1,2.4} Định lớ 1.1.3: Với ma trận bắt kỡ A co kớch thước hữu hạn thị:
Ơ=(A APA € Af, 2,3} i (1.1.8)
và 7 Z=A (AA) eA{L2,4} (1.1.9)
Chứng minh: Dựng Bộ đề 1.1.1.(đ) và Định lớ 1.1.2 để chứng tỏ hang Y bang hang 4 va AY, AZ cú dạng Hermite
Định lớ 1.1.4: Với ma trận A cú kớch thước hữu hạn thỡ:
AQ 4409) = At , , (1.1.10)
Chứng mỡnh: KÍ hiệu bờn trỏi của (1.1.10) là X Từ Bổ đề 1.1.3, X e Af1,2} Hơn nữa,
AX = AA"), XA = A"), ca hai dộu dang Hermite Vi vay, XA {1,2,3,4} và duy what 1.1.6 Thừa số húa A`
Bỗ đề 1.1.4: Cho Ac C?"", r>0 Thỡ tụn tại ma trộn FeC™ và Ge C?" sao cho:
A=FG (1.1)
Chứng minh: Chọn Ƒ cú cỏc cột là một cơ sở của (4) thỡ FeC””", Ge(C?”" được xỏc định duy nhất vỡ mỗi cột của 4 chỉ cú thộ được biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tớnh duy nhất theo cỏc cột của # và cú hạng là z Biờu thức (1.1.1 1) được biết đờn là thita số hoỏ theo toàn hạng của A
Trang 4
Định lớ 1.1.5: Nếu Ae C?"",r>0, cú thừa số hoỏ theo toàn hang dang (1.1.11) thi:
Ah=Œ(Œ'AŒy'F (L1
Ching minh: Trước hết dựng Bổ đề 1.1.4 (F "AG'=(F'F\(GG')) dộ chi ra FAG" khong suy bit Sau đú đặt X = G1(GG?'( Fy'F” và dễ thấy X thoả món (1.1.1) - (1.1.4) Do 4” là thành ph duy nhất của 4{1,2,3,4} nờn (1.1.12) được thiết lập
1.1.7 Khỏi niệm về cỏc chuẩn và bỏn kớnh khụng gian ỏnh xạ
a ,
Định nghĩa 1.1.2: Dội voi p > 1, ham số |x| = tÿ st} là một chuẩn vộctơ trộn C”
P được gọi là chuẩn I, cua vecto
Chuan phổ biến nhất khi p = 1, 2 và œ Chuẩn Ă;: |x|], => x) 1, hay Eucli
yal
Ix, = Ye, =(x"x)"”? val hay Tchebycheff: [x||_ = max { |x, | :ƒ=1,2, ,n } „=
Nếu tổn tại hai giỏ trị vụ hướng ứ = inf {|| rll, = i} „8 = sup{| | =x, = i sao Â
a|lx||, < Ixl: < Al, thỡ chuẩn | |, và | [,tương đương nhau trờn C” Hai chuan bat ki t C” đều tương đương nếu lim||x, |=0
: @
Định nghĩa 1.1.3: Một hàm thie | | trộn C"™ goi la chudn ma trộn nộu thoa man:
(a) |4|>0 |4|= 0 chi kh A=0, (œ).|z.4|| =|ứ||24 với moi ac,
() |4+ B||< |4|ơ+ |B| với tỏ ca 4, BeEC™",
(4) |4ỉ||< |24||B|| #hi ma trận tớch AB xỏc định
Tương tự như chuẩn vộctơ, chuẩn ma trận |⁄4||,thường gặp nhất khi p = 1, 2 và ứ Định nghĩa 1.1.4: Một vộctơ x và một ma trận A được gọi là chuẩn tự hợp nếu Ax xỏc định
A
[421 [alls ve, = sup! Ah
Định nghĩa 1.1.5: Bỏn kớnh ỏnh xạ ỉ(4) của ma trận vudng Ae Cy" Ia gid tri tuyột dội lớn n trong r giỏ trị riờng của A; p(4)= max(|À|: ÀĂ là một giỏ trị riờng của A}
+
Định nghĩa L1 6: Mội ma trận vuụng A4 được gọi là hội tụ nộu Aằ 0 khi k> 0, he
S )ˆA'=dq+4) nose (40) A! = =(1- Ay"
J=0
Trang 51.2 Đặc tớnh cơ bản của cỏc loại nghịch đảo suy rộng 1.2.1 Nghiệm của cỏc hệ phương trỡnh tuyến tớnh
1.2.1.1 Tớnh chất của nghịch đảo (1)
Định lớ 1.2.1: Cho AecC”",BeC?”",DôC”"" Thỡ: AXB=D (1.2.1) cú nghiệm khi và chỉ khi voi một sộ A”, B° hợp thức theo nghĩa:
AAV DB™B = D (1.2.2)
và nghiệm tộng quat cộ dang: = X= AV DB") + Ơ- APAYBB, Vy eC™ (1.2.3) Chứng mỡnh: Nếu (1.2.2) ding thi X= A? DB" là một nghiệm của (1.2.1) Ngược lại, nếu X là một nghiệm của (1.2.1) thỡ D = AXB = 44đAXBB?B = 440)DBEđ), Hơn nữa, từ (1.2.2) và định
nghia A'? va B” suy ra rằng tất cả í cú dạng (1.2.3) đều thoả món (1.2.1) Mặt khỏc nếu X là một nghiệm bất kỡ cha (1.2.1), X= APDB + Ơ- AU AXBB" cộ dang cia (1.2.3)
Hệ quả 1.2.1: Cho AcC”" , AM GALI} Thi: AQ} = {A + Z- AMAZAA™: ZEC™™ } (1.2.4) Chứng mỡnh: Tập mụ tả bờn về phải thu được bằng cỏch viột Y= A + Z
Định lớ 1.2.2: Cỏc phương trỡnh ma trận: AX=B,XD=E (1.2.5)
cú nghiệm chung khi và chỉ khi mỗi phương trỡnh riờng lẻ cú một nghiệm và AE = BD
hứng mỡnh: (+) Khi: V6i A, D™ bat ki thi X= AB + ED - APAED"™ 14 mot nghiộm chung của (1.2.5) khi 4E = BD va AA B = B, EDD = E Theo định lớ 1.2.1, hai phương trỡnh sau tương đương với sự thoả món của cỏc phương trỡnh (1.2.4) khi được việt riờng (+) Chỉ khi; Hiền
nhiờn ty
1.2.1.2 Tớnh chất của nghịch đảo {1,3} và {1,4}
Định tớ 1.2.3: Tập 4{1,3) bao gỗm tất cả cỏc nghiệm X của AX = AAS) (1.2.6) trong đú, A"? là mot thanh phan bdt ki cua A{1,3}
Chứng minh: Nếu X thoả món (1.2.6) thỡ AX4 = AA") 4 = 4 Vi Ad") 1a mot Hermite nờn
Xe4(1,3} Mặt khỏc, nộu YeA {1,3}, thi ,
AA" = AXAA") = (AX AA") = XA (APY A = XA = AX,
Hệ quả 1.2.2: AecC”", Atée A4413} Thị: A413) = (A09+(1- A094)2.Z¿C "3 (1277) Chứng mỡnh: Áp dụng định lớ 1.2.1 đối với (1.2.6) rồi thay Y bằng Z + 409,
Định lớ 1.2.4: Tập A{1,4} gồm tất cả cỏc nghiệm X của XA= At9A (1.2.8) trong đú, 4°? là một thành phần bắt kỡ của A{1.4}
Chứng mỡnh: Tương tự như chứng mỉnh Định lớ 1.2.3
Trang 6Hệ quả 1.2.3: Cho AC" A409 e 441,4} Thị:
A{1,4) = (429 + f{ - AAtđ: yeC my (12.9
Chứng minh: Tương tự như Hệ quả 1.2.2, ap dung Dinh lớ 1.2.1 đối với (1.2.8) 1.2.1.3: Tớnh chất của nghịch đảo {2}, {1,2} và cỏc tập con của {2}
_ Biểu thức (1.12), X4X= X, cú tớnh phi tuyến đối với X, nờn ta khụng thể thu được tớn
chat cha A{2} nờu chỉ ỏp dụng Định lớ 1.2.1
Địh lớ 1.2.5:.Cho AC?" r>s >0 Nếu dựng s để chỉ hạng của tập con ta cú:
A{Q}.= (YZ: YeC™ ,ZeC™", ZAY=1} (12.14
Chứng mỡnh: Cho X.= YZ là phộp thừa số hoỏ đủ theo hạng thỡ Y, Z và X cú hạng bằng s Hơ nữa, XÁX = YZ4YZ = YZ = X Mặt khỏc, đặt Xe4{2},, thỡ Ye C?”", Ze C}”" và YZAYZ = V/ Ngoài ra, nếu '), Z" 1a cdc nghịch đảo {1} bất kỡ thỡ P)y = ZZ) = 7 Từ đú ta cú Z4F= I„
Hệ quả 1.2.4: Cho AeC?"", Thị: A4(12}1= {Y2 YeC"™,ZeC™, ZAY=1} (12.11 Ching minh: Theo Dinh li 1.1.2 thi 4{1,2} = 4{2},
Định lớ 1.2.6: Cho Ac C7" ,r>s >0 Nếu dựng s dộ chi hang của tập con ta cú:
A{2,3},= (YAP) Ave C™} (2.1
A{241,= {AWYY: VAe C3 (12.1
Chứng mỡnh: Tương tự như chứng mỡnh Định lớ 1.2.5 1.2.2 Ma trận đẳng luỹ và phộp chiếu
1.2.2.1 Ma trận đẳng luỹ
Định nghĩa 1.2.1: Ma trận A cú tớnh chất 4? = A thỡ được gọi là ma trận đẳng luỹ
Bộ dộ 1.2.1: Đối với ma trận đẳng luỹ Ee CC", thi:
(a) E” và (1 - E) là đẳng luỹ,
(b) Cỏc trị riờng của E là 0 và 1 Số trị riờng cú giỏ trị 1 là hạng của E, (c) Hạng của E bang trace E,
(d) EU - LE) =(1- E/E = 0,
(e) Ex =x khi va chi khi xe R(E),
Trang 7Ching minh: Tis (a) tới {f) rỳt ra từ định nghĩa về tớnh khụng đổi (g) thu được từ việc phương trỡnh Ex = 0
Bộ dộ 1.2.2: Cho ma trận vuụng E được thừa số hoỏ đủ theo hạng E = FQ Thỡ E là đẳng luỹ khi và chỉ khi GF = 1
Chứng minh: Nờu GF = I, thỡ (FGY = FGFG = FG Mat khac, do Ƒ cú hạng đầy đủ theo cột, G
cộ hang day do theo hang, nộn FUF = GG = 1 , 1.2.2.2 Phỏp chiếu
Với hai tập bất kỡ r„ M trờn C”, định nghĩa tụng của 7 và Ä⁄ như sau: L+M={y+z:yeL,zeM}
Nếu Z„ Ä⁄ là cỏc khụng gian con của CC”, thỡ +M cũng là khụng gian con của C” Hơn
nữa, nếu 7 = {0} thỡ L+M duge gọi là tổng trực tiếp và kớ hiệu là LâM Hai khụng gian L và Mcủa C" được gọi là bà nhau nếu C" = L@M, khi đú cú thể Biểu diễn mỗi xe C” một cỏch duy nhất x = y + z (yeE, zeM') và y được biết đến là hỡnh chiếu của x trờn L theo phương M Kớ hiệu
Pu là hỡnh chiờu trờn L theo M
Ax =y với AeC”",x eC", yeC"” cú thể được coi như phộp biến đổi tuyến tớnh 4 thực hiện ỏnh xạ x vào y
1.2.2.3 Quan hệ giữa ma trận đẳng luỹ và phộp chiếu
Định lớ 1.2.7 Với mỗi ma trận đẳng luỹ EeC""", đ&(E) và NE) là cỏc khụng gian con bự với
nhau: E= Pag wie) (1.2.14)
Ngược lại, nếu L và M là cỏc khụng gian con bự nhau, thỡ tụn tại mội ma trận đẳng luỹ duy nhất Pu sao cho (PL) = L, (PL) = M
Chứng minh: Giả sử E là một ma trận đẳng luỹ bậc n Dựng Bỗ đề 1.2.1,(e), (ứ) và hai phương trỡnh x = Ex + (ù- E)x và Ex = (I- By để suy ra tuong ing R (E)OME) =C" va R(E)OME) =
{0} Nghĩa là đ() và A(E) bự nhau và kx là phộp chiếu của x trờn &() theo phương A(E) Gọi {xị, x;, , XI) Và {éI, J2, Yn} là cỏc cơ sở của L va M Nếu Pim tồn tại thỡ sẽ được
Đi =*%, (i =1,2, , 2) Puằ, =x,(=l2, m)
biến, P;„„ = [XƠI [XY]' nờn P„ [XO] = [XO] hay Pr khong đối
xỏc định duy nhất bởi | , hay Py [XY] = [XO] Vi [XY] khụng suy
Hệ quả 1.2.5: Nộu A và X là cỏc nghịch đảo {1,2} eta nhau, thi AX la phộp chiộu trộn R(A) theo phuong NX), va XA la phộp chiộu trộn R(X) theo phuong MA)
Chứng mỡnh: Hiển nhiờn
Định lớ 1.2.8: Cho Ae C?"", đ(4) = L, MA)=M,LđS=C" va Mđ T=C" Thi:
Trang 8
(a) X là một nghịch đảo {1} của A sao cho NAX) = S va R(XA) = T khi và chỉ khi AX =
Ps, XA = Pru,
(b) Biểu thite tong quat: X= PyyA'P),s + (UL, - AVA)ƠUp - AA”), trong dộ, A" là một thành phõn ngẫu nhiờn của A{1} và Y là một thành phõn tuỳ ý của C"",
(c) Ars 2= Pr yAP, 5 là nghịch đảo {1,2} duy nhất của A cú khụng gian xỏc định T và khụng gian khụng S
Chứng mỡnh: Dựng Định lớ 1.2.7 và cỏc phần (e), (é và (đ) của Bổ để 1.2.1 Trong đú, chỳ ý X= PryA' DP, sla nghich dao {1} của 4, cú hạng bằng hạng của P,„s là r nờn X là nghịch dao {1⁄2} của 4 và cú miễn 7 và khụng gian khụng 5Š thoả món X⁄4X = X Nghĩa la, ca (a), (b) va (c) cú một nghiệm chung
Định lớ 1.2.9: Cho AộC"",U eC"*, VeC*" và X= U(VAUWV, với (VAUY là thành phõn khụng đổi, bất kỡ của (VAU){1) thị:
(a) Xe 44) khi và chỉ khi hạng của VAU bằng r,
(b) Xe A{2} va &(Œ9 = &(U) khi và chỉ khi hạng của VAU bang hang cua U, (c) Xe A{2} va N(X) = X(W) khi và chỉ khi bạng của VAU bằng hạng của Ứ,
(d) X= FAN a, khi và chỉ khi hạng của U bằng hạng của V bằng hạng của VAU và bằng r
Chứng mỡnh: Hiễn nhiờn Cú thể sử dụng định lớ này để chứng minh Định lớ 1.2.8 với cỏc nghịch
đảo {2} khỏc, khụng chỉ cỏc nghịch dao {1,2}
Dinh lớ I.2.10: Cho 4cCƑ"”, T kớch thước s <r là khụng gian con của C” và S kớch thước (tơs,
là khụng gian con của C” Thỡ A cú một nghịch đảo {2} duy nhất kớ hiộu X sao cho R(X) = T vẻ
W(XW) = S khi và chỉ khi AT @ S= C”
Chứng mỡnh: Vỡ VAU khong suy biến nờn X = U(/4UY`V là một nghịch đảo {2} của A, cộ khụng gian xỏc định Tvà khụng gian khụng S Hơn nữa, 47 = đ (1ể và S= W(X) = N(AX) Sau đú dựng phộp chiếu để chứng minh tớnh duy nhất đối với cỏc nghịch đảo {2} của A c6ộ miộr 7 và khụng gian khong S
Hệ quả 1.2.6: Cho AeCƑ"”, T là khụng gian con của C” cú kớch thước r và đặt ŠS là khụng giar
con của C” cú kớch thước (m-r) Thỡ ba phỏt biểu dưới đõy là tương đương: (a) ATđS=C"™,
(b) R(A) @ S= C™ va N(AV@OT= CC", (1.2.15)
(c) Tộn tại một XEA {1,2} sao cho RX) = T va N(X)= S (1.2.16) Chứng minh: Hiễn nhiờn tir Dinh li 1.2.10
Trang 91.2.2.4 Phộp chiếu trực giao
Cú một vộctơ xe C” và một khụng gian con ¿ của C” Thỡ tồn tại trong ¿ một vộctơ z„ gần nhất với x theo nghĩa khoảng cỏch|| — ứ|| là nhỏ nhất khi œ = „ Rừ rằng, x - , là trực giao với u, được ki higu-bội (x - u,) L u, va vộcto gan nhất u, được gọi là hỡnh chiếu trực giao của x lờn 7L
Phộp biến đổi từ mỗi vộctơ xe C” tới phộp chiếu trực giao của vộctơ đú trờn ⁄ được gọi là
phộp chiờu trực giao trờn ¿ và kớ hiệu là P, Như vậy, cú thờ biờu diễn phộp chiờu trực giao bởi một ma trận vuụng, cú tớnh đăng luỹ và trong trường hợp ở đõy cũn là Hermite
Định lớ 1.2.11 (Piago): Cho V và Z là cỏc khụng gian con của C” Thỡ Y L Z khi và chỉ khi |ằ + Z| = I? + lzlf vai moi yeY, zcZ
Chimg minh: (+) Khi: Cho yeY, zeZ, ta 06 (yy) + (22) = yf’ + fel = ||y + z|ẽ, trong khi ( + z,
ytz)=(y) + (zz) + (yz) + (zy) nộn (yz) + (zy) = 0 Thay z = iz (cựng trong khụng gian Z) ta
lại cú (y,z) - (z,y) = 0 Vỡ vậy, (y,z) = (zy) = 0 Nghĩa là y L z (+) Chỉ khi: Cho Y L Z Khi đú,
với bất kỡ yeY, zeZ ta cú |y+z|ẽ=@ + z y +z)= 0y) + (6,2) = |y|ẽ + [z|ẽ do 022) = Œ.y) = 0
1.2.3 Phan phỏi triển mở rộng
1.2.3.1 Túm tắt những tớnh chất hiệu dụng của cỏc nghịch đảo suy rộng
Như trỡnh bày, 4{1} đúng vai trũ trong việc giải cỏc hệ phương trỡnh tuyến tớnh, 4{1,2} đúng vai trũ đối ngẫu trong mỗi quan hệ đụi xứng với X{1,2} trong hệ bụn phương trỡnh của Penrose, và 4{1.3}, 4{1,4} trong cỏc bài toỏn tối ưu cú ràng buộc Túm tắt mang tớnh hiệu dụng cỏc kết quả đó trỡnh bày:
A{I} ={AP 4+ Z~- APAZA:ZEC™), ĩ (1.2.17)
R6 rang, 4° là thành phần cố định, nhưng 4{1} gồm cả cỏc thành phan tuỳ ý, trong đú,
AeC”” Như vậy, nếu cho Ƒ 6C?” K” eC?xtm? Re C7?” ứng với cỏc cột cơ sử của (4), X(4) và đ(414) thỡ ta cú thế chứng tỏ nghiệm tổng quat cia (1.1.1) la:
X =A%4+FY + BZK ; (1.2.18)
trong đú, YeC*?"” và ZeC ?0”) là tuỳ ý, :
_ Khi AF = 0 va KA = 0, vộ phai cua (1.2.18) thoả món (1.1.1) Vỡ 8Œ, - 44) = (0) và RU, - AA?) = (4) nờn tồn tại duy nhất Œ, H và é sao cho cỏc tớch #Œ = L, -AA, HK =1,— AA, BD= AA khộng dội nộn GF = DB = I, KH = I, GB = 0, DF = 0 Tr
đú thu được: Y=G(X-A"),Z=D(X-A)H (1.2.19)
Khi cho X là thành phần tuỳ ý của 4{1)}, thấy (1.2.19) thoả món (1.2.18) Thyc chất (1.2.16) là nghiệm tụng quỏt của (1.1.1) Núi cỏch khỏc, (1.2.18) cho ta tớnh duy nhất của X theo Y va Z, con (1.2.19) cho Y, Z duy nhat theo X
Trang 10Như 4{1), nếu cỏc cột của # là một cơ sở của %'(4) thỡ cú thể viết lại (1.2.6):
Afi,3} = {4° + FY:Y Con) (1.2.20)
Rừ ràng biểu thức này hiệu quả hơn so với (1.2.6) va (1.2.18) vi khi Ơ thay dội trờn toàn bộ
khụng gian C”"”, số cỏc tham số tuỳ ý chỉ cũn là m(n-r) Khi r = m, tất cả cỏc nghịch đảo suy rộng {1} là nghịch đảo suy rộng {1,3}
Tương tự, nếu cỏc cột của K” là một cơ sở của (4 5 thỡ cú thể viết lại (1.2.9):
A{I,4} = {4° + YK :Yec™"} (1.2.21)
trong đú, 42 cố định nhưng cú cỏc thành phần tuỳ ý của 4{1,4)
Để thầy tớnh hiệu quả của 4{1,2}, ta cho 4'” là một thành phần cố định nhưng tuỳ ý của A{i,2} va gia thiột rang A“? = YoZo 1 một phõn tớch theo hạng đầy đủ Cho cỏc cột của F va K
ứng với cỏc cơ sở của W(A) va N(A 3 Thấy X thoả mn (1.1.1) và (1.1.2) nếu:
All,2}= {Œ; + FU)J(Zạ +VK):U eCt*?”,V eCmntmnè, (1.2.22)
Hon nita, nộu FG = 1, = A24, HK = 1, = AA thi U = GXAY,, V = Z,AXH , về phải của biểu thức trờn chỉ cũn cú X Biểu thức (1 2.22) chứa r(w+n-2z) tham số, nhỏ hơn (m-r)(n-r) cua A{1} trong (1.2.18) Khi A cú đủ hạng thỡ mỗi nghịch đảo {1} là một nghịch đảo {1,2} 1.2.3.2 Cỏc nghịch đảo suy rộng cú điờu kiện ràng buộc
Trong thực tế, nhiều khi đũi hỏi 4x = b, với 4e C”" ,beC"” cú nghiệm x thuộc một khụng gian con Š đó biết của C”, dan đến một phương trỡnh tuyến tớnh cú điều kiện ràng budcgVộ nguyờn tắc, phương trỡnh tuyến tớnh cú ràng buộc vừa nờu tương đương với hệ phương trỡnh tuyển tớnh khụng ràng buộc sau:
A x= ằvoiP., =1I-P, hay App = Ax,x eS (1.2.23)
P.7 lo
trong đú, 4s kớ hiệu phộp biến đổi tuyến tớnh giới hạn của 4 tới khụng gian trong 6
Ngược lại, phộp biến đổi tuyến tớnh giới hạn 4 tới khụng gian con trong S, sau đú được mở
rộng tới C” dẫn đến sự mớ rộng 4s e7(C” ,C”), kớ hiệu ex/(4tg) = 4P; và được xỏc định như sau:
_JAx kh xesS
ext( A.) = [ khi xe St (1.2.24)
nờn, nghiệm tổng quat cia (1.2.23) la:
x= P,(AP,)° b+ P.(1-(AB))y (1.2.25)
vi (APs) €(APs){1} batkivay eC”
Tir (1.2.25) thay chinh Ps(4Ps) chir khong phai A” dộng vai trd nghich dao suy rộng{1}
khi xử lớ với phương trỡnh tuyến tớnh cú điờu kiện rằng buộc Như vậy, cần thiết khảo sỏt nghịch đảo suy rộng của ex(4in) = APs
Trang 11i
Định nghĩa 1.2.2: Cho AeC"”" và khụng gian con Š của C” Ma trận XeC””" là một nghịch đảo {i, ), , l} ràng buộc Š của A khi:
X= PAPO? (1.2.26)
với bất kế (APg)đ°>” e (AP9, j, , ]) nợ ý
Khi xem xột hệ phương trỡnh cú điều kiện ràng buộc:
Ax+y=b, xeL, yel (1.2.27)
voi A4eC”™”, beC” va một khụng gian con 7 của C”, thỡ nghiệm duy nhất thu được:
x= PAP, +P.)'b, y=b-Ax (1.2.28)
trong đú, P.(AP +P y' duge biết đến là nghịch đảo ràng buộc của A
Dinh nghia 1.2.3: Cho AeC™ va khong gian con L cia C°" Nếu (ÁP, + P.) khụng suy
biến, nghịch đảo TH n của A tương ứng với L là nghịch đỏo cú rang buộc của Á và được
ki hiộula Ai) = P,(AP,+P.}”
Định li 1.2.12: Cho (AP, + P.,) khộng suy biến Khi đú:
œ_ (4).Phương trỡnh (12.27) cú nghiệm duy nhất (1.2.28) với mọi b,
(b) Quan hệ giữa A, P, và ÁC` Lỏ } được thể hiện bởi cỏc biểu thức cần phải thoả man sau: Đ,= ADAP, =P,AAGvà (kL) (1) AC) = PAG) = ADP (4) (Ly (Ly wt i
Chứng minh: (+) Kết quả (a) thu được từ việc chuyển tương đương từ phương trỡnh tuyến tớnh cú ràng buộc sang tuyến tớnh khụng ràng buộc; (+) Định nghĩa của nghịch đảo Bott-Duffin (PAG) = a) nộn Ai) AP, = P, Do đú, An, =0 và AUP, = Œ Nhõn biểu thức y =Œ - AAG? voi P, thu được (Đ— P, AAG) )b= 0 với mọi b Vỡ thế
P,=P,AACD, ’
Từ cỏc kết quả trờn thấy rằng khi nghịch đảo Bott-Duffin 47 tồn tại thỡ nghịch đảo {1,2} của(P,AP,,) sẽ cú miền 7 và khụng gian khụng Z* :
Bộ dộ 1.2.3: Nộu (AP, + P) khụng suy biến, thi:
(a) Ai) = (APY = (472) = (PAPE
(b) ay? = P, AP,
(Œ)
Trang 12Chứng minh: Từ định lớ 1.2.14, dựng cỏc điều kiện về kớch thước của 7„ hạng P, và hang AG,
dộ kột luan hang v ) bằng kớch thước của Z và đ C De L, MACY) =L', 8 (L)
Nghich dao Bott-Duffin chỉ tồn tại khi và chỉ khi (AP, + P.) khụng suy biến Nhưn
ngược lại, cú thờ đưa khỏi niệm sy rộng của nghịch đảo đú như sau:
P(AP, +P, yoo, (<ijj, ., 154) (1.2.25
Tuy nhiờn, nghịch đảo Bott-Duffin suy rộng sẽ được trỡnh bảy trong một dịp khi dộ cập tộ cỏc biến đổi suy rộng khỏc trong cỏc khụng gian Hibert
1.3, Ma trận khối, nhúm ma trận và thừa số hoỏ “UDV”
i
1.3.1 Cỏc nghịch đảo suy rộng của ma trận khối húa
Cho phương trỡnh: Ax=5b
trong đú, ma trận 4, vộctơ b được giả thiết khối hoỏ:
m T ‘lath rlotl >| X la!“ |p P,
H lỡ : le M |:
Định lớ 1.3.1:Giả thiết A e C?"" được khối hoỏ như trong (1.3.2) Thỡ: (a) Một nghịch đảo {1,2} của A là 442) = 4 dị
(b) Một nghịch đỏo {1,2,3} ctia A 1a AC?) = 4% | (1, +85) h, Ss “|p (c) Một nghịch đảo {1.2.4} của A là A02“ = olf (us rr’) [ 4) 0]P
(d) Tựa nghịch đỏo là A* = o| rl +7T')' Al(I,+8°S)[I, #]P, (e) Phỏp chiếu Pgs = PT HỆ + S5)” S]?›
_ (é Phỏp chiếu P_„ =Q' lz I 1,+7T')'[l, TO
(g) Phộp chiộu p,, = dj |e +rrƑ [-r 1, |o" :
Trang 13Chứng mỡnh Từ (a) đến (d) thu duge qua so sỏnh thừa số hoỏ 4 theo hạng day du (4 = FG,
1l
FeC?", GeC?") với A trong (1.3.2) thấy F = P| sau va G “Ù, T]G” và ỏp dụng cỏc định lớ liờn quan trong phan trước Từ (e) đến (h) thu được nhờ ỏp dụng nghịch dao Bott- Doffin
1.3.2 Nghich dao nhúm (Drazin) suy rộng
1.3.2.1 Nghịch đảo nhúm ma trận
Bến phương trỡnh Moore-Penrose ỏp dụng đối với ma trận bat ki Tuy nhiờn, khỏi niệm suy rộng cũn ỏp dụng ngay cả khi ma trận vuụng, khụng suy biờn thụng qua cỏc phương trỡnh sau:
XAX=A (1.3.3) A‘XA = AP 1.3.3") XAX =X " (1.3.4) AX = XA (1.3.5) A'X = XA* (13.69) AX = X*A (1.3.7)
trong đú, & là một số nguyờn đương dựng để diễn tả nghịch đảo, vớ dụ như nghịch dao {3*, 4, 5} của 4 chang han
Định nghĩa I.3.1: Nghịch đảo suy rộng {3,4,5} của ma trận A thoỏ món phương trỡnh (1.3.3), (1.3 gh) va (1.3.5) cú rờn gọi là nghịch đảo nhúm của A và ki hiộu A’
Định lớ 1.3.2: Một ma trận vuụng A cú nghịch đảo nhúm khi và chỉ khi cú chỉ số ! hay hang cua
A bằng hang cua A’ :
Chứng mỡnh: Sử dụng biểu thức A = FG, dộ dang thấy hạng cia A’ bang hạng của GF Định lớ 1.3.3: 4) = A_ khi và chỉ khi A là ma trận cú khụng gian xỏc định Hermite,
Chứng mỡnh: Đường chộo hoỏ 4 và sử dụng đ(4) = (A) hoic MA‘) = W(A), diộu kiộn khụng gian xỏc định Hermite
_ Nghịch đảo nhúm chỉ tồn tại đối với ma trận cú chỉ sộ 1 Nhung, bat kể ma trận vuụng nào đều cú ma trận nghịch đảo suy rộng (3⁄4,5} duy nhất được biết đến là ma trận tựa nghịch đảo Drazin
1.3.2.2 Tựa nghịch đảo Drazin và chỉ SỐ của ma trận vuụng
Ta thấy tập ba phương trỡnh (1.3.3), (1.3.4) và (1.3.5) tương đương với tập:
AX =XA (1.3.8)
A’W'X = At (1.3.9)
AX’ =X (1.3.10)
Rừ ràng, khi thoả man (1.3.9) dội voi một số giỏ trị nguyờn đương & nào đú thỡ cũng sẽ thoả nón đối với bất kỡ 7 > & Từ (1.3.9) ta cú: Hạng của 4“ = hạng của 4° / (143.11) Vỡ vậy, một nghiệm X của (1.3.9) và dẫn đến nghiệm của tập ba phương trỡnh (1.3.8), 1.3.9), (1.3.10) tụn tại chỉ khi thoả món phương trỡnh (1.3 l 1)
Trang 14
Định nghĩa 1.3.2: Giỏ trị k nguyờn dương nhỏ nhất gỏn được cho bậc của A, thoả món (1.3.11) được gọi là chỉ số của ma trận A
Định lớ 1.3.4: Nếu AeC""" cú chỉ số k Thỡ A cú nghịch đảo suy rộng {3*.4,5} duy nhất, cũng là
nghịch đảo suy rộng {34,5} với bắt kỡ ẽ > k và cú thể biểu diễn nghịch đào suy rộng đú dưới
dang một ẩa thức theo A
Chứng mỡnh: Gọi q(4) là một đa thức theo 4 Thỡ, 4” ‘g(4) = A!; nghĩa là g(4) là một nghịch đảo
suy rộng {3',5} của 4 Điều này cũng chỉ ra rằng X = 4'{2(4))“ ẽ là một nghịch đảo suy rộng {3"4, 5} của A
Hệ quả IBA: Nếu Y là một nghịch đảo suy rộng {31 5} của một ma trận vuụng A nao do, thi X=A'Ơ' la một nghịch đảo suy rộng {3',4, 5}
Chimg minh: Ta co Al 'Ơ = A', AY = VA Rừ ràng, X thoà món (1.3.8) Vậy ta cú:
AXA = Aly =A?y = Aly = =f! va XAX = A7 yet 2 = Ary? Pe =X Hệ quả 1.3.2:,Cho A eC™", thi tụn tại một nghịch đảo suy rộng { 1,2} của A cú khả năng biểu điờn được dưới dạng một đa thức theo A khi và chỉ khi A cú chỉ số I Chỉ cú nghịch đảo đú mới là nghịch đảo nhúm của A và được xỏc dinh boi A* = A(q(A)y
Chứng mỡnh: (x) Khi: Nếu A cú chỉ số 1, thỡ 4 cú nghịch đảo nhúm cũng là nghịch đảo suy rộng
{1,2} và trựng với tựa nghịch đảo Drazin, nờn cú thể được biểu diễn dưới dạng đa thức theo 4
(+) Chớ khi: Một nghịch đảo suy rộng {1,2} của 4, nghĩa là một đa thức theo 44 thỡ phải hoỏn vị với 4 nờn là một nghịch đảo suy rộng {3,4, 5} của 44 hay là 4” của 4 Vỡ vậy, 44 cú chỉ số hy
Hệ quả 1.3.3: Cho AeC™ Thi, c6 thộ biộu diộn A” dudi dang m6t da thitc thộo A khi và chỉ khi
4A là ma trận cú khụng gian xỏc định Hermite Chứng minh: Hiễn nhiờn
Định lớ I.3.5: Một ma trận vuụng A bắt kỡ chỉ cú một phõn tớch duy nhất theo chỉ số I Đú là
A = B+N, trong đú B là một ma trận cú chỉ số 1 và N là một ma trận cú đăng luy bang 0 Khi do, BN = NB = 0 và B = (A93, trong đú A2 kớ hiệu nghịch đảo suy rộng Drazin của A
Chứng mỡnh: Vỡ B'` =B(B' = (B”ˆB nờn BN = NHĨ = 0 Do đú, AB” = BE” = BA Hơn nữa, do BN = NB = 0 ta cú A(B) = B(B"Y = B’ nộn A! = (B+N)! = BI+N, voi bat ki] = 1,2, Khi/ du
lon dộ M = 0 (dang luỹ 0) thỡ 4” = BỈ và A'ÍB` = B”!B = B_ Như vậy, khi X =B` thoả món (1.3.8), (1.3.9) và (1.3.10) la nghịch đảo Drazin suy rộng, kớ hiệu 4'? Rừ ràng, 8 cú chỉ số 1
Viột lai, N = A - (A)! và chỳ ý rằng (4)! = 4°A@ thi rd rang, BN = NB = 0 ding Nờn, 4" =
Bi + Ni = A* (Ay + Nt = A" + NM Do do, M = 0
1.3.3 Phân giải “UDV” theo cỏc giỏ trị suy biến 1.3.3.1 Đường chộo hoỏ cỏc ma trận chữ nhật
Cho một phộp biến đổi tuyến tớnh 4 : C'—>C” và hai cơ sở U = {w, uf ., M„} và V= {Vụ v; ., vạ} tương ứng của C” và C”
Trang 15= [ay] <C”" được xỏc định bởi: Ay, =) a,u,, J=i, ,n (1.3.12)
i=l
Định lớ 1.3.6: Cho 0 z Ae C?"" và giả sử cỏc giả trị riờng của A được sắp xếp theo:
ơi >a;> > d, > 0 (14.13) và cú bắt kể cỏc số vụ hướng phức d(4) = {di, ., d.} nào thoả món điều kiện:
Id] =@, i=] 0,7 (1.3.14)
Giả sử {u), mạ, ., 1} là tập cỏc vộctơ riờng trực chuẩn của AA` ứng với cỏc giỏ trị riờng khỏc khụng:
AA= 0m, i= 1,07 (3.15)
(u;, 4) = 6) j =1 (1.3.16)
về {vụ vụ v.} được xỏc đnhbởi =v, == Au, i=l, P i i (13.17)
Thi {v1, v2, ., v,} là một tập vộctơ riờng trực chuẩn của A`A ứng với cỏc giỏ trị riờng khỏc
khụng:
AA%,= d1, i=ml,.ur (1.3.18)
(19) =ố, — LJ=1 P (13.19)
1
Hon nita, u,==Av, l=è, r (1.3.20)
o i
Ngược lại, cho trước cỏc vộctơ {vụ v2, ., v-} thod man (1.3.18) va (1.3.19) va gia ste {u1, Uz, ., Up} được xỏc định như (1.3.20) Thỡ {u), uz, ., u,} thoả mộin (1.3.15),'(1:3.16) va (1.3.17)
Ching minh: Nộu v, xac dinh nhu (1.3.17), voii = J, ., 7 Thi,
1
A Av, ==> 4 AAU, = d,A u,= đẩy, ụ
d, i -
` 1 ` 1 đ ki es ys
và (v,,v,)==——(Ä u, Au,)==——(AẨUu,,u,)=—L(,,u,)=ð,- Tương tự đụi với phõn ngược
L4, dd, ud, 7? # -
chi thay A bang 4” ¿
Dinh li 1.3.7: Cho 0 #AEC™" va gid sie dA) = {d), ., d,} la cde số vụ hướng phỳc thoả món điều kiộn |d| = a, i= 1, ., r, trong dộ a; 2a 2 2a, > 0 la cỏc gid tri riộng cua A Thi, tộn tại cỏc ma trận don vj Ue U"™" va Ve V™ sao cho:
(1.3.21)
Trang 16
Chứng minh: Già sử cỏc vộctơ {w, u; u,} trong C” thoả món (1.3.15) và (1.3.16) nờn cú thể xõy dựng một cơ sở trực chuẩn của R(AA’) = đ() Gọi {„.,, w„.;„ , u„} là một cơ sở trực
chuẩn của &(4)! = wựệ Thi (24), 02, cs Uy Upp Up ô01 ạ} là một cơ sở trực chuẩn của C”
thoả món (1.3.15) và A4 uw = 0, với Ă = r+1, m Và thu được ma trận don vi bac m, U = [u,, uz, oy Ups Up ty Up yo) Um] Tương tự RA’) va đ(Ủ! = N(A) được xõy dựng và ma trận đơn vị cú bậc n được cấu trỳc Từ đõy, D = ƯAV = [3], với ? = 1, 2, , m; j = L2, ,n cú ấy =
u, Av, = 0, khii> rhode j>r vad, = u, Av, =6,, khi i j=1,2, , 4
Hệ quả 1.3.4: Cho A, D, Uva V như trong định lớ 1.3.7 Thỡ A’ = VD U" trong d6,
a
Chứng minh: Hiễn nhiờn, sử dụng (1.3.21)
Hệ quả 1.3.5: Đối với hai ma trận Ai, A›e C""" , ba phỏt biểu sau tương đương:
(a) Tụn tại hai ma trận đơn vị U và V để cả D, = Ư`A,V và D; = ƯA4;V dong thời là cỏc ma trận đường chộo,
* * › e
(b) Ca hai ma tran A, A, va A,A, dộu la Hermite, :
(c) Tụn tai một da thức ƒ sao cho Á 145 =ứ( 44, ) va 4,A, =f(A 14; )
Chứng mỡnh: Hiện nhiờn
1.3.3.2 Đẳng cự thành phần
Định nghĩa 1.3.3: Phỏp biến đổi tuyến tớnh U: C"T—xC" được gọi là đẳng cự thành phần khi
bảo toàn được chuẩn trờn phõn bự trực giao của khụng gian khụng của phộp biến đụi đú Nghia là, nếu || = |x| voi bdt kixe WUY = R{U’) hodc |Ux- ứ| = |x- y với bất kỡ x, ve (0
Một đẳng cự thành phần khụng suy biến thỡ được gọi là đẳng cự hay phộp biến đối cơ bản (unitary) Một ma trận UeC"" được gọi là ma trận cơ bản khi U = Ư',
Định lớ 1.3.8: Đối với một ma trận Ue C""", cỏc phỏt biểu sau đõy là tương đương:
(a) U là một đẳng cự thành phan và cững là một đẳng cự thành phan,
(b) Ca U'U và UU” đều là cỏc phộp chiếu trực giao,
(c) UƯU = Uvà ƯUƯ = Ư,
(d) U" =U vaU là một dang cự thành phan
Trang 17
Chứng mỡnh: Sử dụng định nghĩa đẳng cự thành phần và cỏc tớnh chất của phộp chiếu trực giao để chứng minh (a)=(b), (a}—(c) và (b)â(e)<â>(đ) và ỏp dụng tương tự đối với phần đối ngẫu Vớ dụ, (a)â(b) Vỡ, ƯU= PP vụ:, nờn Cư x) = (x, x) = (Ux, Ux) = (Ư Uz, x) Nếu đặt H
=P ett) ƯUeC””, thi (Hx, x) = 0 đối với mọi xe &(U' = W(U) nờn H là một Hermite Và khi # là một Hermite thỡ ƯUE PP ys): Nguge lai, (Ux, Ux) = (U'Ux, x) = CPeutyđ x) = (x, x)
nộu xe R( Uv’)
Dinh dộ 1.3.1: Cho U la một dang cy thanh phan kich thuộc nxn Giả sử Â là một giỏ trị riờng
Ps 3|
của U ứng với vộctơ riờng x Thỡ lA = Td <1
x
Ching minh: Vit Ux = Ax dẫn đến (Ax = [Ux] = [UP *| = [Peal
1.3.3.3 Phõn giải theo cực
Định lớ 1.3.9: Đối với 0z Ae CC?" cú thể viết A = GE = EH, trong đú, E eC""" là một đẳng cự
thành phõn, G và Hià hai ma trận Hermite và bỏn xỏc định dương Cỏc ma trận E, Œ, H được xỏc định bởi cỏc biểu thức sau:
# 4Œ)= &(G) 8()= #4(H) với Gằ=AA, H = AA, E= Up) *
Chứng minh: Áp dụng phõn tớch “UDV” đối với trường hợp thứ &, r < & < mịn(m,n}
Định nghĩa 1.3.4: Cho ƒ- C—oC là bất kế hàm vụ hướng nào Giả sử A ea được biểu diễn theo pho A= >) GE Thỡ hàm số cú biến sộ ma trộn fi C"" ~y C”" tương ứng với ƒ' CC
tại 4 được định nghĩa là ƒ(49) = 3`,_./(4,)E, Với Bs
d, f(a,) 0
A=ULD Myr Duy = " thi Â(D(r)) = ủ
d, 0 f{d,)
saocho f(A) =U,,f(D,.)%)-
H a - mxn ne l _ + , _ ,
Định đề 1.3.2: Cho AeC”” với A=)" dE, và ấ, - 2, ,g Gọi
(õ¿J=1 2 3 là tập của cỏc {d:i=1l, 2, r} khỏc nhau và mỗi j cú đường I,
khoanh d,, Thi:
(a) Ung voi mộij =1, 2, ., q, thỡ E, là một đẳng cự thành phan va
Trang 181
E,=—— Aw J mi L,ŒE~4 E ~ A) dz 342 1.3.22 q
(b) Nộuf: C +C là hàm giải tớch trong miền chứa ẽ` = 2 Thỡ: iz
r * 1 +
DS G)E; = nl { f(2\(zE - A) dz (1.3.23)
› ` s2 AM: +
và trường hợp riờng A’ =—— |—(@E-A) az
‘ 2ni Tz
(1.3.24) Chứng minh: °
5 r + r lo + | *
(a) Vid = > _ GE; nờn 4” = Xa 5 ,(zE- A4) = Sống, Bớ
r 1 dz ae
Do đú, — A)'&= — = =E"
> 2mi L Gẫ~4) % xi L z-d, Je 3u: ˆ, (b) Tương tự, ta tớnh
Ley t K6 flop f@dz) ma pee
Oni [ /@œE-~ A)'dz= >5 Je = ằ FE
327 d, e
Hệ quả 1.3.6: Cho A, E, T và ƒ như trong định dộ 1.3.2 Thi:
ƒ)= (sh ƒ ƒŒ)¿E- Ade) (13.25)
2mi
Chứng minh: Viết về phải (1.3.25)
tÍs: [7@œE- 2'4)z = ằ E [Sree lĐ E, => /(4,)E, = f(A)
II Vi DU VA UNG DUNG
2.1 Cỏc vớ dụ
2.1.1 Chuyển về dạng Hermite chuẩn tắc vụ thừa sẻ hoỏ theo toàn hạng Cho ma trận 4:
2Ă i 0 442i 1
A=|0 0 0 3 ô4-6 -3-3i|°
2 1 1 4-4 1
Trang 19và phần tử lấy để xử H dua vộ 1 được gạch chõn ở mỗi bước 0 2Ă Ă 0 4+2 1 1100 „>=|0 0 0 -3 -6 -3-310 1 0Ị, 0 2 1 1 4-4 1 Ă001 0 13 0 1-22 -‡i l-1i 00 7=|0 0 0 -3 -6 -3-31: 0 1 0è: 0001 2 H7 01 0140 7=3|0 0 0 1 2 Ăi+l! 0 -4 0è- 0000 0 0/17 4 _ ne ™ 0
Từ 7; =[E4 E] ta se| 0 0 |, hạng r của 4 bằng 2 và #4 là dạng chuẩn
j a) 1
Hermite cia A
1 0; Ă0 ‡ 1-27 -‡i
Ma trận hoỏn vị P làm E4P = | 1: 10 0 2 Iti và từ đú thấy 4 được thừa số hoỏ 00100 0 0
e
+ at
theo toan hang la 4 = ane-|o 0 -3 | 2 1-2i ;
| 0 2 Iti
2.1.2, Về cỏc dạng nghịch đỏo suy rộng
(a) Với 4 là ma trận trong vớ dụ trờn Từ biểu thức thừa số theo toàn hạng, nghịch đảo suy ja laa
- 0 0
rộng {1} của 4 cú dạng X= ol ie iB 3B B|, voia By vad lagộc thanh phần
OL 0 -‡ 0
iy ay 7
lỡ lụ 6
của L được xỏc định theo P
9-3i 12~4i 10—10i
(b).Cho „_ 1 _|3-3i 4~4i 0 | tựa nghịch đảo, cỏc nghịch đảo suy rộng {2}, {3}
10 |6+ối 8+8i 0
6 8 0
Trang 20và {4} kớ hiệu X; X; và X, thu được chớnh xỏc như sau đõy:
0 6+ 6i 12-12% 12
Ai == 0 848i 16 -16i 16 ;
35+35Ă —5—15i -30+10 -20-10/
; -9-3i 343i 6-63 6
% =a" -l2-4i 4+4i 8-8Ă Đ ,
25 + 25i -5-15i -30+l0/ -20-10/
63421 15+15/ 30307 6
X,=-l=|844228 204207 — 40-40 8 |vàX,=0
, 354235 5+l5 +30—10i -20+10i
0 Gi 0 442i 1
(c) Với 4=|-0 0 0 -3_ -6 -23-—3/| tập nghịch đảo suy rộng
0 2 1 1 4-4i` 1
{1, 3} kớ hiệu X và {1,4} kớ hiệu Y cú dạng như sau đõy:
0D 0 0è[1000 0 0
-I0 3 9| |0 0 -‡ 0 -J+2/ +Ă
1,0 0 0) |oo0 10 0 0 77 với bất kỡ ZeC””, =— 38| 22 -12 2| + |00 00 +2 -l¿ 0 0 0||0000 I1 0 0 0 0è|0000 0 1 0 0 0 0 20-18 42 “ 1 “ti -Í Ta 1a xó
1/0 109i 21 , voi bat ki ZeC™,
=—— 276|0 -29-0Ă -9-27Ă +Z|0 0 0 0 0 0 -2+4i 24+30i
0 -29+30/ -36+3i
2.1.3 Về ứng dụng nghịch dao Bott-Duffin
Cho một mạng điện gồm nụ Ă = ], 2, ., m nỳt và n nhỏnh (cặp nỳt) kớ hiệu bị, j = 1, 2, ., n Như đó biết, ma trận tới kớ hiệu ÀZ = [m¿] được định nghĩa như sau:
(i) Hang thir i cla A⁄ ứng với nỳt nị, Ă = 1, 2, , m, (ii) COt thir j cla M ứng với nhỏnh bị, j = 1, 2, ., n,
Trang 21
1, i=k
(iii) Nộu b; = {ny, ny} thimy= J) jay với mọi j = 1,2, , n
0, i#k,]
Hai nỳt nụ hoặc m tương ứng với hai hàng của M dugc gọi là núi trực tiếp khi {ny, nị} hoặc {m, nụ} là một nhỏnh (trong M ton tai mot cột cú giỏ trị khỏc khong tại cỏc hàng k và 1) Goi hai nỳt Nk hoặc nị tương ứng với hai hàng của Mf được nối nếu tồn tại một dóy {nj, nạ, : , nị} trong đú bất kế hai nỳt kề nhau đều được nỗi trực tiếp Một mạng gọi là được nụi khi tõt cả cỏc cặp nỳt đều được nối
Từ định ki sa Ä⁄ như trờn, cú thể mụ tả quan hệ giữa vộcto chứa cỏc điện ỏp trờn cỏc nhanh x = [x], / = „n, với vộctơ chứa cỏc điện thế tại cỏc nỳt p = [p,], Ă = 1, 2, , m, bởi biểu thức x = Ä?) a đ thể vỏ anh b mật Kirchhoff đối với đũng điện trờn cỏc nhỏnh bởi biểu thức Äy = 0, với y = [y],j = „ n, vộctơ chứa cỏc dũng điện trờn cỏc nhỏnh
Như vậy, định luật Kirchhoff xỏc định hai khụng gian con trực giao bự nhau (A(A⁄) đối với dũng điện và& (A7) đối với điện ỏp) Nờn, cú thể tỡm được dũng điện y và điện Ap x trờn cỏc nhỏnh bằng cỏch ỏp dụng định luật Ohm trong điều kiện hạn chế là: 4x + y = Av + w, xe @ (AM), ye AXCM) trong đú, 4 = [điag a,] chứa điện dẫn của cỏc nhỏnh, vộctơ y và w chứa cỏc nguồn điện ỏp và cỏc nguồn dũng và M la ma tran toi da núi đến ở trờn
Áp dụng định lớ Bott-Duffin, nghiệm của bài toỏn như sau:
1) _ en
*= Ariat! „(4v + w) va y=(1 - AÁ am Av + w)
trong đú, thành phõn (/), ¿ 7 = 1, 2, ., n của ma trận truyền đạt An iy biểu diễn điện ỏp sụt trờn nhỏnh ở, do tỏc động của nguồn dũng đưa vào nhỏnh by
Vỡ 44 khụng suy biến, cú thờ viết lại hệ phương trỡnh cú điều kiện phớa trờn;
Aly+x=Alw+v, yeMM), xeđ(M?) 4
và cú nghiộm y =(4" opi (A'wty) va x=(1- AA yy (4 tw y), trong đú, ma trận
truyền đạt đối ngẫu (4` Yon xỏ; Cể thành phần (Ă/) biểu diễn dũng sinh ra trờn nhỏnh ð, do tỏc
động của nguồn điện ỏp song song với nhỏnh ð,
Cú thộ dộ dang nhan thay ATCA")? + AC", 4=7J (X(M) (R(M™))
2.1.4 Cỏc vớ dụ về đẳng cự thành phần và hàm suy rộng Ỹ
1 0 0
Vớ dụ 2.1.1: Đẳng cy thanh phin y =| 0 %⁄ 0| ứng với Â=0 cú xe ọ ce#X(U);
0% 9 1
l 0 0 o|]] 0 0
232=l,x=|0l|e&(U°):42=*⁄,x=|'3⁄|=|'⁄4|+|0 ›|'⁄le&@/).|0|e(U)
0 J 01 Lzj|0 1
là cỏc hệ riờng
Trang 22
-_ nào kớ hiệu #4) = 4' được gọi là số mũ suy rộng hay luỹ thừa suy rộng của A Định nghĩa 1.3
cho thấy 4 = ằ đ}E, hay A” = UpDiKGy: Luỹ thừa suy rộng 4 thoả món:
an
E, khi k=0
Ađ =4 AđE"A,khik>I trong trường hợp riờng 4? = 4 A'°%E'A", khi k <1
Vĩ dụ 2.1.3: Nếu 4e C7" là ma trận thụng thường và nếu cỏc số vụ hướng (4) được chọn sa
A‘, khik >1 cho d(A) = af A) thỡ Ađ =2 P RA)? khik=0
(##, khik<-l
Vớ dụ 2.1.4: Cho AeC?"" biểu diễn theo cực 4 = GE =EH Theo định nghĩa 1.3.4, đối với bớ
kể hàm ƒ nào thỡ đều cú #44) = AG)E = ED) Cit vi du, Ađ = GE = EH", voi bất kỡ k nào
Vi du 2.1.5: Đa thức theo bậc 3 (tam nguyờn - ternary powers) của 4 là đa thức cú dạn - =>) p,(Ad’)‘ A
k k
2.2 Ung dung vào bài toỏn đỏnh giỏ tham số mụ hỡnh 2.2.1 Xõy dựng bài toỏn và ứng dụng
Một hệ động học tuyến tớnh bậc n cú tớnh nhõn quả, bất biến theo thời gian được cho Bi tớ hiệu đỏp ứng giới hạn tại đầu ra trước tớn hiệu kớch thớch giới hạn tại đầu vào Xỏc định mụ hỡn giảm bậc cú bậc r (q < r < n) cú tớnh đồng thời điều khiến và quan sỏt sao cho tụi thiờu hoỏ hài
mục tiờu như dưới đõy:
J= [[z,() - ,(E)ŸŸ R[,() - ,(t)|et = [|[z,Œ@-#Œ)|[jẩt — @21
trong đú, „() và w,(f) 6 R”” là vộctơ tớn hiệu đầu vào của hệ động học và của mụ hỡnh giar bac, va Re R”” là ma trận trọng số, xỏc định khụng õm
Bỗ đề 2.2.1: Cho hai ma trận cú hạng toàn cột và hạng toàn hàng tương ứng là Gè â R™ va ` R™ + <n, voi dac tinh IG’ = I, Thi cd duoc mot phộp chiếu ơ bậc n: Hơn nữa, nếu thừa số ho toàn hạng tương ứng hai ma trận ẽ" và G đó cho để từ cỏc thừa số của chỳng xỏc định một m trận dương, ban don M â R™ Thi tim được hai ma trận xỏc định khụng õm bậc n, Q, P e R sao cho tớch của chỳng được thừa số hoỏ theo (G MT)
ˆ Chứng minh: Nếu: iG’ =I, (2.2.2
thỡ (G'TY = G'TG'T = G'T e R"^, Nghĩa là, nếu định nghĩa ơ = G’T e-R"™ thi ơ là một m
trận đẳng luỹ Vậy ma trận ơ là một phộp chiếu bậc n
Trang 23TT = G*G" = I, trong đú Ƒđ và Œ” là cỏc ma trận nghịch đỏo suy rộng phớa phải yếu 7 và phớa
trỏi yếu G” Vậy, nhõn (2.2.2) trỏi với Gđ, phải với 7" sẽ 06 IG! = 1
Theo Dinh 1ớ 1.3.8, đối với hai ma trận đó cho luụn tồn tại một ma trận vuụng, đối xứng đ e R™ va một madran Ye R™, ca hai đều cú hang r dộ:
P= @3, vaG" = Lh Ge
Bat luan đ và đi; là xỏc định dương hay õm thỡ đều cú tớnh khả nghich Vay, TG’ = J, c6
nghĩa là Z„2j= đ;/Œđ;'e R”* và cú thể tạo ban don M= Œ;Œ;' Đặc tớnh xỏc định dương của M dam bao đ-va đi; cú cựng dấu xỏc định
Thấy ngay, >7: & 3, L) GE = GM, Tir dộ, c6 thộ gin E! @; 2, = O val) OL = P hoặc 2ÿ (- GZ, = OQ val} (- O)Z-= P, tuỳ thuộc đặc tớnh xỏc dinh cua @, va @; dộ OP =
(GMT) Tuy nhiờn, bất luận đặc tớnh xỏc định nào, ể và P cũng đều là đối xứng, bậc ứ cú hạng r,r Sn Nộn Q, P va ma trận tich (QP) dộu là cỏc xỏc định khụng õni
Ngược lại, gia sit O, P € R” 14 xac dinh khộng am thi phai chimg minh rang (QP) la ban đơn khụng õm Hơn nữa, nếu bỏn đơn khụng õm cú hạng z, r < n, thỡ sẽ tồn tại ma trận hạng toàn
cột G’e R™, ma tran hang toan hang De R™ va ban đơn dương M4 e R” sao cho ỢP = GMr
va 1G" = 1,,
Thật vậy, từ Định lớ 1.3.2, cú một ma trận khả nghịch 7 e #”“ để cả 7TOT và T!PT” được
đường chộo hoỏ nờn (QP) là bỏn đơn khụng õm Nếu bỏn đơn khụng õm đú cú hạng r nhỏ hơn hoặc bằng bậc m„( < m), thỡ quỏ trỡnh đường chộo hoỏ đồng thời Ở và P tương đương với việc phõn giải theo cực “UDV” của bỏn đơn khụng õm Trong cỏch phõn giải đú, cả Ù và ƒ là cỏc ma trận trực giao bậc n, V được chọn tuỳ ý sau khi cấu tric U, ma tran đường chộp D chứa r vộctơ
riờng, xếp theo thứ tự giảm dần (⁄4,) của bỏn đơn khụng õm
ae A 0
Ciing ton tai một ma tran kha nghich S, bac r sao cho c6 thộ biộu diộn D = 0 4 = S 7 [orasols: 0 | Trộn co sở đú, cú thể xỏc định G” = d| 2| r=[S! 0|vvam S | = Š;'⁄4,Š, Dễ dàng kiểm chimg lai ring 7G" = J, va quan hệ giữa T với S; cú thể xỏc lập
Trong trường hợp khi z = m, ể và P khụng cũn xỏc định ầm mà là định dương Bờ đề vẫn đỳng khi G và 7" khụng là chữ nhật mà vuụng, cú bậc ứ và hạng r, r Sn :
Liờn quan đến cỏc bài toỏn đỏnh giỏ tham số mạng viễn thụng, định đề và định nghĩa sau đõy sẽ được sử dụng:
Định đề 2.2.1: Cho ma trận cú hạng toàn cột G’, ma trận cú hạng toàn hàng ẽ' và hai ma trận xỏc định khụng õm bậc n, Q, P e R"" được định nghĩa theo bồ dộ 2.2.1, thỡ ta cú cỏc đẳng thức sau đõy:
&; = 10, â! = Fol’, O = 00 = Oo’, 5-= GP,đ;! = GPG", P = oP = Po
Chứng mỡnh: Hiễn nhiờn
Trang 24
Định nghĩa 2.2.1: Phộp (ma trận) chiếu được xỏc lập từ cỏc điều kiện cần đề một hàm biểu ¿ tiộu chớ tối ưu trở thành cực trị thỡ được goi là Ă phộp chiếu tỗi ưu, và hai ma trận xỏc định kh õm Q và P cũng được gọi là tối ưu nếu thừa số hoỏ QP được tạo bởi cỏc thừa số của phộp cè tối ưu theo nghĩa của bồ dộ 2.2.1
Bồ đề 2.2.2: Nếu ma trận chứa dữ liệu đo lường M khụng cú hạng đu theo hàng, thỡ ước lun vộctơ tham số qua trỡnh của hệ động học đỏnh giỏ theo tiờu chớ trọng sai số tối thiểu (W) được xỏc định bởi biờu thức sau:
? = R} ?R *MOOR! ?Rị tấu (2
ở đõy, kớ hiệu M a) biểu thị nghịch đảo suy rộng {1.3} của ma trận M wo Ry va Rz la hai trận trọng, xỏc định dương được kớch thước hoỏ một cỏch phự hợp
Chứng mỡnh: M,RM, vuụng kich thude (2n + Dgp cộ hang r (r < (2n + J)gp) nộn fa suy b
Cú thể biểu diễn hàm phạt định nghĩa trờn cơ sở sai số đầu vào:
~ ~ ~ - ~ ~ ~ ~_ 12 ,
Ip) = (diy ~ MB)’ Rhy - My B) = | - al, (2
& day, R; la mot ma tran trọng số, xỏc định dương cú kớch thước Np x Np
Từ lớp nghiệm bỡnh phương sai số nhỏ nhất suy rộng, GLS, chọn một nghiệm sao cho:
lal, = PRP (2.2.5)
là nhỏ nhất, trong đú, ẹ¿ là một ma trận trọng số, xỏc định dương, khỏc R¿ ở (2.2.4), cú
bang với hang của ma tran M, ô
Sử dụng giỏ trị căn bậc hai duy nhất của R, va Rp để biến đổi cỏc cơ sở của My cũng hai vộcto p vau,, như sau:
My = RUM RI, P=REB, ty = RR, @
sao cho ly - M,B R, = le Mu, ộ
| Ũ |, =| P R, ớ
Bài toỏn tối thiểu hoỏ hàm tiờu chớ suy rộng chuẩn trọng số (2.2.4) chuyển thành cẩ Euleur (2.2.7) cú nghiệm chớnh là nghiệm theo tiờu chớ GLS:
PMY uy +MY My ye @
trong đú, dấu “*” trờn Pp biộu thi nghiệm theo tiờu chớ LĐ, Ä⁄, ue là một nghịch đảo suy + {1,3} cha M,, va R là vộctơ bất kỡ cú kớch thước ((2n+/)-r) trong trường số thực
Sử dụng cỏc phương trỡnh trong (1.3.21), ta cú ước lượng tham số theo WLS:
Trang 25Hiển nhiờn, từ (2.2.10), ễ; cú giỏ trị nhỏ nhất khi #? = ỉ và trở thành ễ” Từ đú thu được
(2.2.3) và bổ đề đó được chứng minh
Hệ quả 2.2.1: Khi R, = Inp va R2 = I, voi r la hang cua M v› ước lượng vộctơ tham số quỏ trỡnh của hệ động học đỏnh giỏ theo tiờu chỉ WLS cú dạng đơn giản:
B= MPa, (2.2.11)
Chứng minh: Vỡ hạng của M „ làr,r < min (Äp, (2n+ ?)ap) nờn tồn tại ớt nhất một ma trận con khụng suy biến bậc z trong M Ne Sắp xếp lại M „ Sao cho r cột và hàng đầu tiờn độc lập tuyến tớnh với nhau Nghĩa là nhõn trước và sau ÄZ„ với ma trận hoỏn chuyển để ma trận con khụng suy biến bậc r nằm ở khối trỏi phớa trờn của M „ như sau:
(My), | (My io rxr_ | rX((2n+qp-r)
Hy) | a : ae -ryxr | (Np-r)x (2n+ Dap- 5 Can)
trong đú, đvà Z là cỏc ma trận hoỏn chuyển trước và sau cộ bac tuong tmg la Np va (2n+ gp Cả hai đều khả nghịch và cú đặc tinh @! = @ va 5! = 5"
OM = =
Hang cua (M,, );; chớnh là hạng của M, Vi vay, để thực hiện chia khối My ta dộ dang
thay (My 22 = (My Joi ( My Ji, (M,, Jia phai thoa man Tir 46 lam xudt hiộn hai thira sộ Qva A
cú kớch thước (r x ((2n+ 7)gp-r)) và ((Np-r) x r) theo cỏch:
2=(My Jj (My)i2 va A= (My ai (My Ji 2.2.13)
yn | _ [Cun ỡ
thoả mó z =|—.— 12 2.2.14
sme ee đu), on)
và [Mx | | =4[@#y}y | 0#), ] _— 215
Từ cỏc đồng nhất thức ở trờn, cú thể biểu diễn ÄZ „ theo dạng mới: „
My = go ary (My);
xr =ứ'|* |gữ 1, | ays" 2.2.16
ar | Oyo A |Moult [9] @216
voi, [1, 4“lo=œ' lỏi và (ÄZ„)„[1, | Q] -2| Z|, 7 l rè ` vàn l r ~ (2.2.17)
là cơ sở tương ứng của khụng gian xỏc định của M „ VÀ Cơ SỞ chuyến vị của khụng giỏn khụng
đối với M,,
Phương trỡnh trong (2.2.16) trở thành:
Trang 26Tre
STE Sen
1 v ho ~
u, - 6" lỏ| (My) [7, | QJZ"B = ấu (2.2.18)
Thực hiện chia khối ỉ và vộctơ tham số quỏ trỡnh của hệ động học một cỏch tương ứng:
ớ, rxNp _ |B rxẽ 2219 -]| ————|lvàp=|— —————.! 2.1 #=lứ,| ° [Ap-rxNp| "9 P"[5,| S [On+Dạp-nx1| 6219 Từ đú, cú thể viết (2.2.18) đưới dạng: Ă I 5 ớ, lỏ| (Mạ, [, | Q\z" H = oe -Šy) (2.2.20)
Trong trường hợp trựng khớt, Š„ = ủ„, nghĩa là sau khi thực hiện quy trỡnh tối thiểu húa, (2.2.20) cú nghiệm tổng quỏt sau đõy:
ủ; M Jj, Pi -Q
4 pat Peleg] Mu Pity | | oe 2, (2.2.21)
P, 0 Tụy nạp
trong đú, Z2, là vộctơ cú ((2n+ 1)4p-r) chứa cỏc giỏ trị thực tuỳ ý chọn
Nghiệm cũa (2.2.20) tồn tại hay (2.2.21) cú giỏ trị khi điều kiện nhất quỏn sau đõy được thoả món:
đ@,(ii, -E, )= AD (hy - E,) +
0
chứng minh
Mu,),đ ~
vỡ, oe = MẸ” nờn (2.2.11) duge din dộn tir (2.2.21) voi & =0 Hệ quả đó được
2.2.2 Quan hệ giữa mụ hỡnh hệ thống, mụ hỡnh giảm bậc và mụ hỡnh gia đinh
Nội dung chớnh của mục nảy liờn quan đến sự phỏt triển mối quan hệ giữa mụ hỡnh hệ động học, mụ hỡnh giả định và mụ hỡnh giảm bậc trong cỏc phương trỡnh quy chiều tối'ưu cú ứng dụng ma trận nghịch đảo suy rộng Với mục đớch này, bài toỏn tối ưu trờn cơ sở cỏc tham số để giảm bậc một mụ hỡnh hệ động học bậc n, cú tham số chưa biết được xõy dựng đầu tiờn theo khỏi niệm sai số đầu vào
2.2.2.1 Cỏc kết quả về đỏnh giỏ, ước lượng tham số
Định lớ 2.2.1: Đối với một hệ động học cú tớnh đồng thời điều khiển và quan sỏt, cú bậc n, tốn
tại một tập cỏc mụ hỡnh giả định cú tớnh đẳng thời điều khiển và quan sả, cú bậc m, m > n, và
một tập cỏc mụ hỡnh giảm bậc cú tớnh đụng thời điờu khiển và quan sỏt cú bậc r, r <n Với mụ hỡnh giả định chọn trước, luụn tụn tại một phỏp chiếu tối ưu ỉ;= Gr, bậc (n + r), cỏc tham số j ghộp hợp tỗi ưu được mụ tả theo cỏc tham số của mụ hỡnh giả định và cỏc thừa số của phộp chiếu như sau:
Trang 27_ 1A4 0 h
Z- | ° |- ofGlA, Tot (2.2.22.a)
0
Dp B, T7
B=| „ |=- ứ‡G;B, (2.2.22.)
€, 0
2 : 0C, | sĂ ‘fe T;ơ‡ L, (2.2.22.Â)
rong dộ, Q = [Œ„ -đ#) (R „- RI và chỉ số phụ g viết phớa trờn của Ơ; biểu thị ma trận
tghịch đảo suy rộng của Ơ;
Cú hai ma trận tối ưu xỏc định dương bậc (n + r), Ợ và P , sao cho với phộp chiộu oO,
rường hop chon riộng biột cia o8 , cdc diộu kiộn phai thoa man la:
p(Q) = p(P) = p(QP) = (n +r) (2.2.2.4) G)A,T,O0+OF! A'G, + G)BVB'G, = 0 (2.2.22.e)
| — =.) sờ R, -R,l|1,
IJAG,P + PGA ST, +Tj3C UL, 1,)| - “lI “ICT, =0 (2.2.22.f) a4 “Ry R, L,
rongdộ, R = a,Ra,, R, = a,Ra, va R= a,Ra,
Chứng minh: Đề tối thiểu hoỏ hàm mục tiờu biểu diễn bởi biểu thức j < zỉẹ ràng buộc bởi
hương trỡnh điều kiện 4ế+ ế⁄4” + ủW„ủ” = 0, hàm Lagrangian được xõy dựng như sau:
S(A,„ B„,C„, ể P, Â,) = tr[AQR + (AQ+ QA” + BW,B' )PJ (22.23) rong đú, cỏc nhõn tir Lagrange 4 >( và e R(”+””'”“+“+r) khụng được đồng thời bằng
khụng Hơn nữa, để đảm bảo cho cỏc điều kiện ràng buộc cú tỏc dụng và hệ cỏc phương trỡnh “ rong dấu vết là độc lập tuyến tớnh, thỡ ? phải là một ma trận xỏc định dương Ma trận @ là đối ứng, xỏc định khụng õm Tiến hành phõn chia ể và P như sau: +
9, OQ, Os hụ Py Py (nxn) (nxm)¿ (nxr)
O=|0, On O,|.P=|H Py P„|elứnxn) (mxm) (mxr)
9; QO, Qs Py Py hy] LO) (rem) (rxr)
Thực hiện lấy đạo hàm riộng cia 2(.) theo cỏc tham số chưa biết và cho cỏc kết quả tỡm lược bằng khụng, ta cú:
XZ, () =h;Q„ + PQ) + PO, =0 (2.2.24)
2%.) = (PB, + P„B, + P„B„)W„ = 0 (2.2.25)
Trang 28
%Q =HŒ, - R,)C,ỉ,;+ (R„- R.)C, Q5 - (Rý - R, + R„- R,)C„ỉ„] =0 — 2226)
HO =A, + PA, t+ ICTR, - Ri + R„- R„)C„ = 0 (2.2.27)
BO =A Pi + Py Ay- ICT(R, - RL )C,,= 8 (2.2.28) ZH, =A, Py + Py A, -ICL(R, -R,)C,= 0 (2.2.29)
)=AP,+P,A +ICTRC, =0 (2.2.30)
hy sO dd dự gots s
B,O=A PB, + PsA, -ICTR,C, = 0 (2.2.31)
j ZO =A Py + Py, +ICTRC, = 0 (2.2.32)
Zp, Q) =4,Qn + Q,,4,, + B,V,,Bn= 0 (2.2.33)
FZ) =A.Q, + Q,4, + BYV,,B,= 0 (2.2.34)
— 9Q =A,0, +0,” + B,V„BỊ =0 (2.2.35)
ZO =4,O,, + O,4) + BY,,B = 0 ¿ (2.2.36) Ỷ 1 )=AO, *1H +Q,Af +BV 13“ r so om r BỊ =0 (2.2.37) 0 =4,0;, + O47 + BY,Br = 0 (2.38)
Như đó thấy trong (2.2.27), (2.2.30) va (2.2.32) vi A,, 4, va A can thiột phai dn dinh, nếu  = 0, thỡ P„, P;; và P;, cũng là cỏc ma trận khụng Vỡ vay, khụng thể gan cho ^ giỏ trị khụng Cho  =7, Đ„,, Đ; và P;; là xỏc định dương, nờn khả nghịch thụng thường Tự (2.2.33), (2.2.36) và (2.2.38), ta nhận thấy ring Q,,, Q,, va Q,, cũng khỏ nghịch
~ pt _ Po nt 2, eae o Âu về
Định nghĩa ? = r | VÀ ỉ = „ | cú kớch thước (ntr)xm Từ (2.2.24), thay rang:
P,, 23
rg = lạ, với G, - PạpT ° nữ và đ† - -0'0;! € gam 3, = GG, e ROT ect) G}M,T, = QP với M, =-Q”Pˆ” =Q„P„, e R""" là bỏn đơn đương
Trờn cơ sở đú định nghĩa hai ma trận đối xứng:
O = 00330" P = PPJP” Ee pưmrxumr)
vr<n<mS(n +r),ta cú p(Q) =p(ể„) + p(Q„)= (n + r) và Do đú P và Ở là xỏc
định dương
Tham chiếu Q”, P` vừa định nghĩa và (2.2.4) - (2.2.38), bằng một vài phộp biến đổi số
học đơn giản ta dễ dàng cú được điều phải chứng minh
Trang 29Trong trường hợp hiện tại (2.2.22.e) và (2.2.22.) được núi đến là cỏc phương trỡnh Lyapunov biến dạng Trong hai phương trỡnh biến dạng nảy, vai trũ của cỏc ma trận Ova P cũng giống với vai trũ của cỏc Gramian diộu khiển và quan sỏt của hệ thống ghộp hợp trong hệ cỏc phương trỡnh Lyapunov chuẩn, do đú hai ma trận Ở và P được núi đến dưới tờn gọi là cỏc
anagramian (tương tự gramnian) điều khiến và quan sỏt
Nếu một tập cỏc tham số mụ hỡnh biểu diễn trong khụng gian biến trạng thỏi được định
nghĩa là L: = (4, , C} thỡ khi tụi thiểu hoỏ SƑ(.) theo tập của tham số mụ hỡnh giả định, tồn
tại hai phộp biến đổi ớ, và ứ biến từ khụng gian tham số của mụ hỡnh giả định sang khụng gian tham số của mụ hỡnh hệ động học và mụ hỡnh giảm bậc:
ÚA, =AÁ, 9A,=A (2.2.39)
sao.cho CEL, -fEÊ,) € [m(f,) + m(f,)] (2.2.40)
để tổn tại tập cỏc nghiệm chung, là một trong những mặt nghiệm đa bậc mặt (manifolds) tương đương sau:
PEL + Ems [Zmcsy + Emir) eee Se] + [MAIN mG] 624)
FEL, = Lacey | Le + Xu ẽ [rz+, ~ FL, | + [aŒ0xŒ,2)] (2.2.42)
L1, + FZL | ASL, + FAL] + [mRNA] (2.2.43)
delay, chi sộ phụ “g” viết ở trờn biểu thị nghịch dao suy rộng của phộp biến đổi tương ứng, H(.)
biểu thị khụng gian khụng của phộp biến đổi được viết bờn trong dấu ngoặc, X xo biểu thị phộp biến đổi vào trong khụng gian Null của phộp biến đổi tương ứng được viết trong dấu ngoặc và kớ hiệu “{]” chỉ phần giao của hai khụng gian khụng
Cỏc điều kiện cần phải thoả món bởi cỏc tham số của mụ hỡnh hệ › động học và của mụ hỡnh giảm bậc để đảm bảo cho đa bậc mặt của cỏc nghiệm chung là khụng rồng, do đú cú thể được rỳt
ra Hơn nữa, cú thể chứng tỏ rằng cả Œ, và Œ,„ khụng chỉ là cỏc phộp biến đỗi mà cũn là cỏc phộp chiếu và mỗi một trong những phộp chiếu đú là một đẳng cự thành phần của phộp biến đụi
ghộp hợp của hai phộp biến đổi đú Ngoài ra, Œỉ, là một đẳng cự thanh phan cia @,, diộu này
cú thể dễ đàng nhận thấy nếu thực hiện chộo hoỏ đ, va Ẳ%, Một điều cũng đó được chứng tỏ rằng cỏc tham số tối ưu của mụ hỡnh hệ động học và của mụ hỡnh giảm bậc liờn hệ với cỏc tham số của mụ hỡnh giả định bởi hệ cỏc phương trỡnh qui chiếu tối ưu
2.2.2.2 Giải tớch tớnh chất tối wu
Định lớ 2.2.2: Giả sử đó thu được cỏc tham số ghộp hợp theo định lớ 2.2.1 Khi đú, tõn tại hai ma trận xỏc định khụng õm @ va IT dộu bậc (n + r) sao xuất hiện hai phộp chiếu tụi ưu nữa và tỏt cỏ phộp chiờu tụi ưu ghộp lại với nhau theo tay ba qua cỏc thừa sụ của chỳng
Trang 30Chứng mỡnh: Định nghĩa @ = lờ mi = ẩ at cả hai cú bậc (n + r) Dễ dàng
QO, Os PSO
nhận thấy ring â và l7 là xỏc định khụng õm Định nghĩa @ =@ - Oo
va P= P_ Pe Ronn
Tham khảo định lớ 2.2.1, biểu thức tổ hợp cỏc phương trỡnh trong (2.2.26), (2.2.27), (2.2.28) cú thể được viết: 4ỉ + @ 4” + BW,„B” = 0 Tham chiếu biểu thức của @ và chỳ ý cỏc đẳng thức trong định lớ 2.2.1, biểu thức (2.2.44) trở thành: 4@ + @4ẽ= 0 và cho một nghiệm duy nhất Vỡ A phai ổn định, nờn nghiệm duy nhất của phương trỡnh trờn là một ma trận
khụng
Tương tự) tham chiếu Định lớ 2.2.1 và Ƒ7 , biểu thức tế hợp gồm (2.2.26), (2.2.27), (2.2.28) dẫn đến phương trỡnh: 477 + /7⁄4” = 0 cú nghiệm duy nhất cũng là một ma trận khụng
Vỡ @ và ẽJ là cỏc ma trận khụng, và Ở›;;và P;;cú thể nghịch đảo được, nờn ta cú thể dễ
dàng thu được cỏc đẳng thức sau đõy:
Q,, - 0,030); =0, h,- P;PP; =0, Q,- 900; =0 h,- PPPs =0
Q„ - 0Q5ể, 0P, -PPP, = 0
Từ cỏc đẳng thức này kết hợp với cỏc biểu thức (2.2.24)-(2.2.38), ta cú:
_- PuO, + P,Ợn = P;Pz(P2O, + P„Q,)0;Q/,= - P,Ơ/,
P03; + PQ); = PHP (PQs + PQ.) OOo, =- PQ);
Khi đú, cỏc đẳng thức sau dộ dàng được rỳt ra: ô
Qh | (2.2.44) P.Qn + [Pr Ps] `“ 2 0 7 ể;|- PQ, + [Pi P, | 7 | 70 (2.2.45) 2); r pr Qn | 2246 P,,Q,, + [rz Ps | Q =0 (2.2.46) 23
Trang 31,_ Với ba phộp chiếu tối ưu được định nghĩa là:
ơ, =G/I„, ơ,=G;1,, Ơ, =GT,
trong đú, G,= PLP, Pạ,] G,=-QOnl0, ỉ„].G, =PsUP2 P„] G,=-Q/[G, Q.)1.G, =PylPZ Pal G; =- 9310, Qn]
Dộ dàng nhận thấy rằng cỏc phộp chiếu được ghộp tương hỗ lẫn nhau bởi cỏc thừa số của
ching Hơn nữa ta đó biết:
c—|z|_ or’ p =|" = PG!
Clon [TE | pr Oo
ta co: Q9; = Ù, Oxy JQ” = h, O,.,]OF}ằ Or; =- [ụ Lor},
* 1 Dp 1 On xp
Pl =P |; mae | P= a7 I (2.2.50)
Do dộ, tir (2.2.45) va (2.2.46) ta co cac dang thức sau đõy: 1 P,Q), = [H 9 „„]PG? Ps ll 09" | (2.2.51) Or; ° _ Q,; Ỷ P03; =~ L [0 16] I 2|] (2.2.52) 2 L :
Từ đú, dễ dàng thay ring P33Q33; là một đẳng cự thành phần cua P; 19) I Điều nay cú nghĩa là tớch cỏc gramian điều khiến và quan sỏt của mụ hỡnh giảm bậc được tụi ưu đối với tớch cỏc gramian điều khiển và quan sỏt của mụ hỡnh hệ động học Do đú, khụng chỉ cú cỏc tham số mà cũn cả vộctơ trạng thỏi, cả hai yếu tố đú của mụ hỡnh giảm bậc đều được tối ưu:theo cỏc tham số và vộctơ trạng thỏi của mụ hỡnh hệ động học Định lớ đó được chứng minh
2.2.2 ĐỀ xuất phương phỏp tỗi wu trang thỏi
2.2.2.1 Cỏc kết quả liờn quan đến tối tu theo trạng thỏi ;
Bỗ đề 2.2.3: Cho vộctở x„ chứa n trạng thỏi độc lập tuyến tỉnh của một hệ động học Giả sử rằng
cú một mụ hỡnh giả định được chọn, cú vộctơ x„ chứa m trạng thai độc lập tuyến tớnh với m <n Khi đú, tồn tại một phộp biến đổi khụng đụng dạng T e R””" cú hạng m lờn vộctơ x„ để thu được x„ sao cho nếu số đầu ra q của hệ động học nhỏ hơn hoặc bằng bậc m của mụ hỡnh giả định, q<m, thỡ T'x„ đưa đến chuẩn cực tiểu trong số cỏc bỡnh phương tối thiểu sai số đấu ra
Chứng minh: Cú thờ viết Xm = Tx, T â R",m <n (2.2.53) Dộ m thanh phan của x„ được xỏc định độc lập, 7 phải cú hạng đủ theo hàng Tuy nhiờn, khú tỡm lại được trạng thỏi gốc của mụ hỡnh hệ thống từ cỏc trạng thỏi đó được biến đổi Gọi x,
Trang 32là vộctơ trạng thỏi tỡm được bởi một phộp biến đổi ngược lờn x„ Nghĩa là, xj = Hx, eR"
Khi đú, xuất hiện sai số tối ưu trước vộctƠ x„ gốc của mụ hỡnh hệ động học hay một quy trỡnh tối ưu trờn cơ sở vộctơ trạng thỏi xuất hiện Dễ dàng chỉ ra rằng sai số tụi ưu theo nghĩa chuẩn đạt
được khi /7= 77 Nghĩa là:
2
x„-T x„| 4 = minimum (2.2.54)
|
trong đú, chỉ số "R" ỏm chỉ chuẩn được trọng số hoỏ bởi ma trận xỏc định khụng õm với kớch thước phự hợp Biểu thức (2.2.54) được biết đến là riờu chớ tối ưu theo trạng thải
Gan R =C! R,C,,, trong đú C, la ma tran kich thuộc gxn, hang du theo hang, g < n va R; là một ma trận xỏc định khụng õm, kớch thước phủ hợp Từ (2.2.54), ta cú:
3
Joop = | (Coky ~CqE Xp)" Ri(C,&, ~ CT Xt (2.2.55)
và một hàm tiờu chớ để tối thiểu hoỏ được định nghĩa:
J = [ O0 - y2) R/ể, -y„)ÁI: (2.2.56)
Đú chớnh là biểu thức biểu diễn trọng bỡnh phương sai số đầu ra
Nhận xột liờn quan đến bổ để gồm: (Ă) Vỡ 7 là hằng, nờn #„ = T%„, (ii) Giỏ trị tối ưu của Cy la C,, = CT", (iii) Do chưa biết bậc m của mụ hỡnh hệ động học nờn cú thể ứ > m và Xn khụng được xỏc định chớnh xỏc Ta coi mụ hỡnh hệ động học là phiờn bản tối ưu của mụ hỡnh giả định, nờn chờ đợi một vộctơ gần đỳng cho x„ từ:
2
a= f
Bộ dộ 2.2.4: Cho vộcto trạng thỏi x, chia n trang thỏi độc lập tuyến tớnh của một hệ động học là vộctơ trạng thải biờn đổi của mụ hỡnh giả định:
x, =T*x, TER™ p(T)=m<n, (2.2.58)
khi đú, thừa số hoỏ phộp biễn đối khong dộng dang = T = GE = EH (2.2.59)
trong dộ, E= E(x,x')eR™' la mội đẳng cự thanh phan, G= E(x,xi)eR™, và H= E(x,x.)€ R™" la cdc xỏc định khụng õm và E(.) biểu thị giỏ trị kỡ vọng hoặc giỏ trị trung
2 IR @ x, -x,| at =0 n " (2.2.57) _ man R + Xy — TX, = Eq sg ER m>n va fh -T'Tx,
bỡnh của biểu thức trong dấu (.) khi Ăằso tương ứng với trường hợp tớn hiệu kớch thớch là nhiễu trằng cú cường độ xỏc định hoặc cỏc tớn hiệu tiờn định khụng tương quan
Chứng mỡnh: Nhõn phớa sau hai về của (2.2.58) lần lượt với x; và xr sau đú lấy kỡ vọng toỏn
học Ta được #(x„xƑ)}' =/#ỉ@x„xƑ)' 6 R”” điều kiện để E = Z(+x„xƑ ) là một ỏnh xạ thành phõn Trong khi #(x„x;)và E(x,x/)1a cỏc ma trận khụng õm Nờn, thực hiện tựa nghịch đảo của
GE' và ETH theo cỏch thụng thường Do đú, ta cú (2.2.59)
Nhận xột liờn quan đến bổ đề gồm: (Ă) Bổ đề đỳng với ca khi x, € R(T) va khix, € AD); (ii) T = E°G = HE’; (iii) Cac ma tran ơ, = EE” và ơ; = E”E đều là cỏc phộp chiếu tối ưu trực
Trang 33
giao và cú dạng sau đ, = k 0| và a) = J; (iv) Phan tich G = U;AVe va H= Un 1u,
trong đú, /1¿ = diag (A), Az, ., An) với ÂĂ> Ãz> > Ân, Âu = điag(U, Hạ, Hư) với Miz [a2 2
„ Điều đú chơ phộp tư duy đến việc rỳt # từ phương trỡnh EG - HE = 0 để cấu trỳc biến đổi
khụng đồng dạng T7:
2.2.2.2 Nghiệm của bài toỏn ước lượng tham số mụ hỡnh
Định lớ 2.2.3: Giả sử cú cỏc đại lượng đo lường phục vụ mục đớch đỏnh giả ước lượng tham số mụ hỡnh của một hệ động học cú bậc n Giả sử một mụ hỡnh gia định cú đặc tớnh dong thời điều khiển và quan sỏt được chọn cú bậc m, m > n Khi đú, cú một phộp chiếu tối trụ trực giao
o = EE’ € R™", p(o)=n, va O= HEW,E", P= H*EW,,E" â R™™ cả hai ma trận xỏc
định khụng õm cựng cú hạng n, sao cho cỏc tham SỐ tạo nờn phõn cú tinh điều khiển và quan sỏt đồng thời của mụ hỡnh hệ động học cú thể tớnh được từ:
A, = E"H'A.HE, B, = E"H'*B, , C, = KC,HE (2.2.60.a)
thoả món cỏc điều kiện sau đõy:
ơ|[H A,ễ + ễADH' +H B„VB,H' |ứ” =0 (2.2.60.b)
o" | HAP + PA,H + HCLK’RKC,H |o =0 (2.2.60.c)
gong dộ, E=E (x„x;)e R”" là một dang cu thanh phan, H = E(x,x')eR”” la ma wrộn xỏc định dương, W,„ và WỮ, là gramian điều khiển và quan sỏt hệ động học đú và ma trận K là
phộp biến đổi tương tự để đỏp ứng đầu ra của mụ hỡnh giả định trựng khớp với đỏp ứng của hệ
thống động học 4
Chứng minh: Giả sử một mụ hỡnh giả định cú tớnh chất điều khiển và quan sỏt đồng thời được chọn cú bậc m với m > n mụ tả bởi cỏc phương:
x, =A,X_ + BU “ (2.2.61)
Vn = CX (2.2.62)
Nhõn trước cả hai về của phương trỡnh trong (2.2.61) vội T và nhõn trước hai về của phương trỡnh trong (2.2.62) với ma trận khả nghịch K e 8 ““, ứ(K) = g, và sau đú thay x„
bởi giỏ trị gần đỳng nhất của nú là 7%x„ ta cú:
A,=T AT, B, =T*B„,,C, =KC„T ‘ (2.2.63)
Từ đõy, tham khảo bờ để 2.2.4, biểu thức trong (2.2.60.a) được rỳt ra
Để mụ hỡnh hệ động học cú tớnh điều khiển và quan sat dộng thoi thi A, 14 mot ma trận ộn định, gramian điều khiển va gramian quan sỏt của hệ động học đú là nghiệm duy nhất tương ứng của phương trỡnh Lyapunov Hai phương trỡnh này, sau khi nhõn trước và sau tương ứng với E và E” và tham khảo tới cỏc biểu thức trong (2.2.60.a), trở thành:
EETH'A,HEW,E" + EW,E"HADH'EE" + EE"H'B,VB'H EE’ =0 (2.2.64)
Trang 34EETH ADEW,E" + EW,ETH`A,HEET + EET HC}K"RKC„HEET = 0 (2.2.65)
Định nghĩa ơ = EE”, ễ= HEW, E", ấ= H EW,„E”, tất cả cỏc ma trận đú đều cú bậc m Nhận thay Q vaP đối xứng cú pứ(Ở) =ứ(P) = p(ứ) =n< m, nờn ễ vàấ là xỏc định
khụng õm và ễơ = ễ và ơ”P =P Vỡ vậy, (2.2.60.b) và (2.2.60.c) thu được từ (2.2.64) và
(2.2.65) tương ứng Định lớ được chứng minh 2.2.2.3 Tỉnh bằn vững mụ hỡnh hệ động học 2.2.2.3.1 Phỏi biểu bài toỏn
Cho một hệ động học tuyến tớnh bất định cú bậc n được mụ tả bởi: „
4 ~ ~
#0) = 4#) + w@), te[0, 0) (2.2.66)
FO =E,F,(0 (2.2.67)
và một mụ hỉnh giả định cú bậc m, m > n, được mụ tả bởi:
` '#„@) =4„3„@) + B,w), re[0, 0) (2.2.68)
ÿ„0) = ấ„#„() (2.2.69)
tồn tại tiờu chƒ tối ưu trạng thỏi sau:
2
Joon = Supk Í|E, ~Fx, nữ < Rh, o() =n (2.2.70)
@
và tiờu chớ trọng bỡnh phương sai số tương ứng:
2 -
Soup - sipB Ly, — KP, pkeRm ping (2.2.71)
Hóy xỏc định cỏc giỏ trị hạn chế của 4, 8, và C, sao cho mụ hỡnh mụ tả bởi cỏc phương trỡnh trong (2.2.68) và (2.2.69) cú tớnh điờu khiờn và quan sỏt đồng thời
2.2.2.3.2 Điều kiện đủ của chức năng bền vững Trong trường hợp hiện tại:
#, =F'x„.Tc R””,o() = n.m >n (2.2.72)
Coi chuẩn vộctơ và chuẩn ma trận trong trường hợp đang xem xột là nhất quỏn để cỏc biến đổi xỏc định Ax, dan toi một giới hạn 47 và ngược lại Với một mụ hỡnh giả định, thỡ
Íz„| =K, là một hằng số Giỏ sử, khụng làm mất tớnh tổng quỏt:
|4+| = ¿ lrl = V2 va r*|=1⁄v^A
trong đú A, va À„ là trị riờng lớn nhất và nhỏ nhất khỏc khụng của 77” T
T*
Lay chuẩn hai về của (2.2.72) và thực hiện một số phộp biến đổi toỏn học, giới hạn biờn củ:
những biờn đụi trong phộp biờn đụi khụng đồng dạng 7 được tỡm thõy như sau:
Trang 35|4 | = fa, /G/A, +ô)- — 22.B) Lư] _ 7 1+ vA, 2.2.74 bal Broo gf 4⁄9 Một cỏch tương tự, ta cú: = vA (2.2.75) K +
Tiờu chớ tối ưu trạng thỏi biểu diễn bởi phương trỡnh trong (2.2.70) trở thành:
Ison = |x, + ar" (2.2.76)
Giới hạn ràng buộc của ấ tỡm được từ tiờu chớ :
Jon =Ellc„x.l + |#|Ic,I[fll-l} = 0 @2m)
và cho bởi biểu thức:
[“| = ur, |4Ê| = @{^, + 2K)/|Ä, (2\JÄ„ + K)- (2.2.78)
Từ đú nhận thay rằng mụ hỡnh giả định đúng vai trũ quan trọng trong trường hợp thụng qua
cỏc trị riờng của T7” Bất đẳng thức:
° i/Ja, < |e < 174,
tỡm được từ (2.2.72) giải thớch rằng nếu mụ hỡnh giả định khụng được chọn phự hợp để bao trựm cỏ khoảng biến đổi về biờn độ của nhiễu loại này, thỡ tớnh chất tối ưu giữa cỏc trạng thỏi gốc và cỏc trạng thỏi biến đổi sẽ khụng được đảm bảo Điều đú cú thể dẫn tới một giỏ trị ước lượng bị sai lệch mặc dự cỏc đầu ra cú thể hoàn toàn được trựng khớp nhờ vào vai trũ của K
2.2.2.3.3 Cấu trỳc bất định
Giả sử ƒ = J„, K = R = l„ và giả sử:
— To oy _ os
A„ = diag(-a, œ„), B„BỊ = diag(đ, 8„) C„C;.= diag(, 7„),
trong đú: Œ,, ỉ,, 7, > 0,vớii = è, , m ,
Tương ứng với 4*,, cỏc tham số của hệ bất định đang xem xột được thay đổi bởi
AA,,AB, và AC, từ cỏc giỏ trị danh định tương ứng 4,8, và C, Giỏ trị thay đỗi lớn nhất là:
AB, | < \8, /›|AC,| < |z,4¿4, /Qẽ2, tk) 2.2.79)
Cỏc giỏ trị cực đại của cỏc tham số lỳc đú được giới hạn bởi: ,
mơ -
ire VA, +ô yA, +ô
Trang 36Ta thấy nếu khụng sử dụng phương phỏp tối ưu trạng thỏi thỡ khú xỏc định ảnh hưởng như thế nào của bất định biến trạng thỏi x, đến cỏc tham số khỏc của hệ thống động học đú, mặc dự biết chỳng trở nờn bất định
2.2.2.3.4 Tinh on định, điều khiển và quan sỏt
Những biến đổi của cỏc tham số do tớnh bất định gõy ra cú thể làm cho mụ hỡnh hệ động
học đang xột trở nờn khụng ộn định, và do đú cũng khụng cũn khả năng điều khiển, quan sỏt Điều mà sẽ được chứng tụ là mụ hỡnh giả định cũn đúng vai trũ quan trọng liờn quan đến tớnh ụn định, điều khiển và quan sỏt của mụ hỡnh hệ động học đú
Từ (2.2.60.a), ta thấy nếu H* A, được chộo hoỏ, thỡ thành phan thứ n trờn đường chộo
của nú tương ứng với trị riờng nhỏ nhất của 4, Kớ hiệu trị riờng nhỏ nhất này của A, la -@,,
Khi đú, mụ hỡnh của hệ động học đú sẽ giữ được trạng thỏi ổn định khi và chỉ khi giỏ trị cực đại
AA, khộng lam vi tri ‘ella cỏc cực tương ứng với ~œ,„ dịch về phớa phải của mặt phẳng S Biờn độ hạn chế đối với 4⁄4, được cho bởi biểu thức:
|44 | < 2jz,A,⁄x < \e„ - sn (2.2.80)
Tinh chat điều khiển và quan sỏt của mụ hỡnh hệ động học sẽ khụng bị thay đổi nờu ma trận A, ụn định và cỏc hạng của ma trận B va Ẻ, cũng khụng thay đổi Những hạng nảy khụng bị thay đổi khi mà số cỏc trị riờng khỏc khụng của ma trận B 58 và CTC, được giữ khụng đổi Giả sử rằng n trị riờng của ma trận B Br cú thể được tỡm từ phương trỡnh trong (2.2.60.g) la khỏc với n trị riờng của Cc Ễ, Từ việc giả thiết rằng khụng một trị riờng nào của ma trận B B va CTC, bị triệt tiờu do 4B, và 4C, tương ứng, cỏc giới hạn chặn của 4ệ và
AC, lỳc đú được tỡm như sau:
B,/ô < VB, |4c,| < Waa, 4, +6) < vy, (2.2.81)
ở đõy, B,, va Y,, la cdc tf riộng nhộ nhdt khac khong cia B, BY va C’C, tuong img
Gia sit AA,, AB, va AC, thoả món cỏc giới hạn theo cỏc bỏt phương trỡnh trong (2.2.80)
và (2.2.81), do đú mụ hỡnh hệ thụng động học đang xột trong điều kiện cú nhiễu xạ bất định là
ồn định, điều khiờn, quan sỏt được
Kớ hiệu LẠC E(,5J)=W„+2E(x,Ax)+ E(Ax, Ax!) =W,, +W,
va W, = E(R'%,) =W,, + 2E(E" Ax,) + E(Ax’ Ax,)=W,, +W, 4o
Cỏc bất đẳng thức điều kiện trong (2.2.80) và (2 2.81) giải nghĩa rằng cỏc cặp ma trận (A,, B ) va C,, A, ) cú khả năng làm mụ hỡnh định ụ ổn định được và kiểm tra được Khi đú, W va W, là nghiệm duy nhất của cỏc phương trỡnh: $
AW + W Al + BBY =0 (2.2.82)
Trang 37AW, +W A, +C'C, =0 (2.2.83)
Chỳ ý tới cỏc biểu thức kớ hiệu sau:
E = E(x, X") = E+ E(x, 4x1 )= E+ AE (2.2.84)
va ` #=ấẼT =ơ+ 2E} + HuH) =ơ + Ao (2.2.85)
cỏc phương trỡnh (2.2.82) và (2.2.83) khi đú trở thành:
(ơ+Aơ)[H*A„(ễ+Aễ) + (ễ+Aễ)4‡H* + H'B„B]Hˆ](œ+Aứ) (2.2.86) (ơ+Aứ)} [H4AJ(P+AP) +(ấ+AP)A„H + HC}C„H](ứ + Aứ)” (2.2.87)
trongđú, Aễ = H(EAW,E" + EW, AE” + AEW E” + Tae + + EAW, AE” + AEAW,E” + AEAW AE”)
A = H'(EAW,E" + EW AE" + AEW E” +AEW AE” +
+ EAW AE" + AEAW E” + AEAW AE”)
cú dạng điều kiện biờn của Petersen-Hollot
Vi (AoH*A,,AoH* JB, B ), ((C™C,HAa,A,H Ac ) cú khả năng làm n định và kiểm
tra mụ hỡnh bất định được, nờn từ (2.2.86) và (2.2.87) ta cú thể suy ra:
HA Lễ + OAH’ + Q(O) + H°BB'H" =0 (2.2.88)
và HA}ấ + PA,H + Q(P) + HC}C,H =0 (2.2.89)
trong đú, H*A,AQ + AQAH* = 2(0) (2.2.90)
va HATAP + APATH = Q(P) (2.2.91)
Từ đú, thấy rằng AO và ÁP là cỏc xỏc định dương Vỡ vậy, cỏc giỏ trị ‘sic hạn đối với
chuẩn của 4ễ và Aấ được tỡm thấy như sau: ,
[49] < < || +2 “Vo, - =Wv Vo +18 Vo, (2.2.92)
và |42| < |2|+z,/s, =dứ/W⁄ +ju/Ja { 0293)
trong đú, v, và V„ biểu diễn trị riờng cực đại và cực tiểu của #7, ỉ_ và @„ là chuẩn tương ứng
của Ứ_ và W., ba
Kết luận: Khỏi niệm "suy rộng hay tổng quỏt hoỏ" núi chung và "nghịch đảo suy rộng" núi riờng là một lĩnh vực đang được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước nghiờn cứu về cả mặt lớ thuyết lẫn khớa cạnh ứng dụng Sở đĩ như vậy là vỡ tụng quỏt hoỏ là phương tiện để đi đến một cỏi đớch "vượt qua" những khuụn khổ hay khuụn mẫu định sẵn nào đú Chỳng tụi hi vọng từ chuyờn đề này sẽ cú nhiều học viờn cao học và nghiờn cứu sinh chọn được cho mỡnh một hướng đi sao cho khụng bị nhỡ nhịp trong hàm nghĩa "khuụn mẫu" trong cụng tỏc và nghiờn cứu khoa học
Trang 3810
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Isreal A R and Greville N E - Generalised inverse: Theory and Applications, John Wiley & Sons Inc., New York, 1974
Rao C R and Mitra S K - Generalised inverse of matrices and its applications, John Wiley & Sons Inc., New York, 1971
Barnett S.- Matrices in control theory, Van Nostrand Reinhold Comp., 1972
Banks S P - Mathematical theory of nonlinear systems, Prentice Hall, New York, America, 1989
Nguyen Ngoc San, The System - Assumed-Model - Reduced-Model Relationship: The optimal projection equations with input-error, Control and Cybernetics 32 (3) (1993)
47-68 ;
Nguyen Ngoc San and N G Nath - Input-error approach to parameter estimation of linear, time-invariant, continuous-time models in state-variable description, Optimization, 30 (1) (1994) 69-87
Nguyen Ngoc San - On an approach to the estimation of the state-variable descrip-tive parameters for linear, continuous models, Optimization 33 (3) (1995) 235-250
Nguyễn Ngọc San - Nhận dạng cỏc hệ động học tuyến tớnh liờn tục, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2006
Nguyễn, Ngọc San (Chủ biờn) - Một số vẫn đề về mụ hỡnh hoỏ và mụ phỏng mạng viễn thụng, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2007
Vũ Ngọc Phàn - Tối ưu húa - cơ sở lớ thuyết và ứng dụng trong cụng nghệ bưu chớnh và
viờn thụng,, NXB Bưu điện, Hà Nội, 2005 ô
SUMMARY
A SUMMARY ON GENERALIZED INVERSE OF MATRIX
In this paper, generalized inverse of matrices is theoretically summaries with different examples and proposes applications The paper consists of two main parts The first one is for important issues on fundamental theories and the extended parts of generalized inverse The second part is for different examples and application proposes by the authors in the systems parameter estimation aspects The authors hope that readers can avail several ideas and methods from this paper for their further studying in system theory
Địa chỉ: Nhận bài ngày 5 thỏng 4 năm 2007
Nguyễn Toàn Thắng, Nguyễn Ngọc San, Học viện Cụng nghệ Bưu chớnh Viễn thụng Nguyễn Thuý Anh
Trường Đại học Bỏch khoa Hà Nội