hương trỡnh điều kiện 4ế+ ế⁄4” + ủW„ủ” = 0, hăm Lagrangian được xđy dựng như sau:
S(A,„. B„,C„, ể. P, Đ,) = tr[ấQR + (AQ+ QA” + BW,B' )PJ (22.23) rong đú, cõc nhđn tử Lagrange 4 >( vă e R(”+””'”“+“+r) khụng được đồng thời bằng rong đú, cõc nhđn tử Lagrange 4 >( vă e R(”+””'”“+“+r) khụng được đồng thời bằng
khụng. Hơn nữa, để đảm bảo cho cõc điều kiện răng buộc cú tõc dụng vă hệ cõc phương trỡnh “ rong dấu vết lă độc lập tuyến tớnh, thỡ ? phải lă một ma trận xõc định dương. Ma trận @ lă đối ứng, xõc định khụng đm. Tiến hănh phđn chia ể vă P như sau: +
9, Oỉ; Q, hụ h; tạ (nxn) (nxm)¿ (nxr)
O=|0, 0, O,|.P=|H hy P„|elứnxn) (mxm) (mxr)
Ọ, O0, Q, hy hy hy] |ữxm ứxm) xr)
Thực hiện lấy đạo hăm riớng của ZŸ(.) theo cõc tham số chưa biết vă cho cõc kết quả tỡm lược bằng khụng, ta cú:
ơ, () =h;Q„ + PO; + PO, =0 (2.224
2%.) = (PB, + P„B, + P„B„)W„ = 0 (2.2.25)
%Q =HŒ, - R,)C,ỉ,;+ (R„- R.)C, Q5 - (Rý - R, + R„- R,)C„ỉ„] =0 — 2226)
3%,Q= ÂP; + Pa„A„+ ICT(R, - Ký, + R„- R„)C„ = 0 (2.2.27)
%,Q =4P¿ + P;Au- IC(R, - Rý)C„= 0 (2.2.28) %,Q =ANPx + PA, - ICạ(R, - R„)C,= 0 (2.2.29) %,Q =ANPx + PA, - ICạ(R, - R„)C,= 0 (2.2.29)
)=ÁP,+P„A +ICẽRC, =0 (2.2.30)
)ụ sg "j1 dự 4t! ,
._#()=ATP; +P,A, - IC;R„C, = 0 (2.2.31)
l %,Q=A h; + PA, + ICCRỤC, =0 (2.232)
s. ()=A/ỉ„ + 9,4 + B„V„B,= 0 (2.233) 2, =A,0; + Q„A + B.V„B„= 0 (2.2.34) — 9Q =A,0, +0,” + B,V„BỊ =0 G235) S%,Q=A0, +O,Aễ +BV„B; =0 ¿ (2.2.36) Ỷ 1 )=AO, *1H +Q,Af +BV 13“ r $ m ”n BỊ =0 (2.2.37) %,Q=A,O, + Q,A + B,V„B, =0. (2.38)
Như đờ thấy trong (2.2.27), (2.2.30) vă (2.232) vỡ 4,, A„ vă 4 cần thiết phải ổn định, nếu Đ = 0, thỡ P„, P;; vă P;, cũng lă cõc ma trận khụng. Vỡ vậy, khụng thể gõn cho ^ giõ trị nếu Đ = 0, thỡ P„, P;; vă P;, cũng lă cõc ma trận khụng. Vỡ vậy, khụng thể gõn cho ^ giõ trị khụng. Cho Đ =7, Đ„,, Đ; vă P;; lă xõc định dương, nớn khả nghịch thụng thường. Tự (2.2.33), (2.2.36) vă (2.2.38), ta nhận thấy rằng Ở,,, ể,; vă ;; cũng khõ nghịch.
. v.nh h› _ Q„ z . o Đu về
Định nghĩa ? = r | VĂ ỉ = „ | cú kớch thước (ntr)xm. Từ (2.2.24), thấy rằng:
B¿ 23
r„ơ† = lạ, với G, = PạpT ° nữ vă đ† - -g 0z ° gam. 3, = G6, e Re re. G}M,T, = QP với M, =-Q”Pˆ” =Q„P„, e R""" lă bõn đơn đương.
Trớn cơ sở đú định nghĩa hai ma trận đối xứng:
Ổ = gozo”,P = PPJP” ec pưmrxumr)
vr<n<mS(n +r),ta cú p(Q) =p(ể„) + p(Q„)= (n + r) vă. Do đú P vă Ở lă xõc
định dương.
Tham chiếu Q”, P` vừa định nghĩa vă (2.2.4) - (2.2.38), bằng một văi phĩp biến đổi số
học đơn giản ta dễ dăng cú được điều phải chứng minh.
Trong trường hợp hiện tại (2.2.22.e) vă (2.2.22.) được núi đến lă cõc phương trỡnh Lyapunov biến dạng. Trong hai phương trỡnh biến dạng nảy, vai trũ của cõc ma trận ỉ vă P cũng giống với vai trũ của cõc Gramian điều khiển vă quan sõt của hệ thống ghĩp hợp trong hệ cõc phương trỡnh Lyapunov chuẩn, do đú hai ma trận Ở vă P được núi đến dưới tớn gọi lă cõc
anagramian (tương tự gramnian) điều khiến vă quan sõt.
Nếu một tập cõc tham số mụ hỡnh biểu diễn trong khụng gian biến trạng thõi được định
nghĩa lă Z: = (4, , C}. thỡ khi tụi thiểu hoõ SƑ(.) theo tập của tham số mụ hỡnh giả định, tồn