Đặc trưng của toán tử khả nghịch dạng suy rộng và ứng dụng giải các bài toán biên tương ứng : Luận án TS. Toán học

DAI HOC QUOC GIÀ HA NOI • • • TRNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIÉN PHAMTHIBACHNGOC OÀC TRJNG CUA TỒN l\i KHA NGHICH DANG SUY RỊNG t f ff VA (JfNG DUNG GIÀI CÀC BÀI TOÀN BIÉN T U O N G (JfNG LUAN AN TIEN SÌ TOAN HOC Chuyén ngành : Gìài tich M a s : 1.01.01 TRil'iGli'-^l riìCNi'jTiij r;-iL[v^^;,i WUJJWI TÀP THÈ H U O N G DAN KHOA HOC • • GS.TSKH IMGUN VÀN MÀU TS N G U Y Ì N M I N H T U À N HA NOI 2001 t M U C LUC hcfì c a m d o a n M u c lue Càc ky hieu dring t r o n g l u a n n MÒ d a u - ChiTo^ng I D a c triTng cùa t o n tii k h nghich p h i suy r o n g 10 1.1 Toàn t u khà nghich phài suy rong 10 1.2 Càc còng thuc noi suy co bàn 24 1.3 Còng thuc bieu dién nghieni cua phuong trình sinh bịi tồn tu khà nghich phài suy rong 34 Chu'o^ng I I M o t so t o n bién doi vó'i pIiLTo'ng t r ì n h sinli bị'i t o n tT3f k h nghich p h i suy r o n g 51 2.1 Bài toàn già tri ban dau 51 2.2 Bài toàn già tri bién ca bàn CI 2.3 Bài (.oàn già tri bién hón hgp thu nhat 73 2.4 Bài tồn già tri bién hón hgp thu hai 84 2.5 Nhan xét ve tồn già tri bién tịng qL 92 Chiro'ng I I I M o t so k é t q u a ve t o n tiV k h ngh:ch pliài suy r o n g b a c cao LOG 3.1 Toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao " 3.2 Dieu kien khà nghich phài suy rong bac cao ciìa tồn t u dai so 100 107 3.3 Dac trung Volterra cua da thuc vai toàn tu khà nghich phài suy rong bac cao Ili 3.4 Nghiéni cua phuong trình sinh beri toàn tu khà nghich phài suy rong bac cao " 117 Két luan 122 C c cịng t r ì n h d cịng bo Hén q u a n d é n l u a n n 123 T i lìeu t h a m k h o 124 Lò'i c m o'n 126 M U C LUC hcfì c a m d o a n M u c lue Càc ky hieu dring t r o n g l u a n n MÒ d a u - ChiTo^ng I D a c triTng cùa t o n tii k h nghich p h i suy r o n g 10 1.1 Toàn t u khà nghich phài suy rong 10 1.2 Càc còng thuc noi suy co bàn 24 1.3 Cịng thuc bieu dién nghieni cua phuong trình sinh bịi tồn tu khà nghich phài suy rong 34 Chu'o^ng I I M o t so t o n bién doi vó'i pIiLTo'ng t r ì n h sinli bò'i t o n tT3f k h nghich p h i suy r o n g 51 2.1 Bài toàn già tri ban dau 51 2.2 Bài toàn già tri bién ca bàn CI 2.3 Bài (.ồn già tri bién hón hgp thu nhat 73 2.4 Bài tồn già tri bién hón hgp thu hai 84 2.5 Nhan xét ve toàn già tri bién tòng quàL 92 Chiro'ng I I I M o t so k é t q u a ve t o n tiV k h ngh:ch pliài suy r o n g b a c cao LOG 3.1 Toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao " 3.2 Dieu kien khà nghich phài suy rong bac cao ciìa tồn t u dai so 100 107 3.3 Dac trung Volterra cua da thuc vai toàn tu khà nghich phài suy rong bac cao Ili 3.4 Nghiéni cua phuong trình sinh beri tồn tu khà nghich phài suy rong bac cao " 117 Két luan 122 C c cịng t r ì n h d còng bo Hén q u a n d é n l u a n n 123 T i lìeu t h a m k h o 124 Lò'i c m o'n 126 CAC KY HIEU DUNG TRONG LUAN AN IN - Tàp hgp càc so t u nhién JN* - Tàp hgp càc so nguyén duong C^ C - Truàng so phue, truò-ng so phuc raò rong ]R - Truàng so thuc X - Khòng gian tuyen tinh trén truò-ng so R hoac C X' - Khịng gian doi ngàu vó-i X, L{X) - Tap hgp càc tồn tu tuyen tmh vó-i niien xàc dinh va mien già tri dugc cliua X doni A, {A E L{X)) - Mien xàc dinh cua toàn tu A Im A, {A e L{X)) - Mien già tri cua toàn tu A Lo{X) := {A G L{X) : doni A = X} kerA = {x e doni A : A{x) = 0} dim coker A = dim {X \ k e r ^ } dim X - So chieu cua khòng gian X rank G - Hang cua ma tran G det G - Dinh thuc cua ma tran G I - Toàn t u dịng nhat R{X) - Tap hgp càc tồn tu khà nghich phài thuòc L{X) TZo - Tap hgp càc nghich phài cua D G R{X) A{X) ~ Tap hgp càc tồn tu khà nghich trai thc L{X) Ci ~ Tap hgp càc nghich trai ciia L G A{X) W{X) - Tap hgp càc toàn tu khà nghich suy rong thuòc L{X) Wy - Tap hgp càc nghich suy rong cua V G W{X) R\{X) - Tap hgp càc tồn tu khà nghich phài suy rong thc L{X) TZy - Tap hgp càc nghich phài suy rong ciia V G R.i{X) n\)^ = {IV e ni - wvw = w, vw^ = w} Tv - Tap hgp càc toàn t u ban dau phài cua V Qy - Tap hgp càc toàn tu ban dau trai cua V Ty^w ' Tap hgp càc toàn tu' ban dau phài cua V co tinh chat c{W) ^VyWc ' T p h g p càc toàn t u ban dau phài cua V co tmh chat Rk{X) - T a p h g p càc toàn t u khà nghich phài suy rong bac k TZy - T a p h g p càc k- nghich phài suy rong cua V G TÓ^^ = {W G n^ : WVW Rk{X) = W} V{X) - T a p h g p càc tồn t u Volterra thc A^{X) - T a p h g p càc toàn t u dai so thuòc C cc{W) L{X) L{X) [a, b] - Khòng gian càc liàm so co dao hàni lién tue dén càp A'^ trén [a, b] r - D u n g tròn d a n vi mat phang p h u c D~^ - Mien hiru han mat phang gió*! han bị'i F D' = c\{D-^ur) H^{r) - Khịng gian càc hàm giói noi va thịa man dieu kien Holder trén F vai s o niU ^i ( < yLi < ) 6ij - Ky hieu Kronecker MÒ^ D A U Ly t h u y é t càc toàn t u khà nghich mot phia khcri d a u tii' càc y tuò'ng cua Micusinski va d u g c Przeworska Rolewicz D xày d u n g lan dau tién vào dau nhirng nani 70, mot càc linh vuc nghién cuu quan d a t ca sa khài quàt dai so cho n h u n g toàn cua Giài tfch nhu: p h u o n g trình vi phàn, p h u o n g trình tich phàn, p h u o n g trình dao hàm riéng, p h u o n g trình sai phàn, càc tồn nói suy, Ngay sau dịi, h u ó n g nghién cuu d thu hut d u g c su chù y cua nhieu nlià toàn hoc N h u n g két qua quan ve ly thuyét toàn t u khà nghich mot phia ciìa Przeworska Rolewicz D ([17]- [22]), Tasclie M ([25]-[26]), Von Ti-otha H ([27]), Nguyén Vàn Mau ([7]- [12]), Binderman Z ([3]- [4]), cho t h y nhiéu toàn riéng ré cua giài tich co the bieu dién 6u'ac d u a i dang mị liình cliung va co the d u g c nghién cuu theo nhirng t h u t toàn co bàn tong quàt Cliang han, càc tồn noi suy Lagrange, nói suy Newton, noi suy Hermite va mot so toàn bién Giài tich co the d u g c xeni nliu càc truò'ng h g p dac biet cua toàn già tri bién vói nhirng dieu kien ban d a u t u o n g thich va càc p l i u a n g trình vi phàn, p h u o n g trình sai phàn, p h u o n g trình dao hàm riéng, co the d u g c xeni nhu p h u o n g trình sinh boi tồn t u khà nghich phài Hon nira, nhiéu két qua cua ly thuyét càc tồn t u khà nghich mot phia d dóng góp mot phàn quan vào viec hồn chinh ly thuyét Noether càc toàn t u tuyén tmh Ta biét rang, nioi toàn t u tuyén t m h tàc dòng mot khòng gian hiru han cliiéu hoac khà nghich hoac khà nghich suy rong n h u n g khòng khà nghich phài t h u c su T u ly thuyét càc toàn t u khà nghich suy rong dòi (xeni Dinh nghia 1.1.3) va d u g c nhiéu nguòi quan t m nghién cuu n h u Anselone P M., Nashed M Z ([1], [24]), Ben-israel A va GreviUe T N E ([2]), Caradus S R ([5]), Nguyén Vàn Mau ([10], [11]), Tuy nhién co r a t nhiéu t m h chat quan ciia n h u n g toàn t u quen biét Giài tich nhu: toàn t u d a o hàm, toàn t u sai phàn, tồn t u vi phàn, khịng d u g c the hien n h u nhirng dac t r u n g ca bàn n h a t ciia toàn tu' khà nghich suy rong Vào n m 1996, Nguyén Vàn Mau va Nguyén Minh T u a n ([13]-[14]) d d u a khài niem ve toàn tu* khà nghich phài suy rong (xem Dinh nghia 1.1.4) va nghién cuu mot so t m h chat cua no Co the nói rang t a p h g p toàn t u khà nghich phài suy rong nani giira tap h g p toàn t u khà nghich phài va t a p h g p toàn t u khà nghich suy rong T a p h g p toàn t u khà nghich phài suy rong chua t t cà càc toàn tu' khà nghich phài va nhiéu toàn tu' quen biét nhu: toàn t u chiéu, toàn tu' vi tich phàn, mot so toàn t u dai so va toàn t u khòng gian hiru han chiéu, Muc tiéu ciia luan àn tiép tue nghién cuu mot so t m h chat mói cua tồn tu' khà nghich phài suy rong V nhu: nghién cuu càu triic khòng gian hach va khòng gian ànli cua V^ Tiép theo nghién cuu mot so tinh chat cua toàn (;u khà nghich phài suy rong bac cao va d u a viec phàn lóp càc tồn t u tun tmh theo dị khà nghich cua no Bc d a u nghién cuu mot so dac t r u n g cua toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao Viec nghién cuu tình chat c{R) va ung dung vào giài mot so toàn bién va tồn noi suy tong qt sinh bịi tồn tu' khà nghich phài vói he tồn t u ban dau co tinh chat d d u g c Przeworska-Rolewicz D va Binderman Z nghién cuu (xem [18], [4]) Sau Nguyén Vàn Mau va P h a m Quang H u n g d m ó rong tinli chat c{R) tliành t m h chat CG{R) va d u a còng t h u c nghiem cua tồn nói suy tong qt sinh bịi tồn tu* khà nghich phài vói he tồn t u ban d a u co tinh chat CQ{R) c{W) va ca{W) (xem [15]) Luan àn tiép tue xày d u n g t m h chat ciia toàn t u ban dau phài cua V, tìx dị d u a mot so dac t r u n g mói cua he toàn t u ban dau phài cua V co tinh chat c{W) va CG{W) Sau dò d u a càcli giài tồn nói suy tong qt sinh bịi V vói he tồn t u ban dau phài co t m h chat c{W) va CG{W) m a mot so toàn noi suy co dién nhu: nói suy Lagrange, nói suy Newton, nói suy Hermite d u g c xem n h u càc t r u ó n g h g p riéng dac biet P h u a n g trình sinh b ò i toàn tu' khà nghich phài D va càc toàn bién tuang ung dang N Q{D)x := J2 ^-^"^ = y ^ y ^ x (o-o-i) n=0 N Q{D)x := J2 D^'AnX ^y^ yeX (0.0.2) n=0 dà dugc Przeworska Rolewicz D nghién cuu (xem [18]) Sau do, [11] Nguyén Vàn Mau dà nghién cuu lóp phuang trình dang M N Q[D]x ~J2Y^ D'^AmnD'^x = y, yeX (0.0.3) 771=0 n = Luan àn dua càch giài phuong trình sinh bịi tồn tu' khà nghich phài suy rong V dang M N Q[V]x -J2Y1 y^^muV^x = y^yeX (0.0.4) Tn=0 71=0 ó day AMN = L Amn ^ Lo{X), Amn^N-n C X ^ , Xm ~ dom V^ Sau dò nghién cuu tmh giài dugc cua mot so tồn bién doi vói phuang trình (0.0.4) thòng qua khà nghich (khà nghjch, khà nghich phài, khà nghich trai, khà nghich suy rong) cua toàn t u giài tuang ung va àp dung vào giài mot so lóp phuang trình nhu phuang trình vi tich phàn hàm, phuang trình tich phàn ky di, Luan àn goni ba chuang Chuang I nghién cuu dac trung cua toàn t u khà nghich phài suy rong Chuang gom muc Muc 1.1 gòm tiét : Trong tiét 1.1.1 dua dinh nghia va mot so tinh chat ciia toàn tu' khà nghich phài suy rong V, toàn tu ban dau phài va trai cua V, xày dung càu triic khòng gian k e r V ^ va d o m ì / ^ ; tiét 1.1.2 xày dung tinh chat c(W) va CG{W) cua toàn t u ban dau phài ciìa V sau dị xày dung mot so dac trung mói cua he tồn tu' ban dau phài cua V co tmh chat c(W) va CG{W) làm ca so de giài mot so toàn bién va tồn nói suy ị càc muc sau Muc 1.2 d u a càch giài toàn noi suy tong q u t sinh bai toàn t u khà nghich phài suy rong V vói he tồn t u ban dau phài co t m h chat c{W) va CG{W) va àp dung toàn d u a d u g c mot so còng t h u c noi suy ca bàn nhu: nói suy Lagrange, noi suy Newton, noi suy Hermite Muc 1.3 nghién cuu càch giài p h u a n g trình sinh bịi tồn t u khà nghich phài suy rong V dang (0.0.4) va ung dung vào giài p h u o n g trình tich p h n ky di, p h u a n g trình vi tich phàn hàm, C h u a n g II d u a càch giài mot so tồn bién doi vói p h u a n g trình dang (0.0.4) C h u a n g goni muc Muc 2.1, nghién cuu toàn già tri ban dau doi vói tồn t u (5[^], t u e tini nghiem cua p h u a n g trình (0.0.4) tlióa man dieu kien ban dau (2.1.1) Muc 2.2, néu càch giài toàn già tri bién ca bàn doi vói tồn t u Q[ì^], t u e tini nghiem cua p h u a n g trình (0.0.4) thịa man dieu kien bién (2.2.1) Muc 2.3, nghién cuu toàn già tri bién hón h g p t h u n h a t doi vói tồn tu' Ql^]? t u e tini nghiem cua p h u a n g trinh (0.0.4) thòa man dieu kien bién (2.3.1) Muc 2.4, nghién cuu tồn già tri bién hón h g p t h u hai doi vói tồn t u Q[K], t u e tini nghiem cua p h u o n g trinh (0.0.4) thòa man dieu kien bién liịn h g p (2.4.1) Cuoi cìmg, muc 2.5 nghién cuu tồn già tri bién tong qt doi vói toàn t u Q[l^], t u e tini nghiem cua p h u a n g trinh (0.0.4) thòa man dieu kien ban dau (2.5.1) Ĩ mói tồn déu d u a dang cua toàn t u giài, dieu kien de toàn tliiét lap diing d n va vi du àp dung vào giài p h u a n g trình vi tich phàn hàm co dieu kien giài tich C h u a n g III trình bay mot so két qua ve toàn tu* khà nghich phài suy rong bac cao C h u a n g goni muc Muc 3.1 trinh bay khài niem toàn t u khà nghich phài suy rong bac k (k G W ) (a day coi toàn t u khà nghich phài va khà nghich phài suy rong toàn t u khà nghich phài suy rong bac va bac 1), tìi" dàn dén viec phàn lóp càc tồn t u tun t m h theo t ù n g dò khà nghich cua no (khà nghich, khà nghich phài, khà nghich phài suy rong, khà nghich suy rong bac k {k > 1), khà nghich suy rong) Dac biét muc chi rang, toàn t u khà nghich suy rong bac cao co nhiéu tinh chat quan t u a n g t u n h u toàn t u khà nghich phài d biét Khài niem toàn t u ban d a u phài va trai cua toàn t u khà nghich phài suy rong bac cao d u g c xày d u n g giong n h u toàn t u ban dau phài va trai ciia toàn t u khà nghich phài suy rong Ben canli mot * so tinh chat quen thuòc n h u còng t h u c Taylor-Gontcharov, còng t h u c Taylor, co mot so t m h chat mói cua tồn t u ban dau phài suy rong bac k (nhu Dinh ly 3.1.5, 3.1.6) Trong muc 3.2, d u a diéu kien càn va du de toàn t u dai so khịng gian hiru han chiéu tồn t u khà nghich phài suy rong bac k, diéu dac biet nioi toàn t u dai so S khà nghich phài suy rong bac k ung vói A:-nghich d o phài W déu co tinh chat SW^-^^ = W^; S^W^S^ theo, muc 3.3 nghién cuu dac t r u n g Volterra cua da t h u c P{V) vói V G Rh{X) - S^ dang (3.3.2) va To dang (3.3.3) nghich suy rong Volterra cua day su m ó rong t r u c tiép diéu kien khà nghich phài cua d a t h u c P{D) D E R{X) Tiép P{V)^ vói d d u g c càc nhà toàn hoc Przeworska Rolewicz D va Von Trotha H (xem [18]) khào sàt nani 1988 doi vói he so hàng, sau dị vào nani 1992 Nguyén Vàn M a u d tong quàt cho t r u n g h g p he so tồn t u dai so dìrng (giao hồn vói D va i?)(xeni [11]) Trong muc 3.4 d u a càch giài mot so p h u a n g trinh vói tồn t u khà nghich phài suy rong bac cao Càc két qua cua luan àn d u g c nghién cuu bang p h u a n g pliàp cua Giài tich - Dai so Càc két qua ca bàn cua luan àn d d u g c dang va nhan dang ó càc tap chi chuyén ngành ([l]-[9]) va d d u g c bào cào tai càc Hòi nghi Khoa hoc va càc Xéniina sau; - Hịi nghi tồn quoc t h u n h a t ve IJng dung Tồn hoc, 12-1999 - Hịi nghi P h u a n g trinh dao hàm riéng va ITng dung, Vien Tồn hoc, 121999 - Hịi nghi Khoa hoc T r u n g Dai hoc Khoa hoc T u nhién Dai hoc Quoc già Ha Noi, 11- 2000 - Xémina Giài tich - Dai so, Khoa Toàn - C a - Tin h9c T r u n g Dai hoc Khoa hoc T u nhién Dai hoc Quoc già Ha Nói - Xémina P h u a n g trình dao hàm riéng, lién t r u n g Dai hoc Bach khoa Dai hoc Khoa hoc T u nhién Ta co 53fc= Sn,k (xem [7]) Vay Sn,k toàn tu dai so vài da thùc dac trung • Ps„Jt) = t.^-t Theo Dinh ly 3.2.1 ta co Sn,k e RiiX) Vi du 3.2.2 Cho X = C^, ma tran A toàn tu tuyén tmh trén Lo(X) co dang sau /O 0 \ ' 0 0 ^ A = 0 0 0 0 \0 0 2/ Khi dó A toàn t u dai so vài da thùc dac trung PAÌÌ) = \A- tl\ = t^it - 2)2 = t^- 4t' + 4t\ Theo càc dinh ly 3.2.1 3.2.2 ta co yl G R3ÌX) E, ị day /O 0 0 5= 0 0 i \0 0 vài 3-nghjch phài suy ròng \ 0 f l J 3.3 D a c trufng V o l t e r r a c d a d a thufc wà'i t o a n tJf k h n g h i c h phài s u y rong bac cao Già su X khóng gian tuyén tinh trén truàng so phùc C Ky hieu V(X) tàp hgp tàt cà càc toàn t u Volterra LoiX), nghia néu A G ViX) thi A G LoiX) vk I — XA khà nghich vài moi A G C Xét càc da thùc sau N Qit,s):=^qifs''-' (3.3.1) 1=0 M Qit):=Qit,l), òdàyqo,qi, ,qN-i eC, Pit):=t'''Qit), qN = l, M,N eN, Dinh ly 3.3.1 ([18] Przeworska-Rolewicz) 111 N > k (3.3.2) Gid su De RiX), R G 7^z,nl/(X) Qit, s), Pit) co dang (3.3.1), (3.3.2) 'Khi dà QiI,R) khd nghich PiD) G RiX), han nùa Ro = R''^''{QiI, R)y' G Rp^o) n ViX) Dinh ly 3.3.2 ([18] Von Trotha) Néu QiI,R) cùa D khà nghich Ro Volterra thi R m.Ót nghich Volterra Sau day két qua ma ròng dòi vài da thùc càc tồn tu khà nghich phài suy róng bàc A; Dinh ly 3.3.3 Cho V G RkiX), W G n''yf^ViX) Qit, s), Qit), Pit) cà dang (3.3.1), (3.3.2) Khi dà Qil, W) khd nghich Néu i\qo\ + \qi\ + - + \qk-i\)il VW) = V''W''V'' = V'' thi PiV) G RxiX) To = W''^'\QiI,W))-' en^y^nViX) (3.3.3) Chùng minh Qil, W) dugc bieu dién duài dang N n Qil, W) = J]g,H/^-' = Hil - XjWY\ 7:^0 j=o N è day Aj, j = , , n nhung nghiem cùa da thuc Q(l, s) = Yl Qi^^~^ ri + -" + rn = N DoW e V{X) nén / - XjW khà nghich vai moi A^ G C Vi vay g ( / , i y ) khà nghich Tir dieu kien (l^ol H + \Qk-ì\){I - VW) = 0, suy hai khà nàng sau: i) Néu / - VW = thi V e R{X) W € Uv Theo Dinh ly 3.3.1 ta co P{V) e R{X) To - W''+^{Q{I, W))~' e Tlp^o) n V{X) ii) Néu |go| H f- k/c-i| ^ 0, thi theo Menh de 3.1.1, ta co N Q{V)W'' N = J^g.y^W/^ - FnF^^(7,:VF^-'' i—k QiV)W''{QiI,W)y' V'W^Q{I,W), i=k = V''W''QiI,W){QiI,W))~' 112 = V'W" Tu dó suy PiV)ToPiV) = = V''QÌV)W^W'^ÌQÌI,W))-'PÌV) V''v''W''QiI,W)W''ÌQiI,W)y'piV) = V''W''PiV) = V''W''V^QiV) = V'^QiV) = PiV), iPiV))'To = {QiV)fv'^W^+''ÌQiI,W)y' = (Q(y))V^iy^(Q(/,]y))-i = V''QiV)QiV)W''ÌQiI,W)y' = V^''QiV)V''W''' = Q{V)V'^+''W'' = V^'QiV) = PiV) Vi vày PiV) G RiiX) Bay già ta sé chùng minh TQ G ViX) That vay, ta co n Q{i, w) - xw""^'' = Hil - tjwy\ ò day tj, j = , , n nhirng nghiem ciia da thuc Q(l, s) - Xs^'^^^ ri + ••• + r,, = M + N n i-xTo = iQii,w)-xw^+'')iQii,w))-' = llii-tjwy^iQii,w)y\ Do I-tjW khà nghich nén I-XTo khà nghich vài m9Ì A G C' Vi vày TQ G ViX) Dinh ly 3.3.4 Cho V G RkiX), W G W^, Qit,s) co dang (3.3.1) Néu QiI,W) khd nghich To G ViX) thi W G ViX), day To xàc dinh (3.3.3) Chùng m.inh Già su 7^ SQ, A G C Dat fi = QiX)s^^'' Ta co / - ^LTO = iQiI, W) - i.iW^+^)Q-\l, W) Dat H = Qil, W) - /.iW^+^^ Xét P^it, So) = Qit, so) - f-is^'^''• PA^so,So) = QiXso,so) - rf+^ = f2l^X%s^-' 2= 113 Khi dó - K ^ + ^ = ^ Tu dó suy F , ( M o ) = (^ - A.o)Q,(^, 0), day Q , (^, „) da thùc xàc dinh r i vày H = i l - Aa4/)Q,(/, W) Theo già thiét / - ^To khà nghich nén / - Al^ khà nghich vài moi A G C , vi vày W e ViX) Dinh ly dugc chùng minh Bay già chùng ta tiep tue mc^ rong càc két qua trèn càc he so QÌ, i = 0, ,N nhùng tồn tu dai so Già su V G RkiX),W toàn tir dai so cho: G 7^^ Cho ^ o , ^ i , , ^ ; _ i , ^ ; v = / nhùng A,Aj = AjAi, VAi = AiV, WAi = AiW (3.3.4) Ky hieu Qit,s):=f2A,fs^-\ (3.3.5) 7= Qit):=Qit,l), p(t):=t'^Q(t), (3.3.6) ò day M, N e N, N > k Dinh ly 3.3.5 Qit, s), Qit), Pit) Cho V G RkiX), W G 7^^ n ViX) cà dang (3.3.5), (3.3.6) vàAo, ,AN , V''W''V'' = y^ càc toàn tu dai so thóa m.àn dieu kién (3.3.4) Khi dó Qil, W) khd nghich Néu I - VW = hoac Ao = Ai = -= Ak-i = thi PiV) G RiiX) Wo := W+''{QiI, W)y' G R.'p^y^ n ViX) (3.3.7) Chùng minh Ky hieu Xo = linlH^'' : i = 0,1, } bao tuyén tinh cùa ho càc tồn t u W'-,i G N Khi dó XQ dai so giao hoàn dai so LoiX) va Qil, W) phàn t u dai so suy ròng vài nghiem dac trung chùa tap hgp f n=ll ^ + J2t^;,^i^,W'; = 1, ,rr,^ è day {t^ ,ti2, • , tir^} càc nghiem dac trung cùa Ai (xem Dinh ly 3.4 [11]) T u Dinh ly 3.3.3 suy mgi tồn tu thc tap hgp déu khà nghich, dó Qil, W) khà nghich 114 i) Néu I-VW = thi V G RiX), W G ^ ^ n F ( X ) Theo Dinh ly 6.1 • [11] , ta co PiV) G RiX) va Wo = 11/^^+^(Q(/, W))~' e 7^p(^) n F(.Y) ii) Néu ^0 = ^1 = • • • = Ak-i = thi N QiV)W'' = ^AiV'w'' = V^W^Y^AiW^-' i.=k = V''W'QiI,W) j^fc Qiv)w''iQii,w)y' = v''w'' Tu dó tuang t u nhu Dinh ly 3.3.3 ta co P ( F ) G RÌÌX) Bay già ta sé chùng minh Wo G ViX) / - XWo = 1- XW''+''iQiI, W)y' = Wo G R.\,^yy That vay, vài moi A G C ta co = iQiI, W) - XW''+'')ÌQiI, W))-' HiW){QiI,W)y\ Cf d a y iv H{W) : - Y^ AiW^'^ - AH/^+^^ z=/c Tir Dinh ly 3.4 [11] suy H{W) mot toàn tu dai so suy rong vai nghiem dac trung thuòc ve tap A= | i=k ) M+N a day {^215^7:25 • • • ^^'ÌVÌ} càc nghiem dac trung ciia Aj, Tir Dinh ly 3.3.3, suy moi tồn tu tap A déu khà nghich, dó H{W) cung khà nghich Vi vay I - XWo khà nghich WQ e V{X) Menh de 3.3.1 Cho V e Rk{X) W e TZ^y D V{X) Khi dó, néu A toàn ti} dai so cho AW = WA thi AW toàn tu VolteiTa Chiing minh Vai moi A G C , / + XAW toàn tu dai so suy rong trén XQ vai càc nghiem dac trung co dang / + XtiW {ò day U, i = 1, ,n \k càc nghiem dac trung cua A), Do W e V(X) nén I + XtiW khà nghich vai moi A e C Suy / + XAW khà nghich vó-i moi A e C Menh de duac chung minh 115 » Dinh ly 3.3.6 Cho V G RkiX),W e R^, Qit.,s),Qit),P(t) xàc dinh (3.3.5), (3.3.6) AO,AI, ,AN càc toàn tu dai so thóa man dieu kién (3.3.4) Khi dó, néu Qil, W) khà nghich, PiV) G i?,i(X) Wo G R'pn.yViX) thi W G ViX), ó day Wo xàc dinh (3.3.7) Chùng m.i.nh Già su SQ, /3 e C, SQ ^ Dat 7= Do A toàn tu dai so AWQ = WQA, WQ G V{X) nen theo Ménh de 3.3.1, AWo toàn t u Volterra tue / - AWQ khà nghich Mat khàc / - ^11^0 = {Q{I.W) Suy - AW^^^^){Q{I^W))~\ / = (I - AWo)-'iQiI,W)y\QiI, = iQiI,W) W) - y l i y ^ + ^ ) - AW''+'')iI Vi vay toàn t u Q ( / , W) - AW"+''' - khà nghich Dat HAÌÌ, SO) ~ Qit, SQ) - As^'+'', H^it) := H^it, 1), ta co = QiPso,so) - As^'+'' HAÌPSO,SO) AWo)-'iQiI,W))~\ = s^iQiP) - As'o') = Vi vay H^it^ s^) ~ {t — Pso)QA{t^ 5o), a day QAÌÌ, SQ) da thuc xàc dinh Tu dó suy HI, Tồn t u HI, W) W) = i l - I3W)QAÌI, W) = Qil, W) - AW M+N khà nghich, dó / - PW khà nghjch Vày W G ViX) Menh d e 3.3.2 Cho V G RkiX),W vài W Khi dó, néu AW G ViX) e Ry A toàn tu dai so giao hoàn A khd nghich thi W G ViX) Chùng minh Do A toàn tu dai so AW = WA nén AW tồn tu dai so suy rịng trén Xo vài càc nghiem dac trung co dang tiW ( day ti, i = l, ,N càc nghiem dac trung cùa A) Ta co W = A'^AW) 116 ò day (AIK)^"^ = A'^iAW); AW G ViX) A'^ toàn tu dai so Tu Ménh de 3.3.1 suy *WeViX) Vi du 3.3.1 Cho V G RkiX), W' G 7^^ n ViX) Sao cho v'^w'^v"' = y'^ Dat V = (