Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VASIA VAYINGTUVUE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI HẠCH LOGARITHMIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VASIA VAYINGTUVUE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VỚI HẠCH LOGARITHMIC Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Ngân Thái Nguyên - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn Vasia VAYINGTUVUE i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngân Cơ tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô! Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ nhiệm khoa Tốn thầy tổ Bộ mơn Giải tích - Tốn ứng dụng tạo điều kiện cho làm luận văn, quan tâm đôn đốc tơi q trình làm luận văn Thái Ngun, tháng năm 2020 Vasia VAYINGTUVUE ii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 1.1.1 1.2 Khái niệm hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 1.1.2 Các định lý so sánh 1.1.3 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính quy, hồn tồn quy, tựa quy Phương trình tích phân 15 1.2.1 Khái niệm phương trình tích phân 15 1.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị 16 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarthmic 2.1 18 Phương pháp đa thức trực giao 18 Π - hạch phương pháp đa thức trực giao 2.1.2 Không gian hàm 2.1.3 Phương trình đặc trưng 2.1.4 Phương trình đầy đủ 2.2 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.1 Đa thức Chebyshev 2.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.3 Đưa phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 2.2.4 Trường hợp riêng 18 2.1.1 iii 21 21 25 29 29 30 32 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iv Mở đầu Lý chọn luận văn Phương trình tích phân xuất cách tự nhiên nghiên cứu toán biên vật lí tốn Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị xây dựng phát triển mạnh mẽ Thế kỷ 19 Việc tìm nghiệm phương trình tích phân đưa hướng nghiên cứu đưa giá trị kỳ dị hạch vào phương trình tích phân, vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, Noether, Muskhelishvili, Gakhov, B.N Mandal, A Chakrabarti, Với mong muốn nghiên cứu cách giải phương trình tích phân kỳ dị, lựa chọn đề tài “Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic" làm luận văn thạc sĩ Mục đích luận văn Nghiên cứu cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao để biến đổi phương trình tích phân kỳ dị hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Nội dung luận văn Tổng quan số kết hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, phương pháp đa thức trực giao Nghiên cứu ứng dụng hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính giải phương trình tích phân với hạch logarithmic Luận văn phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, có chương nội dung - Chương 1: Trình bày tổng quan hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính quy, hồn tồn quy, tựa quy, khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị - Chương 2: Trong chương 2, trình bày phương pháp đa thức trực giao, phương pháp hữu hiệu để giải phương trình tích phân kỳ dị Trình bày cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao đưa phương trình tích phân hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Mục 2.2.4 trình bày trường hợp riêng để nhận nghiệm tường minh phương trình tích phân kỳ dị xét Mục 2.2.3 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Trong chương trình bày kết hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, bao gồm định lý tồn tại, tính nghiệm sở lý luận việc tìm nghiệm phương pháp xấp xỉ liên tiếp, khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị Nội dung chủ yếu chương tham khảo từ tài liệu [2, 4, 6] 1.1.1 Khái niệm hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Xét hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính sau đây: ∞ ci,k xk + bi (i = 1, 2, ), xi = (1.1) k=1 xi số cần xác định, ci,k bi số biết Định nghĩa 1.1 Tập hợp số x1 , x2 , gọi nghiệm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính (1.1) thay số vào vế phải (1.1) ta có chuỗi hội tụ tất đẳng thức thỏa mãn 1.1.2 Các định lý so sánh Định nghĩa 1.2 Hệ ∞ Ci,k Xk + Bi , Xi = (i = 1, 2, ), (1.2) k=1 gọi hệ trội hệ phương trình (1.1)  |c | C , (i = 1, 2, ; k = 1, 2, ), i,k i,k |b | B , (i = 1, 2, ) i i (1.3) Định lý 1.1 (Về tồn nghiệm) Nếu hệ trội (1.2) có nghiệm khơng âm Xi ≥ hệ phương trình (1.1) có nghiệm x∗i , nghiệm tìm phương pháp xấp xỉ liên tiếp: ∞ (n+1) xi (n) = ci,k xk + bi (i = 1, 2, ; n = 0, 1, 2, ), k=1 (0) (n) xi = 0, lim xi n→+∞ = x∗i , |x∗i | Xi Chứng minh Trước hết áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp hệ (0) (n) (1.2), với xi = 0, Xi xác định theo công thức lặp: ∞ (n+1) Xi (n) Ci,k Xk + Bi (i = 1, 2, ) = (1.4) k=1 (1) Ta có Xi (0) (n) = Bi ≥ = Xi Nếu Xi ∞ (n+1) Xi từ (1.4) ta có: ∞ (n) Ci,k Xk = (n−1) + Bi ≥ k=1 Ci,k Xk (n) + Bi = Xi k=1 (n+1) (n) ≥ Xi (n) Xi Giả sử Xi Như vậy, với n, i ta có Xi (0) Mặt khác, Xi =0 thỏa mãn hệ (1.2), ta có ∞ (n+1) Xi (n−1) ≥ Xi ∞ (n) Ci,k Xk = Xi , từ (1.4) Xi + Bi k=1 Ci,k Xk + Bi = Xi , k=1 2.1.4 Phương trình đầy đủ Trong phần xét phương trình (2.5) Để thuận tiện ta viết lại phương trình (2.5) b [Π(x, y) + K(x, y)] u(y)dy = f (x), a < x < b, a sau Trong (2.5) thay u(y) = ρ(y)v(y) biến đổi phương trình dạng (Πv)(x) = f (x) − h(x), (2.19) b (Πv) (x) := ρ(y)Π(x, y)v(y)dy, (2.20) a b h(x) = K[v] := K(x, y)ρ(y)v(y)dy (2.21) a Hạch K(x, y) thường hàm khả vi liên tục thuộc L2ρ,ρ ((a, b) × (a, b)) Do K[v] tốn tử hồn toàn liên tục L2ρ (a, b) theo (2.18), ta có: v(x) = Π−1 [f ](x) − Π−1 [h](x) = Π−1 [f ](x) − Π−1 K[v](x) (2.22) Vì Π−1 tốn tử bị chặn, cịn K tốn tử compact, nên Π−1 K tốn tử compact (hồn tồn liên tục) Do phương trình (2.22) phương trình Freholm (loại hai) Dưới biến đổi phương trình (2.19) hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính thuận tiện cho kết qủa số Định lý 2.2 Giả sử v ∈ L2ρ (a, b), ξm - hệ số Fourier khai triển hàm v vào chuỗi (2.14), hàm h(x) xác định theo cơng thức (2.21) Khi ta có cơng thức: ∞ b (h, πm )ρ = ρ(x)h(x)πm (x)dx = a ξk Kmj , (2.23) j=0 b b Kmj = K(x, y)ρ(x)ρ(y)πm (x)πj (y)dxdy a a 25 (2.24) Chứng minh Dễ thấy h(x) ∈ L2ρ (a, b) Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: b |h(x)| = K(x, y)ρ(y)v(y)dy a b b ρ(x) |K(x, y)|2 dy a ρ(y) |v(y)|2 dy a Suy h ρ ρ,ρ K v ρ Đưa cơng thức (2.14) vào vế trái (2.21) ta có: b h(x) = a b = K(x, y)ρ(y)v(y)dy  ∞ K(x, y)ρ(y)  a  ξj πj (y)dy  (2.25) j=0 ∞ b = ξj ρ(y)K(x, y)πj (y)dy a j=0 Nhân vào hai vế (2.25) với ρ(x)πm (x) ta được: ∞ h(x)ρ(x)πm (x) = b ρ(x)ρ(y)K(x, y)πj (y)πm (x)dy ξj a j=0 Vì chuỗi (2.25) hội tụ L2ρ (a, b) nên lấy tích phân theo biến x lấy tích vơ hướng (, )ρ hai vế (2.25) ta có (2.23) (2.24): ∞ b h(x)ρ(x)πm (x)dx = a b b ξj j=0 ρ(x)ρ(y)K(x, y)πj (y)πm (x)dxdy, a a hay ∞ (h, πm )ρ = ξj Kmj , j=0 b b Kmj = K(x, y)ρ(x)ρ(y)πm (x)πj (y)dxdy a a 26 Định lý 2.3 Phương trình tích phân (2.19) tương đương với hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính sau đây:  ∞ K  ξm + ξj σmj = σ1m (f, πm )ρ , m (2.26) j=0  m = 0, 1, 2, 3, Chứng minh Xét phương trình (2.19) dạng: b b ρ(y)Π(x, y)v(y)dy = f (x) − ρ(y)K(x, y)v(y)dy a a ∞ ξj πj (y) vào hai vế phương trình Ta đưa v(y) = j=0  b  b ξj πj (y) dy = f (x)− ρ(y)Π(x, y)  a  ∞ ρ(y)K(x, y)  a j=0 ∞  ξj πj (y) dy j=0 Thay đổi thứ tự tích phân chuỗi đẳng thức đây, ta được: ∞ ∞ b ρ(y)Π(x, y)πj (y)dy = f (x) − ξj a j=0 b ξj j=0 ρ(y)K(x, y)πj (y)dy a Sử dụng biểu thức phổ b ρ(y)Π(x, y)πj (y)dy = σj πj (x) a biến đổi phương trình dạng: ∞ ∞ ξj σj πj (x) + j=0 b ξj j=0 ρ(y)K(x, y)πj (y)dy = f (x) a Nhân hai vế đẳng thức với ρ(x)πm (x), sau lấy tích phân hai vế đẳng thức theo x (a,b) ta được: ∞ b ξj σj ρ(x)πj (x)πm (x)dx+ a j=0 ∞ + b b ξj j=0 b ρ(x)ρ(y)K(x, y)πj (x)πm (x)dxdy = a a ρ(x)πm (x)f (x)dx a 27 Sử dụng tính trực giao b ρ(x)πj (x)πm (x)dx = δjm , a ta có: ∞ ∞ ξj σj δjm + j=0 b b ρ(x)ρ(y)K(x, y)πj (x)πm (x)dxdy = ξj a a j=0 b = ρ(x)πm (x)f (x)dx a Vì ∞ b ξj σj δjm = ξm σm , ρ(x)πm (x)f (x)dx, (f, πm )ρ = a j=0 nên đẳng thức có dạng: ∞ ξm σm + ξj Kmj = (f, πm )ρ j=0 Như vậy, ta có hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính {ξm } sau đây:   ξm + ∞ ξj j=0 Kmj σm = σm (f, πm )ρ ,  m = 0, 1, 2, b b ρ(x)ρ(y)K(x, y)πj (x)πm (x)dxdy Kmj = a a Bằng cách biến đổi tương tự dễ dàng đưa hệ (2.26) phương trình tích phân (2.19) Định lý chứng minh Ta có kết sau: Định lý 2.4 Phương trình tích phân (2.19) có nghiệm v ∈ L2ρ (a, b) hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.26) ξm = (v, πm )ρ có nghiệm {ξm } ∈ l2 Định lý 2.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (f, πm )ρ σm ∞ ∈ l2 , m=0 Kmm < ∞, σm ∞ ∞ m=0 j=0 Kmj σm < ∞ (2.27) 28 Khi hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.26) có nghiệm {ξm } ∈ l2 2.2 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.1 Đa thức Chebyshev Đa thức Chebyshev loại biểu diễn dạng sau đây: [n] n (−1)m (n − m − 1)! (2x)n−2m , Tn (x) = m=0 m!(n − 2m)! (2.28) x ∈ [−1, 1] Nhận xét: Đa thức Chebyshev loại một, đa thức Chebyshev bậc thấp biểu diễn dạng Tn (x) = cos(n arccos x), (|x| 1), T0 (x) = 1, T1 (x) = x Mệnh đề 2.1 (Tính trực giao) Cho Tn (x) đa thức Chebyshev loại Khi ta có hệ thức sau: Tm (x)Tn (x) √ −1 dx = λm δmn − x2    π,   = π2 ,    0, m = n = 0, m = n = 0, m = n,  π, λm = π, m = 0, m = 0, δmn  1, = 0, m = n, m = n Chứng minh Xét Tn (x) = cos(n arccos x), (|x| Đổi biến đặt x = cosϕ, (|x| 1, ϕ 1) π), ta có: Tn (x) = Tn (cos ϕ) = cos(n arccos(cos ϕ)) = cos(nϕ), dx = −sin ϕdϕ, x ∈ [−1, 1] ⇒ ϕ ∈ [0, π] , 29 (2.29) dx = Tm (x)Tn (x) √ − x2 −1 cos(mϕ) cos(nϕ) π (−sinϕdϕ) sinϕ π = cos(mϕ) cos(nϕ)dϕ * Nếu m = n = Tm (x)Tn (x) √ −1 dx = π − x2 * Nếu m = n = Tm (x)Tn (x) √ −1 dx π = − x2 * Nếu m = n π 1 dx = Tm (x)Tn (x) √ − x2 −1 [cos(mϕ + nϕ) + cos(mϕ − nϕ)] dϕ = 0 Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.2 (Biểu thức phổ) Cho Tn (x) đa thức Chebyshev loại Khi ta có hệ thức sau: 1 π ln −1 Tk (y)dy = σk Tk (x), |x − y| − y (k = 0, 1, 2, ), (2.30)  ln 2, σk = 1, k 2.2.2 k = 0, k = 1, 2, Phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic Xét phương trình tích phân kỳ dị nhân logarithmic sau thường gặp nhiều toán tiếp xúc lý thuyết đàn hồi: π ln −1 ϕ(y)dy + |x − y| K(x, y)ϕ(y)dy = f (x), −1 < x < −1 (2.31) K(x, y) ∈ C ([−1, 1] × [−1, 1]) , f (x) ∈ L2σ (−1, 1) 30 Ký hiệu M2ρ (−1, 1) lớp hàm có dạng: u(x) ϕ(x) = √ , − x2 u(x) ∈ L2ρ (−1, 1) Trong không gian L2ρ (−1, 1) ta xét: ln |x − y| L[u](x) = v(x) = −1 u(y)dy − y2 (2.32) Định lý 2.6 Toán tử L[u](x) bị chặn không gian L2ρ (−1, 1) Chứng minh Ta có: u(y)dy − y2 ln |x − y| v(x) = −1 Để chứng minh toán tử L[u](x) = v(x) bị chặn không gian L2ρ (−1, 1) ta phải chứng minh chuẩn |v(x)|2 dx √ − x2 v Lρ = −1 1/2 < +∞ Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: ln |x − y| − y2 v (x) = −1 u(y)dy − y2 |ln |x − y||2 dy ( − y2 −1 ≤C ( −1 |u(y)|2 dy ( − y2 −1  |u(y)|2 Do dy − y2 −1 1 ≤ |ln |x − y|| dy , − y2  1/2 < +∞ Từ suy |v(x)|2 √ dx ≤ C − x2 −1 1 |ln |x − y||2 dy = − y2 −1 |ln |x − y||2 dxdy < +∞ −1 ρ(x)ρ(y) dx √ − x2 −1 =C −1 Điều chứng tỏ tốn tử L[u](x) = v(x) bị chặn không gian L2ρ (−1, 1) 31 2.2.3 Đưa phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Bài tốn Biến đổi phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic (2.31) hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Lời giải Ta có ẩn hàm ϕ(y) tìm lớp M2σ (−1, 1), nghĩa có dạng: u(y) = − y2 ϕ(y) = 1 − y2 +∞ u(y) ∈ L2σ (−1, 1), (2.33) An Tm (y), n=0 An hệ số cần xác định Thay (2.33) vào vế trái (2.31), ta có: π 1 ln |x − y| −1 1 − y2 + 1 − y2 K(x, y) −1 +∞ An Tn (y) dy n=0 +∞ An Tn (y) dy = f (x) n=0 Thay đổi thứ tự dấu tích phân chuỗi phương trình ta có: ∞ π An n=0 ∞ ln −1 An + Tn (y) dy |x − y| − y dy = f (x) − y2 K(x, y)Tn (y) −1 n=0 Sử dụng hệ thức (2.30) vào vế trái phương trình ta có: ∞ ∞ An σn Tn (x) + n=0 An K(x, y)Tn (y) −1 n=0 Bây giờ, ta nhân hai vế (2.34) với √Tk (x) 1−x2 dy = f (x) − y2 ta có: ∞ Tk (x) An σn Tn (x) √ − x2 n=0 ∞ Tk (x) + An √ − x2 n=0 K(x, y)Tn (y) −1 32 dy Tk (x).f (x) = √ − x2 − y2 (2.34) Lấy tích phân theo x hai vế phương trình với cận x ∈ [−1, 1], ta được: ∞ Tn (x)Tk (x) √ An σn −1 n=0 ∞ + T (x) √k − x2 An −1 n=0 dx − x2 dy − y2 K(x, y)Tn (y) −1 dx = Tk (x).f (x) √ dx − x2 −1 Sử dụng hệ thức (2.29) vào vế trái phương trình trên, ta có: ∞ ∞ An σn λn δnk + n=0 An −1 n=0 T (x) √k − x2 K(x, y)Tn (y) −1 dy − y2 dx = Tk (x).f (x) √ dx, − x2 −1 −1 < x < (2.35) Do có  π, λn = π, n = 0, n = 0, δnk  1, = 0, n = k, n = k Suy λn δnk    π,   = π2 ,    0, n = k = n = k = 0, n = k Từ số hạng phương trình (2.35) có dạng: ∞ An σn λn δnk = A0 σ0 λ0 δ0k + A1 σ1 λ1 δ1k + A2 σ2 λ2 δ2k + n=0 π = (πA0 σ0 + + ) + + A1 σ1 + + + π + + + A2 σ2 + + +  πA σ , k = 0, 0 =  π A σ , k = 1, 2, k k Vậy ∞ An σn λn δnk = λk Ak σk , n=0  π, λk = π, 33 k = 0, k = Khi phương trình (2.35) có dạng: ∞ λk Ak σk + T (x)dx √k − x2 −1 An n=0 Tn (y)dy K(x, y) = − y2 −1 Tk (x)dx f (x) √ − x2 −1 Chia hai vế phương trình cho λk σk ta có: ∞ Ak + An n=0 = λk σk 1 T (x)dx √k − x2 −1 λ k σk K(x, y) −1 Tn (y)dy = − y2 Tk (x)dx f (x) √ − x2 −1 Đặt Ckn = λ k σk Fk = λk σk T (x)dx √k − x2 −1 K(x, y) −1 f (x)Tk (x) √ −1 Tn (y)dy , − y2 dx , − x2 viết lại phương trình dạng: ∞ Ak + An Ckn = Fk , (k = 0, 1, 2, ) (2.36) n=0 Kết quả, ta hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính (2.36) với ẩn A0 , A1 , A2 , , Ak , (k = 0, 1, 2, ) khảo sát Chương 2.2.4 Trường hợp riêng Xét phương trình tích phân kỳ dị (2.31) cho trường hợp riêng sau đây: K(x, y) = α + βxy, f (x) = γ + λx, (α, β, γ, λ = const) (2.37) Khi ta có: Fk = λ γ δ0k + δ1k , σk σk Ckn = πα πβ δ0k δ0n + δ1k δ1n , 1σk 2σk (2.38) δkn kí hiệu Kronecker A0 = γ , ln + πσ A1 = 2λ , An = (n = 2, 3, ) 2+β 34 (2.39) ẩn hàm cho công thức: ϕ(x) = √ 1 − x2 2λ.x γ + ln + πα + β −1 < x < , (2.40) Chứng minh Trước hết chứng minh (2.38) a) Theo kết Bài toán Mục 2.2.3 ta có: Fk = λk σk f (x)Tk (x) √ −1 dx − x2 Thay biểu thức cụ thể f (x) vào biểu thức ta được: dx − x2 −1 1 λ T0 (x)Tk (x)dx T1 (x)Tk (x)dx √ √ + 2 λ σ − x − x k k −1 −1 Fk = λk σk γ = λk σk (γ + λx) Tk (x) √ (2.41) Theo Mệnh đề 2.1 ta có: T0 (x)Tk (x)dx √ = λ0 δ0k = πδ0k − x2 −1 T1 (x)Tk (x)dx π √ = λ1 δ1k = δ1k − x2 −1 Đưa kết vào vế phải (2.41) ta được: Fk = γ λ γ 2λ π λ0 δ0k + λ1 δ1k ⇔ Fk = πδ0k + δ1k λk σk λk σk πσk πσk + σλk δ1k , cụ thể F0 = lnγ2 , F1 = λ, b) Khi áp dụng kết Bài tốn Mục 2.2.3 ta có: Như vậy, Fk = γ λk δ0k Ckn 1 = λ k σk T (x)dx √k − x2 −1 K(x, y) −1 Tn (y)dy − y2 Ta đưa biểu thức cụ thể K(x, y) vào biểu thức được: Ckn = λ k σk T (x)dx √k − x2 −1 (α + βxy) −1 Tn (y)dy − y2 Xét tích phân sau: In = (α + βxy) −1 Tn (y)dy − y2 Ta có: T0 (y)Tn (y)dy In = α + βx − y2 −1 π = απδ0n + βx δ1n 35 T1 (y)Tn (y)dy − y2 −1 Thay biểu thức In vào vế phải Ckn ta có: Ckn 1 T (x)dx π √k = απδ0n + βx δ1n λk σk −1 − x2 απδ0n T0 (x)Tk (x)dx β π2 δ1n T1 (x)Tk (x)dx √ √ = + λk σk −1 λk σk −1 − x2 − x2 π β δ1n π β π2 δ1n π απδ0n απδ0n πδ0k + δ1k = πδ0k + π δ1k = λk σk λk σk πσk σ k Như ta có: απδ0n δ0k βπδ1n δ1k + σk 2σk c) Bây ta chứng minh (2.39) (2.40) Xét hệ phương trình (2.36): Ckn = ∞ Ak + An Ckn = Fk , (k = 0, 1, 2, ) n=0 với hệ số: απδ0n δ0k βπδ1n δ1k + , σk 2σk Ckn = Fk = γ λ δ0k + δ1k σk σk Khi k = hệ phương trình (2.36) có dạng: ∞ A0 + An C0n = F0 , với C0n = n=0 απδ0n , ln F0 = γ ln Phương trình trở thành: ∞ A0 + An n=0 απ απ απδ0n γ γ = ⇔ A0 + A0 + A1 + + + = ln ln ln ln ln απ γ γ ⇔ A0 + ⇔ A0 = = ln ln απ + ln Khi k = phương trình (2.36) có dạng: ∞ A0 + An C1n = F1 , với C1n = n=0 βδ1n , 2σk F1 = λ phương trình trở thành: ∞ A1 + An n=0 βδ1n β.0 β = λ ⇔ A1 + A0 + A1 + + = λ 2σ1 2σ1 2σ1 ⇔ A1 + 36 β 2σ1 = λ ⇔ A1 = 2λ 2+β Cịn k = ta có: ∞ A2 + An C2n = F2 , với C2n = 0, F2 = n=0 hệ phương trình (2.36) có dạng: A2 = 0, A3 = A4 = = An = = 0, ∀n = 2, 3, Vậy ẩn hàm ϕ(x) trường hợp cụ thể có dạng: ϕ(x) = √ − x2 =√ − x2 ∞ (A0 T0 (x) + A1 T1 (x)) − x n=0 γ 2λ.x + , −1 < x < ln + πα + β An Tn (x) = √ Từ (2.40) ta thấy ϕ(x) ∈ M2ρ (−1, 1) nghiệm phương trình (2.31) với hạch vế phải có dạng (2.37) 37 Kết luận Luận văn trình bày cách giải phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic cách sử dụng phương pháp đa thức trực giao để biến đổi phương trình tích phân kỳ dị hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính Các kết luận văn gồm có: • Đã trình bày tổng quan hệ vơ hạn đại số tuyến tính, hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính quy, hồn tồn quy, tựa quy, khái niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị • Đã trình bày phương pháp đa thức trực giao để tìm nghiệm gần phương trình tích phân loại một, trình bày phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic sử dụng phương pháp đa thức trực giao để đưa phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarlithmic hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính (Mục 2.2.3) Xét trường hợp riêng phương trình với hạch vế phải cụ thể để nhận nghiệm (Mục 2.2.4) 38 Tài liệu tham khảo [1] Estrada R , Kanwal R P (2000), "Integral Equations with Logarithmic Kernels In: Singular Integral Equations", Birkhăauser, Boston, MA, 295-337 [2] Kantorovich L V., Krylov V I (1964), Approximate Methods in Higher Analysis, New York: Interscience Pub [3] Mandal B N and Chakrabarti A (2003), "Solution of Logarithmic singular integral equation", Appl Math Lett., 16, 369-373 [4] Mandal B N and Chakrabarti A (2011), "Applied singular integral equations", Science Publishers [5] Popov G Ia (1969), "On the method of orthogonal polynomials in contact problems of elasticity", PMM, Volum 33 N 3, pp 518-531 [6] Popov G Ia (1982), Contact Problems for a Linearly Deformed Base, Vishcha Shokola, Kiev 39 ... nhân, phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành hai loại: Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị yếu Phương trình tích phân kỳ dị yếu phương trình tích phân với nhân... trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.1 Đa thức Chebyshev 2.2.2 Phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic 2.2.3 Đưa phương trình tích phân kỳ dị với hạch logarithmic. .. niệm phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị • Đã trình bày phương pháp đa thức trực giao để tìm nghiệm gần phương trình tích phân loại một, trình bày phương trình tích phân kỳ dị với