Luận văn phương trình tích phân

ì ì P P Pì P ì ì P P Pì P số ữớ ữợ ổ r tr tr tr tỹ ổ trũ ợ t ổ ụ r sỹ ú ù tỹ ữủ ỡ tổ t tr tr ữủ ró ỗ ố t ữớ t P ử ử tự ởt số tự ỡ ổ Lp ởt số tự ỡ ổ rt ổ ữợ ổ rt ổ L2 tỷ ố ự t tử P t t tử tỷ ủ tỷ ố ự tỷ t tử tỷ ố ự t tử Pữỡ tr t tỷ t P ữỡ tr t ữỡ tr t Pữỡ tr t r Pữỡ tr trr Pữỡ tr t ý Pữỡ tr t ý ởt Pữỡ tr t ý Pữỡ tr t ợ ố ự Pữỡ tr t ợ s ỵ r ỵ r Pữỡ t t t ỡ t ỵ ỳ ữỡ tr tr õ ữ t ữợ t ỳ ữỡ tr ữỡ tr t Pữỡ tr t ởt tr ỳ ổ t ỳ ữủ ũ tr t ỵ tt t ự Pữỡ tr t ữỡ tr r ởt ữỡ tr õ b f (x) = K (x, y) (y) dy, a < x < b, a tr õ f (x)K (x, y) ỳ trữợ (x) ữ t õ t tr t t ữỡ tr t ữủ ữỡ tr r b (x) = K (x, y) (y) dy + f (x) , a < x < b a ữợ t ỳ t ữỡ tr ữỡ tr trr ởt tữỡ ự õ x f (x) = K (x, y) (y) dy, a < x < b a x (x) = K (x, y) (y) dy + f (x) , a a < x < b Pữỡ tr t ởt tr ỳ ổ t ỳ t ữủ sỷ t ỵ tt t ựs t õ ỏ ú t ự trữớ r ữỡ tr tổ ữủ t ổ ợ t ữỡ tr t trỏ õ ố ợ ổ t ữủ t ổ ợ t tổ t ữỡ tr t rt q trồ ợ t q trồ õ ũ ợ sỹ ữợ ú ù t t t ổ tr ổ t tổ t Pữỡ tr t tốt tổ ố ự ởt số ỵ tt ỡ ữỡ tr t t t ỗ ữỡ ữỡ r ởt số tự ỡ ổ Lp ổ rt t tỷ tr ổ rt ữ t tỷ ủ t tỷ ố ự t tỷ t tử t tỷ ố ự t tử ỳ tự tt ữỡ ữỡ r ữỡ ú tổ tr ởt số tự ỡ ữỡ tr t ữ t tỷ t ữỡ tr t ữỡ tr t ợ ố ự ữỡ tr t ợ s ữỡ tr t ợ t ý ỵ r ữỡ t ữủ t ữợ sỹ ữợ t t ữủ tọ ỏ t ỡ s s tợ ổ ữớ t t ữợ ú ù tổ tr sốt q tr ự t r q tr tỹ tổ ữủ rt sỹ ú ù t ổ tr rữớ ữ ổ ữủ tọ ỏ t ỡ s s tợ t ổ ổ t ỡ t ổ ú ù tổ tr sốt q tr t r t rữớ ố ũ ự ỏ s ổ tr ọ ỳ t sõt tổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ t ổ ữủ t ỡ ữỡ tự ởt số tự ỡ ổ Lp (X, M, à) ởt ổ tr õ ổ ởt số t ởt tr [1; +) ởt số tỹ tt số õ ụ tứ t tr ổ Lp(X, à) ữ Lp (X, à) = {f : X R : |f |p dà < } x t ữủ t s tr s t t t Lp(X) t Lp(X, à) ợ p = ỵ Rk L (X) = {f : X R|ess sup|f (x)| < +} tr õ ess sup |f (x)| = inf {M > 0|à{x X||f (x)| > M } = 0} xX [2] , [3] ủ Lp(X, à) ợ t tổ tữớ tr số ợ f (x) Lp (X,à) |f |p dà = p ợ ộ f Lp (X, à) X ởt ổ t t ự t r ợ f, g Lp(X, à), ợ k K, t õ |f + g| 2max{|f |, |g|} ứ õ s r |f + g|p 2p max{|f |p , |g|p 2p (|f |p + |g|p ) f + g Lp(X, à). r kf Lp(X, à) ữ Lp(X, à) õ ố ợ t tổ tữớ tr số õ ởt ổ t t t r |f |pdà = f = ỡ tr X tự t ữủ tọ tự t ữủ s r tứ t tự s ữủ ự ỵ [2] , [3] Lp(X, à) ổ ự sỷ {fn} ởt tr Lp(X, à) tự fn fm = lim m,n õ ợ ộ m, n nk k N tỗ t ởt số ||fm fn || < t nk N s ợ 2k ợ n nk ổ t t tờ qt t õ t tt n1 < n2 < < nk < õ ||fm fn || < 2k ||fn+1 fn || < ợ s N t 2k s |fnk+1 (x) fnk (x)| Lp (X, à) gs (x) = |fn1 (x)| + k=1 ợ b a f ( ) d = ( a) (b ) Pữỡ tr t ý t ữỡ tr t ý s [10] b (t) (t) (t) + i (t) d = f (t), t (a, b) , t a tr õ tt r (t) (t) = 1, t (a, b) t r tr ổ q trồ q trồ ổ ú t ổ õ t õ (t) (t) sỷ f (t) G (t) = (t)(t) (t)+(t) tọ st (a, b) ỵ L = (a, b) , L tứ a b t G (a) = ei , G (b) = ei(+) , tr õ ỵ sỹ t rG(t) tr L tr arg t út a ữủ s < 0, < < 2, t a ổ t a t i = + i ln2 , 2i ln e = 2i ln ei(+) = + = i ln2 , tr õ số ữủ t ổ tự + , + + 1, = t b, = ổ t b, tr õ ỵ [x] số tỹ x ỵ G (t) , t [a; b] , 1, t (; a) (b; +) G1 (t) = õ i G1 (a 0) = 1, G1 (a + 0) = G (a) = e , G1 (b 0) = G (b) = ei(+) , G1 (b + 0) = 1, G1 (a0) = ei , G1 (b0) = ei(+) G1 (a+0) G1 (b+0) số G1(t) t trử tỹ 2i IndG1 (t) = = = = 2i 2i 2i 2i = = [ln G1 (t)]R ln ln ln G1 (a0) 2i (b0) 2i + ln G G1 (a+0) e G1 (b+0) e ei e2i + ln ei(+) e2i ei(+2i) + ln ei(+2 ) 2i ln + ln e Pữỡ tr t ợ ố ự t ữỡ tr t ữợ b (x) = f (x) + K (x, y) (y) dy, a tr õ f (x), K(x, y) trữợ tt f (x) L2(a, b), K (x, y) ố ự ữỡ t Pữỡ tr õ t t ữợ trứ tữủ = f + A tr õ A ởt t tỷ ố ự t tử t t tỷ A õ ởt trỹ tỡ r {en} ự ợ tr r n n sỷ t t {en} n õ ố t số rr (, ei) õ ố ợ {ei} = i (, ei) ei ữ t ei ợ ộ i t õ , ei = f, ei + A, ei = f, ei + , Aei = f, e + , e i i i i = t , ei = f, ei (1 i ) ỏ i = t t r f trữợ tọ f, ei = 0, ữ ổ t , ei s ự r ợ tt f, ei = ei ự ợ i = 1, ữỡ tr f, ei = ei + j ej (1 ) tr õ j ỳ số tũ ỵ tờ số t ei õ i = 1, ỏ tờ số t ej õ j = i 0(i ) < , M = supi i | f, ei i |2 M | f, ei |2 M f < õ ộ tự t tr tử ỏ tờ tự tr t ỗ ởt số ỳ tỷ õ t õ ởt số ỳ ei tọ i = tờ ụ ởt tỷ õ f,ei f,ei A = Ae = i ei i i i f,ei = f, ei i + ei = f + i A = j Aei = j ei = A = A + A = f + + , õ ự õ tở ổ ự ợ tr r ỵ [3] A ổ õ tr t ữỡ tr õ ởt t ợ f trữợ A õ tr t ữỡ tr õ f trỹ ợ ổ r ợ tr r 1, õ ữủ ởt tỷ tũ ỵ ổ r Pữỡ tr t ợ s s ởt ữỡ tr t õ n K(x, y) = ak (x) bk (y) k=1 ú t tt r ak (x) bk (y) ữỡ t tr t ữỡ tr b (x) t ữủ K (x, y) (y) dy = f (x) , a < x < b a b n (x) ak (x) k=1 bk (y) (y) dy = f (x) , a sỷ ữỡ tr õ ỵ b bk (y) (y) dy = Ck Ck ak (x) + f (x) , a < x < b a ứ s r n (x) = k=1 ợ bm(x) t t x tr sỷ ỵ t ữủ ữỡ tr số t t n Cm = mk Ck + fm , m = 1, 2, , n k=1 tr õ b mk = b ak (x)bm (x) dx, fm = a f (x)bm (x) dx a ữỡ tr số t t ổ õ t ữỡ tr ụ ổ õ sỷ ữỡ tr số t t õ c1, c2, cn õ (x) ữủ ổ tự s ữỡ tr t ữ tr t ữủ n f (x) + m=1 C m b n bm (y) f (y) + Ck ak (y) dy k=1 a = f (x) t õ tự 11 12 21 22 D () = n1 n2 11n 2n nn ó r D() tự n D(0) = ổ D() t õ t t ữỡ tr (x) sin (x + y) (y) dy = f (x) , < x < õ sin (x + y) = sin x cos y + sin y cos x, n = 2, a1 (x) = sin x, b1 (y) = cosy, a2 (x) = cos x, b2 (y) = sin y, 11 = , 22 = , cos2 xdx = 21 = f1 = sin2 xdx = sin x cos ydx = 0, 12 = sin x cos xdx = 0, f (x) cos xdx, f2 = f (x) sin xdx r trữớ ủ õ C1 C2 = f1 , C1 + C2 = f2 tự D () õ = , , = = t õ t C1, C2 õ t ữỡ tr (x) = f (x) + (C1 sin x + C2 cosx) ỵ r t ữỡ tr r b (I A) (x) K (x, y) (y) dy = f (x) , a a