Một số kết quả về tích phân dao động với hàm pha là đa thức

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NGUYN HNG LIấN MT S KT QU V TCH PHN DAO NG VI HM PHA L A THC LUN VN THC S TON HC Chuyờn Ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s: 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc: TS V Nht Huy H Ni - 2017 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN NGUYN HNG LIấN MT S KT QU V TCH PHN DAO NG VI HM PHA L A THC LUN VN THC S TON HC Chuyờn Ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s: 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc: TS V Nht Huy H Ni - 2017 Mc lc M u KIN THC CHUN B 1.1 Tớch Phõn Lebộsgue 1.1.1 Vnh, - i s v o 1.1.2 Khụng gian o c, ỏnh x o c, hm o c 1.1.3 Tớch phõn Lebộsgue 1.2 Khụng Gian Cỏc Hm Gim Nhanh S (Rn ) 11 1.3 Phộp Bin i Fourier 12 1.3.1 1.3.2 Phộp bin i Fourier khụng gian cỏc hm gim nhanh S (Rn ) 12 Bin i Fourier khụng gian L1 (Rn ) 18 C LNG TCH PHN DAO NG 20 2.1 c lng mc di 20 2.2 B vander Corput 21 2.3 ỏnh giỏ tớch phõn dao ng thụng qua cỏc khụng im ca o hm ca hm pha NH GI CHUN CA TON T DAO NG 25 29 3.1 Chun ca toỏn t dao ng j < n/2 29 3.2 Chun ca toỏn t dao ng j > n/2 36 3.3 Chun ca toỏn t dao ng j = n/2 39 Kt lun 43 Ti liu tham kho 43 Li cỏm n Trc trỡnh by ni dung chớnh ca lun vn, tụi xin gi li cm n chõn thnh v sõu sc nht ca mỡnh ti TS V Nht Huy, vỡ s giỳp , ch bo tn tỡnh, cựng nhng li ng viờn vụ cựng ý ngha ca Thy sut quỏ trỡnh tụi hon thnh lun tt nghip Tụi cng xin chõn thnh cỏm n s giỳp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo khoa Toỏn - C - Tin hc, trng i hc Khoa hc T nhiờn - i hc Quc gia H Ni v Khoa Sau i hc, ó nhit tỡnh truyn th kin thc v to iu kin giỳp tụi hon thnh khúa Cao hc Tụi xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, khuyn khớch, giỳp tụi rt nhiu sut thi gian nghiờn cu v hc Do mi lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc v cũn hn ch v thi gian thc hin nờn lun khụng th trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi kớnh mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn H Ni, thỏng nm 2017 Nguyn Hng Liờn M u Tớch phõn dao ng ó thu hỳt nhiu s quan tõm ca cỏc nh Toỏn hc v cỏc nh Vt lý t xut hin cụng trỡnh Thộorie Analytique de la Chaleur ca Joseph Fourier vo nm 1822 Nhiu bi toỏn Lý thuyt phng trỡnh o hm riờng, hỡnh hc i s, lý thuyt xỏc sut, lý thuyt s; cỏc bi toỏn v quang hc, õm hc, c hc lng t, u cú th a v vic nghiờn cu cỏc tớch phõn dao ng Mc dự bi toỏn ny ó cú t lõu, nhng phm vi ng dng rng ln ca nú, nờn n cú nhiu nh Toỏn hc quan tõm nghiờn cu nú v ó thu c nhiu kt qu quan trng Trong phm vi ca lun ny, chỳng tụi dnh phn ln cho vic nghiờn cu chun ca toỏn t dao ng T ú eiS(x,y) (x, y)(y)dy, T (x) = R sau ú chỳng tụi nghiờn cu dỏng iu tớch phõn k d dao ng cú dng ei(x) f (x)dx, I() = R ú l mt s dng ln, l hm trn c gi l hm pha, f l hm trn cú giỏ tr phc gi l hm biờn Theo Elias M Stein, cú ba c bn xột dỏng iu ca I(), , l a phng húa, ỏnh giỏ v tim cn Cú nhiu phng phỏp v cụng c kho sỏt dỏng iu ca tớch phõn dao ng I(), ú vic s dng cỏc tớnh cht ca a din Newton ca hm pha l mt nhng cụng c hu hiu Ngoi phn m u, kt lun v ti liu tham kho, lun c chia lm ba chng: Chng 1: Kin thc chun b Chng ny trỡnh by nhng kin thc c bn v tớch phõn Lebộsgue, tớch phõn Fourier khụng gian cỏc hm gim nhanh S (Rn ) lm c s xõy dng ni dung chng tip theo Chng 2: c lng tớch phõn dao ng Chng ny trỡnh by v vic ỏnh giỏ mc di qua ú chng minh b vander Corput v phng phỏp ỏnh giỏ tớch phõn dao ng thụng qua cỏc khụng im ca o hm ca hm pha Chng 3: ỏnh giỏ chun ca toỏn t dao ng Chng ny trỡnh by v chun ca toỏn t dao ng t khụng gian L2 (R) vo L2 (R) Chng KIN THC CHUN B Trong chng ny, lun trỡnh by cỏc khỏi nim, tớnh cht c bn v mt s nh lý quan trng lý thuyt v tớch phõn Lebộsgue v phộp bin i Fourier Ni dung chng ny c tham kho chớnh cỏc ti liu [1], [2] v [3] 1.1 Tớch Phõn Lebộsgue 1.1.1 Vnh, - i s v o nh ngha 1.1 Cho X l mt bt k Mt h A cỏc ca X c gi l mt - i s nu nú tha iu kin sau: (a) X A; Ai A; (b) A kớn i vi phộp hp m c, tc l nu Ai A(i N) thỡ i=1 (c) A kớn i vi phộp ly phn bự, tc l nu A A thỡ Ac := X/A A nh ngha 1.2 Mt h C cỏc ca X c gi l mt vnh trờn X nu nú tha cỏc iu kin sau: (a) C kớn i vi phộp hp hu hn, tc l nu Ai C(i R ) thỡ n Ai C ; i=1 (b) Nu A, B C thỡ A/B C Ngoi ra, nu X C thỡ ta núi rng C l vnh cú n v hay i s Kớ hiu R = R {} nh ngha 1.3 Cho A l mt - i s trờn X nh x : A R c gi l mt o nu cỏc iu kin sau õy c tha món: (a) 0, A A; (b) l -cng tớnh trờn A, tc l nu Ai A(i = 1, 2, ) v ri tng ụi mt thỡ Ai = i=1 à(Ai ); i=1 (c) khụng ng nht bng + trờn A , tc l tn ti A A cho à(A) < + Chỳ ý: Thay cho - i s A ta cú th ly vnh C v nh ngha o hon ton Ai C , gi thit ny khụng tng t, tr iu kin (b) ta phi gi thit thờm rng i=1 cn thit nu C l mt - i s Mt o trờn vnh C c gi l hu hn nu vi mi A A, à(A) < + o c gi l - hu hn nu vi mi A C tn ti cỏc An C(n = 1, 2, ) An v à(An ) < cho A n 1.1.2 Khụng gian o c, ỏnh x o c, hm o c Mt hp X cựng vi mt - i s A trờn X c gi l mt khụng gian o c, kớ hiu l (X, A) Nu trờn A xỏc nh mt o thỡ ta cú mt khụng gian o (X, A, à) Cho (X, ) v (Y, ) l hai khụng gian o, ỏnh x f : X Y nh ngha 1.4 nh x f c gi l (, ) o c nu vi mi B cú f (B) Tc l nghch nh ca o c l mt o c (trng hp ny ta vit f () ) Cho khụng gian o (X, ) v hm f : X R c gi l hm thc o c nu nú l (, B) o c, ú B l - i s Borel trờn R nh lý 1.1 Cỏc iu kin sau l tng ng: a) f l (, B) o c b) {x X, f (x) < a} , a R c) {x X, f (x) a} , a R d) {x X, f (x) > a} , a R e) {x X, f (x) a} , a R Chng minh (a) (b): hin nhiờn (b) (c): {x X, f (x) a} = {x X, f (x) < a + n=1 } n (c) (d): {x X, f (x) > a} = R/{x X, f (x) a} } n n=1 (e) (a): Gi D l lp na khong [a, ) vi a R Ta cú (f (D)) = f ((D)) (d) (e): {x X, f (x) a} = {x X, f (x) > a Mt khỏc, d thy (D) = B Vy f (B) Hn na, {x X, f (x) = +} = {x X, f (x) n} nN {f (x) n}c Vy f ({}) Tng t, {x x, f (x) = } = nN Do ú cỏc iu kin trờn tng ng nh ngha 1.5 Hm f gi l hm n gin nu tn ti hu hn cỏc ri E1 , E2 , , Em v cỏc s thc , , , m cho f (x) = i nu xi Ei (i = 1, 2, , m) nu i / m Ei m hay f (x) = i 1Ei (x) 1.1.3 Tớch phõn Lebộsgue 1)Tớch phõn ca hm n gin Lp cỏc hm n gin trờn (, A) c kớ hiu S := S(, A) Xột mt lp ca S gm cỏc hm khụng õm S + := {f S : f 0} nh ngha 1.6 Cho f S + cú biu din f = m i 1Ai Ta gi giỏ tr f dà := i à(Ai ) l tớch phõn ca hm f theo o i=1 2)Tớch phõn ca hm o c khụng õm Trc ht ta nh ngha tớch phõn cho hm o c khụng õm, sau ú ta cú th nh ngha ca hm o c bt k bng hiu ca hai tớch phõn trờn tng thnh phn ca nú Kớ hiu L+ = L+ (, A) l lp cỏc hm o c khụng õm nh ngha 1.7 Cho hm f L+ Tớch phõn ca hm f theo o c nh ngha nh sau: f dà = sup fn dà n X X 3)Tớch phõn ca hm o c bt k Vi mi hm f o c ta cú f = f + f ú f + := max(f, 0) v f := max(f, 0) Ta cú nh ngha tớch phõn ca hm o c bt kỡ nh sau: Ly x, y R l cỏc s thc v j N Ta cú hai bt ng thc sau: B 3.1 xy xj y j 2 j j l; (3.2) j chn (3.3) , xj y j x2 y 2 j/2 , Chng minh Chng minh (3.2) Xột trng hp x y v j = 2m + Do ú 2m j j x y =x 2m+1 y 2m+1 xk y 2mk = (x y) k=0 M 2m k=0 xk y 2mk (x2m + y 2m ) = = m x y = x2 x y x2k1 y 2m2k+1 +2 k=0 k=1 m m1 x 2k2 2m2k y +y m 2k 2m2k2 x y k=1 m k=1 x2k2 y 2m2k + 2xy k=0 m x2k2 y 2m2k + y (x + y)2 m 2k 2m2k + k=1 = x2 = m1 2k 2m2k k=1 m x2k2 y 2m2k + 2xy k=1 x2k2 y 2m2k k=1 m x2k2 y 2m2k k=1 Vy x2m + y 2m |x| + |y| (x y) 2 2m+1 2m xy xy (x y) = 2 x2m+1 y 2m+1 (x y) 2m Xột trng hp x y Chuyn i vai trũ ca x v y ta thu c xy x2m+1 y 2m+1 2m+1 Chng minh (3.3) Cho j := 2m + Xột trng hp |x| |y| Khi ú m j j x y =x 2m+2 y 2m+2 2 x2k y 2m2k = (x y ) k=0 M m x2k y 2m2k k=0 30 x2m + y 2m Vy x 2m+2 y 2m+2 x2 y 2 x2 y 2m 2m x +y x y2 2 m x2 y 2 m+1 Xột trng hp |x| |y| Chuyn i vai trũ ca x v y ta thu c x 2m+2 y 2m+2 x2 y 2 m+1 Vy b ó c chng minh Ta nhc li bt ng thc Hăolder nh sau: Gi s S l mt khụng gian o, vi p, q tha p + q = ng thi f Lp (S)v g Lq (S) Khi ú f g L1 (S) v 1/q 1/p | q p |g(x)| dx |f (x)| dx f (x)g(x)dx| R R R Xột L2 (R) T nh ngha ca toỏn t T v T ta Chng minh nh lý 3.1 thy eiS(z,x) (z, x)T (z)dz (T T )(x) = R eiS(z,x) (z, x) = eiS(z,y) (z, y)(y)dy dz R = R ei(S(z,x)S(z,y)) (z, x)(z, y)dz dy (y) R R T ú, toỏn t T T l mt toỏn t tớch phõn vi K(x, y) c xỏc nh nh sau ei(S(z,x)S(z,y)) (z, x)(z, y)dz K(x, y) = (3.4) R v (T T )(x) = (y)K(x, y)dy R Ta kớ hiu ||K(x, y)| |1,y = |K(x, y)| dy , ||K(x, y)| |1,x = R |K(x, y)| dx v R C,1 = max{sup K(x, y) xR 1,y , sup yR K(x, y) 1,x } Nờn ỏp dng bt ng thc Hăolder ta c |(T T )(x)|2 |(y)K(x, y)|dy R |(y)|2 |K(x, y)|dy R |(y)|2 |K(x, y)|dy sup K(x, y) |K(x, y)|dy R R 31 xR 1,y v ú T T 2 |(y)|2 |K(x, y)|dy dx C,1 R R |(y)|2 = C,1 |K(x, y)|dx dy R R |(y)|2 dy C,1 = C,1 2 R hay T T n k nk k=1 k y x Ta cú S(x, y) = C,1 (3.5) nờn n n k nk S(z, x) S(z, y) = k x z k y k z nk k=1 k=1 n k z nk (xk y k ) = k=1 Vỡ j = v = ã ã ã = j1 = nờn n k z nk (xk y k ) S(z, x) S(z, y) = k=j = S(z, x) S(z, y) = j z nj (xj y j ) + j+1 z nj1 (xj+1 y j+1 ) + j+2 z nj2 (xj+2 y j+2 ) + + n (xn y n ) Do ú nj ((S(z, x) S(z, y)) = .j (n j)!(xj y j ) nj z m (n j)! 1, nờn ta cú nj ((S(z, x) S(z, y)) = |j (xj y j )| nj z x, y R Nhc li h qu 2.1 ca b van der Corput cho cỏc tớch phõn dao ng ta cú b ei(x) (x) dx Ck || k a L (a,b) + L1 (a,b) Khi ú, s dng b van der Corput cho cỏc tớch phõn dao ng, tn ti mt hng s c1 khụng ph thuc m |K(x, y)| c1 |(xj y j )|1/(nj) ) 32 x, y R t M = |x| sup (z,x)supp Ta thy K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ] v sup |K(x, y)| |(x, z)(y, z)|dz c2 < (x,y)R2 R T ú |K(x, y)| min{c1 (|xj y j |)1/(nj) ), c2 } x, y R Trng hp j l s t nhiờn l T b 3.1, ta c |K(x, y)| min{c3 (|x y|j )1/(nj) ), c2 } x, y R vi c3 = c1 2j/(nj) S dng K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ], ta cú nu y [M, M ] thỡ |K(x, y)|dx = 0, R v nu y [M, M ] thỡ M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx M R M c3 ||1/(nj) |x y|j/(nj) dx M t x y = t Khi ú vi y [M, M ] ta cú y+M M |x y|j/(nj) dx = M 2M |t|j/(nj) dt yM |t|j/(nj) dt 2M Vỡ th |K(x, y)|dx 2M c3 |t|j/(nj) dt ||1/(nj) 2M T j < n/2 ta cú j/(n j) < v ú 2M 2M R |t|j/(nj) dt < Do vy |K(x, y)|dx R ú c4 = c3 2M 2M c4 ||1/(nj) |t|j/(nj) dt T ú sup K(x, y) 1,x C||1/(nj) yR 33 y R Tng t, sup K(x, y) 1,y C||1/(nj) xR Trng hp j l s t nhiờn chn Theo b 3.1, ta c |K(x, y)| c3 (|x2 y |j/2 )1/(nj) ) x, y R ú c3 = c1 2j/(2(nj)) Ta thy, nu |x y| > |x + y| thỡ |x2 y | |x + y|2 , iu ny dn n |K(x, y)| c3 (|x + y|j )1/(nj) )) x, y R, nu ngc li |x y| |x + y| thỡ |x2 y | |x y|2 , iu ny dn n |K(x, y)| c3 (|x y|j )1/(nj) )) x, y R, Vy ta luụn cú |K(x, y)| (c3 (|x y|j )1/(nj) ) + c3 (|x + y|j )1/(nj) )), vi mi x, y R M K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ] Nờn M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx M R M c3 ||1/(nj) |x y|j/(nj) + |x + y|j/(nj) dx M Chng minh tng t nh trng hp ta cng cú M 2M j/(nj) |x y| M v |t|j/(nj) dt dx 2M M 2M |x + y|j/(nj) dx M |t|j/(nj) dt 2M Nờn |K(x, y)|dx R 2c3 ||1/(nj) 2M |t|j/(nj) dt 2M T j < n/2 ta cú j/(n j) < v ú 2M |t|j/(nj) dt < 2M 34 T ú |K(x, y)|dx R 2M 2M ú c4 = 2c3 2c4 ||1/(nj) |t|j/(nj) dt Vỡ vy sup K(x, y) 1,x C||1/(nj) 1,y C||1/(nj) yR Tng t, sup K(x, y) xR T (3.5) ta cú T T C||1/(nj) (3.6) C||1/(nj) (3.7) v ú T T Kớ hiu f, g = R L2 L2 f (x)g(x)dx Ta s chng minh rng T , g = , T g (3.8) Tht vy, eiS(x,y) (x, y)(y)dy g(x)dx T f (x)g(x)dx = T , g = R R R eiS(x,y) (x, y)g(x)dx (y)dy = R R T g(y)(y)dy = , T g = R Bng vic t g = T v theo (3.8) thỡ T 2 = , T T S dng bt ng thc Hăolder ta cú T 2 = , T T T T S dng (3.7) ta cú T T C.(||)1/(nj) Vỡ th t (3.9) ta c T Vy T L2 L2 2 22 C.(||)1/(nj) C(||)1/((2n2j)) nh lý ó c chng minh xong 35 (3.9) Chun ca toỏn t dao ng j > n/2 3.2 nh lý 3.2 Cho T ó c nh ngha mc (3.1) Khi ú T l mt toỏn t b chn t L2 (R) vo L2 (R) vi chun c ỏnh giỏ nh sau T L2 L2 C(||)1/(2j) ú j = vi j > n/2 N v = ã ã ã = j1 = Chng minh Nh ta ó bit mc 3.1 thỡ (T T )(x) = (y)K(x, y)dy R ei(S(z,x)S(z,y)) (z, x)(z, y)dz K(x, y) = (3.10) R Nờn ỏp dng bt ng thc Hăolder ta c |(T T )(x)|2 |(y)K(x, y)|dy R |(y)|2 |K(x, y)|dy R |(y)|2 |K(x, y)|dy sup K(x, y) |K(x, y)|dy R 1,y xR R v ú T T 2 |(y)|2 |K(x, y)|dy dx C,1 R K(x, y)|dx dy C,1 |(y)|2 = C,1 R R 2 R hay T T C,1 (3.11) ú C,1 = max{sup K(x, y) xR 1,y , sup yR K(x, y) 1,x } T j = 0, v = ã ã ã = j1 = 0, ta c nj ((S(z, x) S(z, y)) |j (xj y j )| nj z x, y R Sau ú, s dng b van der Corput cho cỏc tớch phõn dao ng, tn ti mt hng s c1 khụng ph thuc vo m |K(x, y)| c1 (|(xj y j )|)1/(nj) ) 36 x, y R Ta t M = sup |x| (z,x)supp Ta thy rng K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ] v sup |K(x, y)| (x,y)R2 |(x, z)(y, z)|dz c2 < R T ú |K(x, y)| min{c1 (|(xj y j )|)1/(nj) ), c2 } x, y R Trng hp j l l, j = 2m + T ú, theo b 3.1, ta cú |K(x, y)| min{c3 (|x y|j ||)1/(nj) ), c2 } x, y R ú c3 = c1 22m/(nj) t = ||1/(nj) Chỳ ý rng K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ] p dng cho mi [0, M ] M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx M R M min{c3 |1 (x y)j/(nj) |, c2 }dx = M 2M min{c3 |t|j/(nj) , c2 }dt 2M min{c3 |t|j/(nj) , c2 }dt + = |t| 2M |t| c3 |t|j/(nj) dt c2 dt + |t| min{c3 |t|j/(nj) , c2 }dt 2M |t| T ú |K(x, y)|dx c2 + c3 1(j/(nj)) = c2 + c3 1(j/(nj)) R Bng vic chn = (nj)/(jq) = ||1/j , ta thu c |K(x, y)|dx c4 ||1/j R Vỡ th sup K(x, y) 1,x C||1/j 1,y C||1/j yR Tng t, sup K(x, y) xR Trng hp j l chn S dng B 3.1 ta cú |K(x, y)| c1 (|x2 y |j/2 )1/(nj) ) 37 x, y R Vỡ th: |K(x, y)| (c1 (|x y|j )1/(nj) ) + c1 (|x + y|j )1/(nj) )), vi mi x, y R Chỳ ý rng K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ] Nờn M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx M R = M c1 |x y|j/(nj) + |x + y|j/(nj) dx ||1/(nj) M Chng minh tng t trờn ta cú sup K(x, y) 1,x C||1/(j) 1,y C||1/(j) yR Tng t, sup K(x, y) xR Theo (3.11) ta c T T r C(||)1/(j) (3.12) ú T T L2 L2 C(||)1/j (3.13) Kớ hiu f, g = f (x)g(x)dx R sau ú tng t nh chng minh nh lý 3.1 ta thu c T , g = f, T g (3.14) t g = T Do ú t (3.14) thỡ T 2 = , T T S dng bt ng thc Hăolder ta cú T 2 = , T T T T S dng (3.13) ta cú: T T r C ||1/j 38 (3.15) Vỡ th: 2 T C 22 ||1/j Do vy, theo (3.15) ta thu c T L2 L2 C||1/(2j) nh lý ó c chng minh xong T nh lý 3.1 v nh lý 3.2 ta cú nh lý sau: nh lý 3.3 Cho T ó c nh ngha mc (3.1) Khi ú T l mt toỏn t b chn t L2 (R) vo L2 (R) vi chun T L2 L2 C max{(||)1/(2j) ; (||)1/(2(nj)) } ú j = vi j = n/2 v = ã ã ã = j1 = 3.3 Chun ca toỏn t dao ng j = n/2 nh lý 3.4 Cho T ó c nh ngha mc (3.1) Khi ú T l mt toỏn t b chn t L2 (R) to L2 (R) vi chun c ỏnh giỏ qua cụng thc sau T L2 L2 C||1/(2j) log || ú j = vi j = n/2 N v = ã ã ã = j1 = Chng minh Xột L2 (R) T nh ngha ca toỏn t T v T ta thy (T T )(x) = eiS(z,x) (z, x)T (z)dz R eiS(z,x) (z, x) = R = eiS(z,y) (z, y)(y)dy dz R ei(S(z,x)S(z,y)) (z, x)(z, y)dz dy (y) R R T ú, toỏn t T T l mt toỏn t tớch phõn vi hch K(x, y) c xỏc nh bi ei(S(z,x)S(z,y)) (z, x)(z, y)dz K(x, y) = R v (T T )(x) = (y)K(x, y)dy R 39 (3.16) ỏp dng B Chớnh ta cú T T C,1 (3.17) ú C,1 = max{sup K(x, y) xR 1,y , sup yR K(x, y) 1,x } T j = 0, v = ã ã ã = j1 = 0, ta thu c nj ((S(z, x) S(z, y)) |j (xj y j )| nj z x, y R T ú, ỏp dng B van der Corput cho cỏc tớch phõn dao ng, tn ti mt hng s c1 khụng ph thuc vo thỡ |K(x, y)| c1 (|(xj y j )|)1/(nj) ) Ta t M = x, y R |x| sup (z,x)supp Ta thy rng K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ] v sup |K(x, y)| (x,y)R2 |(x, z)(y, z)|dz c2 < R Do ú |K(x, y)| min{c1 (|(xj y j )|)1/(nj) ), c2 } x, y R Trng hp j l l, j = 2m + Khi ú, t b 3.1, ta cú |K(x, y)| min{c3 (|x y|j ||)1/(nj) ), c2 } x, y R ú c3 = c1 22m/(nj) t = ||1/(nj) = ||1/j M K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ] v j/(n j) = p dng vi mi [0, M ] ta cú M |K(x, y)|dx = |K(x, y)|dx M R M min{c3 |1 (x y)1 |, c2 }dx = M 2M min{c3 |t|1 , c2 }dt 2M min{c3 |t|1 , c2 }dt + = |t| 2M |t| c3 |t|1 dt c2 dt + |t| min{c3 |t|1 , c2 }dt 2M |t| 40 T ú |K(x, y)|dx c2 + 2c3 log R 2M 2M = c2 + 2c3 ||1/j log t = ||1/j log ||, ta c |K(x, y)|dx c4 ||1/j log || R Vỡ th sup K(x, y) 1,x C||1/j (log ||) 1,y C||1/j (log ||) yR Tng t, sup K(x, y) xR Trng hp j l chn T ú, ỏp dng b 3.1 thỡ |K(x, y)| c1 (|x2 y |j/2 )1/(nj) ) x, y R Nờn |K(x, y)| (c1 (|x y|j )1/(nj) ) + c1 (|x + y|j )1/(nj) )), vi mi x, y R Hn na, K(x, y) = vi mi (x, y) [M, M ] ì [M, M ], nờn ta cú M |K(x, y)|dx = = |K(x, y)|dx M R M c1 ||1/(nj) |x y|j/(nj) + |x + y|j/(nj) dx M Tng t chng minh trờn ta cú sup K(x, y) 1,x C||1/j (log ||) 1,y C||1/j (log ||) yR Tng t, sup K(x, y) xR S dng (3.17) ta cú T T C(||)1/(j) (3.18) v ú T T L2 L2 C(||)1/j log || 41 (3.19) Kớ hiu f, g = f (x)g(x)dx R T ú ỏp dng chng minh nh lý 3.1 ta thu c T , g = f, T g (3.20) t g = T Do ú theo (3.20) thỡ T 2 = , T T p dng bt ng thc Hăolder ta cú T 2 = , T T T T S dng (3.19) ta cú T T C ||1/j (log ||) Vỡ th T 2 C 22 ||1/j (log ||) Do vy, t (3.21) ta cú T L2 L2 C||1/(2j) (log ||)1/2 nh lý c chng minh xong 42 (3.21) Kt lun Lun ó trỡnh by nhng kin thc c bn ca tớch phõn dao ng vi ni dung quan trng l chng minh b vander Corput v ỏnh giỏ chun ca toỏn t dao ng Ni dung chớnh ca lun bao gm: a mt s kin thc v tớch phõn Lebộsgue, phộp bin i Fourier khụng gian cỏc hm gim nhanh S (Rn ) v khụng gian L1 (Rn ) Uc lng mc di, chng minh b vander Corput v ỏnh giỏ tớch phõn dao ng thụng qua cỏc khụng im ca o hm ca hm pha a ỏnh giỏ chun ca toỏn t dao ng trờn khụng gian L2 (R) Tụi xin chõn thnh cm n! 43 Ti liu tham kho [1] Phm K Anh, Trn c Long, Giỏo trỡnh hm thc v gii tớch hm NXB i hc Quc gia H Ni (2001) [2] Nguyn Hu D, o v tớch phõn [3] inh Th Lc, Phm Huy in, T Duy Phng, Gii tớch cỏc hm nhiu bin NXB i hc Quc gia H Ni (2002) [4] D H Phong and E M Stein, Oscillatory integrals with polynomial phases Inv Math 110, 39-62 (1992) [5] D H Phong and E M Stein, Newton Polyhedron and Oscilatory integral operators Acta Math, 179, 105-152 (1997) [6] A Carbery, M Christ and J Wright, Multidimentional Van der Corput and sublevel set estimates Journal of the american mathematical society, 981-1015 (1999) [7] P K Anh, V N Huy and N M Tuan, Norm decay rates of oscillatory integrals operators with polynomial phases acting between Lp and L2 spaces Submitted (2016) 44 ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HƯƠNG LIÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên Ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa... đánh giá thể tích tập mức đánh giá tích phân dao động có mối liên hệ mật thiết với 24 2.3 Đánh giá tích phân dao động thông qua không điểm đạo hàm hàm pha Chúng ta xem xét tích phân dao động sau:... f dµ := αi µ(Ai ) tích phân hàm f theo độ đo µ i=1 2 )Tích phân hàm đo không âm Trước hết ta định nghĩa tích phân cho hàm đo không âm, sau ta định nghĩa hàm đo hiệu hai tích phân thành phần Kí