Một số kết quả cơ bản của giải tích thô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ HUỲNH CHÂU TUẤN MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH THƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Huế - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUỲNH CHÂU TUẤN MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH THƠ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG Huế - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thân tơi thực hướng dẫn khoa học PGS TS Huỳnh Thế Phùng Các kết trích dẫn luận văn nêu phần tài liệu tham khảo cuối luận văn Huỳnh Châu Tuấn i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế hướng dẫn tận tình hết lòng giúp đỡ PGS TS Huỳnh Thế Phùng Nhân dịp tơi bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy dành cho suốt q trình học tập hồn thành luận văn Nhân đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất q thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Ban chủ nhiệm thầy cô trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Anh, Chị học viên Cao học khóa XXIII, đặc biệt Anh, Chị chun ngành Tốn Giải tích tạo điều kiên giúp đỡ góp ý chân thành cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, xin ghi nhớ công lao to lớn gia đình người thân tạo điều kiện thuận lợi để em yên tâm học tập Xin chân thành cảm ơn quan tâm, giúp đỡ quý báu đó! Vì thời gian có hạn, thân cịn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong đánh giá, góp ý q thầy cô bạn quan tâm để luận văn hoàn chỉnh Huỳnh Châu Tuấn ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu viết tắt iv Mở đầu v Hội 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1 12 17 20 23 26 33 33 46 47 53 59 67 tụ thô Liên tục thô Hội tụ thô So sánh khái niệm hội tụ Sự phụ thuộc hội tụ thô vào độ thô Dãy Cauchy thô Liên tục thô Ước lượng khoảng số self-Jung Định lý điểm-bất động Hàm lồi thô 2.1 Định nghĩa mối liên hệ khái niệm lồi thơ 2.2 Các phép tốn lớp hàm lồi thô 2.3 Một số tính chất tối ưu hàm lồi thô 2.4 Hàm γ -lồi đường thẳng thực 2.5 Hàm γ -lồi không gian nhiều chiều 2.6 Hàm γ -lồi đối xứng Kết luận 82 Tài liệu tham khảo 83 iii DANH MỤC KÝ HIỆU N, Q, R Br (x), B r (x), Sr (x) LIMS,r xi diam S rA (S) CA (S) JS (X) span S conv S int S, ∂S, cl S LimsupSi , Liminf Si i→∞ i→∞ tập số tự nhiên, số hữu tỉ, số thực hình cầu mở, hình cầu đóng, mặt cầu tâm x bán kính r tập r-giới hạn dãy (xi ) thuộc tập S đường kính tập S bán kính tương đối tập S A tập tâm tương đối tập S A số self-Jung X bao tuyến tính tập S bao lồi tập S phần trong, biên bao đóng S giới hạn dãy tập (Si ) phần nguyên số α [α] DANH MỤC VIẾT TẮT l.s.c, u.s.c nửa liên tục dưới, nửa liên tục iv MỞ ĐẦU Nhiều khái niệm giải tích thường định nghĩa liên quan tới điều kiện “với mọi” Tuy nhiên nhiều đối tượng giới vật chất đáp ứng với điều kiện “với mọi” Giải tích thơ phát triển cầu nối giới vật chất với giải tích cổ điển Đầu tháng năm 2002, báo cáo Hội nghị Tốn học tồn quốc lần thứ tổ chức Huế, với nhan đề “Mấy ý tưởng giải tích thơ”, GS Hồng Xn Phú đưa số khái niệm “hội tụ thô”, “liên tục thô”, “điểm bất động thô”, “lồi thô” Các khái niệm mở rộng khái niệm theo nghĩa thơng thường Ví dụ, dãy (xn ) không gian định chuẩn gọi hội tụ thô tới x¯ với độ thô r ≥ với r > r, tồn n ∈ N cho với n ≥ n , ta có xn − x¯ < r Hàm f : D → R gọi lồi thô với độ thô r với cặp x0 , x1 ∈ D thỏa mãn x0 − x1 > r với λ ∈ [0, 1] ta có λx0 + (1 − λ)x1 ∈ D; f (λx0 + (1 − λ)x1 ) ≤ λf (x0 ) + (1 − λ)f (x1 ) Cũng báo cáo đó, giáo sư tóm tắt số kết liên quan đến hội tụ thô liên tục thô, định lý điểm bất động ánh xạ liên tục thô, lồi thô ứng dụng vào tối ưu hóa tồn cục Với mong muốn nghiên cứu sâu khái niệm mở rộng giải tích, ngồi mục lục, bảng ký hiệu chữ viết tắt, phần mở đầu phần kết luận, luận văn chia thành hai chương Chương 1: Hội tụ thô Liên tục thô Trước hết trình bày số tính chất hội tụ thô; so sánh khái niệm hội tụ phụ thuộc hội tụ thô vào độ thô Khảo sát dãy Cauchy thơ tìm độ tụ nhỏ dãy Cauchy thô không gian định chuẩn Tiếp theo trình bày liên tục thơ ánh xạ tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y r-0-liên tục với r số thực dương cố định Cuối trình bày định lý điểm bất động sử dụng ước lượng khoảng số self-Jung Chương 2: Hàm lồi thơ Đây phần luận văn Ba mục dành cho việc khảo sát hàm lồi thô với độ thô khác nhau; mối liên hệ khái niệm lồi thơ; tính đóng kín lớp hàm lồi phép tốn hàm quen thuộc số tính chất tối ưu hàm lồi thô Mục v trình bày cấu trúc khảo sát chi tiết tính chất hàm γ -lồi đường thẳng thực Nội dung mục để nghiên cứu tính chất hàm γ -lồi liên tục, khả tích Riemann, khả tích Lebesgue, khả vi hầu khắp nơi, ta cần nghiên cứu tính chất đoạn có độ dài γ đủ Hai mục cuối khảo sát tính chất bị chặn liên tục lớp hàm γ -lồi lớp nó, lớp hàm γ -đối xứng không gian nhiều chiều Chỉ số mối liên hệ tính bị chặn liên tục điểm với tính chất tai điểm định khác Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian lực có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn quan tâm để luận văn hoàn thiện vi Chương HỘI TỤ THƠ LIÊN TỤC THƠ 1.1 Hội tụ thơ Cho (X, · ) giả thiết không gian định chuẩn Với x0 , x1 ∈ D, λ ∈ R, ta kí hiệu xλ := (1 − λ)x0 + λx1 , [x0 , x1 ] := {xλ : ≤ λ ≤ 1}, (x0 , x1 ] := [x0 , x1 ]\{x0 } Các tập hợp [x0 , x1 ) (x0 , x1 ) định nghĩa tương tự Với r số thực dương, đặt Br (x0 ) := {y ∈ X : y − x < r}, B r (x0 ) := {y ∈ X : y − x ≤ r}, Sr (x0 ) := {y ∈ X : y − x = r} r Định nghĩa 1.1.1 Dãy (xi ) ∈ X gọi r-hội tụ tới x∗ ∈ X , ký hiệu xi → − x∗ , ∀ε > 0, ∃iε ∈ N, ∀i ≥ iε , xi − x∗ < r + ε, (1.1) tức là, lim sup xi − x∗ ≤ r (1.2) i→∞ Lúc đó, x∗ gọi điểm r-giới hạn (xi ) Điểm x∗ nói chung khơng Với S ∈ X , tập r LIMS,r xi := {x∗ ∈ S : xi → − x∗ } (1.3) gọi tâp r-giới hạn (xi ) thuộc S Với S = X , ký hiệu LIMr xi := LIMX,r xi Nếu LIMr xi = ∅ ta nói (xi ) r-hội tụ r gọi độ tụ (xi ) Ví dụ 1.1 Cho dãy (yi ) với yi = 0.5 + 2(−1)i /i, i = 1, 2, Dễ thấy (yi ) hội tụ 0.5 Đặt xi := zi , i = 1, 2, zi số thực thõa zi − 0.5 ≤ yi < zi + 0.5, chẳng hạn x1 = −1, x2 = 2, x2j−1 = x2i = 1, j = 2, 3, r − 0.5 với r = 0.5 Dãy (xi ) khơng hội tụ, xi → LIMr xi = ∅, [1 − r, r], r < 0.5, r ≥ 0.5 Với S = (xi ) LIM(xi ),r xi = ∅, {xi : i ≥ 3}, r < 1, r ≥ Như ta biết dãy hội tụ theo nghĩa cổ điển bị chặn giới hạn nhất, dãy dãy hội tụ hội tụ đến điểm Hội tụ thơ có số tính chất tương tự sau Mệnh đề 1.1.1 Cho (xi ) dãy X Khi đó: (a) Đường kính tập r-giới hạn khơng lớn 2r, tức diam(LIMr xi ) ≤ 2r Hơn nữa, 2r cận tối ưu (b) Nếu (xi ) ⊂ (xi ) LIMr xi ⊆ LIMr xi (c) Dãy (xi ) bị chặn tồn r ≥ cho LIMr xi = ∅ Với r > 0, dãy bị chặn (xi ) chứa dãy (xij ) thỏa mãn LIM(xij ),r xij = ∅ (d) Nếu C ⊂ X compact tương đối r ≥ 0, với dãy (xi ) C + B r (0) = {x + z : x ∈ C, z ∈ B r (0)}, chứa dãy (xij ) thỏa mãn LIMr xij = ∅ LIM(xij ),r xij = ∅, ∀r > r Ví dụ sau giả thiết Hệ 2.6.2 khơng thể giảm Ví dụ 2.13 Xét hàm số f (x) = − ln(1 + x), 1+x − ln x, x ∈ (−1, 0], x ∈ (0, 1] Ta chứng tỏ f γ -lồi đối xứng với γ = Giả sử x0 , x1 ∈ (−1, 1] x1 −x0 > Khi −1 < x0 < x1 := x1 − ≤ x1 > x0 := x0 + > Khi f (x0 ) = − ln(1 + x0 ), + x0 f (x0 + 1) = − ln(1 + x0 ), f (x1 ) = − ln x1 , f (x1 − 1) = − ln x1 x1 Do f liên tục [x0 + 1, x1 ] ⊂ [0, 1] khả vi (x0 + 1, x1 ), nên f (x1 ) − f (x0 + 1) = f (ξ) = − , x1 − x0 − ξ Vì f (x0 + 1) − f (x0 ) = − với ξ ∈ (x0 + 1, x1 ) 1 x0 + 1, f (x1 ) − f (x0 + 1) , x1 − x0 − tương đương f (x0 ) = f (x0 + 1) < 1− γ x1 − x0 f (x0 ) + γ f (x1 ) x1 − x0 Tương tự f (x1 − 1) − f (x0 ) 1 = f (θ) = − − , x1 − x0 − (1 + θ) 1+θ với θ ∈ (x0 , x1 − 1), − 1 1 − < − − < − = f (x1 ) − f (x1 − 1), (1 + θ)2 + θ x1 x21 x1 với < + θ < x1 , suy f (x1 − 1) − f (x0 ) < f (x1 ) − f (x1 − 1), x1 − x0 − tương đương f (x1 ) = f (x1 − 1) < γ γ f (x0 ) + − x1 − x0 x1 − x0 70 f (x1 ) Khi f γ -lồi đối xứng với γ = Rõ ràng diam(−1, 1] = = 2γ f khơng bị chặn (−1, 1] Ví dụ cho thấy khẳng định Hệ 2.6.2 (a) khơng cịn khoảng đóng [a, b] thay (a, b] Ví dụ 2.14 Cho D = [a, b] < b − a < 2γ Nếu b − a ≤ γ hàm f [a, b] γ -lồi đối xứng Khi chúng khơng thể kết luận tính bị chặn f Nếu γ < b − a < 2γ , xét hàm f [a, b] thỏa f (x) = 0, ∀x ∈ [a, b − γ] ∪ [a + γ, b] Giả sử x, y ∈ [a, b] x − y ≥ γ Do b−γ ≥x−γ ≥y ≥a a + γ ≤ y + γ ≤ x ≤ b, nên f (x) = f (x − γ) = f (y + γ) = f (y) = Vì f γ -lồi đối xứng [a, b] Nếu ta cho f giá trị lớn tùy ý bé tùy ý (b − γ, a + γ) f khơng bị chặn mà khơng bị chặn [a, b] Do đó, giả định diam D > 2γ Hệ 2.6.2 thực cần thiết Hệ 2.6.3 Nếu f : D ⊂ X → X γ -lồi đối xứng x0 , x1 ∈ D, x1 − x0 ≥ 2γ f bị chặn [x0 , x1 ] Chứng minh Đặt g(t) = f x0 + t I= t ∈ R : x0 + t x1 − x0 x1 − x0 x1 − x0 ∈D x1 − x0 Thì [0, x1 − x0 ] ⊂ I Vì f hàm γ -lồi đối xứng D nên g hàm γ lồi đối xứng I Nếu x1 − x0 = 2γ theo Hệ 2.6.2, g bị chặn [0, x1 − x0 ] Và x1 − x0 > 2γ diam I > 2γ lại theo Hệ 2.6.2, g bị chặn [0, x1 − x0 ] Vì f bị chặn [x0 , x1 ] Trong giải tích lồi, hàm lồi bị chặn hàm tập affine Hàm γ -lồi đối xứng có tính chất tương tự Mệnh đề 2.6.4 Nếu f γ -lồi đối xứng bị chặn trên tập affine A ⊂ D f hàm A Chứng minh Dễ thấy mệnh đề suy từ Định lý 2.3.6 Mệnh đề 2.1.7 Tuy nhiên, trình bày chứng minh trực tiếp Giả sử ngược lại tồn x, y ∈ A cho f (x) < f (y) Gọi z := y + γ 71 y−x , y−x f (y) ≤ γ y−x f (x) + f (z) γ+ y−x γ+ y−x f (x) < f (y) nên f (y) < f (z) Hơn f (z) ≤ − nên f y+t γ γ f (y) + f t t y−x y−x ≥ y+t y−x y−x t (f (z) − f (y)) → +∞ γ , ∀t > γ, t → +∞, mâu thuẫn với f bị chặn trên A Vì f hàm A Trên số kết riêng tính bị chặn hàm γ -lồi đối xứng tập bị chặn Tiếp theo ta khảo sát tính chất riêng tính bị chặn địa phương hàm γ -lồi đối xứng Định lý 2.6.5 Cho hàm γ -lồi đối xứng f bị chặn địa phương y ∈ int D Khi (a) f bị chặn địa phương điểm x D mà x − y /γ ∈ D (b) Nếu int D chứa hình cầu B γ (x∗ ) f bị chặn địa phương int D Chứng minh (a) Giả sử f bị chặn địa phương y ∈ int D x ∈ int D, x − y = γ Khi tồn hai số dương ρ β cho B ρ (x) ⊂ D, B ρ (y) ⊂ D sup f (y ) ≤ β y ∈B ρ (y) Bổ đề 2.5.4 cho thấy tồn hai điểm x , x ∈ D, x := x − ρ x−y , x−y x := x + ρ x−y , x−y hình cầu B σ (y) ⊂ B ρ (x) cho với điểm z ∈ B σ (y), điểm z := x − γ z−x z−x z := x + γ z−x z−x thuộc B ρ (y) Khơng tính tổng qt ta giả thiết β ≥ max{|f (x ), |f (x )|} Do f γ -lồi đối xứng, với z ∈ B σ (x) ta có z−x z−x f (x ) + γ+ z−x γ+ z−x ≤ max{f (x ), f (z )} ≤ β, f (z) ≤ 1− 72 f (z ) −β ≤ f (x ) ≤ (1 − µ)f (z) + µf (z ) ≤ (1 − µ)f (z) + µβ, với µ = z−x γ+ z−x Do z−x nên f (z) ≥ − ≤ z−x + x−x ≤ σ + ρ ≤ 2σ, z−x 1+µ β =− 1+ 1−µ γ β ≥− 1+ 4ρ γ β Do f bị chặn địa phương x Nếu x − y = nγ với n ∈ N x, y ∈ int D, đặt yi := y + iγ x−y ∈ int D, x−y với ≤ i ≤ n, x = yn Theo chứng minh trên, f bị chặn địa phương x = y1 f bị chặn địa phương x = y2 , y3 , Khi f bị chặn địa phương x = yn (b) Nếu dim X = khẳng định dễ dàng suy Hệ 2.6.2 Giả sử dim X ≥ 2, tồn y ∈ Sγ (x∗ ) cho y − y /γ ∈ N Theo (a) f bị chặn địa phương y Nên f bị chặn địa phương x∗ đó, f bị chặn địa phương z ∈ Sγ (x∗ ) Cuối cùng, x ∈ int D tồn z ∈ Sγ (x∗ ) thỏa x − z /γ ∈ N Vì f bị chặn địa phương x Trong không gian hữu hạn chiều X , hàm γ -lồi đối xứng bị chặn địa phương γ -phần D, tức intγ D := {x ∈ D : ∃r = r(x) > γ, Br (x) ⊂ D} Thì Định lý 2.6.5 nói f bị chặn địa phương int D intγ D = ∅ Trong thực tế, có kết mạnh hơn, cụ thể Mệnh đề 2.6.6 Nếu dim X < +∞, f γ -lồi đối xứng intγ D = ∅ f bị chặn tập compact int D Chứng minh Giả sử K ⊂ int D Với x ∈ K , tồn hình cầu mở B(x) chứa x cho f bị chặn B(x) Nếu K compact tồn hữu hạn hình cầu B(xi ), i = 1, 2, , n, phủ K Do đó, với x ∈ K , |f (x)| ≤ M := max sup{|f (y)| : y ∈ B(xi )} < +∞, 1≤i≤n hay f bị chặn K 73 2.6.2 Tính liên tục hàm γ-lồi đối xứng Tiếp theo, ta khảo sát tính liên tục hàm γ -lồi đối xứng Từ tính bị chặn hàm γ -lồi đối xứng, ta thấy hàm γ -lồi đối xứng có nhiều tính chất tương tự tính chất hàm lồi Những tính chất lần minh học cho nhận định Mệnh đề 2.6.7 Cho f hàm γ -lồi đối xứng D ⊂ D Khi f Lipschitz intγ D hai điều kiện sau thỏa mãn (i) f bị chặn D (ii) D bị chặn f bị chặn ∂D Chứng minh (i) Giả sử |f (x)| ≤ β với x ∈ D Lấy hai điểm x y thuộc intγ D cho f (x) ≤ f (y) Gọi z := y + γ y−x y−x Ta có z − y = γ y ∈ intγ D nên z ∈ D Do y = (1 − λ)x + λz, với λ = y−x , γ+ y−x f γ -lồi đối xứng, ta có f (y) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (z), nên ≤ f (y) − f (x) ≤ λ(f (z) − f (x)) ≤ 2βλ = 2β γ+ y−x y−x ≤ 2β y−x γ Gọi L = 2β/γ , ta |f (y) − f (x)| ≤ L y − x , ∀x, y ∈ intγ D , hay f Lipschitz intγ D (ii) Ta cần xét trường hợp intγ D = ∅ Với x ∈ intγ D B γ/2 (x) ⊂ B γ (x) ⊂ D ⊂ D Lấy x ∈ Sγ (x) Tồn x ∈ ∂D cho x ∈ [x, x ] x = (1 − λ)x + λx Ta có f (x ) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (x ) ≤ max f (x), sup f (y) < +∞ y∈∂D Do f bị chặn trên Sλ (x) Theo Định lý 2.6.1 f bị chặn B γ (x) Do D bị chặn f bị chặn ∂D , theo Mệnh đề 2.5.3 f bị chặn D Khi đó, theo (i) f Lipschitz intγ D 74 Định lý sau xem kết tính liên tục hàm γ -lồi đối xứng không gian hữu hạn chiều Định lý 2.6.8 Cho X không gian định chuẩn hữu hạn chiều f hàm γ -lồi đối xứng Khi f Lipschitz địa phương điểm thuộc intγ D Để chứng minh định lý trên, ta cần mệnh đề bổ trợ sau đây, hệ khác Mệnh đề 2.5.5 Mệnh đề 2.6.9 Cho X không gian định chuẩn hữu hạn chiều f hàm γ -lồi đối xứng Nếu f bị chặn địa phương x0 ∈ intγ D f Lipschitz địa phương x0 Chứng minh Giả sử |f (x)| ≤ β với x ∈ Br0 (x0 ), r0 > Do x0 ∈ intγ D nên tồn σ > cho Bγ+σ (x0 ) ⊂ D Gọi r1 r2 hai số dương xác định công thức (2.13) (2.15) với d = γ đặt r = min{r1 , r2 } Khi Br (x) ⊂ D với x ∈ Sγ (x0 ) Theo Mệnh đề 2.5.5 f bị chặn hình cầu Br (x) với x ∈ Sγ (x0 ) Chọn < r < min{r0 , r}, gọi T = {x : γ − r ≤ x − x0 ≤ γ + r}, T compact T tập đóng bị chặn không gian hữu hạn chiều Mà T có phủ mở {Br (x) : x ∈ Sγ (x0 )} nên tồn phủ hữu hạn {Br (x1 ), Br (x2 ), , Br (xm )} Gọi m M = sup |f (x)| : x ∈ Br (xi ) , i=1 M < ∞ |f (x)| ≤ M với x ∈ T f bị chặn hình cầu Br (xi ), i = 1, , m Giả sử x, y ∈ Br (x0 ) f (x) < f (y) Gọi z =y+γ y−x y−x Ta có z − x0 ≤ x0 − y + y − z < r + γ, z − x0 ≥ z − x − x − x0 > y − x + γ 75 y−x y−x > γ − r, hay z ∈ T Hơn nữa, y = (1 − λ)x + λx với λ = y − x /( y − x + γ), f (y) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (z) Khi < f (y) − f (x) ≤ λ(f (z) − f (x)) ≤ λ(M + β) = y−x (M + β), y−x +γ với L = (M + β)/γ |f (y) − f (x)| ≤ L y − x Chứng minh Định lý 2.6.8 Theo Mệnh đề 2.6.9 ta cần chứng minh f bị chặn địa phương điểm x ∈ intγ D Gọi {ν1 , ν2 , , νn } sở X với νi = 1, i = 1, 2, , n, gọi {e1 , e2 , , en } sở tắc khơng gian Euclide Rn , tức e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1) Ký hiệu chuẩn không gian Euclide Rn | · | Tồn phép đồng phơi tuyến tính A : X → Rn cho Aνi = ei , i = 1, 2, , n với x ∈ X , m = A−1 −1 m x ≤ |Ax| ≤ M x , (2.25) > M = A > Đặt K := max M, M m (2.26) , K ≥ Giả sử x0 ∈ intγ D, tồn ε > cho hình cầu đóng B γ+ε (x0 ) ⊂ D Đặt xi := x0 − (γ + ε)νi xi := x0 + (γ + ε)νi Thế xi , xi ∈ D, i = 1, 2, , n Theo Hệ 2.6.3 f bị chặn đoạn [xi , xi ] ⊂ D, tức tồn L > cho |f (x)| ≤ L với x ∈ [xi , xi ], i = 1, 2, , n Gọi Wi = span{ν1 , ν2 , , νi }, i = 1, 2, , n Ta chứng minh quy nạp f bị chặn L bị chặn −2i−1 L hình cầu Bσi i (x0 ) := {x ∈ x0 + Wi : x − x0 < σi }, σi := σ , (2K)i−1 σ := γ ,ε , 2K + i = 1, 2, , n (2.27) Rõ ràng khẳng định với i = Giả sử khẳng định với i = k−1 ≤ n−1, chứng minh khẳng định với i = k ≥ Xét f hình cầu Bσkk (x0 ) Lấy x ∈ Bσkk (x0 ) Nếu x ∈ Bσk−1 (x0 ) x−x0 ∈ span{νk }, theo k−1 76 giả thiết quy nạp, ta có −2k−2 L ≤ f (x) ≤ L (lưu ý σi < σi−1 với ≤ i ≤ n) Nếu (x0 ) x − x0 ∈ / span{νk }, x∈ / Bσk−1 k−1 dim(span{x − x0 , νk } ∩ Wk−1 ) = 1, ta k−1 ξi νi ∈ (span{x − x0 , νk } ∩ Wk−1 ) ν= ν = (2.28) i=1 Trong biểu diễn x − x0 = ξν + ξk νk = ξξ1 ν1 + ξξ2 ν2 + · · · + ξξk−1 νk−1 + ξk νk , (2.29) ta có ξ = ξk = x − x0 ∈ / span{νk } x ∈ / x0 + Wk−1 (a) Do f γ -lồi đối xứng nên để chứng minh f (x) ≤ L, ta cần tìm hai điểm y1 z1 cho y1 ∈ [xk , xk ], z1 ∈ Bσk−1 (x0 ), k−1 x ∈ [y1 , z1 ] x − y1 = γ, Xét hàm số ψ(η) = x − x0 − η sign ξk νk đoạn [0, γ + ε] Ta có ψ hàm liên tục Ngoài ra, ψ(0) = x − x0 < σk < γ, ψ(γ + ε) ≥ γ + ε − x − x0 > γ + ε − σk ≥ γ + ε − σ ≥ γ Do tồn điểm y1 = x0 + η1 sign ξk νk ∈ [xk , xk ], (0 < η1 < γ + ε) cho x − y1 = ψ(η1 ) = γ Rõ ràng η1 = y1 − x0 ≥ y1 − x − x − x0 > γ − σk (2.30) Mặc khác, từ (2.25), (2.28) (2.29) ta có k−1 ξi2 = i=1 k−1 ξi ei = |Aν|2 ≥ m2 ν = m2 , i=1 M σk2 > M x − x0 ≥ |A(x − x0 )|2 k−1 = ξk ek + ξξi ei i=1 k−1 = ξk2 + ξ ξi2 i=1 77 (2.31) Khi đó, ξ k−1 i=1 ξi < M σk2 từ (2.26), (2.27) (2.31), ta có M σk |ξ| < k−1 i=1 1/2 ≤ M σk ≤ Kσk < σk−1 m (2.32) ξi2 Tương tự, ξk2 < M σk2 từ (2.26), (2.27) (2.30), ta có 1 |ξk | < M σk ≤ Kσk ≤ (γ − σk ) < η1 2 (2.33) η1 > 2|ξk | (2.34) Vậy Gọi z1 = |ξk | η1 x− y1 η1 − |ξk | η1 − |ξk | Thì η1 |ξk | (x0 + ξk νk + ξν) − (x0 + η1 sign ξk νk ) η1 − |ξk | η1 − |ξk | η1 ξ = x0 + ν ∈ x0 + Wk−1 , η1 − |ξk | z1 = từ (2.27), (2.28), (2.32) (2.34) ta có z1 − x0 = η1 |ξ| < 2|ξ| < 2Kσk = σk−1 , η1 − |ξk | hay z1 ∈ Bσk−1 (x0 ) Cuối cùng, k−1 x= 1− |ξk | η1 z1 + |ξk | y1 ∈ [y1 , z1 ], η1 f hàm γ -lồi đối xứng, ta f (x) ≤ max{f (z1 ), f (y1 )} ≤ L (b) Để chứng minh f (x) ≥ −2k−1 L, ta cần tìm hai điểm y2 z2 cho y2 ∈ [xk , xk ], z2 ∈ Bσk−1 (x0 ), k−1 z2 ∈ [y2 , x], y2 − z2 = γ Với η ∈ [0, γ + ε], gọi y = x0 − η sign ξk νk z = 78 |ξk | η y+ x η + |ξk | η + |ξk | Thế y ∈ [xk , xk ], z ∈ [x, y] |ξk | η (x0 − η sign ξk νk ) + (x0 + ξk νk + ξν) η − |ξk | η − |ξk | ηξ = x0 + ν ∈ x0 + Wk−1 η + |ξk | z= Do đó, từ (2.32) ta có z − x0 = η |ξ| ≤ |ξ| < σk−1 , η − |ξk | hay (x0 ) z ∈ Bσk−1 k−1 (2.35) Do hàm số ϕ(η) := η sign ξk νk + ηξ ηξ ν = y − x0 − ν = y−z , η + |ξk | η + |ξk | liên tục [0, γ + ε] ϕ(0) = 0, η|ξ| > γ + ε − |ξ| > γ + ε − σk−1 η + |ξk | ≥ γ + ε − σ ≥ γ, ϕ(γ + ε) ≥ γ + ε − (từ (2.27)), suy tồn η2 ∈ (0, γ + ε) cho ϕ(η2 ) = γ Gọi y2 = x0 − η2 sign ξk νk z2 = η2 |ξk | y2 + x η2 + |ξk | η2 + |ξk | Thế y2 ∈ [xk , xk ], z2 ∈ [y2 , x] y2 − z2 = ϕ(η2 ) = γ Do f γ -lồi đối xứng z2 ∈ Bσk−1 (x0 ) (từ (2.35)), ta có k−1 −2k−2 L ≤ f (z2 ) |ξk | η2 ≤ f (y2 ) + f (x) η2 + |ξk | η2 + |ξk | |ξk | η2 ≤ 2k−2 L + f (x), η2 + |ξk | η2 + |ξk | (vì k ≥ 2) f (x) ≥ − + 2|ξk | η2 2k−2 L Hơn nữa, từ (2.27) (2.35) ta có η2 = y2 − x0 ≥ y2 − z2 − z2 − x0 > γ − σk−1 ≥ γ − σ ≥ 2Kσ, từ (2.27) (2.33) ta có 2|ξk | < 2Kσk = σk−1 ≤ σ 79 (2.36) Mà K ≥ nên 2|ξk | < η2 Do đó, từ (2.36) ta có f (x) ≥ −2 · 2k−2 L = −2k−1 L Bằng quy nạp, ta kết luận −2i−1 L ≤ f (x) ≤ L, ∀x ∈ Bσi i (x0 ), ≤ i ≤ n Đặc biệt, f bị chặn Bσnn (x0 ) = Bσn (x0 ) Ví dụ 2.15 Với a > e, hàm số f (x) = x ≤ 0, < x ≤ 1, 0, ax , γ -lồi đối xứng D = (−∞, 1] với γ = Thật vậy, giả sử x0 , x1 ∈ D, x1 − x0 > γ, xλ = x0 + γ x1−λ = x1 − γ với λ = γ x1 − x0 Thế x0 < x1−λ ≤ − γ = f (x1−λ ) = ≤ λf (x0 ) + (1 − λ)f (x1 ) Tương tự, xλ ≤ f (xλ ) ≤ (1 − λ)f (x0 ) + λf (x1 ) Xét xλ > Lúc bất đẳng thức Jensen trở thành ax0 +1 ≤ ax1 /(x1 − x0 ), hay ax1 −x0 −1 − (x1 − x0 ) ≥ Xét hàm số ϕ(t) := at − t − [0, ∞) Vì a > e, ta có ϕ (t) = at ln a − ≥ − = Do ϕ(t) = ϕ(0) = t≥0 Lấy t = x1 − x0 − ta bắt đẳng thức cần chứng minh Vậy f γ -lồi đối xứng với γ = Tuy nhiên, x = điểm biên intγ D với γ = f gián đoạn điểm Vì vậy, khẳng định Định lý 2.6.8 khơng cịn điểm không thuộc intγ D Hệ không gian X không cần phải hữu hạn chiều Hệ 2.6.10 Nếu hàm γ -lồi đối xứng f liên tục hình cầu Br0 (x0 ) ⊂ D với r0 > γ/2 f liên tục điểm intγ D Chứng minh Giả sử x ∈ intγ D Thì tồn x∗ ∈ Br0 (x0 ) cho x∗ − x /γ ∈ N Nếu x∗ = x, xét hàm số g(t) = f x∗ + t x − x∗ x − x∗ , khoảng I = {t ∈ R : x∗ +t((x−x∗ )/ x−x∗ ) ∈ D} Ta thấy t = x−x∗ ∈ intγ I g γ -lồi đối xứng I Do vậy, theo Định lý 2.6.8 g liên tục t, theo Mệnh đề 2.5.7 f liên tục x 80 Xét trường hợp X = R, có số kết luận hàm γ -lồi đối xứng điểm intγ D Mệnh đề 2.6.11 Cho D ⊂ R với diam D > 2γ F : D → R γ -lồi đối xứng Khi ta có khẳng định sau (a) f l.s.c x0 [x0 − γ, x0 + γ] ⊂ D (b) lim inf x↑x0 f (x) ≥ f (x0 ) ≥ lim supx↓x0 f (x) [x0 , x0 + γ] ⊂ int D (c) lim inf x↓x0 f (x) ≥ f (x0 ) ≥ lim supx↑x0 f (x) [x0 − γ, x0 ] ⊂ int D Khi đó, từ (b) (c), theo Định lý 2.6.8 f liên tục x x ∈ intγ D Chứng minh (a) Nếu x ∈ D x < x0 x0 = ta có f (x0 ) ≤ x0 − x γ x+ (x0 + γ), x0 − x + γ x0 − x + γ γ x0 − x f (x) + f (x0 + γ) x0 − x + γ x0 − x + γ Cho x → x0 ta f (x0 ) ≤ lim inf x↑x0 f (x) Nếu x ∈ D x > x0 f (x0 ) ≤ γ x − x0 f (x) + f (x0 − γ), x − x0 + γ x − x0 + γ f (x0 ) ≤ lim inf x↓x0 f (x) Vậy f l.s.c x0 (b) Nếu x > x0 , x + γ ∈ D tương tự ta có f (x) ≤ γ x − x0 f (x0 ) + f (x + γ) x − x0 + γ x − x0 + γ Theo Hệ 2.6.2 (b) f bị chặn [x0 , x0 + γ + ε] ⊂ D với ε > Khi đó, cho x → x0 ta lim supx↓x0 f (x) ≤ f (x0 ) Bất đẳng thức lại chứng minh câu (a) (c) Lập luận tương tự cho trường hợp x < x0 , x0 − γ ∈ int D ta bất đẳng thức cần chứng minh Qua Ví dụ 2.6, dù diam D = ∞ [0, 1] int D nên không xảy bất đẳng thức f (0) ≥ lim supx↓0 f (x) f không liên tục 81 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận văn trình bày số kết hội tụ thô, liên tục thô, định lý điểm-bất động hàm lồi thô Luận văn đạt số kết sau: • Trình bày chi tiết số tính chất hội tụ thô; so sánh khái niệm hội tụ phụ thuộc hội tụ thô vào độ thô Khảo sát dãy ρ-Cauchy ∗ (ρ) dãy ρ-Cauchy không gian định chuẩn ta độ tụ nhỏ rX • Khảo sát liên tục thơ ánh xạ tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y r-0-liên tục với r số thực dương cố định Trình bày chi tiết định lý điểm bất động sử dụng ước lượng khoảng số self-Jung ánh xạ k -co r-thơ • Khảo sát hàm lồi thơ với độ thơ khác nhau; trình bày mối liên hệ khái niệm lồi thơ; tính đóng kín lớp hàm lồi phép toán hàm quen thuộc số tính chất tối ưu hàm lồi thơ • Trình bày cấu trúc khảo sát số tính chất hàm γ -lồi đường thẳng thực Qua để nghiên cứu số tính chất hàm γ -lồi liên tục, khả tích Riemann, khả tích Lebesgue, khả vi hầu khắp nơi, ta cần nghiên cứu tính chất đoạn có độ dài γ đủ • Khảo sát tính chất bị chặn liên tục lớp hàm γ -lồi lớp nó, lớp hàm γ -đối xứng khơng gian nhiều chiều Chỉ số mối liên hệ tính bị chặn liên tục điểm với tính chất điểm định khác Tuy nhiên thời gian lực có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn quan tâm để luận văn hoàn thiện 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh: [3] D Amir (1985), On Jung’s constant and related constants in normed linear spaces, Pacific Journal of Mathematics, Vol 118, 1-15 [4] F Bohnenblust (1938), Convex regions and projections in Minkowski spaces, Annals of Mathematics, Vol 39, No 2, 301-308 [5] L J Cromme and I Diener (1991), Fixed point theorems for discontinuous mapping, Mathematical Programming, 51, 257-267 [6] N N Hai and H X Phu (1999), Symmetrically γ -Convex Functions, Optimization, Vol 46, No , 1-23 [7] N N Hai and H X Phu (2001), Boundedness of Symmetrically γ -Convex Function, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 26, No 3, 269-277 [8] H Hartwig (1996), A note on roughly convex functions, Optimization, Vol 38, 319-327 [9] T C Hu, V Klee, and D Larman, (1989), Optimization of globally convex functions, SIAM J Control and Optimization, Vol 27, No 5, 1026-1047 ă [10] H E W Jung (1901), Uber die kleinste Kugel, die eine ră aumliche Figur einschlieòt, Journal fă ur die reine und angewandte Mathematik, Vol 123, 241257 [11] S Kakutani (1941), A generalization of Brouwer’s fixed point theorem, Duke Math J., 8, 457-459 [12] V Klee (1960), Circumspheres and inner products, Math Scand., Vol 8, 363370 [13] I P Natanson (1964) Theory of Functions of a Real Variable, Frederick Ungar Publishing Co, New York, Vol 83 [14] H X Phu (1993), γ -Subdifferential and γ -Convexity of Functions on the Real Line, Applied Mathematics and Optimization, Vol 27, 145-160 [15] H X Phu (1995), γ -Subdifferential and γ -Convexity of Functions on a Normed Space, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 85, No 3, 649-676 [16] H X Phu and N N Hai (1996), Some Analytical Properties of γ -Convex Functions on the Real Line, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 91, No.3, 671-694 [17] H X Phu (1997), Six Kinds of Roughly Convex Functions, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 92, No 2, 357-375 [18] H X Phu and T V Truong, (2000), Invariant Property of Roughly Contractive Mappings, Vietnam Journal of Mathematics, Vol 28, No 3, 275-290 [19] H X Phu (2001), Rough Convergence in Normed Linear Spaces, Numerical Functional Analysis and Optimization, Vol 22, No 1&2, 201-224 [20] H X Phu (2002), Rough Continuity of Linear Operators, Numerical Functional Analysis and Optimization, Vol 23, No 1&2, 139-146 [21] H X Phu (2003), On Circumradii of Sets and Roughly Contractive Mappings, Vietnam Journal of Mathematics, Vol 31, No 1, 115-122 [22] H X Phu (2003), Rough Convergence in Infinite Dimensional Normed Spaces, Numerical Functional Analysis and Optimization, Vol 24, No 3&4, 285-301 [23] H X Phu (2003), Fixed-Point Property of Roughly Contractive Mappings, Zeitschrift fă ur Analysis und ihre Anwendungen, Vol 22, No 3, 517-528 [24] H X Phu (2004), Approximate Fixed-Point Theorems for Discontinuous Mappings, Numerical Functional Analysis and Optimization, Vol 25, No 1&2, 119-136 [25] H X Phu (2005), Some Basic Ideas of Rough Analysis, in Proceedings of the Sixth Vietnamese Mathematical Conference, H H Khoai, D T Thi, D L Van (Eds.), Hanoi National University Publishing House, Hanoi, 3-31 [26] H X Phu and N N Hai (2005), Some Analytical Properties of γ -Convex Functions in Normed Linear Spaces, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 126, No 3, 685-700 [27] E Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Vol I: FixedPoint Theorems, Springer-Verlag: New York Berlin Heidelberg Tokyo 84 ... VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUỲNH CHÂU TUẤN MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH THƠ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... tóm tắt số kết liên quan đến hội tụ thô liên tục thô, định lý điểm bất động ánh xạ liên tục thô, lồi thô ứng dụng vào tối ưu hóa tồn cục Với mong muốn nghiên cứu sâu khái niệm mở rộng giải tích, ... 46 47 53 59 67 tụ thô Liên tục thô Hội tụ thô So sánh khái niệm hội tụ Sự phụ thuộc hội tụ thô vào độ thô Dãy Cauchy thô Liên tục thô