Một số kết quả cổ điển về nghiệm của đa thức

Chương 1Bất đẳng thức cho nghiệm của đa thức 1.1 Định lý cơ bản của đại số Trong thế kỉ 17, khi các định lý đại số rất ít, phát biểu sau được coi làĐịnh lý cơ bản của đại số:"Một đa thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ

MỘT SỐ KẾT QUẢ CỔ ĐIỂN VỀ

NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số

Mã số chuyên ngành : 60.46.01.04

Người hướng dẫn : TS Bùi Huy Hiền

HÀ NỘI - 2017

LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Bùi Huy Hiền, người đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và đưa ra nhiều ý kiến quý báu, cũng như tạo điều kiện thuận lợi, cung cấp tài liệu và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành bài luận văn.

Tôi cũng xin cảm ơn sâu sắc các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Đại số - Lý thuyết số đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập.

Nhân dịp này, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả Nguyễn Thị Mai Hương

Mục lục

1.1 Định lý cơ bản của đại số 5

1.2 Định lý Cauchy 7

1.3 Định lý Laguerre 10

1.4 Đa thức đối cực 12

1.5 Bài toán Routh-Hurwitz 17

2 Nghiệm của đa thức và đạo hàm của nó 19 2.1 Định lý Gauss-Lucas 19

2.2 Nghiệm của đạo hàm và các tiêu điểm của ellipse 20

2.3 Xác định nghiệm của đạo hàm 21

2.4 Giả thuyết Sendov-Ilieff 24

3 Kết thức và biệt thức 27 3.1 Kết thức 27

3.2 Biệt thức 30

3.3 Tính toán kết thức, biệt thức của một số đa thức đặc biệt 32 4 Sự phân bố nghiệm 35 4.1 Sự phân bố nghiệm thực 35

4.2 Sự phân bố nghiệm phức 44

5 Chuỗi Lagrange và ước lượng nghiệm của đa thức 47 5.1 Chuỗi Lagrange-Burmann 47

5.2 Chuỗi Lagrange và ước lượng nghiệm 50

đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng Câu hỏi thường gặp ở đây

là bài toán tìm nghiệm: tìm một, một số hay tất cả các nghiệm Để giảiquyết bài toán trên, ta thường phải nghiên cứu bài toán tồn tại, phân bố,ước lượng và tính ổn định nghiệm của đa thức Dẫn đến các định lý quantrọng về tồn tại, phân bố, ước lượng và tính ổn định nghiệm được ra đời

Từ đó cho ta các kết quả về nghiệm của đa thức Với mong muốn tìm hiểusâu hơn về các kết quả đó, tác giả chọn đề tài “Một số kết quả cổ điển

về nghiệm của đa thức”

Nội dung chính của luận văn này được trình bày trong 6 chương:Chương 1 Trình bày một số bất đẳng thức cho nghiệm của đa thức.Chương 2 Trình bày một số kết quả về nghiệm của đa thức và đạo hàmcủa nó

Chương 3 Trình bày một số kết quả về kết thức, biệt thức và tính toánkết thức, biệt thức của một số đa thức đặc biệt

Chương 4 Trình bày một số kết quả về phân bố nghiệm thực và nghiệmphức của đa thức

Chương 5 Trình bày một số kết quả về chuỗi Lagrange và ước lượngnghiệm của đa thức

Chương 6 Trình bày một số bài tập áp dụng

Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành luận văn, nhưng do thời gian vàkhả năng còn hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.Tác giả rất mong nhận được những ý kiến quý báu chỉ bảo của thầy cô vàcác bạn

Chương 1

Bất đẳng thức cho nghiệm của đa thức

1.1 Định lý cơ bản của đại số

Trong thế kỉ 17, khi các định lý đại số rất ít, phát biểu sau được coi làĐịnh lý cơ bản của đại số:"Một đa thức xác định có bậc n với hệ số phức

có đúng n nghiệm (tính cả bội)"

Người đầu tiên đưa ra phát biểu này là Alber de Girard năm 1629, nhưngông không chứng minh điều đó Người đầu tiên nhận ra sự cần thiết phảichứng minh Định lý cơ bản của đại số là d’Alembert Chứng minh của ông(1746) không được xem là thuyết phục Euler (1749), Faunsenet (1759)

và Lagrange (1771) đã đưa ra chứng minh, nhưng những chứng minh nàychưa chặt chẽ

Người đầu tiên đưa ra một chứng minh thỏa đáng của Định lý cơ bảncủa đại số là Gauss Ông đã đưa ra ba cách khác nhau để chứng minh(năm 1799, 1815, 1816) và năm 1845 ông đưa ra thêm một cách chứngminh chính xác

Ở đây, chúng ta xét cách chứng định lý này dựa trên định lý Rouché.Định lý 1.1.1 (Rouché) Cho các đa thức f và g; γ là đường cong đóngkhông tự cắt trong mặt phẳng phức Nếu

|f (z) − g(z)| < |f (z)| + |g(z)| (1.1)với mọi z ∈ γ thì trong γ, số nghiệm của f và g bằng nhau (tính cả bội).Chứng minh Trong mặt phẳng phức, xét các trường véc-tơ v(z) = f (z)

và w(z) = g(z) Từ (1.1) ta suy ra rằng không điểm nào của γ là các

Chương 1 Bất đẳng thức cho nghiệm của đa thức

véc-tơ v, w ngược hướng nhau Nhớ lại rằng, chỉ số của đường cong γ đốivới trường véc-tơ v là số vòng quay của vectơ v(z) vì nó hoàn toàn baohàm đường cong γ Xét trường véc-tơ

vt = tv + (1 − t) w

Khi đó v0 = w và v1 = v Rõ ràng rằng mọi điểm z ∈ γ thì véc-tơ vt(z) làkhác không Điều này có nghĩa là chỉ số ind(t)củaγ đối với trường véc-tơvt

được xác định Số nguyên ind(t) phụ thuộc vào t, và do đó ind(t) = const

Cụ thể, các chỉ số tương quan của các trường véc-tơ v và w trùng nhau.Giả sử chỉ số của điểm đơn z0 được xác định là chỉ số của đường cong

|z − z0| = ε, trong đó ε là đủ nhỏ Không khó để chứng minh rằng chỉ sốcủa γ đối với trường véc-tơ v bằng tổng các chỉ số của điểm đơn, tức lànhững điểm có v(z) = 0 Đối với trường véc-tơ v(z) = f (z), số của điểmđơn z0 bằng với số nghiệm bội z0 của f Do đó sự trùng nhau của các chỉ

số γ đối với các trường véc-tơ v(z) = f (z) và w(z) = g(z), tức là bêntrong γ, số lượng nghiệm của f bằng với số lượng nghiệm của g Định lý 1.1.2 (d’Alembert-Gauss, Định lý cơ bản của đại số).Một đa thức xác định có bậc n với hệ số phức có đúng n nghiệm (tính cảbội)

Chứng minh Giả sử f (z) = anzn + · · · + a1z + a0 là một đa thức bậc

Chương 1 Bất đẳng thức cho nghiệm của đa thức

Do đó |h (z)| < |g (z)| với mọi z nằm trên đường tròn có tâm là gốc tọa

độ O, bán kính r Rõ ràng, g (z) = anzn có nghiệm 0 bội n Do đó theođịnh lý Rouché, f (z) = g (z) + h (z) có n nghiệm (tính cả bội) trong hìnhtròn |z| < r Suy ra f (z) có n nghiệm Với định lý Rouché, nó không chỉ có thể chứng minh Định lý cơ bảncủa đại số mà còn để ước lượng giá trị tuyệt đối của bất kỳ nghiệm nàocủa đa thức

Định lý 1.1.3 Cho f (z) = zn+ a1zn−1 + · · · + an, trong đó ai ∈ C Khi

đó, bên trong đường tròn |z| = 1 + max

|f (z) − g(z)| < |g(z)|, tức là

a1zn−1+ · · · + an

< |z|n

Hiển nhiên, nếu |z| = 1 + a thì

a1zn−1 + · · · + an

≤ a(|z|n−1 + · · · + 1) = a|z|n− 1

Chương 1 Bất đẳng thức cho nghiệm của đa thức

Nếu x 6= 0, phương trình f (x) = 0 tương đương với phương trình F (x) =

0 Khi x tăng dần từ 0 tới +∞, hàm F (x) giảm nghiêm ngặt từ +∞ tới

−1 Do đó, với x > 0, hàm F triệt tiêu tại đúng một điểm p Ta có:

suy ra f0(p) 6= 0 Do đó, p là một nghiệm đơn của f

Ta chứng minh rằng: nếu x0 là một nghiệm của f thì q = |x0| ≤ p.Giả sử rằng q > p Khi đó, vì F là đơn điệu giảm nên q > p Khi đó

F (q) < F (p) = 0, suy ra −f (q)qn < 0, do đó f (q) > 0

Mặt khác, đẳng thức x0n = b1x0n−1 + · · · + bn kéo theo

qn ≤ b1qn−1 + · · · + bn,

Lưu ý: Giá trị tuyệt đối của nghiệm chính là modul Trong Tiếng Việt,với z ∈ C thì chỉ có khái niệm modul |z|, ta không dùng khái niệm giá trịtuyệt đối của một số phức

Đa thức f (x) = x2n − xn − 1 có 2n nghiệm, trong đó có n nghiệm cómodul bằng nghiệm dương lớn nhất của đa thức này Thật vậy, f (x) = 0

suy ra xn = 1−

√ 5

2 hoặc xn = 1+

√ 5

2 Nếu xn = 1+

√ 5

2 thì x = ε n

q

1+ √ 5

2 (với ε

là căn bậc n của 1) Vậy f (x) có n nghiệm x = εn

q

1+ √ 5

Do đó, trong định lý Cauchy, ước lượng

giá trị tuyệt đối của các nghiệm ≤ p

là không thể, thế thì

giá trị tuyệt đối của các nghiệm < p

Tức là trong kết luận của định lý Cauchy không thể khẳng định giá trịtuyệt đối của các nghiệm < p

Ostrovsky đã chứng tỏ rằng trong các trường hợp tổng quát thì sự thaythế đó có thể thực hiện được

Chương 1 Bất đẳng thức cho nghiệm của đa thức

Định lý 1.2.2 (Ostrovsky) Cho f (x) = xn− b1xn−1 − · · · − bn, trong

đó các số bi là không âm và ít nhất một trong các số đó khác 0

Nếu ước chung lớn nhất của các chỉ số của các hệ số dương bi là 1 thì

f có duy nhất một nghiệm đơn p và giá trị tuyệt đối của các nghiệm khácnhỏ hơn p

Chứng minh Cho các hệ sốbk1, bk2, , bkm, trong đó k1 < k2 < < km

là dương Vì ước chung lớn nhất của k1, k2, , km là 1 nên tồn tại các sốnguyên s1, s2, , sm sao cho s1k1 + · · · + smkm = 1 Xét hàm

bk1

xk 1

...

đa thức biến z x, y số Khi triệt tiêu kết thức đathức quan hệ đa thức mong muốn R(x, y) =

Kết thức cho phép ta đưa việc giải hệ phương trình đại số giảiphương trình đại số Thật... bố nghiệm đathức đa thức đạo hàm

Giả thuyết Sendov

Cho P (z) đa thức bậc n ≥ mà nghiệm nằm đĩa |z| ≤ Nếu

z0 nghiệm P (z) đĩa |z − z0| ≤ chứa mộtnghiệm... g) =

Kết thức có nhiều ứng dụng khác Ví dụ, quan hệ đa thức

P (x, z) = Q(y, z) = Thông qua kết thức, ta quan hệ đa thứcdạng R(x, y) = 0, tức khử z Thật vậy, coi đa thức P (x, z),