Công thức nghiệm cho một số lớp đa thức

31.2 Quy tắc dấu Descartes và Định lý Sturm về số nghiệm thực của đa thức.. Từ công trình của Abel và Galois, người ta biết rằng có nhiều đa thức bậc 5 trở lên không có công thức đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG VĂN HƯỜNG

CÔNG THỨC NGHIỆM CHO MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2019

Mục lục

Chương 1 Nghiệm và số nghiệm của phương trình đa thức 31.1 Công thức nghiệm của đa thức có bậc nhỏ và nghiệm hữu tỷ 31.2 Quy tắc dấu Descartes và Định lý Sturm về số nghiệm thực của

đa thức 12Chương 2 Phép biến đổi Tschirnhaus và ứng dụng 212.1 Phương pháp biến đổi Tschirnhaus 212.2 Nghiệm đa thức ax2µ+ bxµ− xν + c = 0 29Chương 3 Phương pháp giải tích và nghiệm xấp xỉ 353.1 Chặn các nghiệm 353.2 Phương pháp xấp xỉ Newton và Phương pháp xấp xỉ M¨uller 40

Mở đầu

Tìm hiểu công thức nghiệm của các đa thức một biến là bài toán rất quantrọng trong toán học Từ lâu người ta đã biết công thức nghiệm cho các phươngtrình bậc 1, 2, 3, 4 Từ công trình của Abel và Galois, người ta biết rằng có nhiều

đa thức bậc 5 trở lên không có công thức đại số biểu diễn các nghiệm của nó.Bên cạnh đó vẫn có nhiều đa thức bậc cao mà nghiệm có thể biểu diễn bằng cáccông thức đại số Việc tìm ra các công thức này, mặt khác, là bài toán rất khó.Trong luận văn này, dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Đoàn Trung Cường, chúngtôi chọn đề tài “Công thức nghiệm cho một số lớp đa thức” để làm nội dungnghiên cứu Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu một số phương pháp tìm nghiệmchính xác và nghiệm xấp xỉ của một số lớp đa thức bậc cao như vậy

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận vănđược chia làm ba chương

Chương 1 Nghiệm và số nghiệm của phương trình đa thức Trongchương này chúng tôi trình bày một số kết quả như công thức nghiệm của các

đa thức bậc 1, 2, 3 và 4, nghiệm hữu tỉ, nghiệm bội, nguyên lý đổi dấu Descartes

và định lý Sturm

Chương 2 Phép biến đổi Tschirnhaus và ứng dụng Phép biến đổiTschirnhaus đưa một đa thức về một đa thức có nhiều hệ số bằng0 Chương nàytrình bày phép biến đổi Tschirnhaus và một ứng dụng phép biến đổi Tschirnhaus

để đưa ra các công thức nghiệm dạng căn thức lồng nhau

Chương 3 Phương pháp giải tích và nghiệm xấp xỉ Việc tìm tất

cả các nghiệm của đa thức nói chung là ít khả thi Thay vào đó người ta tìmcách khoanh vùng nghiệm của đa thức hoặc tất cả các nghiệm có thể của đathức Chương này trình bày về chặn nghiệm của đa thức, phương pháp Newton,phương pháp M¨uller, phương pháp số và công thức giải tích tìm nghiệm của

phương trình đại số.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Đoàn Trung Cường, đã địnhhướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận vănnày

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trongkhoa Toán Tin, cũng như các thầy cô giáo đã tận tâm giảng dạy, hướng dẫn,giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Xin cảm ơn những người thân trong gia đình và tất cả những người bạn thânyêu đã hết sức thông cảm, chia sẻ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có thểhọc tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn của mình

Xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019

Người viết luận văn

Hoàng Văn Hường

2, 3, 4 và cách tìm nghiệm hữu tỷ.

Cho k là một trường, đa thức P (x) với biếnx và hệ số trong k có dạng

P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x2+ · · · + a n xn,

trong đó a0, , an ∈ k Nếu P = 0, tức là a0 = a1 = · · · = an = 0, thì ta nói rằng

đa thức P có bậc là −∞, ký hiệu deg P = −∞ Nếu P 6= 0 và an 6= 0 thì ta nóirằng đa thức P có bậc là n, ký hiệu deg P = n. Hạng tử anxn được gọi là hạng

tử cao nhất của P, an gọi là hệ số cao nhất của P. Tập các đa thức một biến với

hệ số trong k được ký hiệu là k[x]

Định nghĩa 1.1.1 Cho đa thứcP ∈ k[x], một phần tửα ∈ k được gọi là khôngđiểm (hay nghiệm) của đa thức P nếu P (α) = 0.

Các phương trình có bậc càng lớn thì việc giải càng khó, kể cả chỉ xét sốnghiệm hay một số tính chất của nghiệm Dưới đây ta nhắc lại công thức nghiệm

cổ điển của các phương trình đa thức có bậc 1, 2, 3 và 4 Để tiện trình bày, tagiả sử các phương trình này có hệ số trong trường các số thực R Trường hợpphương trình với hệ số trong trường l bất kỳ được giải tương tự với lưu ý vềđiều kiện khai căn và đặc số của trường

Phương trình bậc nhất (hay phương trình tuyến tính) là phương trình đa thức

có dạng

ax + b = 0, a 6= 0.

Phương trình này có một nghiệm x = −b/a

Phương trình bậc hai là phương trình đa thức có dạng

Bằng biến đổi quen thuộc, phương trình (1.1.1) tương đương với phương trình



x + b2a

Giả sử y ∈C là một nghiệm của phương trình (1.1.5) Đặt y = u + v với u, v ∈C

nào đó Như thế v có thể chọn tùy ý Thay vào (1.1.5) ta có

(u + v)3+ a(u + v) + b = 0 hay (u3+ v3+ b) + (u + v)(3uv + a) = 0.

Chọn u, v sao cho 3uv + a = 0 Khi đó, ta có hệ







u3+ v3+ b = 0 3uv = −a

Hệ này tương đương

2 (A − B),

y3 = −1

2(A + B) −

i √ 3

Ba nghiệm trên có thể được kiểm tra như sau:

(y − y1)(y − y2)(y − y3) = (y − A − B) y2+ (A + B)y + A2− AB + B2

= y3− 3ABy − (A + B)(A2− AB + B2)

= y3− 3ABy − A3− B3

= y3+ ay + b.

Giả sử các hệ số p, q, r là các số thực (khi đó a và b cũng là số thực) Ta có batrường hợp:

• trường hợp b42 + 27a3 > 0 Phương trình (1.1.5) một nghiệm thực y = y1 vàhai nghiệm phức liên hợp

• trường hợp b42 + a273 = 0, suy ra a ≤ 0 Nghiệm của phương trình (1.1.5) cócác khả năng là

Ví dụ 1.1.2 Giải phương trình

x3+ 3x2+ 12x − 16 = 0.

Đặt x = y − 1ta được

y3+ 9y − 26 = 0.

Đây là một phương trình bậc ba và ta đã biết cách giải Đặt

tương đương

 x2+ 4x − 1

3 2

x2+ 4x − 1

3 2

Định lý 1.1.4 (Nghiệm hữu tỷ của đa thức nguyên) Cho đa thức f (x) =

a0+ a1x + a2x2+ · · · + anxn ∈Z[X], an 6= 0. Nếu x = pq, (p, q) = 1, q 6= 0, (p, q ∈Z)

là nghiệm của f (x) thì p | a0, q | an. Từ đó suy ra nếu an = 1 thì các nghiệm hữu

tỷ của đa thức này phải là số nguyên

Chứng minh Vìx = p

q, (p, q) = 1, q 6= 0, (p, q ∈Z)là nghiệm củaf (x)nênf

p q



=

0 hay anpn = −q(an−1pn−1+ · · · + a1pqn−2+ a0qn−1) Suy ra p | a0, q | an.

Ta thường áp dụng định lý này để chứng minh một số là số vô tỷ khi số đó

là nghiệm nhưng không là nghiệm nguyên của một đa thức hệ số nguyên có hệ

2 + √ 3

Ví dụ 1.1.6 (Đề thi HSG Quốc gia năm 1997- bảng A)

a) Tìm tất cả các đa thứcf (x)với hệ số hữu tỉ có bậc nhỏ nhất màf √ 3

Nếu deg f (x) = 2, đăt f (x) = ax2 + bx + c trong đó a, b ∈ Q Khi đó điều kiện

Định lý 1.1.7 (Định lý Viete) Cho đa thức p(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x +

a 0 6= 0, a n 6= 0, a i ∈R, i = 0, 1, , n, với n nghiệm (thực hoặc phức) x 1 , x 2 , , x n.Khi đó, ta có

+ · · · + (−1)nx1x2· · · xn).

Đồng nhất hai vế ta có điều phải chứng minh

1.2 Quy tắc dấu Descartes và Định lý Sturm về số

nghiệm thực của đa thức

Trong trường hợp tổng quát ta không có công thức nghiệm hay thuật toántìm nghiệm cho các đa thức nói chung Người ta chỉ có thể tìm hiểu một sốthông tin như số nghiệm, số nghiệm đơn hoặc tìm nghiệm xấp xỉ Trong tiết này

ta xét một số tính chất về số nghiệm thực của một đa thức Kết quả chính làQuy tắc dấu của Descartes và Định lý Sturm Tài liệu tham khảo chính của tiếtnày là các bài báo [6, 9]

Trước hết ta nhắc lại một số định nghĩa và kết quả về nghiệm bội

Định nghĩa 1.2.1 Cho đa thức f (x) với hệ số trên trường k Giả sử m > 0 làmột số nguyên, một số thực a là nghiệm bội m của đa thức f (x) nếu f (x) chiahết cho(x − a)m nhưngf (x) không chia hết cho(x − a)m+1 Nếu m = 1thì ađượcgọi là nghiệm đơn, nếu m = 2 thì a được gọi là nghiệm kép Trong trường hợp

m > 1 thì ta cũng gọi a là một nghiệm bội của f (x)

Trong trường hợp đa thức trên trường có đặc số 0 thì nghiệm bội có thể đặctrưng qua nghiệm của đạo hàm của đa thức đó Trong phần sau chủ yếu ta xét

đa thức thực và phức nên từ giờ cho đến hết tiết, ta sẽ xét hoặc k = C hoặc

k =R.

Bổ đề 1.2.2 Cho đa thức f (x) ∈C[x] Một số a ∈ C là nghiệm bội của f (x) khi

và chỉ khi a là nghiệm chung của hai đa thức f (x) và f0(x)

Chứng minh Giả sửa ∈C là một nghiệm bộimcủaf (x) Đặtf (x) = (x−a)mg(x)

trong đó g(x) ∈ C[x] thoả mãn g(a) 6= 0 và deg g = deg f − m Ta có f0(x) = m(x − a)m−1g(x) + (x − a)mg0(x) Do đó f0(a) = 0 khi và chỉ khi m > 1

Một công cụ hữu hiệu để xét sự tồn tại của nghiệm bội là khái niệm biệtthức Trước hết ta nhắc lại định nghĩa, một số tính chất của biệt thức cũng sẽđược xét ở chương sau

Định nghĩa 1.2.3 Cho đa thứcf (x) = anxn+ · · · a1x + a0∈C[x] Biệt thức của

f (x), ký hiệu là ∆(f ), là định thức của ma trận vuông cấp (2n − 1) sau

Bổ đề 1.2.4 Đa thức f (x) ∈C[x] có nghiệm bội khi và chỉ khi ∆(f ) = 0

Chứng minh Giả sử deg f (x) = n Gọi V là tập hợp các đa thức trong C[x] cóbậc nhỏ hơn 2n − 1 Suy ra V = C+Cx +Cx2+ · · · +Cx2n−2 là không gian véc

tơ trên C với một cơ sở gồm các đa thức 1, x, , x2n−2 Do dim V = 2n − 1 nên

hệ gồm 2n − 1 đa thức f, xf, x2f, ., xn−2f, f0, xf0, x2f0, ., xn−1f0∈C[X] (∗)

là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ∆(f ) = 0 Điều này tương đương với cócác hệ số ci, dj ∈C không đồng thời bằng 0 thoả mãn

c0f (x) + c1xf (x) + · · · + cn−2xn−2f (x) + d0f0(x) + d1f0(x) + · · · + dn−1xn−1f0(x) = 0.

Gom lại ta thu được quan hệ u(x)f (x) = v(x)f0(x), trong đó deg u < deg f0,

deg v < deg f và u, v không đồng thời bằng 0 Điều này tương đương với hai đathức f0, f có ước chung khác hằng, hay theo bổ đề trên, đa thức f (x) có nghiệmbội

Ví dụ 1.2.5 Đa thức bậc hai với hệ số thực f (x) = ax2+ bx + c, (a 6= 0) có biệtthức

∆(f ) =

... việc tìm nghiệm đa thức thuận lợi đa thức

đó có nhiều hệ số 0, người ta gọi đa thức thưa Do đó, tìmnghiệm đa thức ta thường định hướng biến đổi đa thức v? ?một đa thức tương... phương trình đa thức

Phương pháp biến đổi Tschirnhaus đưa việc tìm nghiệm đa thức chotrước tìm nghiệm đa thức khác có nhiều hệ số 0 Với đathức ta có nhiều hi vọng tìm nghiệm

Trước... −1. Nếu hệ số số phức nghiệmphức khơng thiết liên hợp với

Với đa thức thực, câu hỏi tự nhiên ước lượng số nghiệmthực đa thức thơng qua hệ số hay không Quy tắc dấu Descartes chothông tin