Một số phương trình với đạo hàm cấp không nguyên (luận án tiến sĩ toán học)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BẢO NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh – 2020 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE TRAN BAO NGOC SOME EQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVES Doctoral Thesis Ho Chi Minh City – 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN BẢO NGỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHƠNG NGUN Ngành: Tốn giải tích Mã số Ngành: 9460102 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 2: PGS.TS Mai Đức Thành Phản biện 3: PGS.TS Lê Xuân Trường Phản biện độc lập 1: miễn Phản biện độc lập 2: miễn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn TP Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Tốn giải tích, với đề tài "Một số phương trình với đạo hàm cấp khơng ngun" cơng trình khoa học Tôi thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Huy Tuấn Những kết nghiên cứu luận án hồn tồn trung thực, xác khơng trùng lắp với cơng trình cơng bố nước Nghiên cứu sinh Trần Bảo Ngọc i LỜI CẢM ƠN Trước tiên với tình cảm sâu sắc chân thành nhất, cho phép tơi bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy hướng dẫn - PGS TS Nguyễn Huy Tuấn Thầy tận tình hướng dẫn, quan tâm nhiều suốt thời gian học tập Thầy ln động viên giúp đỡ tơi trước khó khăn việc học tập sống Ngồi kiến thức chun mơn, Thầy ln giúp tơi có thật nhiều động lực cảm hứng để hồn thành luận án Tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức quý báu, đặc biệt quý Thầy, Cô Khoa Tốn - Tin Tơi xin chân thành cảm ơn quý Phòng, Ban giúp đỡ quy chế học vụ Tôi xin cảm ơn sâu sắc đến Trường Đại học Nơng Lâm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện để tơi an tâm học tập hồn thành cơng việc nhà trường Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô, Thủ trưởng đơn vị động viên giúp đỡ Tôi xin cảm ơn hỗ trợ tình cảm nhiệt thành bạn Nhóm nghiên cứu Tơi xin cảm ơn bạn nghiên cứu sinh ngành Tốn Giải tích, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ ủng hộ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, cảm ơn vợ tơi chỗ dựa vững cho động lực lớn để tơi hồn thành chương trình học luận án tiến sĩ Mặc dù cố gắng luận án khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo q Thầy, Cơ, góp ý chân thành bạn bè, quý độc giả ii TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN Tên đề tài luận án: Một số phương trình với đạo hàm cấp khơng ngun Ngành: Tốn giải tích Mã số Ngành: 9460102 Họ tên nghiên cứu sinh: TRẦN BẢO NGỌC Khóa đào tạo: 2018 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HUY TUẤN Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN: Kết luận án tổng hợp từ báo cơng bố tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Computers and Mathematics with Applications, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, chia thành chương sau • Chương 4: Bài tốn biên bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên    ∂αt u( x, t) − u xx ( x, t) = f ( x, t, u( x, t)), x > 0, t > 0,       u( x, 0) = 0, x ≥ 0,         u(0, t) = g(t), t ≥ 0, u x (0, t) = h(t), t ≥ 0, (1) α ∈ (0, 1), ∂αt đạo hàm Caputo cấp α theo thời gian, hàm nguồn phi tuyến f liệu biên g, h thỏa mãn số giả thiết cho trước Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard, đề xuất chỉnh hóa phương pháp chặt cụt Fourier Kết chương iii đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác khơng gian L2 (R) • Chương 5: Bài tốn giá trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên   ∂αt u( x, t) + Au( x, t) = F ( x, t, u( x, t)), x ∈ Ω, ≤ t < T,      u( x, t) = 0, x ∈ O , ≤ t < T,  m    u ( x, T ) − ( G ( u ))( x ) =  ∑ ϑj u(x, t j ), x ∈ Ω,  (2) j =1 O ký hiệu biên Ω ⊂ Rd , ∂αt đạo hàm Caputo cấp α ∈ (0, 1) theo thời gian, A toán tử elliptic xác định dương, hàm phi tuyến F, G, hệ số ϑ j , điểm thời gian t j thỏa mãn số giả thiết cho trước Kết chương tồn nghiệm tích phân cho toán α ((0, T ]; L2 ( Ω )) thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii Cw • Chương 6: Bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên    ∂αt u( x, t) + Au( x, t) = F ( x, t, u( x, t), v( x, t)), x ∈ Ω, ≤ t < T,        ∂αt v( x, t) + Bv( x, t) = G ( x, t, u( x, t), v( x, t)), x ∈ Ω, ≤ t < T,    u( x, t) = 0, v( x, t) = 0,       u( x, T ) = h ( x ), v( x, T ) = h ( x ), (3) x ∈ O , ≤ t < T, x ∈ Ω, O ký hiệu biên Ω ⊂ Rd , ∂αt đạo hàm Caputo cấp α ∈ (0, 1) theo thời gian, A, B toán tử elliptic xác định dương, hàm phi tuyến F, G, liệu thời điểm cuối h1 , h2 thỏa mãn số giả thiết cho trước Kết chương tồn nghiệm tích phân không gian W p,∞ (0, T; Ω) Hơn nữa, việc áp dụng kết thu tồn nghiệm tích phân lớp tốn giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra với đạo hàm, tích phân cấp khơng ngun iv NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN: Luận án chứa đựng nhiều kết mới, mạnh kết có, cơng bố tạp chí khoa học uy tín giới Trong luận án này, chúng tơi đưa kết sau • Chỉ không chỉnh, đề xuất phương pháp chặt cụt Fourier chỉnh hóa tốn biên bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun Như biết, tốn khơng chỉnh chứa hàm nguồn phi tuyến ln tốn hóc búa khó xử lý α ((0, T ]; L2 ( Ω )), • Xây dựng tính chất compact không gian Cω thiết lập tồn nghiệm tích phân cho tốn điều kiện cuối phi địa phương với đạo hàm cấp không nguyên thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii • Thiết lập tồn nghiệm tích phân tốn giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp A = B Giải lớp toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra tương ứng CÁC ỨNG DỤNG/KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HAY NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU: Trong tương lai, mở rộng nghiên cứu theo hướng sau • Hướng 1: Khảo sát tồn tại, tính qui nghiệm cho toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với đạo hàm cấp không ngun theo biến thời gian khơng gian • Hướng 2: Khảo sát tồn nghiệm cổ điển, tính chất tắt dần, bùng nổ nghiệm cho toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với đạo hàm cấp không nguyên theo biến thời gian không gian v • Hướng 3: Mở rộng hai hướng nghiên cứu cho loại đạo hàm cấp khơng ngun có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật Ngoài ra, khảo sát thêm toán mở với đạo hàm cấp nguyên theo chủ đề luận án • Hướng 4: Nghiên cứu hướng cho phương trình vi phân - đạo hàm riêng ngẫu nhiên vi THESIS INFORMATION Thesis title: Some equations with fractional derivatives Speciality: Mathematical Analysis Code: 9460102 Name of PhD Student: TRAN BAO NGOC Academic year: 2018 Supervisor: Associate Professor NGUYEN HUY TUAN At: VNUHCM - University of Science SUMMARY: Results of this thesis have been combined from papers, which are published on Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Computers and Mathematics with Applications, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation We divide this thesis into three main chapters as follows • Chapter studies a sideways problem for the time fractional diffusion equation with nonlinear source    ∂αt u( x, t) − u xx ( x, t) = f ( x, t, u( x, t)), x > 0, t > 0,       u( x, 0) = 0, x ≥ 0,         u(0, t) = g(t), t ≥ 0, u x (0, t) = h(t), t ≥ 0, (4) where α ∈ (0, 1), ∂αt is the Caputo’s derivative of fractional order α with respect to time variable, the nonlinearity f and data g, h are satisfied some assumptions This problem is ill-posed in the sense of Hadamard We propose the Fourier vii Ứng với (6.8), dạng nghiệm tích phân tốn (6.32) cho  t s   u ( x, t ) = P ( t ) h ( x ) + Q A,α (t − s)R1 (t, s, τ )( H1 (τ )[u; v])( x )dτds  A,α   0    T s    − PA,α (t)Q A,α ( T − s)R1 (t, s, τ )( H1 (τ )[u; v])( x )dτds,  0 t s    v ( x, t ) = P ( t ) h ( x ) + Q B,α (t − s)R2 (t, s, τ )( H2 (τ )[u; v])( x )dτds  B ,α   0    T s    PB ,α (t)Q B,α ( T − s)R2 ( T, s, τ )( H2 (τ )[u; v])( x )dτds, − 0 R j (t, s, τ ) := (t − s)α−1 a j (s) R j (s, τ ), với j = 1, Nghiệm tích phân cho tốn (6.32) định nghĩa không gian W α −q,∞ (0, T; Ω) tương tự Bài toán (6.1)-(6.2) Ở định lý 6.2 sau đây, tồn nghiệm tích phân Bài tốn (6.32) thiết lập Các số µ j := L j µ j α −αq 1−αq α − αq γ j − αq(1 + γ j ) + α T γ j −αq(1+γ j )+α 1−αq , j = 1, 2, sử dụng định lý Chứng minh định lý 6.2 thu dựa việc kiểm tra giả thiết định lý 6.1, xem [A3] Định lý 6.2 Cho (h1 ; h2 ) ∈ ( H (Ω))2 Giả sử q, r, γ1 , γ2 cho giả thiết (H6.3), a j , R j , Hj , j = 1, 2, thỏa mãn giả thiết (H6.4), (H6.5), (H6.6) Nếu C2 µ1 a L α +r (0,T;R) + C2 µ2 b L α +r (0,T;R) < 1, (6.35) tốn (6.32) có nghiệm tích phân w ∈ W α −q,∞ (0, T; Ω), tồn số dương C cho w W α −q,∞ ≤ C h1 H (Ω) + C h2 H (Ω) (6.36) Nhận xét 6.4.1 Một dạng đặc biệt phương trình với tích phân Volterra chứa nhân ký dị phương trình liên quan đến tích phân cấp không nguyên Bởi việc chọn nhân R1 , R2 cụ thể R1 (t, τ ) = R2 (t, τ ) = 90 ( t − τ ) γ −1 , Γ(γ) với γ > 0, a(t) = b(t) = 1, Bài toán (6.32) viết lại sau  γ   ∂αt u( x, t) + Au( x, t) = It H1 ( x, t, u( x, t), v( x, t)), on Ω T ,        ∂αt v( x, t) + Bv( x, t) = I γ H2 ( x, t, u( x, t), v( x, t)), on Ω T , t (6.37)    u(t, x ) = 0, v( x, t) = 0, ≤ t < T, x ∈ ∂Ω,       u( x, T ) = h ( x ), v( x, T ) = h ( x ), x ∈ Ω, γ It tích phân Riemann-Liouville cấp không nguyên γ theo biến thời gian, xem mục 3.2.2 Ta nhận xét γ > α/(1 − αq), γ > (αq − α)/(1 − αq) Vì thế, ta áp dụng định lý 6.2 để thu tồn tài nghiệm tích phân Bài tốn (6.37) với γ1 = γ2 = γ > α/(1 − αq) 6.5 Kết luận chương Chương khảo sát toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên Các kết tổng hợp từ báo [A3] Kết chương tồn nghiệm không gian W p,∞ (0, T; Ω) ứng với giả thiết phù hợp hàm phi tuyến F, G Ngoài ra, kết áp dụng để thiết lập tồn nghiệm cho lớp toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra với đạo hàm, tích phân cấp không nguyên 91 Chương KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Từ việc phân tích tình hình nghiên cứu giới định hướng nghiên cứu ban đầu, luận án khảo sát thành công tốn sau • Bài tốn biên bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun: Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, đề xuất chỉnh hóa phương pháp chặt cụt Fourier Kết đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác khơng gian L2 (R) • Bài tốn giá trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên: Kết tồn nghiệm α ((0, T ]; L2 ( Ω )) thông qua việc áp dụng cho tốn khơng gian Cw định lý điểm bất động Krasnoselskii • Bài tốn giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun: Kết tồn nghiệm khơng gian W p,∞ (0, T; Ω) Ngồi ra, kết mở rộng để thiết lập tồn nghiệm lớp toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích phân Volterra với đạo hàm, tích phân cấp khơng ngun Luận án chứa đựng nhiều kết mới, mạnh kết có, cơng bố tạp chí khoa học uy tín giới Luận án xây dựng hướng riêng lĩnh vực phương trình đạo 92 hàm riêng: Khảo sát tồn nghiệm tính qui nghiệm cho tốn giá trị cuối điều kiện cuối phi địa phương Kiến nghị Trong tương lai, mở rộng nghiên cứu theo hướng sau • Hướng 1: Khảo sát tồn tại, tính qui nghiệm cho toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với đạo hàm cấp không nguyên theo biến thời gian khơng gian • Hướng 2: Khảo sát tồn nghiệm cổ điển, tính chất tắt dần, bùng nổ nghiệm cho toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với đạo hàm cấp không nguyên theo biến thời gian khơng gian • Hướng 3: Mở rộng hai hướng nghiên cứu cho loại đạo hàm cấp khơng ngun có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật Ngoài ra, khảo sát thêm số toán mở với đạo hàm cấp nguyên theo chủ đề luận án • Hướng 4: Nghiên cứu hướng cho phương trình vi phân - đạo hàm riêng ngẫu nhiên Hiện nay, nghiên cứu thành công số kết liên quan đến hướng nghiên cứu 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ravi P Agarwal et.al (2018) A survey on fuzzy fractional differential and optimal control nonlocal evolution equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 339, 3-29, DOI: doi.org/10.1016/j.cam.2017.09.039 [2] Mark Allen et.al (2016) A parabolic problem with a fractional time derivative, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 221 (2), 603630, https://doi.org/10.1007/s00205-016-0969-z [3] Ahmed Alsaedi et.al (2018) A triangular nonlinear reaction-fractional diffusion system with a balance law, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 41, 1825-1830, DOI: 10.1002/mma.4709 [4] Ahmed Alsaedi et.al (2017) Global existence and asymptotic behavior for a time fractional reaction-diffusion system, Computers & Mathematics with Applications, 73, 951-958, DOI: 10.1016/j.camwa.2016.05.006 [5] Bruno de Andrade, Arlúcio Viana (2017) Abstract Volterra integrodifferential equations with applications to parabolic models with memory, Mathematische Annalen, 369, 1131-1175, https://doi.org/10.1007/s00208-016-1469-z [6] Pham The Anh et.al (2019) A variation of constant formula for Caputo fractional stochastic differential equations, Statistics and Probability Letters, 145, 351-358, DOI: 10.1016/j.spl.2018.10.010 94 [7] Kendall Atkinson, Weimin Han (2009) Theoretical Numerical Analysis: A Functional Analysis Framework, Springer-Verlag, New York [8] Ngoc Tran Bao et.al (2020) Existence and regularity results for terminal value problem for nonlinear fractional wave equations, to appear in Nonlinearity [9] Haim Brezis (2010) Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York [10] Alexandre Nolasco Carvalho et.al (2015) Semilinear fractional differential equations: global solutions, critical nonlinearities and comparison results, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 45, 439-467, DOI: 10.12775/TMNA.2015.022 [11] Pengyu Chen et.al (2012) Existence of strong solutions for a class of semilinear evolution equations with nonlocal initial conditions, Advances in Difference Equations, 79, pp 1-9, DOI: 10.1186/1687-18472012-79 [12] Richard Courant, David Hilbert (1953) Methods of Mathematical Physics, Volume 1, Interscience, New York [13] Amar Debbouche et.al (2012) Nonlocal nonlinear integrodifferential equations of fractional orders, Boundary Value Problem, 78, pp 1-10, DOI: 10.1186/1687-2770-2012-78 [14] Keng Deng (1993) Exponential decay of solutions of semilinear parabolic equations with nonlocal initial conditions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 179 (2), 630-637, DOI: doi.org/10.1006/jmaa.1993.1373 [15] Kai Diethelm (2010) The analysis of fractional differential equations, Springer, Berlin 95 [16] Hongjie Donga, Doyoon Kim (2019) L p -estimates for time fractional parabolic equations with coefficients measurable in time, Advances in Mathematics, 345, 289-345, https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.01.016 [17] Hongjie Donga, Doyoon Kim (2020) L p -estimates for time fractional parabolic equations in divergence form with measurable coefficients, Journal of Functional Analysis, 278 (3), 108338, https://doi.org/10.1016/j.jfa.2019.108338 [18] Phil Dyke (2014) An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series, Springer, London [19] Ciprian G Gal et.al (2019) Fractional-in-time semilinear parabolic equations and applications, hal-02061144 [20] Rudolf Gorenflo, Francesco Mainardi (1997) Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order, Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer-Verlag, New York [21] Rudolf Gorenflo et.al (2014) Mittag-Leffler functions, related topics and applications, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Heidelberg [22] Ricardo Grande (2019) Space-time fractional nonlinear Schrodinger ă equation, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 51 (5), 4172-4212, https://doi.org/10.1137/19M1247140 [23] Dinh Nguyen Duy Hai, Dang Duc Trong (2020) Optimal error bound and truncation regularization method for a backward time-fractional diffusion problem in Hilbert scales, Applied Mathematics Letters, 107, 106448, DOI: 10.1016/j.aml.2020.106448 [24] Eduardo Hernández et.al (2011) Existence of solutions for a class of abstract differential equations with nonlocal conditions, Nonlinear 96 Analysis: Theory, Methods & Applications, 74 (7), 2624-2634, DOI: 10.1016/j.na.2010.12.018 [25] Fenghui Huang, Fawang Liu (2005) The fundamental solution of the space-time fractional advection–dispersion equation, Journal of Applied Mathematics and Computing, 18, 339–350, DOI: 10.1007/BF02936577 [26] Jacob Isaac Kanel, Mokhtar Kirane (2000) Global solutions of reactiondiffusion systems with a balance law and nonlinearities of exponential growth, Journal of Differential Equations 165(1), 24-41, DOI: 10.1006/jdeq.2000.3769 [27] Tran Dinh Ke, Nguyen Nhu Quan (2018) Finite-time attractivity for semilinear tempered fractional wave equations, Fractional Calculus and Applied Analysis, 21 (6), 1471-1492, DOI: 10.1515/fca-2018-0077 [28] Tran Dinh Ke, Lam Tran Phuong Thuy (2020) Dissipativity and stability for semilinear anomalous diffusion equations involving delays, Mathematical Methods in the Applied Sciences, DOI: 10.1002/mma.6497 [29] Tran Dinh Ke et.al (2020) Regularity and stability analysis for a class of semilinear nonlocal differential equations in Hilbert spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 483 (2), 123655, DOI: 10.1016/j.jmaa.2019.123655 [30] Jukka Kemppainen et.al (2016), Decay estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in Rd , Mathematische Annalen, 366, 941-979, https://doi.org/10.1007/s00208-015-1356-z [31] Jukka and Kemppainen large-time et.al behavior (2017) for 97 Representation fully nonlocal of solutions diffusion equa- tions, Journal of Differential Equations, 263 (1), 149-201, https://doi.org/10.1016/j.jde.2017.02.030 [32] Balachandran Krishnan, Subramaniam Kiruthika (2012) Existence of solutions of abstract fractional integrodifferential equations of Sobolev type, Computers and Mathematics with Applications, 64 (10), 34063413, DOI: 10.1016/j.camwa.2011.12.051 [33] Fang Li et.al (2012) Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 391 (2), 510-525, DOI: 10.1016/j.jmaa.2012.02.057 [34] Ming Li et.al (2014) Regularization for a fractional sideways heat equation, Journal of Computational and Applied Mathematics, 255, 28-43 DOI: 10.1016/j.cam.2013.04.035 [35] Lang Li et.al (2015) Existence and uniqueness of the solution to a coupled fractional diffusion system, Advances in Difference Equations, 370, pp 1-14, DOI: 10.1186/s13662-015-0707-0 [36] Jijun Liu, Masahiro Yamamoto (2010) A backward problem for the time-fractional diffusion equation, Applicable Analysis, 89 (11), 17691788, DOI: 10.1080/00036810903479731 [37] Yury Luchko (2009) Maximum principle for the generalized timefractional diffusion equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 351 (1), 218–223, DOI: 10.1016/j.jmaa.2008.10.018 [38] Yury Luchko (2010) Some uniqueness and existence results for the initial–boundary value problems for the generalized time-fractional diffusion equation, Computers and Mathematics with Applications, 59 (5), 1766–1772, DOI: 10.1016/j.camwa.2009.08.015 98 [39] Kenneth S Miller, Bertram Ross (1993) An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, Jon Wiley and Sons, New York [40] Jia Mu et.al (2017) Existence and regularity of solutions to timefractional diffusion equations, Computers and Mathematics with Applications, 73 (6), 985-996, DOI: 10.1016/j.camwa.2016.04.039 [41] Erkan Nane, Nguyen Huy Tuan (2018) Approximate solutions of inverse problems for nonlinear space fractional diffusion equations with randomly perturbed data, SIAM/ASA Journal on Uncertainty Quantification, (1), 302-338, DOI: 10.1137/17M1111139 [42] Paulo Mendes de Carvalho Neto, Gabriela Planas (2015) Mild solutions to the time fractional Navier-Stokes equations in R N , Journal of Differential Equations, 259 (7), 2948-2980, https://doi.org/10.1016/j.jde.2015.04.008 [43] Nguyen Huy Tuan et.al (2020) On existence and regularity of a terminal value problem for the time fractional diffusion equation, Inverse Problems, 36 (5), 055011, DOI: 10.1088/1361-6420/ab730d [44] Igor Podlubny (1999) Fractional differential equations, Academic Press, London [45] Teresa Reginska (1995) Sideways heat equation and wavelets, Journal of Computational and Applied Mathematics, 63(1-3), 209-214, DOI: 10.1016/0377-0427(95)00073-9 [46] Caixuan Ren et.al (2014), Regularization by projection for a backward problem of the time-fractional diffusion equation, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 22 (1), 121–139, DOI: 10.1515/jip-2011-0021 99 [47] Kenichi Sakamoto, Masahiro Yamamoto (2011) Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 382 (1), 426-447, DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.04.058 [48] Stefan Grigor’evich Samko et.al (1993) Fractional integrals and derivatives, Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland [49] Valery Serov (2017) Fourier series, Fourier transform and their applications to mathematical physics, Applied Mathematical Sciences, Springer, Cham [50] Doan Thai Son (2018) Asymptotic separation between solutions of Caputo fractional stochastic differential equations, Stochastic Analysis and Applications, 36 (4), 654- 664, DOI: 10.1080/07362994.2018.1440243 [51] Doan Thai Son et.al (2020) Euler-Maruyama scheme for Caputo stochastic Computational fractional and differential Applied equations, Mathematics, 380, Journal 112989, of DOI: 10.1016/j.cam.2020.112989 [52] Elias Menachem Stein, Rami Shakarchi (2003) Fourier analysis : an introduction, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [53] Andre-I Nikolaevich Tikhonov (1977) Solutions of Ill Posed Problems (Scripta series in mathematics), V.H Winston & Sons, Washington [54] Dang Duc Trong, Nguyen Huy Tuan (2008) A nonhomogeneous backward heat problem: regularization and error estimates, Electronic Journal of Differential Equations, 33, pp 1-14 100 [55] Dang Duc Trong et.al (2009) A quasi-boundary value method for regularizing nonlinear ill-posed problems, Electronic Journal of Differential Equations, 109, pp 1–16 [56] Dang Duc Trong et al (2018) Continuity of solutions of a class of fractional equations, Potential Analysis, 49, pp 423–478 [57] Dang Duc Trong et.al (2019) Optimal regularization for an unknown source of space-fractional diffusion equation, Applied Mathematics and Computation, 349, 184-206, DOI: 10.1016/j.amc.2018.12.030 [58] Dang Duc Trong et.al (2019) On a time–space fractional backward diffusion problem with inexact orders, Computers and Mathematics with Applications, 78 (5), 1572-1593, DOI: 10.1016/j.camwa.2019.03.014 [59] Nguyen Huy Tuan et.al (2017) On a final value problem for the time-fractional diffusion equation with inhomogeneous source, Inverse Problem in Science and Engineering, 25 (9), 1367-1395, DOI: 10.1080/17415977.2016.1259316 [60] Nguyen Huy Tuan (2018) Recovery of the solute concentration and dispersion flux in an inhomogeneous time fractional diffusion equation, Journal of Computational and Applied Mathematics, 342, 96-118, DOI: 10.1016/j.cam.2018.03.022 [61] Nguyen Huy Tuan et.al (2019) On a backward problem for nonlinear fractional diffusion equations, Applied Mathematics Letters, 92, 76–84, DOI: 10.1016/j.aml.2018.11.015 [62] Nguyen Huy Tuan, Tomás Caraballo (2020) On initial and terminal value problems for fractional nonclassical diffusion equations, Proceedings of the American Mathematical Society, DOI: 10.1090/proc/15131 101 [63] Nguyen Huy Tuan et.al (2020) On existence and regularity of a terminal value problem for the time fractional diffusion equation, Inverse Problems, 36 (5), 055011, DOI: 10.1088/1361-6420/ab730d [64] Liyan Wang, Jijun Liu (2012) Data regularization for a backward timefractional diffusion problem, Computers and Mathematics with Applications, 64 (11), 3613-3626, DOI: 10.1016/j.camwa.2012.10.001 [65] Jun-Gang Wang et.al (2013) Tikhonov regularization method for a backward problem for the time-fractional diffusion equation, Applied Mathematical Modelling, 37 (18–19), 8518-8532, DOI: 10.1016/j.apm.2013.03.071 [66] Rong-Nian Wang et.al (2012) Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, Journal of Differential Equations, 252 (1), 202-235, DOI: 10.1016/j.jde.2011.08.048 [67] Ting Wei, Jun-Gang Wang (2014) A modified quasi-boundary value method for the backward time-fractional diffusion problem, ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 48 (2), 603–621, DOI: 10.1051/m2an/2013107 [68] Xiangtuan Xiong et.al (2012) An inverse problem for a fractional diffusion equation, Journal of Computational and Applied Mathematics, 236 (17), 4474-4484, DOI: 10.1016/j.cam.2012.04.019 [69] Guanghui Zheng, Ting Wei (2010) Spectral regularization method for a Cauchy problem of the time fractional advection dispersion equation, Journal of Computational and Applied Mathematics, 233, 2631-2640, DOI: 10.1016/j.cam.2009.11.009 102 [70] Guanghui Zheng, Ting Wei (2011) A new regularization method for the time fractional inverse advection-dispersion problem, SIAM Journal on Scientific Computing, 21 (5), 1972-1990, DOI: 10.1137/100783042 [71] Guang-Hui Zheng (2015) Recover the solute concentration from source measurement and boundary data, Inverse Problems in Science and Engineering, 23 (7), 1199-1221, DOI: 10.1080/17415977.2014.991728 [72] Yong Zhou, Feng Jiao (2010) Nonlocal Cauchy problem for fractional evolution equations, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 11 (5), 4465-4475, DOI: 10.1016/j.nonrwa.2010.05.029 [73] Yong Zhou et.al (2017) Basic theory of fractional differential equations, World Scientific, Hackensack 103 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NCS [A1] Tran Bao Ngoc, Nguyen Huy Tuan, Mokhtar Kirane (2020) Regularization of sideways problem for a time fractional diffusion equation with nonlinear source, Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 28 (2), 211-235, DOI: 10.1515/jiip-2018-0040 (ISI-Q2 Web of Science, Impact factor: 0.926) [A2] Nguyen Huy Tuan, Tran Bao Ngoc*, Le Nhat Huynh, Mokhtar Kirane (2019) Existence and uniqueness of mild solution of time-fractional semilinear differential equations with a nonlocal final condition, Computers and Mathematics with Applications, 78 (5), 1651-1668, DOI: 10.1016/j.camwa.2018 11.007 (ISI-Q1 Web of Science, Impact factor: 3.370) [A3] Tran Bao Ngoc, Nguyen Huy Tuan, Donal O’Regan (2019) Existence and uniqueness of mild solutions for a final value problem for nonlinear fractional diffusion systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 78, 104882, DOI: 10.1016/j.cnsns.2019.104882 (ISI-Q1 Web of Science, Impact factor: 4.115) 104 ... đề tài ? ?Một số phương trình với đạo hàm cấp khơng ngun” 1.2 Đối tượng nghiên cứu Đề tài xem xét toán sau • Bài tốn biên bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên •... ) → L ( Ω ) 3.2.6 Phương trình vi phân với đạo hàm cấp khơng ngun Các phương trình vi phân với đạo hàm cấp nguyên nghiên cứu từ nhiều kỷ trước Khi khái niệm đạo hàm cấp không nguyên phát triển... trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun • Bài tốn giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên 1.3 Phạm vi