SKKN: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

sở giáo dục đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, / 2011 sở giáo dục đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, / 2011 mở đầu Giải ph-ơng trình toán có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh đ-ợc cho giỏi nhiều lúng túng tr-ớc việc giải ph-ơng trình; có ph-ơng trình chứa thức đ-ợc coi khó Nên chọn đề tài: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình vô tỷ để làm sáng kiến kinh nghiệm Với mục đích mong muốn đề tài góp phần giúp học sinh có thêm kỹ cần thiết để giải ph-ơng trình chứa thức nói riêng dạng ph-ơng trình nói chung, đồng thời mong muốn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm đến môn toán Kiến thức thể sáng kiến kinh nghiệm hoàn toàn ch-ơng trình Toán bậc THPT hành Một phần sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để chuyển sang phần bất ph-ơng trình đ-ợc; xong chuyển sang bất ph-ơng trình có phần đ-ợc mở rộng để có toán hay Do ng-ời nghiên cứu sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào nhiều mục đích giáo dục khác đ-ợc Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm có ph-ơng pháp giải toán khác www.VNMATH.com Nguyn Quc Hon THPT Nguyễn Gia Thiều S¸ng kiÕn kinh nghiƯm: Mét sè ph-ơng pháp giải ph-ơng trình vô tỷ Bi toỏn m đầu x  x2  x   x (*) (Trích ĐH QGHN, khối A năm 2000) Giải Điều kiện  x  * Cách 1: (*) 2    1  x  x   x  1 x   4 1 x  x2   x  x2   x  x  x   x Giải phương trình      x  x2   x  x2     x  x2 x  x2    x  x2    x  x2   x    x   x  x  x    x   x  x   x   x  x  0, x  thoả mãn điều kiện Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  * Cách 2: Nhận xét: x  x biểu diễn qua  x  1 x x  x nhờ vào đẳng thức    x  x2 Vậy có cách Đặt t  x   x , 1 t  H1 www.VNMATH.com Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều t2 1 Phương trình (*) trở thành t2   t    3t 1 t t  , không thoả mãn  x  x2  t   t  3t     t  x  x   x   x  x2    x  x  0, x  thoả mãn điều kiện Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  t  1, có * Cách 3: Nhận xét: x  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x   1 x  1 Vậy ta có cách Từ (*) ta có x  x   x  x  3 x 3 x 3 9 thay x  vào phương trình khơng thoả mãn) 4 3t  Đặt t  x , nên  x  2t   1 x     (x    3t   Lại có x   x  , nên t    1 t    2 2  t  4t  12t    9t  18t   4t  12t  2  4t  12t  14t  6t   t  2t  6t  7t  3   t  t  1  2t  4t  3  t  x    t  x  x  0, x  thoả mãn điều kiện Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  * Cách 4: Cùng nhận xét trên, ta có thêm cách khác a  0, b  Đặt a  x , b   x ,   1  ab  a  b 3  2ab   a  b   Ta có hệ phương trình   a  b   a  b   2ab  H2 (1) (2) www.VNMATH.com Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Thay (1) vào (2) có  a  b   a  b   3 a  b     3 a  b   3  Với a  b  1, có a b   a   b    a    b  a  b   a  b  x   x  3 Với a  b  , có a b  , khơng tồn a , b (Vì  22   ) 2 x  0, x  thoả mãn điều kiện Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  Nhận xét: chất cách giải cách đặt ẩn phụ cách * Cách 5: Cũng nhờ    x  1 x Ta có thêm cách sau: Đặt x  sin a , 0a   1, ta nghĩ đến đẳng thức sin a  cos2 a   2 Phương trình (*) trở thành  sin a  sin a  sin a   sin a   2sin a.cos a  3sin a  3cos a (Vì cos a  ) sin a  cos a    sin a  cos a   3 sin a  cos a     sin a +cos a  a a a a a a  sin a  cos a   2sin cos  2sin   sin  cos  sin   2 2 2 a a  sin a  2sin cos    a 2  sin  x  a    tan sin a  1 x 1  tan a   a   tan   x  0, x  thoả mãn điều kiện Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0, x  Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách khác để giải phương trình vơ tỉ Tuy nhiên cách dựa sở loại bỏ thức đưa phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Sau xin vào số phương pháp cụ thể H3 www.VNMATH.com Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Bài tốn 1: Giải phương trình sau 1) x  17   3x 2) x    3x  2 (1) (2) x  x  x3  x   x  (3) 3) 4) x2   x2  3x   x  8x  (4) 3 5) 12 x  12  x   x (5) 6) x    x (6) Bài tốn 2: Tìm m để phương trình x  2mx   m (I), có nghiệm Bài tốn 3: Tìm m để phương trình x  m  x  (II), có hai nghiệm phân biệt Bài tốn 4: Giải phương trình (1) 1) x    x  x   3x 2) x   3x   x  x  (2) 3) x x3   x   x2  x  x (3) x3  x3  4) x   x   (4)  x 1 4x 1 (5) 5) x  3x   x   x  Giải Bài toán 1) Nhận xét: ta thấy vế trái không âm, vế phải âm phương trình vơ nghiệm, nên ta cần giải phương trình vế phải không âm, tức 1  3x   x  Khi hai vế khơng âm bình phương hai vế ta phương trình tương đương: x  17  1  3x  với x  Do ta không cần đặt điều kiện cho x  17   (1) 1  x   x     x  17  1  3x   x  17   x  x  x     x     x  1    16 9 x  x  16   x   Vậy phương trình có nghiệm x   H4  x  1 www.VNMATH.com Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều f ( x)  g ( x) Ta làm sau Chú ý: Dạng tổng quát phương trình  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) Bài tốn giải cách đặt ẩn phụ t  x  17 với t  2) Điều kiện 3  x  (2)  x     3x     x32   3x   x   x     3x  x     x     x  1  x   x 1  x  1   x   x  2x   x  1  x  1   x  2 , thỏa mãn điều kiện   x   x  x     x  2  Vậy phương trình có nghiệm x      x  1 x    3)    3 x  x  x  x   x       x  x    3x   x  1   1  x   1  3x    x3  x   (1  3x)  x3  x    x  x    1  x  1  x     x  x  x  8   x  x  x      x      x   x  , thỏa mãn điều kiện   x 1    x  Vậy phương trình có nghiệm x  (3) Chú ý:   x  x  x3  x   Trong ta không cần đặt điều kiện  x  x     H5 www.VNMATH.com Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều x 1 4) Điều kiện  x  7   x  1 (4)   x   x  3x    x2  8x    x2   x2  3x   x  x  3x   x  8x    x  1 x  1  x  1 x     x  5x  2  x  1  x  1 x     x  1  x   1  x   2 2 x  x  x   x   x            1  x   2   x  1  x  x   x  12 x  36   1  x      x  1  3x  16 x  44    1  x      x  1    x   22  x     x  1  x  x   1, x  thoả mãn điều kiện Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   1, x  Chú ý : Bài giải cách sau (4)   x  1 x  1   x  1 x     x  1 x   * Trường hợp 1: x   , thỏa mãn phương trình (4) * Trường hợp 2: x  1, phương trình (4) trở thành  x 1  x   x   x 1  x 1 x   x   x   6  x   2  4  x  x      x  H6  x 1  x     x2  x    x x   3x  16 x  44  x7  www.VNMATH.com Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều x    x2    x2 22  x     x  , thỏa mãn điều kiện trường hợp * Trường hợp 3: x   , phương trình (4) trở thành 1  x  1  x    1  x  2  x   1  x  7  x    x  2  x  7  x    x  2  x    7  x    x   x 2  x   x  7  x   x 2  x   x  Phương trình vơ nghiệm (Vì  x 2  x   x  0, x  7 ) * Vậy phương trình cho có hai nghiệm x   1, x  Nhận xét: Khi giải cách thường mắc sai lầm: Đẳng thức Còn (5) 5)   ab  a b ab  a b a  b  ab  a b a  b    x 12 x  12  x   3  x    3 x  1   12 x  12   x  3  3 12 x  12 x  3 12 x  12  x   x   12 x  12 x  3 12 x  12   12  x  1 x  3 x  3( x  1) (5*)  12  x  1 x  3 x  27  x  1   x  1 4  x  3x    x  x +1    x  1   x  x    x 1    x  x   x 1  x  Thay x  1, x  vào phương trình (5) thoả mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  1, x  Chú ý : Ở (5*) không tương đương, (5*) phương trình hệ phương trình (5) Do nghiệm phương trình (5*) phải thay vào phương trình (5) để kiểm tra lại H7 ... Giải phương trình với m  11 b) Tìm m để phương trình có nghiệm (3) 3) Giải phương trình: x 35  x3 x  35  x3  30 (5)   (4) III Bài toán 3: Đặt ẩn phụ đưa dạng phương trình Giải phương trình: ... a  Phương pháp chung đặt t  f  x , t  1) Cho phương trình:  x  1 x  3   x  1 x  5  m  (1) a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm 2) Giải phương trình: ... x) giải cách bình phương hai vế, dẫn đến phương trình bậc bốn (nhẩm nghiệm x   , x  ) tìm nghiệm phương trình Ngồi cịn cách phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình (tơi xin trình bày phương