Phân loại các dạng toán ứng dụng định lí vi ét chương trình toán 9 THCS

Để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo kết hợp với sự khéo léo, cẩn thận và kinh nghiệm đã tích luỹ

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ sở, là nền tảng cho các môn học khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xã hội Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kĩ năng tính toán cần thiết, mà còn rèn luyện cho con người khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận khoa học

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán giúp học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán Để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức

đã học một cách linh hoạt, sáng tạo kết hợp với sự khéo léo, cẩn thận và kinh nghiệm đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập,

kĩ năng trình bày, kĩ năng ứng dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Từ đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh

Trong chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai, công thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là

hệ thức Vi-ét Các bài toán vận dụng hệ thức Vi-ét có một vị trí quan trọng trong chương trình dạy học toán trung học cơ sở Chính vì vậy bài toán này thường xuyên có mặt trong các kì thi học kì, thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông Tuy nhiên, nội dung và thời lượng

về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng

Nhiều năm dạy toán lớp 9, qua việc khảo sát tại trường THCS Trí Nang, tôi nhận thấy các em nhận dạng và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và ứng dụng hệ thức vào giải nhiều loại toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét lại có phạm vi ứng dụng rất rộng rãi, là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 9 Đối với giáo viên phần lớn chỉ truyền dạy cho học sinh kiến thức chung chung không chỉ rõ cho học sinh từng dạng toán và cách vận dụng hệ thức Vi-ét vào mỗi dạng toán đó như thế nào

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về hệ thức Vi-ét và gúp học sinh thấy rõ

hệ thức Vi-ét có ứng dụng rộng rãi trong giải toán phương trình bậc hai Trong quá trình giảng dạy, tôi đã tổng hợp, phân dạng toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải nhằm giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải từng loại toán đó Từ đó các

em có kỹ năng nhận dạng và có phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp

cụ thể

Tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: " Phân loại các dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình toán 9 THCS" với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và

ứng dụng thành thạo hệ thức Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng học toán, tạo hứng thú học tập của học sinh Giúp đồng nghiệp tích lũy kiến thức, phương pháp từ đó

có cách dạy phù hợp với đối tượng học sinh để kiến thức toán không còn nhàm chán

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải

Làm thế nào để giúp các em có được kiến thức tổng thể, biết nhận dạng các dạng toán liên quan hệ thức Vi-ét, biết cách giải và hạn chế các sai lầm khi trình bày bài

toán, tôi chọn đề tài: " Phân loại các dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình toán 9 THCS" với mục đích:

- Giúp các em nhận dạng và có phương pháp giải các dạng toán một cách dễ dàng

hơn Bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức

Vi-ét cho các em học sinh THCS Từ đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển

- Giúp các em hiểu được tầm quan trọng của hệ thức Vi-ét trong việc giải các bài

toán đặc biệt là phương trình bậc hai

- Rèn luyện cho học sinh tính tư duy logic, sự sáng tạo trong toán; sự say mê và

yêu thích học môn toán nhiều hơn

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số dạng toán ứng dụng của định

lý Vi-ét thường gặp từ dễ đến khó trong các kì thi ở cấp trung học cơ sở Do đó chỉ

đề cập đến một số dạng toán đó là:

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

- Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại

- Lập phương trình bậc hai

- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

- Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

- Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

- Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

- Giải hệ phương trình đối xứng

- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Căn cứ vào mục đích nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

Tôi đọc và chọn ra các bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét, sắp xếp thành các dạng toán từ dễ tới khó, từ đơn giản đến phức tạp:

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

- Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại

- Lập phương trình bậc hai

- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình

- Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

- Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

- Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

- Giải hệ phương trình đối xứng

- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

2 Phương pháp điều tra, khảo sát:

Trước khi thực hiện đề tài này tôi điều tra tỉ lệ học sinh yêu thích phần kiến thức định lí Vi-ét và số học sinh muốn tìm hiểu thêm các dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-ét bằng cách đưa ra một số câu hỏi như: Em thấy phần kiến thức định lí Vi-ét có dễ học không? Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không? Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung liên quan các dạng toán ứng dụng định lí Vi-ét không ? Em có muốn nâng cao kiến thức không ?, , Trước khi thực hiện đề tài và sau khi áp dụng dề tài vào giảng dạy tôi ra đề kiểm tra khảo sát học sinh nắm và vận dụng định lí Vi-ét thông qua một số bài tập

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tôi hướng dẫn học sinh nhận dạng và phương pháp giải các dạng toán ứng dụng định lí Vi-ét thông qua các tiết dạy lí thuyết, tiết ôn tập, hay bồi dưỡng học sinh giỏi, phù đạo học sinh yếu kém

4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Sau khi vận dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy bản thân tôi đã đúc rút kinh nghiệm giảng dạy từ sự trải nghiệm dạy và dự giờ đồng nghiệp, tôi đã bổ sung đề tài được hoàn thiện, sát thực tiễn giảng dạy

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

Toán học trong nhà trường phổ thông là môn học chiếm vị trí quan trọng Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận khoa học, học toán tức là rèn khả năng tư duy lôgíc Giải các bài toán là phương pháp tốt nhất để nắm vững trí thức, phát triển tư duy hình thành kỹ năng kỹ xảo

Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức

có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy, khi học các em không những nắm chắc

lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng dạng toán

Trong chương trình Đại số 9 bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng rất phong phú trong việc giải các bài toán như: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai Các ứng dụng này giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán học và rèn luyện các kĩ năng trình bày, phân tích, tổng hợp Tuy nhiên khi giải các bài tập về hệ thức Vi-ét học sinh còn gặp nhiều lúng túng, không có kĩ năng phân tích đề, phương pháp giải không khoa học Nguyên nhân chính là do các em chưa được hướng dẫn cụ thể theo từng dạng Vậy làm thế nào để giúp học sinh nắm chắc kiến thức và phương pháp giải các bài tập về hệ thức Vi-ét tôi đã tiến hành tìm tòi nghiêm cứu, tập hợp các bài toán về hệ thức Vi-ét từ đó tiến hành phân dạng, chỉ rõ ứng dụng của từng dạng

Trên cơ sở đó tôi đã viết đề tài:" Phân loại các dạng toán ứng dụng Định lí Vi-ét chương trình toán 9 THCS"

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán tại trường THCS Trí Nang huyện Lang Chánh bản thân tôi nhận thấy: Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đối với học sinh THCS là khó và mới Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét như: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c = 0 ; a - b + c = 0, hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn, tìm hai số biết tổng và tích của chúng,…, các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương trình đã học? Làm thế nào

để tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của bài toán ấy?

Với những thực trạng như vậy tôi đã đi sâu tìm hiểu và nhận thấy rằng có thể là

do những nguyên nhân sau:

*) Đối với giáo viên:

- Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có 1 tiết

lí thuyết và 1 tiết luyện tập Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập ứng dụng hệ thức Vi-ét Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề thi vào

THPT Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các dạng toán sử dụng hệ thức Vi-ét thường không cao

- Giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ làm cho học sinh nhàm chán, thụ động

và máy móc khi vận dụng

- Một số giáo viên chưa chủ động về kiến thức, khả năng phân tích, khai thác bài

toán còn hạn chế

- Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời

giải, hệ thống bài toán giáo viên đưa ra còn dàn trải không mang tính đặc trưng

*) Đối với học sinh:

Trình độ nhận thức của các em còn chậm và không đồng đều Đại đa số thụ động trước kiến thức giáo viên cung cấp không tự mình tìm tòi, tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến thức

Năm học 2015 - 2016 sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bài toán

về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng sáng kiến, tôi tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp 9 với đề toán sau (thời gian làm bài 30 phút):

Bài 1 (3 điểm): Nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 2015x2 + x - 2016 = 0

b) x2 + 10x + 21 = 0

Bài 2 (3 điểm): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:

a) 25x2 + 10x + 1 = 0

b) x2 - 2x + m = 0

Bài 3 (4 điểm): Cho phương trình x2 - 6x + m = 0 Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 - x2 = 4

Với ba bài toán đưa ra, mặc dù chỉ kiểm tra kiến thức cơ bản nhất thì tôi thấy số lượng các em giải trọn vẹn cả hai bài chiếm rất ít, một số em chỉ giải được bài toán

1 tuy nhiên các em trình bày lời giải còn mắc nhiều sai lầm, ngộ nhận, hoặc thiếu

cơ sở dẫn chứng (bài 2, phần b) hoặc không tìm ra hướng làm bài 3

Nguyên nhân:

- Không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng.

- Không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với

các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập

Kết quả khảo sát khối lớp 9 năm học 2015 – 2016 tại trường THCS Trí Nang cụ thể như sau:

Lớp Số học sinhđược khảo sát

Đối tượng 1

0 - > 4 điểm

Đối tượng 2

5 - > 7 điểm

Đối tượng 3

8 - > 10 điểm

Qua kết quả tỉ lệ khá giỏi thấp, tỉ lệ dưới trung bình còn nhiều Từ thực trạng như vậy, tôi đã dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụng sáng kiến của mình trong năm học 2016 - 2017, năm học 2017 - 2018 đã khẳng định được kết quả của

đề tài

III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Trước khi giải bài tập cần yêu cầu học sinh học kĩ lí thuyết, nắm chắc định lí

Vi-ét và các hệ quả của định lí Vi-Vi-ét Muốn học sinh làm được các bài tập ứng dụng định lí Vi-ét thì giáo viên cần phải hệ thống, chia nhỏ thành các dạng bài tập ứng dụng riêng, mỗi dạng học sinh được học theo chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp và kĩ năng làm bài

Các dạng bài tập ứng dụng định lí Vi-ét đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh, lôi cuốn học sinh hứng thú học tập Qua mỗi dạng cần cho học sinh tự nêu ra được kiến thức kiến thức cơ bản, kỹ năng cần rèn luyện của dạng đó nhằm giúp các em hiểu bài và thành thạo kỹ năng làm bài

1 Hệ thống kiến thức cơ bản:

* Định lý Vi-ét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) thì:

S = x 1 +x 2 = b

a



P = x 1 x 2 = c

a

Lưu ý : Áp dụng được hệ thức Vi-ét thì phương trình phải có nghiệm.

* Ứng dụng:

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 a 0 có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 1, còn nghiệm kia là 2

c x a

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 a 0 có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 1, còn nghiệm kia là 2

c x a



+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là: S2  4P 0

2 Phân loại các dạng toán:

2.1 Dạng toán nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai khi biết các hệ số a, b, c:

a) Dạng: Phương trình bậc hai có các hệ số đặc biệt thỏa mãn a +b +c = 0 hoặc

a - b+ c = 0.

*) Phương pháp:

Bước 1: Xác định hệ số a, b, c

Bước 2: Tính a + c so sánh với b

- Nếu a + c = - b thì nhẩm a + b +c

- Nếu a + c = b thì nhẩm a - b +c

Bước 3: Kết luận nghiệm

Cần lưu ý học sinh sai lầm khi xác định hệ số a,b,c phức tạp hoặc cách trình bày chưa hợp lí

Ví dụ 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình ( ?4/ SGK Toán 9/Trang 52)

a) - 5x + 3x + 2 = 0 2 ( ?4/ SGK Toán 9/Trang 54)

b) 2004x2 + 2005x +1 = 0 ( ?4/ SGK Toán 9/Trang 54)

c) 3 2 ( 1 3 ) 1 0







x (Bài 31/SGK Toán 9/trang 54)

d) (m-1)x2 - (2m+3)x + m + 4 = 0 (Bài 31/SGK Toán 9/trang 54)

Học sinh thường có cách trình bày và cách hiểu sai chẳng hạn như :

a) - 5x2 + 3x + 2 = 0

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = 2

5

Hoặc học sinh trình bày: a + b + c = 0  -5 + 3 + 2 = 0

d) (m-1)x2 - (2m+3)x + m + 4 = 0

a = -1; b = 3; c =4

Và còn nhiều cách hiểu và trình bày sai khác

Do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ bản chất kiến thức và chỉnh sửa cách trình bày hợp lí cho học sinh

Lời giải đúng:

a) - 5x2 + 3x + 2 = 0 (a = - 5; b = 3; c = 2)

Ta có: a + b + c =  5+ 3 + 2 = 0

 phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = 2

5

b) 2004x2 + 2005x +1 (a = 2004; b = 2005; c = 1)

Ta có : a - b +c = 2004 - 2005 +1 = 0

 phương trình có hai nghiệm là: x1 = -1 ; 2 20041





x

c) 2  

3x - 1 - 3 x - 1 = 0 a  3; b = - 1 - 3 ; c = - 1  

Ta có: a b c   3- - 1 - 3 + - 1     0

 phương trình có hai nghiệm là: x 1 1; 2

x   

d)m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0 2   (Với m1)

Với m 1 ta có a + b + c = m - 1  - 2m + 3 + m + 4 = 0   

 phương trình có hai nghiệm là: x 1 1; 2 14







m

m x

b)Dạng: Phương trình bậc hai có a = 1; b = tổng hai số ; c = tích hai số đó ( nhẩm nghiệm nguyên đơn giản)

Phương pháp: Nhẩm trong đầu tích của hai nghiệm bằng c mà tổng lại bằng b.

+ Nếu phương trình có dạng : x2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm

u và v

+ Nếu phương trình có dạng : x2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm

- u và - v

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a, x2 + 7x + 12 = 0 b, x2 - 11x + 28 = 0

Giải

a, Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = 3; x2 = 4

b, Ta có (- 4) + (- 7) = -11 và (- 4).(- 7) = 28 nên phương trình có hai nghiệm là x1 = - 4; x2 = - 7

Sau khi tính được nghiệm của phương trình xong tôi đã yêu cầu các em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm được ở phần a và b

Lưu ý học sinh:

- Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi-ét để tính

nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể Nếu không tính nhẩm được nghiệm của phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải

- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi-ét và tính toán cho phép tính nhanh chóng nghiệm của phương trình

Bài tập tương tự: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:

a/ 35x2 - 37x + 2 = 0

b/ x2 - 49x - 50 = 0

c/ x2 – 12x + 35 = 0

d/ x2 + 10x + 21 = 0

2.2 Dạng toán: Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình

đã cho và tìm nghiệm còn lại.

* Phương pháp:

+ Cách 1: Thay giá trị nghiệm đã biết vào phương trình để tìm tham số, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại

+ Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi-ét để tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi-ét còn lại để tìm giá trị của tham số

Ví dụ 3: Cho phương trình 2x2 - mx + 5 = 0 (m là tham số)

Biết phương trình có một nghiệm là 2 Tìm m và tìm nghiệm còn lại

Giải:

Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được m = 13

2 Theo hệ thức Vi-ét ta có x1x2 = 5

2 mà x1= 2 nên x2 = 5

4

Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có

x1 x2 = 5

2 mà x1 = 2 nên x2 = 5

4 Mặt khác x1+ x2 = m2  m2 = 2 + 5

4  m = 13

2

Bài tập tương tự:

a/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.

b/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm

của phương trình

c/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có hai

nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

*) Phương pháp:

Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi - ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2

Bước 2: Lập phương trình dạng: x2 – Sx + P = 0

a) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

Ví dụ 4: Cho x1= 3; x2= 2 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên.

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2

1 2

5

P x x







Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình:

x2 – Sx + P = 0  x2 – 5x + 6 = 0

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trìnhcho trước

Ví dụ 5: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

1 2

1

1

x

2

1

x

Giải:

Theo hệ thức Vi-ét,

3

Vậy phương trình cần lập có dạng:

Bài tập áp dụng:

1/ Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:

a/ x1= 8 và x2= - 3

b/ x1= 3a và x2= a

c/ x1= 36 và x2= - 104

d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2

2/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

1 1

2

1

x

1

1

x

3/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:

4

1 1

2 2

y x

2.4 Dạng toán: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

* Phương pháp:

Bước 1: Sử dụng định lí Vi - ét lập phương trình bậc hai dạng x2 – Sx + P = 0 Bước 2: Giải phương trình bậc hai với đk: S2 - 4P ≥ 0

Ví dụ 6: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.

Giải:

Ta có : 1 2

1 2

27

x x









=> x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai x - 27x + 180 = 0 2

2

= 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0

 phương trình có 2 nghiệm 1

27 3

15 2

x    ; 2

27 3

12 2

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

* Khai thác ví dụ trên tôi nêu ra ví dụ sau:

Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2

Hướng dẫn cách giải:

- Bài toán cho biết gì ? cần tìm gì?

- Nếu gọi các cạnh của hình chữ nhật là a và b ta có điều gì?

- a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai nào?

Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải Giải:

Gọi các cạnh của hình chữ nhật là a và b (0 < a,b < 10)

ta có: 2.  20

a b

a b









a b

a b

 







 Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 2

x - 10x + 32 = 0

Ta có:    '  5 2 1.32  7 0   phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32 cm2

2.5 Dạng toán: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình.

*) Phương pháp:

Bước 1: Xét điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm (∆ ≥ 0 hoặc ∆’ ≥ 0)

Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, áp dụng hệ

thức Vi-ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các nghiệm

Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:



Ví dụ 7: Cho phương trình 2x2  7x  4 0 x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x1 x2; x x1 2 b) 3 3

1 2

x x

Giải:

a) Ta có:    72 4.2.4 49 32 17 0      Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; 2

x

áp dụng đinh lí Vi – ét ta có: 1 2

1 2

7 2

x x









b) Ta có: 3 3

1 2

1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2