Một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm cơ bản khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

SỞGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠOTHANH THANHHOÁ HOÁ SỞ TRƯỜNGTHPT THPTTHẠCH THẠCHTHÀNH THÀNH33 TRƯỜNG SÁNGKIẾN KIẾNKINH KINHNGHIỆM NGHIỆM SÁNG GIẢISỐ NHANH CÁC BÀI ĐIỆN XOAY CHIỀU MỘT GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH TRÁNH CÓ YẾUSAI TỐ THAY ĐỔIBẢN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHỮNG LẦM CƠ KHI GIẢI PHƯƠNG “CHUẨN HÓA GÁN SỐ LIỆU” TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN BẬC HAI Người thực hiện: Nguyễn Thị Thiêm Chức vụ: Giáo viên Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành SKKN thuộc mơn: Tốn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Vật lí THANH HOÁ NĂM 2020 Mục lục Trang I.Mở đầu: .1 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 2.3.2 Giải pháp 2.3.3 Giải pháp 2.3.4 Giải pháp .14 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục , với thân , đồng nghiệp nhà trường .16 III Kết luận, kiến nghị .17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo 19 Các thuật ngữ viết tắt bài: SKKN – sáng kiến kinh nghiệm KTM – không thỏa mãn THPT – trung học phổ thông THPT QG – trung học phổ thông Quốc gia HS – học sinh TB – trung bình HD – hướng dẫn PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong mơn tốn trường phở thơng nói chung đại số lớp 10 nói riêng phần phương trình chứa ẩn dấu giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn việc giải phương trình cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Các em học sinh học giải phương trình chứa ẩn dấu cụ thể với nội dung sách giáo khoa giới thiệu phương trình chứa dấu bậc hai dạng đơn giản Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đởi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao, phải có kỹ biến đởi tốn học Một thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi THPT QG; khơng học sinh cịn phải giải phương trình chứa dạng tốn khác phương trình mũ logarit Do học giải phương trình chứa khơng để giải lớp tốn phương trình chứa mà cịn cơng cụ để em làm toán dạng khác, nhiên giải phương trình loại nhiều học sinh gặp khó khăn thường mắc sai lầm Với lực học sinh, q trình giảng dạy tơi khơng hy vọng dạy cho em có kĩ để giải tốn khó phức tạp mà mục đích giúp học sinh giải thành thạo số dạng tốn khơng bị mắc sai lầm q trình làm từ giúp em tiếp cận dạng toán liên quan tốt Từ lý chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh tránh sai lầm giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp cho học sinh nắm kiến thức giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Giúp học sinh nhận dạng dạng kèm theo cách giải 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Các tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai: Trang +) Bài toán giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai dạng +) Bài tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai cách đặt ẩn phụ +) Bài tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai cách biến đởi tương đương, bình phương nhiều lần +) Bài tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai cách đặt hai ẩn phụ - Khi phân loại rõ phương pháp giải trường hợp giúp học sinh có nhận định nhanh chóng xác định đường nhanh để giải toán 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU -Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy), thông qua kiểm tra nhận thức học sinh để kiểm tra tính khả thi đề tài - Trao đởi ý kiến với đồng nghiệp nội dung giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai - Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa 10 nâng cao; Sách giáo viên; Sách tập; Các đề thi; Internet, PHẦN II: NỘI DUNG CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài nghiên cứu thực thực tế kinh nghiệm giảng dạy nội dung chủ đề giải phương trình chứa thức mà trọng tâm tốn giải phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Khi giải tập , học sinh phải trang bị kiến thức , kỹ phân tích đề bài, kỹ nhận dạng tốn để từ suy luận quan hệ kiến thức cũ kiến thức mới, toán làm toán làm, hình thành phương pháp giải tốn bền vững sáng tạo Hệ thống tập phải giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức , phát triển khả suy luận, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt sáng tạo vào tốn Từ học sinh có hứng thú tạo động học tập tốt nội dung 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Khi gặp phương trình chứa ẩn dấu đa số học sinh thường giải sai, giải không triệt để, kết luận thường thừa thiếu nghiệm Với dạng toán khác mà triển khai đến bước phải giải phương trình chứa ẩn dấu học sinh thường giải sai lúng túng Trang Trong đề thi THPTQG thường xuất phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Học sinh lớp 12 thường quên cách giải dẫn đến giải sai Trong trình dạy học đơi giáo viên mắc sai lầm, tơi xin mạnh dạn đưa số giải pháp sau để góp phần tránh sai lầm cho học sinh 2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 2.3.1 Giải pháp 1: Định hướng cho học sinh giải theo phương pháp biến đổi tương đương hai dạng phương trình để khắc phục số sai lầm học sinh giải theo phương pháp biến đổi hệ Dạng 1: f  x  g x Dạng 2: f  x  g x Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f  x  g  x trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f  x  �0 Nhưng nên để ý điều kiện xác định phương trình khơng phải điều kiện có nghiệm phương trình, trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f  x  �0 điều kiện cần đủ phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình x   x  (1) [2] Sách giáo khoa đại số 10 giải sau: Điều kiện xác định phương trình (1) x � (*) (1) � x   x  x  � x  x   Phương trình cuối có nghiệm x   x   Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x   bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x   Một số học sinh mắc sai lầm cho sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x � để lấy nghiệm nghiệm phương trình x   x   Trang Nhưng số học sinh cẩn thận có thử lại nghiệm Tuy nhiên với cách giải phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai Từ bất tiện giáo viên nêu phân tích cách giải phương pháp biến đởi tương đương sau : �x  �0 �x �2 � � 2x   x  � � � �2 �2 x    x   �x  x   � �x �2 � �� x  3 �� � � x  3 �� � � � x  3 Ví dụ 2: Giải phương trình 3x  x   3x  (2) [3] Với học sinh nắm vững kiến thức làm cẩn thận mà làm theo phương pháp biến đởi hệ gặp khó khăn q trình giải là: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 3x  x  �0 thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Do nên cho học sinh giải theo định hướng ví dụ sau: � x � � � �3x  �0 � � �x � � � ��x  1 � x   Ta có:   � � 2�� �3x  x    3x  1 �3x  x   �� � � ��x   �� Vậy nghiệm phương trình (2) x   Qua ví dụ giáo viên tởng qt cách giải dạng phương trình f  x  g x để học sinh khắc sâu phương pháp sau : � g x �0 � D� ng1: f  x =g x � � � � f x = g x     � � � � Chú ý: Khơng cần đặt điều kiện xác định phương trình f  x  �0 *Bài tập tự luyện : Giải phương trình sau : a) x   x  Trang b) x2  x   x 1 d) x  x    x   Đáp số : a) x  b) x  c) x  4; x  x  x   x  (3) [4] � � x  x  �0 Học sinh thường đặt điều kiện � sau bình phương hai vế để x  � � giải phương trình Khi ,học sinh gặp phải trở ngại thời gian để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x  �0 điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Nên định hướng cho học sinh giải sau : �x �3 � � x  2 � � �x  �0 �x �3 �� � ��x  2 � � Ta có : (3) � � x 1 x  x   x  �5x  x 10  ��x  � � �� Ví dụ 3:Giải phương trình Vậy tập nghiệm phương trình (3) T   2;1 Việc định hướng từ ban đầu yêu cầu học sinh giải theo cách biến đổi tương đương giúp cho học sinh không lệch hướng tránh sai lầm đáng tiếc Tổng quát phương pháp để học sinh khắc sâu sau : � f  x  �0 f  x = g  x � � � Dạng 2: f  x = g  x � g  x  �0 � � f  x = g  x � � f  x = g  x � Chú ý: Không cần đặt đồng thời g  x  �0 f  x  �0 Biểu thức dễ giải điều kiện nên chọn biểu thức *Bài tập tự luyện: Giải phương trình sau: a) x    2x b) 2x2  3x   7x  Trang x2  5x   2x2  3x  12 c) Đáp số: a) x  b) x  Nhận xét: Đối với hai dạng phương trình nêu giải theo phương pháp biến đởi hệ phải đặt điều kiện phải thử lại nghiệm nên rườm rà dẫn đến dễ mắc sai lầm thiếu sót Cịn giải theo phương pháp biến đởi tương đương đơn giản thuận tiện Do dạy giáo viên nên lấy ví dụ cụ thể phân tích thơng qua định hướng cách giải tối ưu giúp học sinh khắc sâu phương pháp cho dạng 2.3.2 Giải pháp 2: Khắc phục khó khăn cho học sinh giải phương trình dạng theo phương pháp biến đổi tương đương cách đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Khi gặp toán x  3x    x  3x  (1) [1] c) x   Nếu học sinh biến đổi tương đương sau: �3x  3x  �0 � � (1) � � �x  3x    x  3x  �   dẫn đến phương trình bậc bốn để giải kết cuối khơng phải lúc thuận lợi Do ta phải có phương pháp khác đặt ẩn phụ từ hình thành cho học sinh lớp tốn giải phương trình chứa phương pháp đặt ẩn phụ Khi hướng dẫn học sinh biến đởi sau : Ta có: (1) � x  3x   x2  3x   12  Đặt x2  3x   t (t �0) Khi phương trình trở thành : t 3 � t  t  12  � � t  4 ( KTM ) � x  1 � Với t  ta x  3x   � � x4 � Vậy tập nghiệm phương trình (1) : T   1;4 Nâng lên tởng qt ta có phương pháp giải cho dạng sau : Trang Phương pháp: Chuyển phương trình dạng af  x   b f  x   c  Sau đặt ẩn phụ: f  x   t  t �0  Đưa phương trình dạng: at2  bt  c  Ví dụ : Giải phương trình x  12 x  11  x  12 x  15 (2) [6] Theo mạch học sinh giải sau : Ta có : (2) � x  12 x  11  x  12 x  11   Đặt x  12 x  11  t ,( t �0) (t �0) t 1 � Phương trình trở thành : t  5t   � � (thoả mãn điều kiện t) t4 � +) Với t  ta x  12 x  11  � x  12 x  10  (phương trình vơ nghiệm) �  14 x � 2 +) Với t  4ta x  12 x  11  � x  12 x   � � �  14 x � � �3  14  14 � ; Vậy tập nghiệm phương trình là: T  � � � �     Ví dụ 3: Giải phương trình: x2  x2   x2   x2  [6] Ta biến đởi để phương trình có biểu thức giống sau:  2x2 1   x2 1  2 x2   x2   Đặt x   t , (t �1) Khi ta phương trình bậc ba với ẩn t: t3  2t2  3t   t � � �  t  2 t2   � � t � t   ( KTM ) �   +) Với t  � 2x2   � x  � +) Với t  � 2x2   � x  �1 Trang � 6� 1;1; ; Vậy phương trình có tập nghiêm là: T  � � 2� � Nhận xét: Khi việc bình phương hai vế mà dẫn đến phương trình phức tạp ta nên nghĩ đến việc biến đởi để phương trình có biểu thức chứa biến giống để giải theo phương pháp đặt ẩn phụ Trong hai ví dụ này, ta khái qt thành dạng tởng qt sau:        ax2  bx     ax  bx   , ta đởi biến  ax2  bx    t  ax2  bx  t   , �0 , t �0    Tuy nhiên vài trường hợp, phương trình có nghiệm từ hai nghiệm hửu tỉ trở lên (có thể trùng nhau) ta giải cách bình phương hai vế phương trình x   x  x   (ĐH Khối D – 2006) [5] Ví dụ 4: Giải phương trình: Ta có: (4) � x    x  x  � x  x3  11x  x   x 1 � � �  x  1 x  x  � � x2 � x 2 �     Thử lại ta thấy phương trình có tập nghiệm : T  1;2  * Bài tập tự luyện: Giải phương trình sau: a)  x  1   x  1 2x  2x2 b)  x  5   x  x2  3x c) x2   x2  5x    5x Đáp số: a) x  b) x  1; x  4 Trang c) x  2; x  7 2.3.3 Giải pháp 3: Định hướng cho học sinh nên đặt điều kiện trước giải phương trình chứa nhiều thông qua số phương pháp giải khác để tránh sai lầm lấy nghiệm phương trình Phương pháp: Đối với phương trình chứa nhiều bậc hai ta nên đặt điều kiện trước giải a Phương trình chứa nhiều giải phương pháp biến đổi tương đương, bình phương nhiều lần Ví dụ 1: Giải phương trình x   x   (1) [4] � 3x  �0 �x � � �۳�  x (1') Điều kiện: � �x  1�0 � �x �1 Với điều kiện (11’) ta có: (1) � 3x    x  � 3x   x  5 x  � x   x  (với điều kiện (1’) ta tiếp tục bình phương hai vế) � 4x   x2  2x  � x2  2x   x  1 � �� (thoả mãn điều kiện (1’) x � Vậy tập nghiệm phương trình (1) là: T   1;3 Ví dụ 2: Giải phương trình x   x   x   x  16 (2) [1] Khi gặp tốn nhiều học sinh đưa lời giải sai sau : Ta có : (2) � x   x   x   x  16 � x   x   x   4( x  4) �x  �0 �x �1 � x 1  x  � � � x2 � x   x  x  � � Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ta nhận x  khơng phải nghiệm phương trình cho học sinh khơng tìm điều kiện phương trình �x  �0 � x (2’) Lời giải là: Điều kiện �x �۳ �2 x  �0 � Trang Với điều kiện (2’) ta có: (2) � x   x   x   x  � x   x  � x  ( không thỏa mãn) Vậy phương trình cho vơ nghiệm Chú ý:  A 0 A B  A C    B C Tuy nhiên ta cố tìm cho điều kiện cụ thể phương trình, chẳng hạn ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình  x2  x x    2x  x2 (3) [6] �  x  x x  �0 � �  x  x �0 HD : Điều kiện � (3’) �x  �0 � Lưu ý: Hệ điều kiện phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Với điều kiện (3’) nên hai vế khơng âm , bình phương hai vế ta (3) �  x  x x    x  x � �x  x   �0 � x x   2 x  � �2 �x  x    x  16 x  16 2 �x �0 � 2 �x �0 � � � �3 � �� x  1 ( thỏa mãn điều kiện (3’)) � x  1 �x  x  16 x  16  �� x  �4 �� Vậy nghiệm phương trình (3) x  1 Ví dụ 4: Giải phương trình: x   x   x   (4) Điều kiện phương trình x �1 (4’) [6] Ta thấy: Biểu thức dấu x   x  có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau:  4 �   x 1 1  x 1  4� x 1   x 1  � x 1  � x 1  � x  x  thỏa mãn điều kiện (4’) Vậy nghiệm phương trình x  b Phương trình chứa nhiều bậc hai giải phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình:  x  2   x   x    x  [6] Trang 10 Trong dạng phương trình học sinh cần nhận xét là:    x2  t2     x  ( số ), ta đặt x    x  t ta có:  x     x  , cần ý đến điều kiện biến trung gian để việc giải tốn có nhiều thuận lợi Điều kiện 2 �x �7 Đặt t  x    x ( t �0)  x  2   x Ta suy t   t � 2 Ta phương trình: t  5 t  1� t  t   � � t  2 ( KTM) � Với t  ta x3 � x6 � x3 �  x     x   � x  x  18  � �x   � � Vậy phương trình có nghiệm x  x  Tuy nhiên có sau: Ví dụ 2: Giải phương trình x   x   x  2 x  x   16 (2) [1] x  �0 � ۳ x 1 (2’) HD: Điều kiện � �x  �0 Ta thấy ( x  3)2    x   3x  khác số Tuy nhiên ta giải phương pháp Đặt x   x   t , (Điều kiện t �0) � 3x  2 x  5x   t  t � Phương trình (2) trở thành : t  t  20  � � t  4( KTM) � Với t  ta 2 x  x   21  x ( phương trình thuộc dạng 1) 21  x �0 � � ��  x  x  3  441  126 x  x � �x �7 �x �7 � � �2 � �� x3 � x3 x  146 x  429  � �� x  143 �� So sánh với điều kiện (2’) ta có nghiệm phương trình x  Trang 11 Ví dụ : Giải phương trình : x   x   x2   x  [1] Hướng dẫn : đặt điều kiện x �2 Cũng với hướng giải ta đặt : x   x   t (t �0) � t  x  x  t 1 � Phương trình trở thành t  t   � � t  2( KTM ) � Với t  � x2   x 1 � 4( x  4)  x2  x 1 � x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  17 17 Có thể tổng qt cho phương trình đặt ẩn phụ dạng sau: m  đặt  f  x  � g  x  �2n f  x  g  x   n  f  x   g  x    p  , f  x  � g  x   t (t �0) , bình phương hai vế để biểu diễn đại lượng lại qua ẩn t c Phương trình chứa nhiều khác bậc giải phương pháp đặt hai ẩn phụ : Ví dụ 1: Giải phương trình: 24  x  12  x  [5] Với phưong trình có chứa hai loại bậc hai bậc ba, phương pháp binh phương hai vế hay mũ ba hai vế không đem lại kết thuận lợi cho việc giải, đặt ẩn phụ khơng thể đưa phương trình dạng khơng chứa Đó lí để hướng học sinh đến việc phải đặt hai ẩn phụ Ta cần đặt điều kiện cho bậc hai x �12 � �3 24  x  u ,  v �0  Ta nhận thấy u3  v2  36 ( số) Đặt � � � 12  x  v uv 6 � u0 � u 3 � u  4 � � �� �� �� Do ta có hệ � v6 � v3 � v  10 u  v  36 � � u0 � � � 24  x  �� � x  24 Với � v  � 12  x  � Trang 12 u 3 � � � 24  x  �� � x3 Với � v  � � 12  x  3 u  4 � � � 24  x  4 �� � x  88 Với � v  10 � � 12  x  10 Vậy phương trình có tập nghiệm : T   24;3;88 Ví dụ 2: Giải phương trình: x 1  x   [1] Với phương trình chứa loại để ta phải mũ ba hai vế việc làm dẫn đến phương trình phức tạp khó giải Nhưng ta lại thấy    x 1   x   ( số) � u  x 1 � Do ta đặt � v  x3 � 3 32 � � � uv � � � x 1  u  �� �� � x 3 Khi ta có hệ �3 3 x 3  v0 � � u v 2 � � Vậy phương trình có nghiệm x    Ta tổng quát dạng sau: F f  x  , n a  f  x  , m b  f  x   *Bài tập tự luyện: a) x   1 x  1 2x b) 3 x  x2   x  x2  c) x   x   Đáp số: a) x  0; x   b) x  1� c) x  Trang 13 2.3.4 Giải pháp 4:Tránh sai lầm cho học sinh khai bình phương biểu thức, đưa biểu thức hay vào bậc hai Phương pháp: �A, A �0 A2  A  �  A, A  � Ví dụ 1: Khi gặp phương trình: x  x  12   x  3  x2  x  6 (1) [6] Bài tốn HS mắc sai lầm sau: Lời giải sai: (1) � x  x  12   x  3  x2  x   �  x  3  x     x  3  x    x   �  x  3  x     x   x  x3 � x2  x4 0� � � x   x  (*) � �x �4 �x  �0 � � � x7 Giải   ta có: x   x  � � � 2  x  14  x x   x  �   � �  x  3   Vậy phương trình cho có tập nghiệm : T   3;7 HS kết luận với x  x  hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho cịn có nghiệm x  2cũng thoả mãn Lời giải phải là: Ta có (1) � x  x  12   x  3  x2  x  6 �  x  3  x     x  3  x    x   �  x  3  x     x  3  x   �  x  3 x    x  3  x     �� �   x  3 x    x  3  x    3 � Giải (2): (2) �  x  3 x    x  3  x   Trang 14 �  x  3   x2x4 0 x3 � x3 � �� �� x7 � �x   x  Giải (3): (3) �   x  3 x    x  3  x   �  x  3   x2  x4 0 x3 � x3 � �� �� x2 � �x    x Vậy phương trình cho có tập nghiệm : T   2;3;7 A=0 � � Chú ý: A B = A B =�A B A>0 � -A B A