Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Hằng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số:60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:TS.Phạm Văn Quốc Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian theo học trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đặc biệt khoảng thời gian thực luận văn tốt nghiệp, nhận đƣợc giúp đỡ hết lòng mặt vật chất, tinh thần, kiến thức kinh nghiệm quí báu từ gia đình, thầy cô bạn bè Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Mẹ Anh Chị gia đình giúp đỡ mặt vật chất lẫn tinh thần để hoàn thành nhiệm vụ cách tốt nhất; Quí Thầy, Cô trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đặc biệt quí thầy, cô khoa Toán Cơ-Tin, ngƣời hết lòng truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quí báu suốt thời gian theo học trƣờng để tự lập đƣợc công việc sau này; Thầy giáo Phạm Văn Quốc - thuộc Khối phổ thông chuyên, trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, động viên giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn tốt nghiệp; Các anh chị học viên lớp Cao học khóa 14 bạn đồng nghiệp ủng hộ, giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, kinh nghiệm tài liệu cho trình nghiên cứu thực luận văn này; Trƣờng THPT Thanh Oai A giúp đỡ tạo điều kiện cho trình học tập hoàn thành luận văn này; Cuối xin kính chúc sức khỏe quí thầy cô, gia đình anh chị học viên Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2016 Học viên thực Nguyễn Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng dƣới hƣớng dẫn củaTS Phạm Văn Quốc Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực tham khảo điều đƣợc trích dẫn ghi gõ nguồn gốc Mọi chép không hợp lệ, quy phạm quy chế đào tạo hay gian trá xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả Nguyễn Thị Hằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU .6 Lý chọn đề tài Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Đặt tên đề tài Bố cục luận văn 7 7 8 CHƢƠNG NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN .9 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 1.1.2 1.2 PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN 1.2.1 1.2.2 Khái niệm phƣơng trình ẩn .9 Phƣơng trình vô tỷ 10 Các dạng thƣờng gặp .10 Phƣơng pháp đƣa tích 12 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ 15 2.1 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 15 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ chuyển phƣơng trình đa thức 15 Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình bậc hai với hai biến 18 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 22 Phƣơng pháp đặt nhiều ẩn phụ đƣa hệ 24 2.2 PHƢƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 31 2.2.1 Một số đẳng thức hay sử dụng 31 2.2.2 Các ví dụ minh họa .32 2.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ Erro 2.3.1 Tính đơn điệu hàm số Error! Bookmark not defined 2.3.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốError! Bookmark not defined 2.3.3 Các dạng toán liên quan Error! Bookmark not defined 2.3.4 Các ví dụ Error! Bookmark not defined 2.3.5 Xây dựng phƣơng trình vô tỷ dựa theo hàm đơn điệu Error! Bookmark not defined 2.4 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC 2.4.1 2.4.2 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa Error! Bookmark not defined Phƣơng pháp đánh giá Error! Bookmark not defined Erro 2.5PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHỨC TẠP VỚI SỰ 2.5.1 Phƣơng pháp thủ thuật sử dụng máy tính để tìm nhân tử chung tìm biểu thức nhânliên hợp giải phƣơng trình vô tỷ Error! Bookmark not defined 2.5.2 Phƣơng pháp cộng dùng thủ thuật máy tính cầm tay trợ giúp giải phƣơng trình vô tỷ Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhiều kỳ thi, đề thi bao gồm nhiều kiến thức với yêu cầu ngƣời học cần học rộng hiểu sâu Một kiến thức thƣờng xuyên đƣợc nhắc tới phần kiến thức tƣơng đối khó thách thức ngƣời học “ phƣơng trình vô tỷ” Phƣơng trình vô tỷ phƣơng trình có chứa thức phần kiến thức rộng xuất dƣới nhiều hình thức dạng toán khác biến đổi khó lƣờng Nhƣng đào sâu nhìn dƣới nhiều khía cạnh khác thấy đƣợc thƣờng xoay quanh số dạng ta đƣa số phƣơng pháp giải cho phƣơng trình dạng Thực tế cho thấy việc giảng dạy phần phƣơng trình vô tỷ bậc trung học phổ thông có thời lƣợng dạng toán mức độ dễ nhƣng ngƣời học muốn giải toán đề thi không dễ dàng chút Vì có hệ thống phƣơng pháp làm tập khiến cho ngƣời học dễ dàng việc giải vấn đề liên quan đến phần kiến thức Ngoài từ phƣơng pháp cụ thể ta tạo đƣợc phƣơng trình vô tỷ hay, khó nhƣng không phần thú vị tìm lời giải Đây cách phát triển tƣ sáng tạo ngƣời học Mỗi ngƣời học trao đổi toán riêng với học viên khác để mở rông thêm kiến thức nhƣ tiếp cận với nhiều ý tƣởng hay lạ Đặc biệt giáo viên bạn kích thích tƣ sáng tạo tìm tòi học snh từ khiến cho học sinh không thấy khó khăn bắt gặp dạng toán đề thi Hiện nay, phần phƣơng trình vô tỷ xuất với tần số dày đề thi hình thức thi trắc nghiệm cần nhanh xác nhìn phƣơng pháp làm giúp ngƣời học biến đổi nhanh không bị lúng túng.Xuất phát từ lợi ích thực tế mà việc tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ mang lại, định chọn đề tài tốt nghiệp cho là: “ Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ” Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Trong trình nghiên cứu tiến hành thực nhiệm vụ sau: nghiên cứu vấ n đề liên quan đế n phƣơng trình vô tỷ, nghiên cứu phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ, nghiên cứu tiêu chí áp dụng phƣơng pháp cho hợp lý nhanh gọn Thiết kế số phƣơng trình vô tỷ từ sở ban đầu Dạy thử nghiệm học sinh trƣơng THPT Thanh Oai A, đánh giá kết thử nghiệm Tất kết nghiên cứu nhằm bổ sung sở l‎ý luận việc tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Hệ thống đƣợc xây dựng nhằm hỗ trợ cho việc giảng dạy nâng cao trình độ cho học sinh trƣơng THPHƢƠNG TRÌNH Thanh Oai A Từ giúp xác định đƣợc đối tƣợng sử dụng hệ thống, nhƣ xác định đƣợc phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Để xây dựng đƣợc hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ thực hiệu quả, tiến hành vớihai phƣơng pháp nghiên cứu là: nghiên cứu l‎ý thuyếtvà cuối phƣơng pháp thực nghiệm Phƣơng pháp nghiên cứu l‎ý thuyết, với phƣơng pháp tiến hành: nghiên cứu lý thuyết phƣơng trình có chứa thức phép biến đổi tƣơng đƣơng liên quan đến căn, thực trạng dạy học phần phƣơng trình vô tỷ trƣờng THPHƢƠNG TRÌNHở trƣờng THPHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp thực nghiệm: thử nghiệm với học sinh lớp 10 12 trƣơng trung học phổ thông Thanh Oai A Cảhai phƣơng pháp giúp có nhìn chung hệ thống phƣơng trình vô tỷtừ đƣa đƣợc số phƣơng pháp giải sáng tạo phƣơng trình vô tỷ Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Việt Nam giai đoạn đẩy mạnh công nghiệp hóa, đại hóa hội nhập sâu rộng với giới tất lĩnh vực Một nhân tố quan trọng để đạt đƣợc mục tiêu xây dựng xã hội học tập, đƣợc đào tạo liên tục, tự học, học trƣờng, học mạng, thƣờng xuyên trau dồi kỹ năng, kiến thức, phát triển trí tuệ sáng tạo Trong đó, việc xây dựng hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷlà giải pháp có nhiều tiềm hứa hẹn đem lại hiệu cao việc học tập môn toán giúp ngƣời học vƣợt qua kì thi Với đề tài là: “ Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ” làm sáng tỏ đƣợc vai trò phƣơng trình vô tỷ đề thi Từ xây dựng thành công hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ sáng tạo phƣơng trình vô tỷ Đặt tên đề tài “ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ” Bố cục luận văn Nội dung luận văn đƣợc chia thành chƣơng , cụ thể nhƣ sau: Chƣơng 1: Nghiên cứu tổng quan Giới thiệu số vấn đề liên quan đến phƣơng trình vô tỷ Chƣơng 2: Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ Giới thiệu số phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ cách sáng tạo phƣơng trình vô tỷ từ phƣơng pháp có CHƯƠNG NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Khái niệm phƣơng trình ẩn a Khái niệm Cho A  x  , B  x  hai biểu thức chứa biến x, A  x   B  x  gọi phƣơng trình ẩn Trong đó: + x đƣợc gọi ẩn + A  x  , B  x  gọi hai vế phƣơng trình + Quá trình tìm x gọi giải phƣơng trình + Giá trị tìm đƣợc x gọi nghiệm phƣơng trình + S: Tập hợp nghiệm phƣơng trình + Tập xác định: Tập xác định phƣơng trình b Tập xác định phƣơng trình Là tập giá trị biến làm cho biểu thức phƣơng trình có nghĩa c Các khái niệm hai phƣơng trình tƣơng đƣơng + Hai phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm Hoặc nghiệm phƣơng trình nghiệm phƣơng trình ngƣợc lại 1.1.2 Phƣơng trình vô tỷ a Định nghĩa Phƣơng trình vô tỷ phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu Ví dụ: x    x  x  b Các bƣớc giải phƣơng trình vô tỷ + Tìm tập xác định phƣơng trình + Biến đổi đƣa phƣơng trình dạng phƣơng trình học + Giải phƣơng trình vừa tìm đƣợc + So sánh kết với tập xác định kết luận c Các kiến thức thức + Một số âm thức bậc chẵn điều kiện ẩn biểu thức chứa dấu bậc chẵn số không âm + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế phƣơng trình đảm bảo nhận đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng + A2  A 1.2 PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN 1.2.1 Các dạng thƣờng gặp Dạng 1: f ( x)  g ( x) (1) Đây dạng đơn giản phƣơng trình vô tỷ Phƣơng pháp giải: (2)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) (3) Giải phƣơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy nghiệm phƣơng trình (1) Ví dụ 1.1.Giải phƣơng trình x   x 1 (1) Giải x  x  x   (1)       x   x   x   ( x  1)  x  3x   x   Vậy x  nghiệm phƣơng trình (1) Dạng 2: f ( x)  g ( x)  h( x) (2) x   x  x   x  8x   2; 3x    x  x   x   Ví dụ2.1.15.Giải phƣơng trình x   x  x   x  x   x  x Giải u   x  v   x , ta có :   w   x Giải hệ ta đƣợc: u   u  v  u  w   2  u  uv  vw  wu   3  v  uv  vw  wu   u  v  v  w   5  w2  uv  vw  wu    v  w  u  w   30 239 x 60 120 Ví dụ2.1.16 Giải phƣơng trình sau : x2   x  3x   x  x   x  x  Giải Ta đặt : a   b   c   d  x2  x  3x  2x  2x  a  b  c  d ,khi ta có :  2 2 a  b  c  d  x  2 x2  x  Bài tập rèn luyện: Giải phƣơng trình sau 1) x2  5x   x2  x   x  2) x  x 1  x   1  x    x  x3  x 1  x  a Đặt ẩn phụ đƣa hệ thông thƣờng Đặt u    x  , v    x  tìm mối quan hệ hạn phƣơng trình: m   x    x  từ tìm đƣợc hệ theo u,v Chẳng u  m a  f  x   a  f  x   m b  f  x   c ta đặt:  từ suy m v  b  f  x  u m  v m  a  b u  v  a  b Khi ta có hệ  u  v  c m m  Ví dụ2.1.17.Giải phƣơng trình: x 25  x3 x  3  25  x3  30 Giải Đặt y  35  x3  x3  y3  35  xy ( x  y )  30 , giải hệ ta tìm đƣợc  x  y  35 Khi phƣơng trình chuyển hệ phƣơng trình sau:  ( x; y)  (2;3)  (3;2) Tức nghiệm phƣơng trình x {2;3} Ví dụ2.1.18.Giải phƣơng trình 1  x  x  Giải Điều kiện:  x    Đặt   1  x  u   x v 0u  1,0  v    u  v   u  v    Ta đƣa hệ phƣơng trình sau:  u  v     v   v          , từ tìm v thay vào tìm nghiệm Giải phƣơng trình thứ 2: (v  1)   v   2  2 phƣơng trình Ví dụ2.1.19.Giải phƣơng trình sau: x   x 1  Giải Điều kiện: x  Đặt a  x  1, b   x  1(a  0, b  0) ta đƣa hệ phƣơng trình sau:  a  b   (a  b)(a  b  1)   a  b    a  b   b  a    Vậy x 1 1   x 1  x    x  x  Ví dụ 2.1.20.Giải phƣơng trình: 11  17  2x  2x   5 x 5 x Giải Điều kiện: 5  x  Đặt   u   x , v   y  u, v  10 (u  v)2  10  2uv u  v  10   Khi ta đƣợc hệ phƣơng trình:  4 2 8     2(u  z )  (u  v) 1     u v  uv   b Xây dựng hệ vô tỷ từ hệ đối xứng loại II Ta tìm nguồn gốc toán giải phƣơng trình cách đƣa hệ đối xứng loại II từ đƣa toán chuyển phƣơng trình có chứa thức dựa vào toán hệ phƣơng trình biết Ta xét hệ phƣơng trình đối xứng loại II sau :  x  12  y    y  1  x  (1) (2) việc giải hệ đơn giản Bây giời ta biến hệ thành phƣơng trình cách đặt y  f  x  cho (2)  x  1 đúng, lấy y  x   1, ta có phƣơng trình :  ( x   1)   x  x  x  Vậy để giải phƣơng trình : x  x  x  ta đặt lại nhƣ đƣa hệ 2   x     ay  b Bằng cách tƣơng tựxét hệ tổng quát dạng bậc :  , ta xây dựng đƣợc phƣơng  y    ax  b     trình dạng sau : đặt  y    ax  b , ta có phƣơng trình :  x    Tƣơng tự cho bậc cao :  x     n a  n  a  ax  b  b  ax  b  b      Tóm lại phƣơng trình thƣờng cho dƣới dạng khai triển ta phải viết dạng :  x    n Việc chọn  ,  thông thƣờng cần viết dƣới dạng  x    n  p n a ' x  b '   đặt  y    n ax  b để đƣa hệ, ý dấu   p n a ' x  b '   chọn đƣợc Ví dụ2.1.21.Giải phƣơng trình: x  x  2 x  Giải Điều kiện: x  Ta có phƣơng trình đƣợc viết lại là: ( x  1)   2 x   x  x  2( y  1) Đặt y   x  ta đƣa hệ sau:   y  y  2( x  1) Trừ hai vế phƣơng trình ta đƣợc ( x  y)( x  y)  Giải ta tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình là: x   Ví dụ2.1.22.Giải phƣơng trình: x  x   2 4x  Giải Điều kiện x   Ta biến đổi phƣơng trình nhƣ sau: 4 x2  12 x   x   (2 x  3)2  x   11 Đặt y   x  ta đƣợc hệ phƣơng trình sau:  (2 x  3)  y   ( x  y )( x  y  1)    (2 y  3)  x  Với x  y  x   x   x   Với x  y    y   x  x   Kết luận: Nghiệm phƣơng trình {1  2;  3} c Xây dựng phƣơng vô tỷ từ hệ gần đối xứng (2 x  3)2  y  x  (1) hệ đối xứng loại II nhƣng Ta xét hệ sau :  (2 y  3)  3x  giải hệ đƣợc từ hệ xây dựng đƣợc toán phƣơng trình sau : Ví dụ 2.1.23 Giải phƣơng trình: x   13x  3x   Nhận xét : Nếu nhóm nhƣ phƣơng trình trƣớc : 13  33   x    3x   4  Đặt y  13  3x  không thu đƣợc hệ phƣơng trình mà giải đƣợc Để thu đƣợc hệ (1) ta đặt :  y    3x  , chọn  ,  cho hệ giải đƣợc(đối xứng gần đối xứng ) 2 2    y     3x   y  2 y  3x     (1) Ta có hệ :   (*) x  13 x   y     (2)  x  13 x     y      Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) mong muốn có nghiệm x  y 2 2    Nên ta phải có : , ta chọn đƣợc   2;       13   Ta có lời giải nhƣ sau :Điều kiện: x   , đặt 3x   (2 y  3), ( y  ) 2  (2 x  3)  y  x   ( x  y )(2 x  y  5)  Ta có hệ phƣơng trình sau:  (2 y  3)  x    Với x  y  x  15  97 Với x  y    x  11  73 15  97 11  73  ;  8   Kết luận: tập nghiệm phƣơng trình là:  Chú ý :Khi làm quen, tìm  ;  cách viết lại phƣơng trình Ta viết lại phƣơng trình nhƣ sau: (2 x  3)   3x   x  đặt 3x   2 y  , đặt y   3x  không thu đƣợc hệ nhƣ mong muốn, ta thấy dấu  dấu với dấu trƣớc Một cách tổng quát  f ( x)  A.x  B y  m  f ( y )  A '.x  m ' (1) để hệ có nghiệm x = y : A-A’=B m=m’ (2) Xét hệ:  Nếu từ (2) tìm đƣợc hàm ngƣợc y  g  x  thay vào (1) ta đƣợc phƣơng trình Nhƣ để xây dựng phƣơng trìnhtheo lối ta cần xem xét để có hàm ngƣợc tìm đƣợc hệ phải giải đƣợc Một số phƣơng trình đƣợc xây dựng từ hệ Giải phƣơng trình sau: 1) x  13x   3x   2) x  13x   3x   x  3) 81x   x3  x  4) x   x3  x  5) 6) 2.2 15 30 x  x   2004    30060 x   3x   8x3  36 x  53  25 PHƢƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 2.2.1 Một số đẳng thức hay sử dụng + x  y   x  y  x  y   + x3  y   x  y  x  xy  y   + x  y   x  y  x  y  x  y   + x n  y n   x  y  x n 1  x n 2 y   xy n 2  y n 1  Sử dụng đẳng thức này, ta quy phƣơng trình vô tỷ ban đầu dạng phƣơng trình tích việc làm xuất nhân tử chung Từ ta dễ dàng giải tiếp.Thƣờng toán sử dụng phƣơng pháp ý tƣởng tổng quát ta nhƣ sau: Giả sử ta có phương trình dạng F  x   với F  x  xác định miền D ta nhẩm nghiệm x = a phương trình ta biến đổi phương trình cho lại thành  x  a  G  x   Đến ta việc xử lí phương trình G(x) = 2.2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.1.Giải phƣơng trình 3 x  x    x  15 (1) Giải Ta dự đoán đƣợc nghiệm 1   x2  1     x  1 x4  x2   x  1 , ta viết lại phƣơng trình nhƣ sau:   x2    x2 1 x2   x  15   x2 1  x  15   x2    1    x  x  x2   x  15  Mặt khác, ta có x  15  x   x  15   x    x  15   x2   Nên phƣơng trình thứ hai vô nghiệm Vậy (1) có nghiệm x  1, x  1 Ví dụ 2.2.2.Giải phƣơng trình sau Giải 3x  5x   x    x  x  1  x  3x  (2) Ý tưởng: Trƣớc hết, kiểm tra ta thấy đƣợc phƣơng trình cho có nghiệm x  nên ta cố gắng đƣa phƣơng trình phƣơng trình tích xuất nhân tử  x   Ta có nhận xét rằng:  3x  5x  1   3x  3x  3  2  x    x     x  3x     x   Ta đến lời giải nhƣ sau:   (2)  3x  x   x  x    2 x  3x  x    x  x  1  x   x  3x  3x  x   x  3x     0   x  2  2  3x  x   x  x    x   x  3x    Mặt khác, ta có: 3x  x    x  x  1  x   x  3x  > với mọix Vậy phƣơng trình (2) có nghiệm x = Ví dụ 2.2.3.Giải phƣơng trình x  x  10  x  x  12 x  20 (3) Giải Cũng cách kiểm tra, ta thấy phƣơng trình (3) nhận x = làm nghiệm nên ta đƣa phƣơng trình (3) dạng phƣơng trình tích xuất nhân tử  x  1 Muốn làm đƣợc điều ta để ý thấy phƣơng trình có chứa hai để có nhân tử nhƣ ý muốn ta phải tìm cách loại bỏ đƣợc thức Ta viết lại nhƣ sau:  3   x  x  10   x  1    x  12 x  20   x   (4)    Để ý hai phƣơng trình x  x  10   x  1  x  12 x  20   x    vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế (4) ta có: 18  x  1 x  x  10  x   16  x  1 x  12 x  20  x  x      x  x  10  x  x  12 x  20  x  2 (*) Phƣơng trình (*)  x2  x  10  x  12 x  20  x  10 Đến ta có hai hƣớng giải quyết: Hướng 1: Bình phƣơng hai vế Hướng 2: Kết hợp với phƣơng trình (3) ta có hệ sau 2  8 x  x  10  x  12 x  20  x  10  2  2 x  x  10  x  12 x  20  x Lấy phƣơng trình thứ trừ lần phƣơng trình thứ hai, ta thu đƣợc:  15  5 x  x  x  10  x    x  x  15 x  25   Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x  1, x  Ví dụ 2.2.4 Giải phƣơng trình 15  5 162 x3   27 x  x   Giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với:  162 x3  162 x      162x     3x  1  x  3x  1 162 x      3x  1       162x   3x  3x  1 27 x  x    0 3x  3x  1 27 x  x   0    0 2 3 3 27 x  x   162 x   162 x      x  3x  1 3x  Xét phƣơng trình:   x  3x  1 162 x      162x     x  3x  1 162 x3    162 x3   3x 27 x  x    0 3x 162 x3  Ta đặt a  162 x3  suy ra: a a    x   1  a    x       x   x  3x  a 3x a  Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x  Ví dụ 2.2.5: (Olympic 30/4 Đề nghị) Giải phƣơng trình sau: Giải Điều kiện: x  x2  12   3x  x  Ta nhận thấy x = nghiệm phƣơng trình Nhƣ phƣơng trình cho phân tích đƣợc dạng  x   Q  x   Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với x2  x  12   3x   x    2 x  12   3 x  2  x2  x2   x    x2 x2 x2 x2   x  2        2    0(*) x  12  x      x  12  x2   Do x  12   x 5 3  x2 x  12   x2 x 5 3  nên phƣơng trình (*) vô nghiệm Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2.2.6: Giải phƣơng trình 3x2  x   x2   3x2  5x   x2  3x  Giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với 3x  5x   3x  x   2 x   x  3x   Bằng cách nhân liên hợp, ta có:   x  2  2  3x  x   3x  x  Do 3x  x   3x  x       x   x  3x   3 x   x  3x  = Ví dụ 2.2.7: Giải phƣơng trình 5x    x  x  3x  nên phƣơng trình có nghiệm x Giải Điều kiện: x  Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: x     x   x  3x    x  1 5x     9 x  1 x  23  x       x  1  x   5x 1    5x 1    x  1  x    5x        x  1 x  5  0  3  x   x  4    0   x  23  x  4   Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2.2.8: Giải phƣơng trình x  3x    3x Giải Điều kiện:  6 x 3 Ở này, khó chỗ ta nhẩm đƣợc nghiệm phƣơng trình để dùng lƣợng liên hợp.Tuy nhiên với hỗ trợ đắc lực công nghệ máy tính Casio fx570 Es chuyện dễ dàng Thật vậy, ta lần lƣợt dùng chức Shift Solve để tìm nghiệm phƣơng trình là: x1  0,6180339887 ; x2  1,618033989 sau gán hai nghiệm vào hai biến A B.Bây ta thử tìm xem A B có mối quan hệ với hay không cách tính A + B AB, ta thu đƣợc kết “đẹp” sau: A  B  1, AB  1 Điều chứng tỏ A, B hai nghiệm phƣơng trình: X  X   Và từ ta dự đoán đƣợc x  x  nhân tử phƣơng trình Ta viết phƣơng trình cho lại thành: x3  3x    px  q    3x  px  q   x  3x    px  q    x   p  3  px  q     3x   3x  px  q p x 1 q    2  3 x  pqx  q  8  3x  px  q Đến đây, để xuất nhân tử x  x  p 0  3 x2  pqx  q     x  x  1 với  hệ số Chọn  = ta đƣợc cặp (p, q) thỏa mãn (p, q) = (-1; 2) Khi (2) trở thành: x3  x   x2  x 1  3x   x   Xét f  x    3x   x ta có: f '  x    f '( x)   3x  3x Ta có bảng biến thiên:    x  x 1  x  1 1 x    3x  3x 1  0  3x   x   f  x   x 1 64 64 6   f  x  kết hợp với x  3  3x   x  x 1  1  f  x 64 Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x  x    x  1 2 Ví dụ 2.2.9: Giải phƣơng trình x  x    x   x  x  Giải Cũng cách làm nhƣ Ví dụ 8, ta phân tích đƣợc nhƣ sau: TÀI LIỆU THAM KHẢO Ban tổ chức kì thi (2012), Tổng hợp đề thi Olympic 30 tháng Toán học 10, Nhà xuất Đại học Sƣ Phạm Nguyễn Tài Chung (2014),sáng tạo giải phương trình hệ phương trình bất phương trình, NXB Tổng hợp TP Hồ Chí Minh, tr 174-246 Nguyễn Phú Lộc (2007), “ Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phƣơng trình bất phƣơng trình”, tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ, (1), NXB Giáo Dục, tr 29-31 Ths Lê Văn Đoàn (2015), Tư sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình bất phương trình hệ phương trình đại số vô tỷ, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội ... thiệu số vấn đề liên quan đến phƣơng trình vô tỷ Chƣơng 2: Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ Giới thiệu số phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ cách sáng tạo phƣơng trình vô tỷ từ phƣơng pháp. .. trò phƣơng trình vô tỷ đề thi Từ xây dựng thành công hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ sáng tạo phƣơng trình vô tỷ Đặt tên đề tài “ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ” Bố cục... phƣơng trình vô tỷ từ phƣơng trình đơn giản Để tìm hiểu thêm loại phƣơng trình vô tỷ ta vào số phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỷ tìm cách xây dựng nên phƣơng trình vô tỷ 2.1 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT