Biểu diễn từng phương trình theo tổng x+y và tích xy Hướng 2.. Biểu diễn từng phương trình theo x2+x và 2 y +y.. Rõ ràng hướng này tốt hơn.. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầ
Trang 1Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
3
4
2 1 27
2 1
Hướng dẫn giải:
1
x
y
≥
≥
từ phương trình (2) ta có ( )4 ( )2
x− = −y ⇒ y− = −x thay vào phương trình
( )1 ta được x− =2 27− + −x3 x2 4x+ ⇔4 x− + − +2 x3 x2 4x− =31 0 ( )*
f x = x− + − +x x x− với mọi x≥2
( )
x
⇒ = + − + > ∀ >
Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)mặt khác f ( )3 =0⇒x=3là nghiệm duy nhất của (*) thay vào
Phương trình (2) ta được y = 2 vậy nghiệm của hệ phương trình là x=3;y=2
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
2 2
18 ( 1)( 1) 72
Phân tích Đây là hệ đối xứng loại I
Hướng 1 Biểu diễn từng phương trình theo tổng x+y và tích xy
Hướng 2 Biểu diễn từng phương trình theo x2+x và 2
y +y Rõ ràng hướng này tốt hơn
Hướng dẫn giải:
Hệ
⇔
+ + =
2
2
1 ,
4 1 ,
4
+ = ≥ −
+ = ≥ −
⇔
TH 1
2
2
= + = = = −
TH 2 Đổi vai trò của a và b ta được 3, 4
= = −
= = −
Vậy tập nghiệm của hệ là S = {(2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3; 2); ( 4; 2); (3; 3); ( 4; 3)− − − − − − − − }
Nhận xét Bài toán trên được hình thành theo cách sau
Xuất phát từ hệ phương trình đơn giản 18
72
a b ab
+ =
=
1) Thay a=x2+x b, =y2+y vào hệ (I) ta được hệ
(1)
2 2
18 ( 1)( 1) 72
đó chính là ví dụ 2 2) Thay a=x2+xy b, = y2−xy vào hệ (I) ta được hệ
(2)
2 2
2 2
18
+ =
− =
3) Thay a=x2+2 ,x b=2x+y vào hệ (I) ta được hệ
12 PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2(3)
2
4 18 ( 2)(2 ) 72
4) Thay a x 1, b y 1
= + = + vào hệ (I) ta được hệ
(4) ( 2 ) 2 18
( 1)( 1) 72
5) Thay a=x2+2xy b, = y2−xy vào hệ (I) ta được hệ
(5)
2 2
18 ( 2 )( ) 72
- Như vậy, với hệ xuất (I), bằng cách thay biến ta thu được rất nhiều hệ pt mới
- Thay hệ xuất phát (I) bằng hệ xuất phát (II) 2 27
21
a b
+ =
− =
và làm tương tự như trên ta lại thu
được các hệ mới khác Chẳng hạn
6) Thay a=x2+y2,b=xy vào hệ (II) ta được hệ
(6)
2 2
7 21
+ + =
+ + =
7) Thay a x 1, b y 1
= + = + vào hệ (II) ta được hệ
(7)
2 2
1 1
7
21
+ + + =
8) Thay a x 1, b x
= + = vào hệ (II) ta được hệ
(8) 21 72 2
( 1) 21
+ + =
9) Thay a x y b, 1
y
= + = vào hệ (II) ta được hệ
(9) ( ) 1 92 2 2
( 2) 21 1
a=x + x b= y + x vào hệ (II) ta được hệ
(10)
2 2
+ + =
− + − =
Như vậy, nếu chúng ta biết cách tạo ra bài toán thì chúng ta có thể nghĩ ra cách giải của những bài toán khác
Ví dụ 3: Giải các hệ PT sau
2
5
x
+ + − =
+ − + =
4 2
5 4 5 (1 2 )
4
+ + + + = −
1 1 4
2 2
2( ) 7 ( 2 ) 2 10
Trang 3Hướng dẫn giải:
2
1
1 3 0
1
x
x
+ + − =
⇔
+ − + =
Đặt x y a, 1 b
x
+ = = ta được hệ
− + = − − + =
b) Hệ
5
4 5
4
+ + + + = −
⇔
+ + = −
Đặt 2
,
x + =y a xy=b ta được
2
2 2
5
, 4
+ + = − − − = = = −
= − −
+ = − = − = −
TH1
3
5
4
25
16
x
y
=
= + =
= − = −
TH2
2
1
3
2
x x
x
y
x
=
− = −
= −
Vậy tập nghiệm của hệ pt là 3 3 5 3 25
S
= − −
c) ĐK: x≥ −1,y≥ −1,xy≥0
2 2 ( 1)( 1) 16 2 1 14
Đặt x+ =y a, xy=b a≥ −2,b≥0, a2 ≥4b2 ta được hệ phương trình
2
+ − = + + + = + + = −
⇔ ⇒
(thỏa mãn đk)
d) Hệ
⇔
− − + =
Đặt a= +x 1,b= +y 1⇒b a− = −y x ta được hệ
2 2
2 2
9
+ =
− − =
⇒ + = − − ⇔ = − ⇔ = hoặc a= −2b
+) Với a=0⇒b= ±3⇒x= −1,y=2 hoặc x= −1,y= −4
a= − b⇒ b = ⇔ = ±b ⇒a=∓
Trang 46 3
⇒ = − − = − + hoặc 1 6 , 1 3
x= − + y= − −
Kết luận Hệ có 4 nghiệm như trên nhé!
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
2
+ + =
2
+ + − =
c) ( 2 ) ( )
2
2 3 18
5 9 0
+ + − =
d)
− − − =
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
a)
2 2
1
1
+ + =
xy
x y
6
+ =
+ =
c)
6
+ =
+ = −
3 2 1 0
+ + − =
Hướng dẫn: Đặt u= x+y v; = 3x+2y (u≥0,v≥0)
2
+ =
+ =
1
2 5
u v
− = −
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Giải hệ PT
1
3 3
1
y
x y
y
Bài 2: Giải hệ PT
4
+ + + =
+ + + + =
Bài 3: Giải hệ PT
2 2
1 1
4
4
+ + + =
Bài 4: Giải hệ PT
2
4
+ + + =
+ + + =
Bài 5: Giải hệ PT ( )
2
2
+ + + =
+ + − =
x y x y Bài 6: Giải hệ PT ( 2 2)( 2 2) 2 2
( )(1 ) 18
+ + =
Bài 7: Giải hệ PT
8 27 18
1 7
1 13
+ + =
+ + =
Bài 9: Giải hệ PT
2 25
Bài 10: Giải hệ PT
3
2
Trang 5Bài 11: Giải hệ PT
1 1
4 2
+ + + =
+ =
Bài 12: Giải hệ PT
2 2
3
1 1
1
xy
Bài 13: Giải hệ PT
2
2 6 0
x
y
Bài 14: Giải hệ PT
2
0 4
+ + =
x
x y
y
Bài 15: Giải hệ PT
1 1
− + =
Bài 16: Giải hệ PT
2
1
2 2
y
+ − =
Bài 17: Giải hệ PT
1 2
1
+ + = + +
Bài 18: Giải hệ phương trình:
2
− + + =
− + + =
Bài 19: Giải hệ phương trình: ( 3 ) 6
Bài 20: Giải hệ phương trình:
12 12
Bài 21*: Giải hệ phương trình: ( )
2 3
+ + + = + + +
Bài 22*: Giải hệ phương trình:
+ − − − = −
Bài 23*: Giải hệ phương trình:
2
1 5 57
25
+ =
HÃY THAM GIA MOON.VN ĐỂ XEM LỜI GIẢI BÀI TẬP VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN !