PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng.
Trang 1LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
2
x x x y y ( x y ; ∈ ℝ )
Hướng dẫn giải:
Ta xét hai khả năng:
2
=
= ⇒ + = ⇔
= −
x
x ⇒hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0)
+) Nếu y≠0,
2
2
2
5
2
+ + + =
⇔
+
y HPT
y
, đặt
2 2
3
⇔
= − = − =
= + −
u y
- Với
2 2
+ − = −
y
- Với
2 2
3
3 3
=
+ − =
u
y v
hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) và (–6; 8)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
(3 )( 3 ) 14
( , ) ( )( 14 ) 36
∈
x y x y xy
x y R
Hướng dẫn giải:
Ta có,
2 2
HPT
⇔
Đặt
Nhận thấy a = 0 không thỏa mãn, đặt b = ka ta được
2
6
1 12 (1 12 ) 36
k
+
Từ đó ta tìm được
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 4 2 4
x y x y
+ + + = −
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
4
+ =
12 PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Ta có hệ phương trình
4
= −
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
2
2
1
xy
Hướng dẫn giải:
2 2
1 1
xy xy
2
2 2
(1 )
11
1
− =
=
xy
xy
xy
Thay vào ta được nghiệm của hệ là x = y = 1
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
2
2
x y x y
Hướng dẫn giải:
+) Xét y = 0 không thỏa mãn hệ
+) Với y ≠ 0 thì hệ có dạng
2
2
0
( 1)
(
1
2) 1
− = −
−
+
x
x y
a b
a b x
x y
y
y
hệ có nghiệm (0; 1) và (−1; 2)
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình
3
x y xy
Hướng dẫn giải:
Ta có ( )2
(1)⇔ x+y =3xy+3
Bình phương (2) ta được x2+y2+2 (x2+1).(y2+ =1) 14⇔ xy+2 (xy)2+xy+ =4 11 (*)
3 11
3 26 105 0
3
=
≤
=
t t
t
+) Với 35 ( )2
32 0 3
=
x y
x y
Vậy hệ có hai nghiệm là ( 3; 3 , ) ( − 3; − 3 )
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình
2 3 15 0
2 4 5 0
Hướng dẫn giải:
Trang 3LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Hệ pt
( 1)( 2) 4( 1) 4( 2) 5
( 1) ( 2) 10
Đặt
2
1 2
u x
v y
= −
ta có hpt
45
u v
uv
+ = −
=
(vô nghiệm) hoặc
⇔
1 3
u v
= −
=
+) Với 3
1
u
v
=
= −
ta tìm được 2 nghiệm ( ; )x y =(2;1) và ( ; )x y = −( 2;1)
+) Với 1
3
u
v
= −
=
ta tìm được nghiệm ( ; )x y =(0;5)
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 2 2 8
y x y
Hướng dẫn giải:
2
= +
v x y Điều kiện u≥0 Khi đó ta có
2
4
−
=v u
Hệ đã cho trở thành 28 (1)
+ =
Từ (1) ⇒ v = 8 – u Thay vào (2) ta được (8− −u u2)u= ⇔4 u3+u2−8u+ =4 0
⇔ u− u + u− = ⇔ =u u= u=
Đối chiếu điều kiện u≥0 ta có 3 17
2
− −
=
+) Với u = 2 ta có
5
1
2
=
x
2
− +
=
2
x
y
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 5;1
2
,
4
Cách 2:
Đặt
2
2
2
1
= + ⇒
=
=
uv
→ +u u + = u⇔ −u u + u− = ⇔ =u u= u=
Đến đây việc tìm nghiệm như cách giải trên
Cách 3:
Đặt
2 2
2
4
4 2
− = − ⇒ =
= +
Khi đó ta có hệ 28 (1)
+ =
Giải hệ này tương tự như cách 1
Trang 4Ví dụ 9: Giải hệ phương trình
x xy y x y
Hướng dẫn giải:
Hệ đã cho tương đương với
+ − = −
TH1: y=0⇒x=0
TH2: y≠0, đặt t x x ty
y
= ⇔ = thay vào hệ:
2 2
2 2
+ − = −
Từ (1) và (2) ta được
2
2
1
2 3
3
t
= ±
− + = − ⇔ − − + = ⇔
Từ đó suy ra hệ có 4 nghiệm là (0;0);(1;1);( 1;1); 7 ; 3
43 43
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình
2 3 15 0
2 4 5 0
Hướng dẫn giải:
Hệ pt
⇔
− + − =
Đặt
2
1
2
= −
ta có hệ phương trình
3 1
u v
=
⇔
= −
1 3
u v
= −
=
Giải ra ta được các nghiệm của hệ là (2; 1), (–2; 1), (0; 5)
2
2 1 1 2 2 1 8
( , )
2 1 2 13
∈
ℝ
x y
Hướng dẫn giải:
Đặt t= 2x−1,t≥0 Hệ phương trình trở thành ( ) ( )
⇔
Từ (1) và (2) suy ra ( )2 ( )
0
2
− =
− + − = ⇔
− = −
+) Với t = y thay vào (1) ta được t = y = 2
5
2
t= ⇒ x− = ⇔ =x , nghiệm của hệ là 5; 2
2
2
y= +t thay vào (1) ta được 4 2 6 13 0 3 61
4
t + − = ⇔ =t t − +
16 4
y y
t
x x
−
− +
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( ) 5 43 3 61 3 61
x y
=
Trang 5LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình
3 2 2
7
4
( x y , ∈ ℝ )
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x≥ −2;y≥ −2
Đặt u= x+2;v= y+2 với ;u v≥0(*) Hệ trở thành:
2
7 (1) 2
1
4
Thế (1) vào (2) ta được phương trình
2
2
u
u
=
=
+) Với u = 1 thay vào (1) ta được 5
2
v= − , không thỏa mãn
+) Với u = 2 thay vào (1) ta được 1
2
v= , thỏa mãn điều kiện
Vậy, hệ phương trình có nghiệm 2; 7
4
−
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình
2
x y
x y
=
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
2
0 0
x y
+ >
− >
⇔ + + − − + − = ⇔(x+y)−4 (x+y)(x+ + −y 4) 2xy=0
0
>
⇔ + − + + + =
⇔(x+y)− = ⇔ = −4 0 y 4 x
Thay vào phương trình ta được
2
− −
6 0
⇔ + − = ⇔ ⇔
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình
3
8 16
3 0
xy
x y
x x x y
Hướng dẫn giải:
8 16
x +y x+y + xy= x+y
4 ( )
+ =
Trang 6Thay x + y = 4vào PT(2) ta được: 3 2
2
1
2 3 0 ( 1)( 3) 0
3 0 ( )
x
=
+ + =
Với x=1⇒ y=3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;3)
x y
∈
Hướng dẫn giải:
Đặt
2
2
5 5
y
x y v
=
− + =
Thế vào ta có hệ theo u, v Các em giải nốt nhé!
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình ( ) ( )
1 2
= + +
xy x y
Ví dụ 17: Giải hệ phương trình
48 24
y x y
Ví dụ 18: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
Ví dụ 19: Giải hệ phương trình
2 3 1 6
Hướng dẫn: Xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
Ví dụ 20: Giải hệ phương trình
xy x y
Hướng dẫn: Chuyển vế, xét điều kiện rồi chia cho các phương trình tương ứng cho y và y 2
Ví dụ 21: Giải hệ phương trình
5
x y x y xy xy
Hướng dẫn: Đặt u= +x y v2; =xy
Ví dụ 22: Giải hệ phương trình
1 0
Hướng dẫn: Đặt u=x2−y v; = y2
Ví dụ 23*: Giải hệ phương trình
28 31 32 4 6
7 6 14 0
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Giải hệ PT
2 8 2 4
3
2
Bài 3: Giải hệ PT
2 4
Bài 4: Giải hệ PT
2 4
Trang 7
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Bài 5: Giải hệ PT
1 1
Bài 6: Giải hệ PT (2 2 2)( ) 6 3 6
Bài 7*: Giải hệ PT
2
5
1
x y
x
x y
+
4
4
x y
x y
y x
x y
+ + + =
( ) ( )
y x
3 2 4
3 3
( )
1
2 5 3 4 5 3 2
x y
Bài 14: Giải hệ PT
1 2
2 2
12
1 1 36
x x y y
Bài 16: Giải hệ PT ( )
1 1
1 4
x x
Bài 17: Giải hệ PT
2 2 3
1 1
1
x y x y xy
xy
x y
Bài 18: Giải hệ PT 2 2
4
4
+ + + =
x y
x y
y x
x y
Bài 19: Giải hệ PT
1
4
y x xy
xy x y
x y xy y x xy
Bài 22*: Giải hpt sau:
2
2
2 4 18
( ) ( )
x
x xy
y
y y x
x y
+
Bài 23: Giải hệ pt sau:
2
=
− +
= + +
3
5
xy y x
xy y x
Bài 25: Giải hệ PT
3
3 7
3
x xy y
Bài 28: Giải hệ PT
=
− +
−
=
− +
−
−
5 2 6 2
2 2
2 4
y x y x
y x y
x
Bài 29: Giải hệ PT
= +
− +
= + +
+
4 )
(
12 )
(
2 2 2
2
2 2 2
2
y x xy y x
y x xy y x
Bài 30: Giải hệ PT
1 3 1
x x y x x
Trang 8Bài 31: Giải hệ PT ( )
3 4
Bài 32*: Giải hệ PT
1 1
0
x y
+ =
+ + + =
Bài 33*: Giải hệ PT 2 ( )2 3 ( )
2
4 1 4 8 1
3
2 1
3 2
x y
Nếu làm hết số bài này, khi đi thi Đại học, 100% các em sẽ tủm tỉm cười!